周周练03 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（数学新教材人教版九年级上册）

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础计算、综合辨析、实际应用及创新定义题（如“差根方程”“常定数”），梯度覆盖知识理解与思维创新，适配九年级周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|根与系数关系直接应用（如第1题）、根的符号判断（第2题）|结合错解情境（第4题）考查概念本质| |填空题|6/18|由根写方程（第12题）、菱形面积与对角线（第15题）|逆向思维与几何应用结合| |解答题|8/62|直角三角形边长与方程根（第21题）、“差根方程”定义应用（第23题）、“常定数”探究（第24题）|创新定义题（如23、24题）培养推理意识与创新思维，几何与代数综合（21题）体现数学眼光|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测03 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 2．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 【答案】D 【分析】先计算根的判别式判断根的个数，再根据两根之积的符号判断根的符号，即可得到结论． 【详解】∵对于一元二次方程，，，， ∴根的判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得， ∴方程的两根异号， ∴方程有两个不相等的异号实数根． 3．下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 4．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 5．对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据新定义代入，，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系即可得到答案. 【详解】∵ ，且， ∴ 将，代入得： ， 整理得：， ∴ ． 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 7．若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对已知等式因式分解得到a与c的关系，再代入一元二次方程，结合根与系数的关系判断两根的数量关系。 【详解】解：∵ ， 对左边变形得 ， 即 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 得 ， 将代入一元二次方程， 得 ， 整理得 ， 对于一元二次方程，常数项为 ， 由根与系数的关系得 ． 8．已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形相邻两边是方程的两个实根，矩形面积等于两根乘积，利用一元二次方程判别式得到面积的取值范围，即可得到符合条件的选项． 【详解】解：设矩形相邻两边长为方程的两个根， ∵矩形面积， 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴， ∵方程有两个正实根， ∴判别式， ∵， ∴，解得， 即， 观察选项，只有A选项，符合要求． 9．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 10．对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程根的定义，一元二次方程判别式与根的关系，逐个判断五个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：①若，则是方程的根，方程有实根，因此判别式，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，则该方程判别式，即； 对于方程，其判别式， ，， 因此方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的一个根，代入得，整理得； 当时，等式成立，但不一定等于，故③错误； ④若是方程的根，则，两边同乘得， 配方整理得，故④正确； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则； 当时，方程变为，是一元一次方程，只有一个实数根，故⑤错误； 综上，正确的说法共个． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是_______． 【答案】 【分析】设该一元二次方程为，由题意得，，，然后利用根与系数的关系求解． 【详解】解：设该一元二次方程为， 由题意可知，方程的两个根分别为，， 根据根与系数的关系，得， 代入得， 解得， ∴这个方程的常数项是6． 12．写一个二次项系数为1的一元二次方程，让它的两个根分别为5，（化为一般形式）：______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出一次项系数和常数项，即可得到所求方程． 【详解】 解： 设所求一元二次方程为 由题意得，二次项系数为，两根分别为和 ∴， 计算得， 因此所求一元二次方程为． 13．若一个一元二次方程的两个根分别为2和，请写出一个符合条件的方程______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先计算两根的和与积，再根据根与系数的关系写出符合条件的一元二次方程； 【详解】解：设一元二次方程为，设两根分别为，， ∵，， 令，可得，，因此符合条件的一元二次方程可为（答案不唯一）； 14．已知，是方程的两个实数根，则=________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴ ． 15．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 【答案】 3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． 16．已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【答案】/ 【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结果． 【详解】解：设方程的两个实数根为， 由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：， 解得：， 将代入原方程，得， 此时判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】；另一个根是0 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将代入方程求出，再根据根与系数的关系求另一个根． 【详解】解：将代入方程可得：， 解得：  ， ∴该方程为； 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得，， 解得：； 综上所述，  ，另一个根为0． 18．已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将方程的根代入原方程即可求解； （2）根据根与系数的关系，即可求出c，再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：将方程的根代入原方程：，解得； （2）设方程的两根为，，若方程的两根之积为3， 则，解得， 即：， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测03 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 2．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 【答案】D 【分析】先计算根的判别式判断根的个数，再根据两根之积的符号判断根的符号，即可得到结论． 【详解】∵对于一元二次方程，，，， ∴根的判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得， ∴方程的两根异号， ∴方程有两个不相等的异号实数根． 3．下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 4．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 5．对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据新定义代入，，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系即可得到答案. 【详解】∵ ，且， ∴ 将，代入得： ， 整理得：， ∴ ． 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 7．若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对已知等式因式分解得到a与c的关系，再代入一元二次方程，结合根与系数的关系判断两根的数量关系。 【详解】解：∵ ， 对左边变形得 ， 即 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 得 ， 将代入一元二次方程， 得 ， 整理得 ， 对于一元二次方程，常数项为 ， 由根与系数的关系得 ． 8．已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形相邻两边是方程的两个实根，矩形面积等于两根乘积，利用一元二次方程判别式得到面积的取值范围，即可得到符合条件的选项． 【详解】解：设矩形相邻两边长为方程的两个根， ∵矩形面积， 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴， ∵方程有两个正实根， ∴判别式， ∵， ∴，解得， 即， 观察选项，只有A选项，符合要求． 9．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 10．对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程根的定义，一元二次方程判别式与根的关系，逐个判断五个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：①若，则是方程的根，方程有实根，因此判别式，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，则该方程判别式，即； 对于方程，其判别式， ，， 因此方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的一个根，代入得，整理得； 当时，等式成立，但不一定等于，故③错误； ④若是方程的根，则，两边同乘得， 配方整理得，故④正确； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则； 当时，方程变为，是一元一次方程，只有一个实数根，故⑤错误； 综上，正确的说法共个． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是_______． 【答案】 【分析】设该一元二次方程为，由题意得，，，然后利用根与系数的关系求解． 【详解】解：设该一元二次方程为， 由题意可知，方程的两个根分别为，， 根据根与系数的关系，得， 代入得， 解得， ∴这个方程的常数项是6． 12．写一个二次项系数为1的一元二次方程，让它的两个根分别为5，（化为一般形式）：______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出一次项系数和常数项，即可得到所求方程． 【详解】 解： 设所求一元二次方程为 由题意得，二次项系数为，两根分别为和 ∴， 计算得， 因此所求一元二次方程为． 13．若一个一元二次方程的两个根分别为2和，请写出一个符合条件的方程______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先计算两根的和与积，再根据根与系数的关系写出符合条件的一元二次方程； 【详解】解：设一元二次方程为，设两根分别为，， ∵，， 令，可得，，因此符合条件的一元二次方程可为（答案不唯一）； 14．已知，是方程的两个实数根，则=________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴ ． 15．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 【答案】 3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． 16．已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【答案】/ 【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结果． 【详解】解：设方程的两个实数根为， 由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：， 解得：， 将代入原方程，得， 此时判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】；另一个根是0 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将代入方程求出，再根据根与系数的关系求另一个根． 【详解】解：将代入方程可得：， 解得：  ， ∴该方程为； 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得，， 解得：； 综上所述，  ，另一个根为0． 18．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【答案】 【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将，转化为关于m的方程，求出m的值并检验． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或， 由判别式大于零，得， 解得， ∴． 19．已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将方程的根代入原方程即可求解； （2）根据根与系数的关系，即可求出c，再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：将方程的根代入原方程：，解得； （2）设方程的两根为，，若方程的两根之积为3， 则，解得， 即：， 解得，． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 21．已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)证明：∵对于一元二次方程， ∴ ． ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，是以为斜边的直角三角形． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，从而得到，再根据勾股定理可得关于的方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，的长是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，即， ∴ ， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵第三边的长是， ∴， 整理得，即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，是以为斜边的直角三角形． 22．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 23．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 24．对于代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于常数，则称为这个代数式的常定数．例如，对于代数式，当时，代数式的值为1，当时，代数式的值为1，所以0和2是这个代数式的常定数，当时，代数式的值为，不是恒定的常数，所以1不是这个代数式的常定数． (1)判断：__________（是或不是）代数式的常定数． (2)代数式是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由． (3)已知代数式，当分别为0和1时，代数式的值均为4，若存在两个常定数和，求的值． 【答案】(1) 不是 (2) 有常定数，常定数为和 (3) 【分析】（1）根据常定数的定义判断即可； （2）原式变形为，根据常定数的定义得出，解方程即可； （3）先根据当时，代数式的值为4，求出，代入并化简得，根据常定数的定义得出，化简后根据根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）解：当时，代数式的值为，不是恒定的常数， 所以不是这个代数式的常定数； （2）解：有常定数，常定数为和 理由：若有常定数， 则， 解得或 故代数式有常定数，常定数为和； （3）解：当时，代数式的值为4， ∴， ∴， ∴ ， ∵存在两个常定数和， ∴，即， ∴. 7．【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【答案】(1)两条对角线的长分别为和 (2)对角线的长为 (3)的值为 【分析】（1）把代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度； （2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式，先求出，再解方程得到对角线长度； （3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为，则半对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理：；结合韦达定理：，，再利用完全平方变形求解，最后检验且根为正数． 【详解】（1）解将代入方程： ， 化简： ， 因式分解： ， 解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求， 两条对角线长分别为和． （2）解：由矩形对角线相等， 则方程有两个相等实数根，． ， 令： ， ， ， 解得（满足）， 把代入原方程： ， ， ， ， 矩形对角线的长为6． （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理： ， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理： ， 两边同乘4：， 由完全平方公式，代入： ， ， ， 解得， 检验：，代入原方程： ， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求． 的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测03 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 2．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 3．下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 5．对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 8．已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（     ） A． B． C． D． 9．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 10．对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是_______． 12．写一个二次项系数为1的一元二次方程，让它的两个根分别为5，（化为一般形式）：______． 13．若一个一元二次方程的两个根分别为2和，请写出一个符合条件的方程______． 14．已知，是方程的两个实数根，则=________． 15．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 16．已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 18．已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测03 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 2．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 3．下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 5．对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 8．已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（     ） A． B． C． D． 9．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 10．对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是_______． 12．写一个二次项系数为1的一元二次方程，让它的两个根分别为5，（化为一般形式）：______． 13．若一个一元二次方程的两个根分别为2和，请写出一个符合条件的方程______． 14．已知，是方程的两个实数根，则=________． 15．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 16．已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 18．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 19．已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 21．已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 22．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 23．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 24．对于代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于常数，则称为这个代数式的常定数．例如，对于代数式，当时，代数式的值为1，当时，代数式的值为1，所以0和2是这个代数式的常定数，当时，代数式的值为，不是恒定的常数，所以1不是这个代数式的常定数． (1)判断：__________（是或不是）代数式的常定数． (2)代数式是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由． (3)已知代数式，当分别为0和1时，代数式的值均为4，若存在两个常定数和，求的值． 7．【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $