25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦韦达定理，以“概念理解-技能应用-综合拓展”分层，覆盖7个知识点，通过基础计算到跨情境构造方程，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|韦达定理内容、推导、两根和积计算|选择/填空题直接应用公式，强化符号意识| |技能应用|代数式求值、参数求解、前提条件|解答题结合判别式，培养推理能力| |综合拓展|构造新方程及实际应用|材料阅读题整合多知识点，发展模型意识|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 ▌课时目标 1. 理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），明确其成立的前提条件是Δ≥0且a≠0。 2. 能运用韦达定理求方程中两根之和与两根之积，并能计算含有两根对称式的代数式的值，简化计算过程。 3. 能利用韦达定理，结合方程的一个根求出另一个根及方程中的未知参数，体会整体代入思想在方程求解中的应用。 ▌课时目录 知识点01：韦达定理的内容 知识点02：韦达定理的推导 知识点03：利用韦达定理求两根之和与两根之积 知识点04：利用韦达定理求与根系有关的代数式 知识点05：已知一根求另一根及参数 知识点06：韦达定理成立的前提 知识点07：利用韦达定理构造新方程（以两根为新根的方程） ▌知识点01：韦达定理的内容 在一元二次方程（，）中，若方程有两个实数根，则两根之和，两根之积。 文字表述为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的商的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的商。使用时需注意系数连同符号代入，例如方程2x2＋3x－5＝0中，a＝2，b＝3，c＝－5，则，。 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 【答案】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系中两根乘积等于6，即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为，对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得两根乘积为， ∵ 其中一个根为， ∴ ，解得 ，即另一个根为． 3．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）若一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两个根为，， ． 4．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则=________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴ ． ▌知识点02：韦达定理的推导 对于一元二次方程一般形式（），当判别式时，由求根公式可得两根。 计算两根之和：； 计算两根之积：。 该关系由法国数学家韦达最早系统研究，故称韦达定理。 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 7．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算得到方程的系数，即可写出符合要求的方程． 【详解】解：∵两根分别为和， ∴两根之和为：， 两根之积为：， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得：，， 代入得：，，即，， ∴这个方程可以是：． 8．（25-26八年级下·江苏南通·期末）若方程的两个根为，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定一元二次方程的二次项系数与常数项后，可直接根据关系计算两根之积． 【详解】解：方程中，，， 根据根与系数的关系可得． ▌知识点03：利用韦达定理求两根之和与两根之积 解题步骤： 1. 将方程化为一般形式，准确识别各项系数（含符号）； 2. 计算判别式Δ，确认Δ≥0； 3. 代入公式直接计算两根和与两根积，无需解出方程的根。 例如：求方程3x2－6x＋1＝0的两根和与两根积，先确认Δ＝(－6)2－4×3×1＝24≥0，故，。 9．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】 【分析】对于一元二次方程，若是它的两个根，则，，据此求解即可． 【详解】解：方程中，，， ∵，是方程的两个根 ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 【答案】 【分析】设矩形两条边长分别为，，由题意得，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理表示出矩形对角线长，利用完全平方公式变形计算即可得到结果． 【详解】解：设矩形的两条边长分别为，． 由题意得，，是一元二次方程的两个根， ∴，． ∵矩形的对角线长为， ∴． 12．（25-26八年级下·山东烟台·期末）设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，根据根与系数的关系得到，则，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． ▌知识点04：利用韦达定理求与根系有关的代数式 仅适用于关于的对称代数式（交换位置后式子不变），可通过韦达定理转化为用a、b、c表示的式子，无需单独求根。常用变形： 1. 倒数和： 2. 平方和： 3. 差的平方： 例如：已知方程x2－4x＋2＝0的两根为，求的值。 由韦达定理得，，故。 13．（25-26八年级下·北京延庆·期末）设，是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】先将所求代数式通分变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，最后代入变形后的代数式计算即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得： ， ， ． 14．（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式求解； （2）根据根与系数的关系（韦达定理）与完全平方式的变形求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， ． （2）解：，是方程的两个实数根，， ，． ． 15．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 16．（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)另一个实数根为 (2)或 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． ▌知识点05：已知一根求另一根及参数 已知方程的一个根时，可结合韦达定理快速求出另一根及方程中的未知参数，无需代入根求解。 方法：设另一根为，根据两根之和与两根积的公式列出关于和参数的方程组求解，求出参数后需验证二次项系数不为0且Δ≥0。 例如：已知方程x2＋mx－8＝0的一个根为2，求m的值和另一根。 设另一根为，则，由2＝－8得＝－4，代入第一式得2＋(－4)＝－m，解得m＝2，此时方程二次项系数a＝1≠0，Δ＝4＋32＝36≥0，符合题意。 17．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∵， 同理可得， ∴． 18．（2025·江苏南通·二模）已知关于的方程的一根为1，则该方程的另一根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，先求出，再利用根与系数的关系来求解． 【详解】解：方程的一根为1， ，解得：， ， 根据根与系数的关系可知另一根为： 故答案为：． 19．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）关于的一元二次方程有两根，其中一根为，则两根之和为____________． 【答案】2 【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：设方程的另一个根为，则：， ∴，， 即：两根之和为2； 故答案为：2． 20．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为，求的值及方程的另一根． 【答案】(1) 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)，方程的另一根为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为n，由根与系数的关系可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的另一个根为n， 则， ∴， ∴，方程的另一根为． ▌知识点06：韦达定理成立的前提 韦达定理仅在同时满足以下两个条件时适用： 方程是一元二次方程，即二次项系数，若a＝0则方程退化为一元一次方程，不存在两个根； 方程有实数根，即判别式，若Δ＜0方程在实数范围内无实根，因此不能使用韦达定理。 例如方程x2＋x＋2＝0的Δ＝1－8＝－7＜0，初中阶段认为该方程无实根，故不讨论其根与系数的关系。 21．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）一元二次方程有一根是，则另一根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．设方程的一个根是，根据根与系数的关系可得，解答出即可． 【详解】解：设一元二次方程的一个根，另一个根为， 则， 解得． 故选：A． 22．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 23．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求式子变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴． 24．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． ▌知识点07：利用韦达定理构造新方程（以两根为新根的方程） 若已知两个数的和为S、积为P，则以这两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）为，该结论由韦达定理逆推可得。 例如：已知两个数的和为5，积为6，则以这两个数为根的方程为。 仅要求掌握二次项系数为1的构造，若二次项系数不为1，可先将方程化为二次项系数为1的形式再构造。 25．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 26．（25-26九年级上·全国·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，同时涉及方程的构造、代数式的恒等变形，识别 材料中的“同型结构”，构造对应方程是解题关键． （1）根据根与系数的关系可得，，进而根据完全公式变形即可得出； （2）首先把方程进行变形可得出，结合，可得出和为的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出； （3）首先根据已知条件进行变形，可得出，，即可得出和为方程的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出，解得，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解：， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 27．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数，满足，，求的值； (2)若实数，满足，，且，求的取值范围． 【答案】(1)23或2 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式． （1）根据根与系数的关系进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行解答即可． 【详解】（1）、满足， ①当时，原式； ②当时，、可看作是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 或2． （2）将方程两边同乘以2得：， 实数，满足：，且， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，，， 又，是方程的两个不相等的实数根， 方程根的判别式，解得， ， ． 28．（2026·广东中山·二模）【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． (2)解（1）中所列方程； (3)设实数、、满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系即可写出方程； （2）利用因式分解法即可求解； （3）由条件可得，可看作是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的根与系数的关系式为：，， ∵，， ∴，， ∴一元二次方程为． （2）解：， ∴， ∴， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，可看作一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 令， 当时，， ∴， 解得，， ∴的解集为，即的取值范围． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 2．（2026·四川南充·三模）已知抛物线与直线相交于、两点，则线段长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先联立抛物线与直线的方程，得到关于x的一元二次方程，再结合两点间距离公式推导出关于的表达式，最后利用平方数的非负性求出长的最小值． 【详解】解：设， 联立抛物线与直线方程 整理得 由根与系数的关系得 ∵ ∴ ∵ ， ∴ 当 时，取得最小值 代入得． 3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程来描述其位移时间关系（其中代表位移相关量），该方程的两个实数根为，．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系计算两根之和与两根之积，即可得到正确结论． 【详解】解：对于一元二次方程，若方程有两个实数根，，则，， ∵给定方程为， ∴，，， ∴，故错误， ，故错误，正确． 4．（2026·河北张家口·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入因式分解后的表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 5．（2026·湖北随州·一模）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为 ，其中 ，，， ∴，， ∴． 二、填空题 6．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）设方程的两根分别是、，则______． 【答案】 【分析】由题意可得，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵方程的两根分别是、， ∴，，且，符合题意． ∴． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，长方形面积为相邻两边长的乘积，即可得到结果． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为和． 根据根与系数的关系可得：． 长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， 这个长方形的面积为． 三、解答题 9．（2026·四川达州·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得：，，由可求出，，进而可求出m的值． 【详解】（1）解：∵原方程有两个实数根， ∴， 整理得：， 解得：； （2）解：根据根与系数的关系得：，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． ∴． 10．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知方程组有两组实数解、，且，，设． (1)求的取值范围； (2)用含的代数式表示； (3)是否存在这样的的值，使的值为？如果存在，求出这样的的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)的取值范围为且； (2)； (3)存在这样的的值，． 【分析】（1）把②代入①消去y，得到关于x的一元二次方程，方程有两个实数解，且，，则，解不等式即可； （2）根据（1）中的方程，由根与系数关系变形即可； （3）将代入（2）中的等式，求出符合题意的m的值即可． 【详解】（1）解：，把②代入①，得， ∵方程有两个实数解，且，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴的取值范围为且； （2）解：由， 得，， ， ∴； （3）解：令，则， 整理得， 解得， ∵且， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章一元二次方程 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 课时目标 1. 理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），明确其成立的前提条件是 △≥0且a≠0。 2.能运用韦达定理求方程中两根之和与两根之积，并能计算含有两根对称式的代数式的 值，简化计算过程。 3.能利用韦达定理，结合方程的一个根求出另一个根及方程中的未知参数，体会整体代 入思想在方程求解中的应用。 课时目逯 知识点01：韦达定理的内容 知识点02：韦达定理的推导 知识点03：利用韦达定理求两根之和与两根之积 知识点04：利用韦达定理求与根系有关的代数式 知识点05：已知一根求另一根及参数 1/10 知识点06：韦达定理成立的前提 知识点07：利用韦达定理构造新方程（以两根为新根的方程) 知识点01：韦达定理的内容 在一元二次方程axr+br+c=0(a≠0，△之0)中，若方程有两个实数根x,,则两根之 b +x2= XX2=- 和 a,两根之积 a。 文字表述为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的商的相反数，两个根的积等于常 数项与二次项系数的商。使用时需注意系数连同符号代入，例如方程2x2+3x一5=0中，α =2=3c=-5,则5+与=多 5 2, x2= 2。 1.(25-26八年级下·陕西西安·期末)等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程 x2-10x+k=0 k 的两个根，则的值为 2.(25-26八年级下·湖南长沙期末)若x=2是一元二次方程x2-ax+6=0的一个根，则另一个根为 3.(2526八年级下辽宁大连期末)若一元二次方程+x-1=0的两个根为，5，则了+的值是 4.(2026江苏徐州模拟预测)已知，5是方程”-5x+6=0台 “的两个实数根，则+名 几知识点02：韦达定理的推导 对于一元二次方程一般形式ar2+bx+c=0(a≠0)，当判别式△=-4ac≥0时，由求根 -b+公 2a 5=b 公式可得两根 2a 2/10 +5=b+瓜+b-△_-2bb 计算两根之和： 2a 2a 2a a; -b+△ -b-公） 计算两根之积： 2a 2a 4a 4a2 该关系由法国数学家韦达最早系统研究，故称韦达定理。 5.(25-26八年级下浙江杭州期末)设，”是一元二次方程3 x2+4x-2=0 的两个根，则() 4 A.x+x2= .4 3 B.+=3 2 4 C. D. 6.(25-26八年级下山东烟台期末)若a,b是方程x2+2x-2028=0的两个实数根，则a2+3a+b的值 为 7.(25-26八年级下·浙江舟山期末)请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是-1和1，这个方程可 以是 8,(25-26八年级下江苏南通期末)若方程心-2x-8=0的两个根为，，则= 知识点03：利用韦达定理求两根之和与两根之积 解题步骤： 将方程化为一般形式ar+br+C=0,准确识别各项系数（含符号）； 计算判别式△，确认△≥0： 代入公式直接计算两根和与两根积，无需解出方程的根。 例如：求方程3x2一6x+1=0的两根和与两根积，先确认△=(-6)2-一4×3×1=24≥0，故 1 x+名=2，方。 9.(25-26八年级下吉林长春期末)若，元是方程-2x-5=0 x1+3x2 两个根，则 的值为（). A.6 B.-6 C.15 D.-15 3/10 10.(2526八年级下江苏南通期末)己知，元是方程2+4-5=0的两个根，则 1+x2-xX2= 11.(25-26八年级下浙江金华期末)已知矩形的两条边长分别是一元二次方程2x2-4x+1=0的两个根， 则该矩形的对角线长为」 12.(2526八年级下山东烟台期末)设，是方程-5x+3=0的两个根，则 -6x-x2= 知识点04：利用韦达定理求与根系有送的代数式 仅适用于关于x,的对称代数式（交换，位置后式子不变），可通过韦达定理转化为用 a、b、c表示的式子，无需单独求根。常用变形： 1,1x+x2 ”十 倒数和：2xx 平方和：+号=(G+}-2x 差的平方：(-》=(G+-4x西 例如：己知方程x2-4x十2=0的两根为，七，求+戈的值。 由韦达定理得+书=4，书=2，故+为=4-2×2=12。 1 13.(25-26八年级下·北京延庆期末)设，x2是方程x2-2x-1=0的两个实数根，则代数式x2的值 是 14.(25-26八年级下·浙江台州期末)已知关于x的一元二次方程x2+bx+2=0. (1)若方程有两个相等的实数根，求b的值. ②没.云是方程的阿个实数根，当=5时，求+云的值。 15.(25-26八年级下·山东泰安期末)已知关于x的一元二次方程x2-4x-m+5=0有两个实数根. 4/10 (I)求实数m的取值范围： @若，5是该方程的两个根，且满足+发=-2 ,求m的值. 16.(25-26八年级下·山东威海期末)已知关于x的一元二次方程x-2ar-3a+1=0有两个不相等的实数 根。 (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； ②若“，B是该方程的两个根，且 a2+B2=26 26,求“的值. 知识点05：已知一根求另一根及参数 己知方程的一个根时，可结合韦达定理快速求出另一根及方程中的未知参数，无需代入根 求解。 方法：设另一根为x,根据两根之和与两根积的公式列出关于x和参数的方程组求解，求 出参数后需验证二次项系数不为0且△≥0。 例如：已知方程x2+x一8=0的一个根为2，求m的值和另一根。 [2+x2=-m 设另一根为本，则2x,=-8,由2水=一8得本=一4，代入第一式得2十（一4=一， 解得=2，此时方程二次项系数a=1≠0，△=4十32=36≥0，符合题意。 17.(25-26八年级下·安徽安庆期末)已知，B是方程x2+2024x+1=0的两个根，则 1+2026a+a2)）1+2026B+B2） 的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 18 ,(2025江苏南通·二模)已知关于x的方程x2+bx-2=0的一根为1，则该方程的另一根为 19.(24-25九年级下湖南长沙期中)关于x的一元二次方程x2-mx-3=0有两根，其中一根为x=-1, 则两根之和为 2+(m+1)x-3=0 20.(25-26九年级上江西抚州期中)已知关于x的一元二次方程 5/10 (I)求证：不论m为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的一根为x=1,求m的值及方程的另一根. 知识点06：韦达定理成立的前提 韦达定理仅在同时满足以下两个条件时适用： 方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，若a=0则方程退化为一元一次方程，不存在 两个根； 方程有实数根，即判别式△=b-4ac≥0，若△<0方程在实数范围内无实根，因此不能使 用韦达定理。 例如方程x2+x十2=0的△=1一8=一7<0，初中阶段认为该方程无实根，故不讨论其根与 系数的关系。 21.(25-26九年级上湖北武汉阶段检测)一元二次方程2x2-mx-6=0有一根是x=1,则另一根是( A.x=-3 B.x=3 C.x=2 D.x=-2 22.(25-26八年级下陕西咸阳期末)已知关于x的一元二次方程心2+bx+1=0的两根之差为2，则代数 式12a-b的最大值为() A.-8 B.-2 C.4 D.10 23。(2526八年级下渐江台州期末)若“，B是方程+2r-6=0的两个实数根，则9 a2+3a+B 的值为 24.(25-26八年级下·福建福州期末)已知关于x的一元二次方程 2-(k+3)x+3k=0 若方程的两个实 数根为，，且 x+x=10 ,求k的值 知识点07：利用韦达定理构造新方程（以两根为新根的方程） 若已知两个数的和为8、积为P,则以这两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）为 6/10 x2-Sx+P=0,该结论由韦达定理逆推可得。 例如：己知两个数的和为5，积为6，则以这两个数为根的方程为x2-5x+6=0。 仅要求掌握二次项系数为1的构造，若二次项系数不为1，可先将方程化为二次项系数为1 的形式再构造。 25.(25-26八年级下·安徽合肥期末)阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次 方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数，n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则可 将m,n看作方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数a,b满足a+b=3,ab=2,则可以将a,b看作方 程x2-3x+2=0的两个实数根. 根据上述材料解决下列问题： 已知一元二次方程-3x-3=0的两报，与，则+名 XX>= n.m 2)己知实数，n满足3m2-m-2=0,3n2-n-2=0:求m+n的值： B)已知实数a,b,c满足g-b=C-5b-6 c-5,且c<5,求c的最大值. 26.(25-26九年级上·全国期末)请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程 m+b+6=0(0≠0,62-4ac≥0)的两根，与有如下的关系：马+与=台。码-台。 a; 材料2：如果实数m、”满足"” m2-m-1=0n2-n-1=0 ”,且m≠”，则可利用根的定义构造一元二次 2-x-1=0 方程 ,将m、”看作是此方程的两个不相等的实数根： 7/10 材料3：如哭实数m、n满足0m++4(m+1)+2=0、(学+4)+2=0 。m+1≠” ,且 k,则可利用根 n 的定义构造一元二次方程x2+4x+2=0,将m+1看作是此方程的两个不相等的实数根： b 材料4：如果实数m、n满足m+n=一 、mn=C a ā，则可利用韦达定理构造一元二次方程 ax+bx+c=0 0,将m、”看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、”两个实数根。 请根据上述材料解决下面问题： m2+n2 )已知实数m、”满足m+4m-2=0、广+4n-2=0,且m≠”，求m 的值， p+'+2 2)已知实数P、9满足p-3p-2=0、1-39-2g=0,且p9≠1，求99的值. ③)已知实数ab。满定a+6+。二0、b+20,求。的最大值， 1-c 27.(25-26九年级上·福建福州阶段检测)在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一 元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决.他随即 抛出了两个问题，邀请同学们一起探究. b a 1)若实数a'b满足2-5a+1=0:b-5b+1=0,求。+6的值： 1 1 ②)若实数p,g满足p2-2p=m,29-9=2m,且p≠g,求(g2+1(2p+1+m)的取值范国。 28.(2026广东中山二模)【阅读与探索】 弗朗索瓦韦达(FrancoisVi?tE,1540-l603)是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地 使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元 x+bx+c=0(a≠0) 二次方程的根与系数之间的关系.对于一般形式的一元二次方程 如果方程的两 根为5、，则+=台、名=台特别跑，当二次项系数a=1时，方程可化为+心+g=0 此时根与系数的关系式变得更加简洁： +=一P,=9.这种关系以他的姓氏命名为“韦达定 8/10 理”也被称为“根与系数的关系”· 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为”、与，则于 +x2=8xx2=9.75 由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的 一元二次方程，此方程（一般式）为. (2)解(1)中所列方程： [a2-bc-6a+9=0 3)设实数a、b、c满足b2+c2+bc-2a+5=0,求a的取值范围. 课时训练 一、选择题 1.(2526八年级下山东烟合期末)若， 是一元二次方程-2x-2026=0 的两个实数根，则 片-x+的值是(） A,2024 B.2026 C.2028 D.4052 2。（2026四川南充三模)已知抛物线'=3r+r+ 与直线少x+2 相交于A、B两点，则线段AB长的 最小值为() √26 6 26 2V13 A.3 B.3 C.3 D.3 3.(2026湖北省直辖县级单位·模拟预测)在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程 x2-5x+6=0 来描述其位移时间关系（其中代表位移相关量），该方程的两个实数根为， 2.在 后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论正确的是() A.五+名=-5 B.+x3=6 C3=5 D53=6 4。(2026河北张家口三模)若，是方程+3x-2=0的两个实数根，则x+ 2的值为() A.-9 B.-3 C.6 D.-6 9/10 5.（2026湖北随州：一模)已知一元二次方程-5x+6= 的两个根为。，则+55的值为 () A.-1 B.1 C.5 D.-5 二、填空题 6。(2026四川巴中中考真题)已知了，是关于x的一元二次方程-x+1=0的两个实数根，则 云+巧的最小馆是 7(25-26八年级下浙江宁波期末)设方程-2x-45=0的两根分别是、七，则(：+名) 8.(25-26八年级下·浙江宁波期末)已知长方形相邻两边长是一元二次方程x2-12x+9=0的两个根，则 这个长方形的面积是 三、解答题 9。(2026四川达州一模)已知关于x的一元二次方程-3x-m+1=0有两个实数根， (I)求m的取值范围： 2)若=2 2,求的值. y2=6x [x=x∫x=为 10.(25-26八年级下·上海阶段检测)己知方程组y=3x+m有两组实数解y=4、y=,且x≠x2, 33 n=- xx2≠0，设 (1)求m的取值范围： (2)用含m的代数式表示n; (3)是否存在这样的m的值，使n的值为3？如果存在，求出这样的m的值；若不存在，说明理由. 10/10