专题08 神奇的黄金比（1种类型20道）（易错专项训练）数学苏教版六年级上册（新教材）

专题08 神奇的黄金比 （1种类型20道） 目录 易错点1：黄金比及其应用 1 易错点1：黄金比及其应用 1．小明通过阅读了解了“黄金比”。从美学角度来说，一个人上身长与下身长的比约是8∶13，就可以说他身材接近“黄金比”。王阿姨上身长约厘米，下身长约厘米，她需要穿( )厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 【答案】6 【分析】根据上身长与下身长的比约是8∶13，用王阿姨上身长约64厘米除以对应的8，可求得1份对应的实际量，再用1份对应的实际量乘13，可求得下身总长，再用其减去98厘米，即可求得她需要穿多少厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 【详解】64÷8×13－98 ＝8×13－98 ＝104－98 ＝6（厘米） 所以她需要穿6厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 2．在古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618∶1（黄金比）。若某人满足上述黄金比，且肚脐至足底的长度为108cm，则其身高大约是_____cm。（得数保留整数） 【答案】175 【分析】肚脐至足底的长度为108cm，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618∶1＝0.618÷1＝0.618，则用108cm乘黄金比的比值0.618，即可求出头顶至肚脐的长度，将头顶至肚脐的长度加上108cm即可求出其身高。 【详解】0.618∶1 ＝0.618÷1 ＝0.618 108×0.618＋108 ＝66.744＋108 ≈175（cm） 若某人满足黄金比，且肚脐至足底的长度为108cm，则其身高大约是175cm。 3．当人体的上半身和下半身的长度比的比值约为0.62时，会给人一种优美的视觉感受，人们将它称为“黄金分割”。小华的妈妈上半身长62cm，下半身长95cm，她应该穿( )cm的高跟鞋。 【答案】5 【分析】根据“黄金分割”可知：上半身长度∶下半身长度＝0.62；妈妈上半身62cm，可以用上半身长度÷0.62，求出满足黄金分割的下半身长度，用此长度减去妈妈下半身长就是高跟鞋的高度。 【详解】62÷0.62＝100（cm） 100－95＝5（cm） 因此，妈妈应该穿5cm的高跟鞋。 4．当人的上半身与下半身长度之比的比值约为0.618时，看起来最为优美。0.618∶1也被为黄金比。小丽的妈妈上半身约长63cm，下半身约长98cm，按照黄金比，她穿一双( )cm的高跟鞋看起来最美。（得数保留整数） 【答案】4 【分析】设高跟鞋的高度为cm，她的下半身的长度变成cm， 当人的上半身与下半身长度之比的比值约为0.618，即可列出方程，并解出高跟鞋的高度。 【详解】解：设高跟鞋的高度为cm 即她穿一双4cm的高跟鞋看起来最美。 5．一个长方形的宽与长的比是黄金比，如果这个长方形的长是5厘米，那么它的宽是( )厘米。 【答案】3.09 【分析】本题解题首先要理解黄金比的概念，所谓黄金比是指把一条线段分割为两部分，较长部分与整体部分的比值等于较短部分与较长部分的比值，其比值约为0.618。知道黄金比的概念后，上题已知一个长方形的宽与长的比是黄金比，长方形的长是5厘米，假设长方形宽为b厘米，那么可得：＝，计算后可得b值，即求出宽的值。 【详解】设长方形的宽为b厘米，可列式为： ＝ （厘米） 一个长方形的宽与长的比是黄金比，如果这个长方形的长是5厘米，那么它的宽为3.09厘米。 6．在古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618∶1（黄金比）。若某人满足上述黄金比，且肚脐至足底的长度为100厘米，则其身高是( )厘米。 【答案】 161.8 【分析】肚脐至足底的长度为100厘米，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618∶1＝0.618÷1＝0.618，则用100厘米乘黄金比的比值0.618即可求出头顶至肚脐的长度，将头顶至肚脐的长度加上100厘米即可求出其身高。 【详解】100÷1×0.618＋100 ＝100×0.618＋100 ＝61.8＋100 ＝161.8（厘米） 即其身高是161.8厘米。 7．下面的方格图中，第①个长方形长与宽的比是( )，第( )个长方形的宽与长的比最接近黄金比，第①、②、③个长方形面积的最简整数比是( )。 【答案】 6∶5 ② 5∶4∶6 【分析】①第①个长方形长为6个小正方形的边长，宽为5个小正方的边长，由此即可填空； ②黄金比约为0.618，用比的前项除以比的后项即可判断哪个长方形的宽与长的比最接近黄金比； ③根据长方形的面积＝长×宽，分别求出3个小长方形的面积，即可化简出三个长方形面积的最简整数比。 【详解】①第①个长方形长与宽的比是6∶5； ②第①个长方形宽与长的比值＝5÷6＝； 第②个长方形宽与长的比值＝4÷6＝； 第③个长方形宽与长的比值＝4÷9＝； 更接近黄金比0.618，即第②个长方形的宽与长的比最接近黄金比； ③第①个长方形的面积＝6×5＝30； 第②个长方形的面积＝6×4＝24； 第③个长方形的面积＝9×4＝36； ①、②、③个长方形面积的比＝30∶24∶36＝（30÷6）∶（24÷6）∶（36÷6）＝5∶4∶6。 8．学校举行画展比赛，画纸规格统一设计成长是4dm、宽24.72cm的长方形，宽与长的比是( )，( )“黄金比”（填“符合”或“不符合”）。 【答案】 309∶500 符合 【分析】已知画纸规格是一个长4dm、宽24.72cm的长方形，根据比的意义写出宽与长的比为24.72cm∶4dm，先根据进率“1dm＝10cm”换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 用最简比的前项除以比的后项即得比值，与“黄金比”0.618进行比较，得出是否符合“黄金比”。 【详解】24.72cm∶4dm ＝24.72cm∶（4×10）cm ＝24.72∶40 ＝（24.72×100）∶（40×100） ＝2472∶4000 ＝（2472÷8）∶（4000÷8） ＝309∶500 309∶500 ＝309÷500 ＝0.618 宽与长的比是（309∶500），（符合）“黄金比”。 9．在校园艺术节的舞台布置中，设计师要制作一块长方形的LED背景屏。为了达到最佳视觉效果，背景屏的宽与长的比需要符合黄金比。已知这块背景屏的宽3.09米，那么背景屏的长( )米。 【答案】 5 【分析】宽与长的比是0.618∶1，将宽看作0.618份，长看作1份，用3.09除以0.618计算出每一份的长度，再用每一份的长度乘长的份数即可。 【详解】根据分析： 3.09÷0.618×1 ＝5×1 ＝5（米） 在校园艺术节的舞台布置中，设计师要制作一块长方形的LED背景屏。为了达到最佳视觉效果，背景屏的宽与长的比需要符合黄金比。已知这块背景屏的宽3.09米，那么背景屏的长5米。 10．小南通过阅读了解了黄金比例，从美学角度分析，一个人上身长∶下身长＝5∶8，就可以说这个人的身材接近黄金比例。小南的妈妈上身长约65cm，下身长约101cm，她穿( )cm的高跟鞋就能使身材接近黄金比例。 【答案】3 【分析】根据比的意义可知，上身的长度平均分成5份，下身的长度平均分成8份，可先用65除以5，可得每份是多少，再用每份的长度乘8，可得到符合黄金比例的下身长度，再减去小南妈妈下身长度。 【详解】65÷58101 ＝138101 ＝104－101 ＝3（厘米） 所以她穿3cm的高跟鞋就能使身材接近黄金比例。 11．黄金分割是指将整体分成两部分，当较长部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉最美，这个比被称为“黄金比”。“黄金矩形”的宽与长的比为“黄金比”，已知一个“黄金矩形”的长是3厘米，它的宽是________厘米。 【答案】1.854 【分析】根据题意：黄金矩形的宽与长的比为黄金比0.618∶1，已知长是3厘米，把黄金比理解为宽是长的0.618倍，因此直接用长3厘米乘0.618，即可求出宽的长度。 【详解】0.618×3＝1.854（厘米） 所以黄金矩形”的宽与长的比为“黄金比”，已知一个“黄金矩形”的长是3厘米，它的宽是1.854厘米。 12．当芭蕾舞演员踮起脚来，给人的感觉是最美的，下半身和身高的比值是________时，我们把这种神奇的比称为黄金比。 【答案】0.618 【分析】根据黄金比可知，下半身和身高的比值是0.618时，我们把这种神奇的比称为黄金比，据此解答。 【详解】当芭蕾舞演员踮起脚来，给人的感觉是最美的，下半身和身高的比值是0.618时，我们把这种神奇的比称为黄金比。 【点睛】本题考查了有关比的知识中的黄金比，需要熟记。 13．数学中的黄金比（约为0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为使乐曲婉转动听，经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首80节的乐曲，转折点就设在“80×0.618≈49”处，也就是第49节处。如果一首50节的乐曲，转折点应设在第( )节处。（用“四舍五入法”保留整数） 【答案】31 【分析】根据题意，如果一首50节的乐曲，转折点应设在“50×0.618”节处，利用小数乘法的计算法则，求出结果，再按“四舍五入法”法保留整数即可。 【详解】50×0.618≈31（节） 即转折点应设在第31节处。 【点睛】此题的解题关键是理解黄金比的意义，通过小数乘法的计算及求近似数，得出结果。 14．当人体上半身和下半身长度的比值为0.618时，会给人一种优美的视觉感受。有一位阿姨上半身长61.8厘米，下半身长95厘米，按此黄金比，她应该选择高度为( )厘米的高跟鞋。 【答案】5 【分析】由题意可知，上半身的长度∶下半身的长度＝0.618，则下半身的长度＝上半身的长度÷0.618，求出阿姨上半身和下半身为黄金比时下半身的长度，最后减去阿姨下半身的实际长度求出高跟鞋的高度，据此解答。 【详解】61.8÷0.618－95 ＝100－95 ＝5（厘米） 所以，她应该选择高度为5厘米的高跟鞋。 【点睛】理解黄金比的意义，求出阿姨上半身和下半身为黄金比时下半身的长度是解答题目的关键。 15．古希腊时期，人们认为最美的人体应该符合黄金分割比例，即从脚底到肚脐的高度与身高的比大约是0.618∶1，这样整个人就会看起来很美。罗马神话中爱和美的女神维纳斯的身高比例就符合黄金比。如果维纳斯的身高是170cm，那脚底到肚脐的高度是( )cm。（保留整数） 【答案】105 【分析】根据已知条件：从脚底到肚脐的高度与身高的比大约是0.618∶1，把从脚底到肚脐的高度看作0.168份，把身高看作1份，用维纳斯的身高170cm，除以对应的份数，求出1份量是多少，再乘从脚底到肚脐的高度对应的份数，即可求出脚底到肚脐的高度是多少，得数保留整数。 【详解】170÷1×0.618 ＝170×0.618 ≈105（cm） 即脚底到肚脐的高度是105cm。 【点睛】此题主要考查比的应用，解题关键是把比转化为份数，求出1份量，即可解答。 16．符合黄金比的长方形被认为是最美的长方形。聪聪想画一个“最美的长方形”，如果长画10厘米，则宽应该画( )厘米。 【答案】6.18 【分析】把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比或较短部分与较长部分的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的，这个神奇的比被称为“黄金比”；宽与长的比值接近0.618时，这个长方形为最美长方形，则长方形的宽∶长方形的长＝长方形的宽÷10＝0.618，据此解答。 【详解】0.618×10＝6.18（厘米） 宽应该画6.18厘米。 【点睛】掌握“黄金比”的意义是解答题目的关键。 17．你知道黄金比吗？把一条线段分成两部分，较长部分与整体长度之比约为0.618∶1就称为黄金比。当一个人的躯干（脚底至肚脐的长度）与身高的比大致符合黄金比时，常常会给人以一种优美的视觉感受。雕塑设计师李叔叔想按照黄金比设计一座5米高的人物雕塑。那么这个雕塑的躯干部分长多少米？（用比例解） 【答案】3.09米 【分析】根据题意可得，较长部分∶整体长度＝0.618∶1，（脚底至肚脐的长度）即躯干部分∶5＝0.618∶1，设这个躯干的长度为x米，列比例方程求出x的值（依据比例的基本性质解方程），从而确定这个雕塑的躯干部分长度。 【详解】解：设这个雕塑的躯干部分（脚底至肚脐的长度）长度为x米。 x∶5＝0.618∶1 x＝5×0.618 x＝3.09 答：这个雕塑的躯干部分长3.09米。 18．人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618∶1，妈妈上半身长62厘米，下半身长98厘米，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，依据“黄金比”，妈妈买了一双6厘米的高跟鞋。这双高跟鞋的高度是偏高了还是偏低了？请通过列式计算说明。 【答案】偏高；上身与下身的比值0.596；0.596＜0.618。这双高跟鞋的高度偏高了。 【分析】已知妈妈上半身长62厘米，下半身长98厘米，买了一双6厘米的高跟鞋，则穿高跟鞋后下半身长（98＋6）厘米。根据比值的意义，求出妈妈上半身与穿上高跟鞋的下半身长的比值，并与黄金比的比值进行比较，如果小于黄金比的比值，则这双高跟鞋的高度偏高；如果大于黄金比的比值，则这双高跟鞋的高度偏低。 【详解】0.618∶1＝0.618÷1＝0.618 穿高跟鞋后下半身长：98＋6＝104（厘米） 上身与下身的比值：62∶104＝62÷104≈0.596 0.596＜0.618 答：这双高跟鞋的高度偏高了。 19．研究表明：当人的下半身长度与身高的比的比值越接近黄金比（约为0.62）时，越给人一种美感。一位身高170厘米的时装模特，她的下半身是103.5厘米，为了达到黄金比的美感效果，她需要穿上大约多高的高跟鞋？ 【答案】5厘米 【分析】由于为了达到黄金比的美感效果，人的下半身长度∶身高＝0.62，根据比的前项除以比的后项等于比值； 即可设她需要穿上大约厘米的高跟鞋，即用下半身的长度厘米除以她的身高等于0.62，由此即可列方程并解出她需要穿上大约多高的高跟鞋。 【详解】解：设她需要穿上大约厘米的高跟鞋 答：她需要穿上大约5厘米高的高跟鞋。 20．人体有一个理想的比例，越接近这个比例人看上去就越美观。它是以人的肚脐为分割点将人分为上半部和下半部，上与下两部分的比是0.618∶1，这时我们俗称“黄金分割点”。下面有位身高165.1厘米的阿姨，上半身长65.1厘米，她想要买一双高跟鞋，你觉得买哪一双比较合理。（为了计算方便，0.618∶1按0.62∶1来计算，用算式说明）。 【答案】5厘米 【分析】用比例解决问题只要等号两边的比统一即可。身高－上半身长＝下半身长，设她买x厘米的高跟鞋比较合理，根据上半身长∶（下半身长＋鞋高）＝0.62∶1，列出比例解答即可。 【详解】165.1－65.1＝100（厘米） 解：设她买x厘米的高跟鞋比较合理。 65.1∶（100＋x）＝0.62∶1 0.62（100＋x）＝65.1 0.62（100＋x） ÷0.62＝65.1÷0.62 100＋x＝105 100＋x－100＝105－100 x＝5 答：她买5厘米的高跟鞋比较合理。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 神奇的黄金比 （1种类型20道） 目录 易错点1：黄金比及其应用 1 易错点1：黄金比及其应用 1．小明通过阅读了解了“黄金比”。从美学角度来说，一个人上身长与下身长的比约是8∶13，就可以说他身材接近“黄金比”。王阿姨上身长约厘米，下身长约厘米，她需要穿( )厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 2．在古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618∶1（黄金比）。若某人满足上述黄金比，且肚脐至足底的长度为108cm，则其身高大约是_____cm。（得数保留整数） 3．当人体的上半身和下半身的长度比的比值约为0.62时，会给人一种优美的视觉感受，人们将它称为“黄金分割”。小华的妈妈上半身长62cm，下半身长95cm，她应该穿( )cm的高跟鞋。 4．当人的上半身与下半身长度之比的比值约为0.618时，看起来最为优美。0.618∶1也被为黄金比。小丽的妈妈上半身约长63cm，下半身约长98cm，按照黄金比，她穿一双( )cm的高跟鞋看起来最美。（得数保留整数） 5．一个长方形的宽与长的比是黄金比，如果这个长方形的长是5厘米，那么它的宽是( )厘米。 6．在古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618∶1（黄金比）。若某人满足上述黄金比，且肚脐至足底的长度为100厘米，则其身高是( )厘米。 7．下面的方格图中，第①个长方形长与宽的比是( )，第( )个长方形的宽与长的比最接近黄金比，第①、②、③个长方形面积的最简整数比是( )。 8．学校举行画展比赛，画纸规格统一设计成长是4dm、宽24.72cm的长方形，宽与长的比是( )，( )“黄金比”（填“符合”或“不符合”）。 9．在校园艺术节的舞台布置中，设计师要制作一块长方形的LED背景屏。为了达到最佳视觉效果，背景屏的宽与长的比需要符合黄金比。已知这块背景屏的宽3.09米，那么背景屏的长( )米。 10．小南通过阅读了解了黄金比例，从美学角度分析，一个人上身长∶下身长＝5∶8，就可以说这个人的身材接近黄金比例。小南的妈妈上身长约65cm，下身长约101cm，她穿( )cm的高跟鞋就能使身材接近黄金比例。 11．黄金分割是指将整体分成两部分，当较长部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉最美，这个比被称为“黄金比”。“黄金矩形”的宽与长的比为“黄金比”，已知一个“黄金矩形”的长是3厘米，它的宽是________厘米。 12．当芭蕾舞演员踮起脚来，给人的感觉是最美的，下半身和身高的比值是________时，我们把这种神奇的比称为黄金比。 13．数学中的黄金比（约为0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为使乐曲婉转动听，经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首80节的乐曲，转折点就设在“80×0.618≈49”处，也就是第49节处。如果一首50节的乐曲，转折点应设在第( )节处。（用“四舍五入法”保留整数） 14．当人体上半身和下半身长度的比值为0.618时，会给人一种优美的视觉感受。有一位阿姨上半身长61.8厘米，下半身长95厘米，按此黄金比，她应该选择高度为( )厘米的高跟鞋。 15．古希腊时期，人们认为最美的人体应该符合黄金分割比例，即从脚底到肚脐的高度与身高的比大约是0.618∶1，这样整个人就会看起来很美。罗马神话中爱和美的女神维纳斯的身高比例就符合黄金比。如果维纳斯的身高是170cm，那脚底到肚脐的高度是( )cm。（保留整数） 16．符合黄金比的长方形被认为是最美的长方形。聪聪想画一个“最美的长方形”，如果长画10厘米，则宽应该画( )厘米。 17．你知道黄金比吗？把一条线段分成两部分，较长部分与整体长度之比约为0.618∶1就称为黄金比。当一个人的躯干（脚底至肚脐的长度）与身高的比大致符合黄金比时，常常会给人以一种优美的视觉感受。雕塑设计师李叔叔想按照黄金比设计一座5米高的人物雕塑。那么这个雕塑的躯干部分长多少米？（用比例解） 18．人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618∶1，妈妈上半身长62厘米，下半身长98厘米，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，依据“黄金比”，妈妈买了一双6厘米的高跟鞋。这双高跟鞋的高度是偏高了还是偏低了？请通过列式计算说明。 19．研究表明：当人的下半身长度与身高的比的比值越接近黄金比（约为0.62）时，越给人一种美感。一位身高170厘米的时装模特，她的下半身是103.5厘米，为了达到黄金比的美感效果，她需要穿上大约多高的高跟鞋？ 20．人体有一个理想的比例，越接近这个比例人看上去就越美观。它是以人的肚脐为分割点将人分为上半部和下半部，上与下两部分的比是0.618∶1，这时我们俗称“黄金分割点”。下面有位身高165.1厘米的阿姨，上半身长65.1厘米，她想要买一双高跟鞋，你觉得买哪一双比较合理。（为了计算方便，0.618∶1按0.62∶1来计算，用算式说明）。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $