专题12 公因数和公倍数（4种类型40道）（易错专项训练）数学苏教版五年级上册（新教材）

专题12 公因数和公倍数 （4种类型40道） 目录 易错点1：公因数与最大公因数 1 易错点2：用最大公因数解决实际问题 7 易错点3：公倍数与最小公倍数 14 易错点4：用最小公倍数解决实际问题 20 易错点1：公因数与最大公因数 1．求下面每组数的最大公因数。 15和21    18和48    17和51 【答案】3；6；17 【分析】将每组的两个数都分解质因数，找出它们公有的质因数并相乘，就是两个数的最大公因数。 【详解】15＝3×5 21＝3×7 15和21的最大公因数是3。 18＝2×3×3 48＝2×2×2×2×3 18和48公有的质因数是2和3，它们的最大公因数是2×3＝6。 17是质数 51＝17×3 17和51的最大公因数是17。 2．找出下面各组数的最大公因数。 6和24     8和16    5和7    48和18 【答案】6；8；1；6 【分析】（1）6和24，因为24是6的倍数，当两个数存在倍数关系时，最大公因数是较小的数，所以6和24的最大公因数是6； （2）8和16，因为16是8的倍数，同理，它们的最大公因数是较小数8； （3）5和7，5和7都是质数，且除了1以外没有其他公因数，即它们是互质数，互质数的最大公因数是1，所以5和7的最大公因数是1。 （4）48和18，先对这两个数分解质因数，48分解质因数为2×2×2×2×3，18分解质因数为2×3×3。两个数公有质因数的乘积就是它们的最大公因数，公有质因数是2和3，所以最大公因数为2×3＝6。 【详解】（1）6和24最大公因数是6； （2）8和16最大公因数是8； （3）5和7的最大公因数是1； （4）48和18的最大公因数是6。 3．写出每组数的最大公因数。 （18，27）＝     （25，75）＝     （32，72）＝ 【答案】9；25；8 【分析】（1）把18和27分解质因数，找出这两个数公有的质因数，求出它们的积就是这两个数的最大公因数； （2）25和75是倍数关系，倍数关系的最大公因数是较小数，其中25是较小数，据此解答； （3）把32和72分解质因数，找出这两个数公有的质因数，求出它们的积就是这两个数的最大公因数。 【详解】（1）18＝2×3×3，27＝3×3×3， 18和27的公有的质因数是3×3＝9，（18，27）＝9； （2）25和75是倍数关系，（25，75）＝25； （3）32＝2×2×2×2×2，72＝2×2×2×3×3 32和72的公有的质因数是2×2×2＝8，（32，72）＝8； 【点睛】本题主要考查求两个数的最大公因数的求法，注意分清两个数的关系，掌握倍数关系和互质数关系的两个数的最大公因数的求法。 4．写出下面各组数的最大公因数。 3和5           4和48        18和45      34和51 【答案】1；4；9；17 【分析】求两个数的最大公因数，如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1；如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是较小的数；如果两个数是一般关系，可以利用分解质因数的方法，把两个数分别分解质因数，公有质因数的积就是最大公因数；据此解答。 【详解】3和5是互质关系，所以3和5的最大公因数是1； 4和48是倍数关系，所以4和48的最大公因数是4； 18＝2×3×3 45＝3×3×5 所以18和45的最大公因数是3×3＝9 34＝2×17 51＝3×17 所以34和51的最大公因数是17。 【点睛】本题主要考查最大公因数求法，解题时注意两数互质、成倍数关系这两种特殊情况。 5．写出下面每组数的最大公因数。 12和24              3和14              30和45 【答案】12；1；15 【分析】求两个数的最大公因数，对于一般的两个数来说，两个数公有的质因数的连乘积是这两个数的最大公因数；两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，据此解答。 【详解】24÷12＝2，12和24是倍数关系，它们的最大公因数就是较小的数12； 3和14互质，它们的最大公因数就是1； 因为30＝2×3×5，45＝3×3×5所以30和45的最大公因数是3和5的乘积3×5＝15。 【点睛】此题主要考查了求两个数的最大公因数的方法，解题时注意两个数是倍数关系还是互质关系还是其它。 6．写出每组数的最大公因数。 7和9   11和8   10和8 36和18   11和77   5和16 【答案】1；1；2； 18；11；1 【分析】（1）求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积； （2）如果它们是互质数，最大公因数是1； （3）如果它们是倍数关系，最大公因数是较小的那个数字。 【详解】7和9是互质数，所以它们的最大公因数是1； 11和8是互质数，所以它们的最大公因数是1； 10＝2×5，8＝2×2×2，所以它们的最大公因数是2； 36和18是倍数关系，较小的是最大公因数，所以它们的最大公因数是18； 11和77是倍数关系，较小的是最大公因数，所以它们的最大公因数是11； 5和16是互质数，所以它们的最大公因数是1。 【点睛】此题主要考查学生利用求两个数的最大公因数的方法实际解题的能力。 7．找出下面每组数的最大公因数。 51和17               10和13                24和36 【答案】17；1；12 【分析】两数成倍数关系，最大公因数是较小数；两数互质，最大公因数是1；一般情况用短除法求最大公因数即可。 【详解】51＝17×3，所以51和17的最大公因数是17； 10×13＝130，10和13的最大公因数是1； ，2×2×3＝12，24和36的最大公因数是12。 【点睛】本题考查了最大公因数，公因数中最大的称为最大公因数。 8．求下面各组数的最大公因数。 64和20         48和36         25和35       66和88 【答案】4  12  5  22 【分析】求两个数最大公约数也就是求这两个数的公有质因数的连乘积，据此即可得解。 【详解】64＝2×2×2×2×2×2 20＝2×2×5 所以64和20的最大公因数是2×2＝4。 48＝2×2×2×2×3 36＝2×2××3×3 所以48和36的最大公因数是2×2×3＝12。 25＝5×5 35＝5×7 所以25和35的最大公因数是5。 66＝2×3×11 88＝2×2×2×11 所以66和88的最大公因数是2×11＝22。 【点睛】本题考查求几个数的最大公因数的方法。 9．求下面各组数的最大公因数。 17和51          16和12          15和40           45和69 【答案】17；4；5；3 【分析】求最大公因数的方法：方法一：质因数分解法，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数；方法二：短除法，短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数；另外，①如果两个数中小数是大数的因数，大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数。②当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1。 【详解】17和51，17×3=51，所以最大公因数是17； 16和12，16=2×2×2×2，12=2×2×3，2×2=4，所以最大公因数是4； 15和40，15=3×5，40=2×2×2×5，所以最大公因数是5； 45和69，45=3×3×5，69=3×23，所以最大公因数是3。 【点睛】本题考查了最大公因数，记住特殊情况可以让解题过程变简单。 10．求下面每组数的最大公因数。 8和72                        42和63                   12和11 11和55                       20和30                   63和18 【答案】8；21；1       11；10；9 【分析】根据求最大公因数的方法解答即可。 【详解】8和72，两数成倍数关系，所以最大公因数是8； 42和63 3×7=21，所以最大公因数是21； 12和11，两数互质，所以最大公因数是1； 11和55，两数成倍数关系，所以最大公因数是11； 20和305×2=10，所以最大公因数是10； 63和183×3=9，所以最大公因数是9。 【点睛】本题考查了求最大公因数，记住特殊方法会让过程简便。 易错点2：用最大公因数解决实际问题 11．有一张长方形纸，长24厘米，宽18厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形边长最长是多少厘米？一共可以剪出多少个正方形？ 【答案】6厘米；12个 【分析】要剪出同样大小且没有剩余的正方形，边长最长即是长方形长和宽的最大公因数；用长、宽分别除以边长，得到两个方向的正方形数量，相乘得到总个数。 【详解】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数：2×3＝6（厘米） 24÷6＝4（个） 18÷6＝3（个） 4×3＝12（个） 答：剪出的正方形边长最长是6厘米，一共可以剪出12个正方形。 12．一张A3手工纸长42厘米、宽30厘米，然然想用它来折千纸鹤，需要把这张手工纸裁成同样大小的正方形而且没有剩余。裁成的正方形边长最大是多少厘米？一张A3手工纸能裁成多少张这样的正方形纸？（写出计算或思考过程） 【答案】 42和30的最大公因数： （张） 所以，裁成的正方形边长最大是6厘米，一张A3手工纸能裁成35张这样的正方形纸。 【分析】裁成同样大小且无剩余的正方形，最大边长是手工纸长和宽的最大公因数；用长、宽分别除以最大边长，得到长、宽方向的正方形个数，相乘即为总张数。 【详解】 42和30的最大公因数： 即正方形边长最大是6厘米。 （张） 答：裁成的正方形边长最大是6厘米；一张A3手工纸能裁成35张这样的正方形纸。 13．学校插花社团用96朵紫花和72朵黄花做成几个花束。如果每个花束的紫花朵数相等，黄花的朵数也相等，且没有剩余，最多可做成多少个花束？这样每个花束有几朵花？ 【答案】24个；7朵 【分析】要让花束没有剩余，且每个花束的紫花数量都相等，黄花数量也相等，花束的总数就要能同时整除96和72，我们要找最多的花束数，就是找96和72的最大公因数。再计算每个花束的紫花数和黄花数，相加即可求出有多少朵花。 【详解】96＝2×2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 2×2×2×3 ＝4×2×3 ＝8×3 ＝24 因此96和72的最大公因数是24，即最多可做24个花束。 每个花束紫花：（朵），黄花：（朵） 每个花束共：4＋3＝7（朵） 答：最多可做成24个花束，每个花束有7朵花。 14．孙悟空回花果山给小猴子带来一些桃子。如果把110个桃子平均分给小猴子，则多5个；如果把240个桃子平均分给小猴子，则还少5个。花果山最多有多少只小猴子？ 【答案】35只 【分析】先将桃子数量调整为正好能被小猴子平均分的数量，小猴子的最多数量就是这两个调整后数量的最大公因数。 【详解】110－5＝105（个）     240＋5＝245（个） 105＝3×5×7     245＝5×7×7 105和245的最大公因数是：5×7＝35，所以最多有35只小猴子。 答：花果山最多有35只小猴子。 15．六年级学生组织实践活动，六（1）班有35人参加，六（2）班有49人参加，六（3）班有63人参加。如果把这三个班的学生各自分成若干个小组，且每个小组的人数都相同，那么每组最多有多少人？每班可以分成多少个组？一共可以分成多少个组？ 【答案】 7人；六（1）班可以分成5组，六（2）班可以分成7组，六（3）班可以分成9组；一共可以分成21组。 【分析】要使三个班各自分组后每组人数相同且人数最多，就是求35、49、63的最大公因数；用各班总人数除以每组人数得到各班的组数，再将三个班的组数相加得到总组数。 【详解】先求35、49、63的最大公因数： 分解质因数： 三个数公有的质因数只有7，因此最大公因数是7。 （组） （组） （组） （组） 答：每组最多有7人，六（1）班有5组，六（2）班有7组，六（3）班有9组，一共可以分成21组。 16．花之语花店将72朵玫瑰和48朵康乃馨扎成花束。要求每束花中两种花都有，并且每束花朵数相同，最多可以扎多少束？此时每束花中玫瑰和康乃馨各有多少朵？ 【答案】24束；玫瑰3朵；康乃馨2朵 【分析】要使每束花中玫瑰和康乃馨的朵数分别相同，最多可扎的束数是72和48的最大公因数；再用两种花的总朵数分别除以最大公因数，就能得到每束中两种花的朵数。 【详解】 72和48的最大公因数： （朵） （朵） 答：最多可以扎24束，此时每束花中玫瑰有3朵，康乃馨有2朵。 17．手工课上，老师准备了36张卡纸和20支彩笔，要平均分给小组，使每个小组得到的卡纸的数量相同，彩笔的数量也相同，且无剩余，最多能分给多少个小组？ 【答案】4个 【分析】要使每组得到的卡纸和彩笔数量都相同且没有剩余，小组数必须同时是36和20的因数，求最多能分给多少个小组应取两数的最大公因数。 【详解】36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36 20的因数有1、2、4、5、10、20 两数的最大公因数是4。 答：最多能分给4个小组。 18．把46颗水果糖和38颗巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1颗，巧克力剩2颗，这个组最多有几位同学？每位同学分到的水果糖和巧克力各多少颗？ 【答案】9位；5颗水果糖，4颗巧克力； 【分析】水果糖剩1颗，巧克力剩2颗，说明实际分掉的水果糖、巧克力数量才能够被这个组的同学人数平均分，同学人数是分掉的两种糖果数量的最大公因数，先用分解质因数法求出最大公因数，即最多的同学人数，再分别用分掉的糖果数量和巧克力数量除以人数，求出每位同学分到的糖果颗数和巧克力颗数。 【详解】实际分掉水果糖：46－1＝45（颗） 实际分掉巧克力：38－2＝36（颗） 45＝3×3×5 36＝2×2×3×3 45和36的最大公因数：3×3＝9 每人分到水果糖：45÷9＝5（颗） 每人分到巧克力：36÷9＝4（颗） 答：这个组最多有9位同学；每位同学分到5颗水果糖，4颗巧克力。 19．有三根绳子，长度分别是16米、24米、40米，现在要把它们截成长度相同的小段，且每一根都不许剩余，每小段最长多少米？一共能截成多少段？ 【答案】8米；10段 【分析】把它们截成长度相同的小段，不许剩余，说明每段长度是16的因数，也是24的因数，还是40的因数，即是16、24、40的公因数，又要最长，所以每段长度是16、24、40的最大公因数，用三根绳子的总长度除以每小段的长度得到总段数。 【详解】16的因数是：1、2、4、8、16 24的因数是：1、2、3、4、6、8、12、24 40的因数是：1、2、4、5、8、10、20、40 16、24、40的公因数是：1、2、4、8，最大公因数是：8，即每段最长是8米。 （段） 答：每小段最长8米，一共能截成10段。 20．把46个苹果和38根香蕉分别平均分给一个组的同学，结果苹果剩1个，香蕉剩2根。这个组最多有多少名同学？这时每名同学分到的苹果和香蕉各有多少？ 【答案】 这个组最多有9名同学。这时每名同学分到5个苹果，4根香蕉。 【分析】先计算实际分出去的苹果和香蕉的数量，因为总数量减去剩余数量就是刚好能平均分的数量，所以用46减1得到分掉的苹果数，38减2得到分掉的香蕉数。这个组的同学人数是这两个数量的公因数，求最多人数就是求它们的最大公因数；再用分出去的苹果、香蕉数量分别除以人数，得到每名同学分到的数量。 【详解】分出去的苹果数量：46－1＝45（个） 分出去的香蕉数量：38－2＝36（根） 分解质因数求45和36的最大公因数：45＝3×3×5 36＝2×2×3×3 45和36的最大公因数是：3×3＝9 因此，这个组最多有9名同学，每名同学分到的苹果数：45÷9＝5（个） 每名同学分到的香蕉数：36÷9＝4（根） 答：这个组最多有9名同学。这时每名同学分到5个苹果，4根香蕉。 易错点3：公倍数与最小公倍数 21．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8      45和27      24和48 【答案】7和8的最大公因数是，最小公倍数是； 45和27的最大公因数是，最小公倍数是； 24和48的最大公因数是，最小公倍数是。 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】7和8是互质数， 7和8的最大公因数是；最小公倍数是7×8＝； 45＝3×3×5 27＝3×3×3 45和27的最大公因数是3×3＝9；最小公倍数是3×3×5×3＝135； 48是24的倍数； 24和48的最大公因数是24；24和48的最小公倍数是48。 22．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和6             8和18               15和30               10和24 【答案】最大公因数是1，最小公倍数为30；最大公因数是2，最小公倍数是72；最大公因数是15，最小公倍数是30；最大公因数是2， 最小公倍数是120 【分析】将每组的2个数分解质因数，这两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积。 【详解】5和6 因为5和6互质，所以最大公因数是1，最小公倍数为5×6＝30； 8＝2×2×2 18＝2×3×3 最大公因数是2，最小公倍数是：2×2×2×3×3＝72； 因为15×2＝30，所以两数的最大公因数是15，最小公倍数是30； 10＝2×5 24＝2×2×2×3 最大公因数是2， 最小公倍数是：2×2×2×3×5＝120。 23．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 35和40       3和8       12和48 【答案】5、280；1、24；12、48 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】35＝5×7、40＝2×2×2×5 2×2×2×5×7＝280 35和40的最大公因数是5，最小公倍数是280； 3和8是互质数，3×8＝24，3和8的最大公因数是1，最小公倍数是24； 48÷12＝4，12和48的最大公因数是12，最小公倍数是48。 24．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和12               10和15             24和28 【答案】6，36；5，30；4，168 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】18＝2×3×3 12＝2×2×3 2×3＝6、2×2×3×3＝36 18和12的最大公因数是6，最小公倍数是36； 10＝2×5 15＝3×5 2×3×5＝30 10和15的最大公因数是5，最小公倍数是30； 24＝2×2×2×3 28＝2×2×7 2×2＝4 2×2×2×3×7＝168 24和28的最大公因数是4，最小公倍数是168。 25．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和12              16和36 【答案】最大公因数12，最小公倍数24；最大公因数4，最小公倍数144； 【分析】最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，从两个数公有的最小质因数除起，一直除下去，直到除得的两个商互质为止；依此解答。 【详解】 所以24和12的最大公因数是2×2×3＝12，最小公倍数是2×2×3×2＝24； 所以16和36的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是2×2×4×9＝144。 26．找出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 3和12       5和7         12和42 【答案】3，12；1，35；6，84 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；两个数为倍数关系时：最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数；互质的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积，据此解答即可。 【详解】3和12的最大公因数是3，最小公倍数是12； 5和7的最大公因数是1，最小公倍数是35； 12＝2×2×3； 42＝2×3×7； 12和42的最大公因数是2×3＝6； 最小公倍数是2×3×2×7＝84。 27．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 9和12    18和6    7和9 【答案】最大公因数3，最小公倍数36； 最大公因数6，最小公倍数18； 最大公因数1，最小公倍数63 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积。 【详解】9＝3×3，12＝2×2×3 最大公因数是3，最小公倍数是2×2×3×3＝36； 18和6是倍数关系，所以最大公因数是6，最小公倍数是18； 7和9互质，所以最大公因数是1，最小公倍数是63。 28．用短除法求下列每组数的最小公倍数和最大公因数。 15和60             54和36                76和57 【答案】60；15；108；18；228；19 【详解】略 29．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数． 11和10                 13和65                   24和36 【答案】1、110；13、65；12、72 【详解】略 30．求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和42               45和75            36和54           52和78 【答案】6、126；15、225；18、108；26、156 【详解】18＝2×3×3，42＝2×3×7 18和42的最大公因数是：2×3＝6         18和42的最小公倍数是：2×3×3×7＝126    45＝3×3×5，75＝3×5×5 45和75 的最大公因数是：5×3＝15 45和75 的最小公倍数是：5×3×3×5＝225 36＝2×2×3×3，54＝2×3×3×3 36和54的最大公因数是：2×3×3＝18    36和54的最小公倍数是：2×3×3×2×3＝108   52＝2×2×13，78＝2×3×13 52和78的最大公因数是：2×13＝26 52和78的最小公倍数是：2×13×2×3＝156 易错点4：用最小公倍数解决实际问题 31．五（1）班同学们参加学校广播操比赛，站成12人一行或站成16人一行，都少1人。已知全班总人数不够50人，五（1）班有多少名同学？ 【答案】 名 【分析】全班人数加后是和的公倍数，找出以内和的公倍数，减即可得到总人数。 【详解】 （名） （名） 答：五（）班有名同学。 32．剪纸艺术是中国古老的民间传统技艺，承载着千年文化底蕴。剪纸艺人用正方形红纸剪长方形窗花，每个窗花长24厘米、宽18厘米，材料无剩余，正方形红纸边长最短是多少厘米？能剪多少个这样的窗花？ 【答案】72厘米；12个 【分析】要让长方形窗花刚好铺满正方形红纸、材料没有剩余，正方形的边长必须同时是窗花长24厘米、宽18厘米的倍数，要最短的边长，其实就是求24和18的最小公倍数。利用分解质因数计算出最小公倍数，然后再分别除以窗花的长和宽，再相乘即可得出能剪的数量。 【详解】18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×2×2×3×3＝72 所以最短边长是72厘米。 72÷24＝3（个） 72÷18＝4（个） 3×4＝12（个） 答：正方形纸边长最短是72厘米，能剪12个这样的窗花。 33．为响应国家“体重管理年”的号召，乐乐一家坚持进行体育锻炼。爸爸绕湖走一圈要用12分钟，乐乐绕湖走一圈要用18分钟。如果乐乐和爸爸两人同时从同一起点沿同一方向出发，至少多少分钟后乐乐和爸爸在起点处再次相遇？此时爸爸走了几圈？ 【答案】 36分钟；3圈 【分析】两人在起点再次相遇时，所用时间是各自走一圈所用时间的公倍数，要求至少多少分钟后相遇，就是求12和18的最小公倍数；再用最小公倍数除以爸爸走一圈的时间，得到爸爸走的圈数。 【详解】 12和18的最小公倍数是 （圈） 答：至少36分钟后乐乐和爸爸在起点处再次相遇，此时爸爸走了3圈。 34．你知道“韩信点兵”的故事吗？韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信马上说出战后人数。战后人数是多少人？ 【答案】314人 【分析】把“每排多几人”的条件转化为总人数加1后能同时被3、5、7整除，即战后人数比3、5、7的公倍数少1，如果几个数为互质数，最小公倍数就是几个数的乘积；求出3、5、7的最小公倍数， 再结合原有350人、战死几十人的范围，筛选出符合条件的人数。 【详解】3人一排多2人，说明战后人数加1是3的倍数； 5人一排多4人，说明战后人数加1是5的倍数； 7人一排多6人，说明战后人数加1是7的倍数； 因此战后人数加1是3、5、7的公倍数。 3、5、7是互质数，最小公倍数为3×5×7＝105 战死几十人，说明战后人数大于250人且小于350人。 105×3＝315 315－1＝314（人） 答：战后人数是314人。 35．“六一”儿童节活动现场，五（1）班的舞蹈队形变化有序，引起了同学们的阵阵欢呼。只见他们班30多人，时而5人一排，时而7人一排，都没有剩余。他们班一共有多少人？写出你的思考过程。 【答案】他们班一共有35人。思考过程：因为5人一排、7人一排都没有剩余，所以总人数是5和7的公倍数；5和7的最小公倍数是5×7＝35，其余公倍数均大于40，不符合“30多人”的条件，因此总人数为35人。 【分析】根据“排数无剩余”判断总人数是5和7的公倍数，再结合30多人的人数范围筛选出符合条件的数。两个数互质，它们的公因数只有1，最小公倍数就是这两个数的乘积。 【详解】总人数是5和7的最小公倍数：5×7＝35（人） 5和7的公倍数有35、70、105……，其中只有35符合“30多人”的要求。 答：他们班一共有35人。 36．在成长的道路上，我们常常被哪吒不畏艰难、勇于挑战的精神所鼓舞。五（1）班全体同学前往影院观看电影《哪吒之魔童闹海》，每行坐12人或16人都正好是整行。已知五（1）班的人数不超过50人，这个班共有学生多少人？ 【答案】 人 【分析】总人数是和的公倍数，找出以内符合条件的公倍数即可。 【详解】由题意得，总人数是和的公倍数，且总人数不超过。 以内的倍数：，，， 以内的倍数：，， 和在以内的公倍数是。 答：这个班共有学生人。 37．学校体操队的人数在40～50之间，排练时每排3人，每排4人，每排8人都能刚好排完，学校体操队有多少人？ 【答案】48人 【分析】总人数是3、4、8的公倍数，先求出这三个数的最小公倍数，再找出40～50之间的公倍数即可。 【详解】8是4的倍数， ，即3、4、8的最小公倍数是24。 找40～50之间的公倍数：，24小于40，不符合要求； ，48在40～50之间，符合要求； ，72大于50，不符合要求。 答：学校体操队有48人。 38．非遗工坊制作传统木梳，制作总数在85–95之间。每5个装一盒或每6个装一盒，都能正好装完。工坊一共制作了多少把木梳？ 【答案】 工坊一共制作了90把木梳 【分析】每5个或每6个装都能正好装完，说明木梳总数是5和6的公倍数，先求5和6的最小公倍数，再找出85至95之间的公倍数即可。 【详解】5和6的最小公倍数：（把） （把），，不符合要求。 （把），，符合要求。 （把），，不符合要求。 答：工坊一共制作了90把木梳。 39．爸爸、妈妈带着小明一起在操场慢跑。爸爸每跑一圈用时5分钟，妈妈每跑一圈用时6分钟，小明每跑一圈用时9分钟。如果妈妈、小明在起点同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？此时妈妈、小明分别跑了多少圈？ 【答案】18分钟；妈妈3圈；小明2圈 【分析】妈妈、小明在起点再次相遇的时间需同时是妈妈、小明跑一圈所需时间的公倍数，求最少时间就是求6和9的最小公倍数（用短除法），再用总时间分别除以两人单圈用时，得到各自跑的圈数。 【详解】 6和9的最小公倍数：3×2×3 ＝6×3 ＝18 妈妈：（圈） 小明：（圈） 答：至少18分钟后两人在起点再次相遇，此时妈妈跑了3圈，小明跑了2圈。 40．星星小学准备45∽75名学生参加全区合唱比赛，且男、女生人数相等。老师将所有队员进行了分组，既可以分成3组，也可以分成5组，都正好分完。参加合唱比赛的队员有多少名？ 【答案】 60名 【分析】先根据能分成组、组都正好分完，确定总人数是和的公倍数，再结合人数范围和男女生人数相等的条件，可得总人数是的倍数，筛选出正确结果。 【详解】因为总人数能同时分成组和组且正好分完， 所以总人数是和的公倍数， 和的最小公倍数为：， 之间的倍数：，，， 符合人数范围的数有、、。 因为男、女生人数相等，所以总人数是的倍数， 和不是的倍数，不符合要求，只有满足所有条件。 答：参加合唱比赛的队员有名。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 公因数和公倍数 （4种类型40道） 目录 易错点1：公因数与最大公因数 1 易错点2：用最大公因数解决实际问题 3 易错点3：公倍数与最小公倍数 6 易错点4：用最小公倍数解决实际问题 8 易错点1：公因数与最大公因数 1．求下面每组数的最大公因数。 15和21    18和48    17和51 2．找出下面各组数的最大公因数。 6和24     8和16    5和7    48和18 3．写出每组数的最大公因数。 （18，27）＝     （25，75）＝     （32，72）＝ 4．写出下面各组数的最大公因数。 3和5           4和48        18和45      34和51 5．写出下面每组数的最大公因数。 12和24              3和14              30和45 6．写出每组数的最大公因数。 7和9   11和8   10和8 36和18   11和77   5和16 7．找出下面每组数的最大公因数。 51和17               10和13                24和36 8．求下面各组数的最大公因数。 64和20         48和36         25和35       66和88 9．求下面各组数的最大公因数。 17和51          16和12          15和40           45和69 10．求下面每组数的最大公因数。 8和72                        42和63                   12和11 11和55                       20和30                   63和18 易错点2：用最大公因数解决实际问题 11．有一张长方形纸，长24厘米，宽18厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形边长最长是多少厘米？一共可以剪出多少个正方形？ 12．一张A3手工纸长42厘米、宽30厘米，然然想用它来折千纸鹤，需要把这张手工纸裁成同样大小的正方形而且没有剩余。裁成的正方形边长最大是多少厘米？一张A3手工纸能裁成多少张这样的正方形纸？（写出计算或思考过程） 13．学校插花社团用96朵紫花和72朵黄花做成几个花束。如果每个花束的紫花朵数相等，黄花的朵数也相等，且没有剩余，最多可做成多少个花束？这样每个花束有几朵花？ 14．孙悟空回花果山给小猴子带来一些桃子。如果把110个桃子平均分给小猴子，则多5个；如果把240个桃子平均分给小猴子，则还少5个。花果山最多有多少只小猴子？ 15．六年级学生组织实践活动，六（1）班有35人参加，六（2）班有49人参加，六（3）班有63人参加。如果把这三个班的学生各自分成若干个小组，且每个小组的人数都相同，那么每组最多有多少人？每班可以分成多少个组？一共可以分成多少个组？ 16．花之语花店将72朵玫瑰和48朵康乃馨扎成花束。要求每束花中两种花都有，并且每束花朵数相同，最多可以扎多少束？此时每束花中玫瑰和康乃馨各有多少朵？ 17．手工课上，老师准备了36张卡纸和20支彩笔，要平均分给小组，使每个小组得到的卡纸的数量相同，彩笔的数量也相同，且无剩余，最多能分给多少个小组？ 18．把46颗水果糖和38颗巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1颗，巧克力剩2颗，这个组最多有几位同学？每位同学分到的水果糖和巧克力各多少颗？ 19．有三根绳子，长度分别是16米、24米、40米，现在要把它们截成长度相同的小段，且每一根都不许剩余，每小段最长多少米？一共能截成多少段？ 20．把46个苹果和38根香蕉分别平均分给一个组的同学，结果苹果剩1个，香蕉剩2根。这个组最多有多少名同学？这时每名同学分到的苹果和香蕉各有多少？ 易错点3：公倍数与最小公倍数 21．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8      45和27      24和48 22．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和6             8和18               15和30               10和24 23．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 35和40       3和8       12和48 24．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和12               10和15             24和28 25．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和12              16和36 26．找出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 3和12       5和7         12和42 27．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 9和12    18和6    7和9 28．用短除法求下列每组数的最小公倍数和最大公因数。 15和60             54和36                76和57 29．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数． 11和10                 13和65                   24和36 30．求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和42               45和75            36和54           52和78 易错点4：用最小公倍数解决实际问题 31．五（1）班同学们参加学校广播操比赛，站成12人一行或站成16人一行，都少1人。已知全班总人数不够50人，五（1）班有多少名同学？ 32．剪纸艺术是中国古老的民间传统技艺，承载着千年文化底蕴。剪纸艺人用正方形红纸剪长方形窗花，每个窗花长24厘米、宽18厘米，材料无剩余，正方形红纸边长最短是多少厘米？能剪多少个这样的窗花？ 33．为响应国家“体重管理年”的号召，乐乐一家坚持进行体育锻炼。爸爸绕湖走一圈要用12分钟，乐乐绕湖走一圈要用18分钟。如果乐乐和爸爸两人同时从同一起点沿同一方向出发，至少多少分钟后乐乐和爸爸在起点处再次相遇？此时爸爸走了几圈？ 34．你知道“韩信点兵”的故事吗？韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信马上说出战后人数。战后人数是多少人？ 35．“六一”儿童节活动现场，五（1）班的舞蹈队形变化有序，引起了同学们的阵阵欢呼。只见他们班30多人，时而5人一排，时而7人一排，都没有剩余。他们班一共有多少人？写出你的思考过程。 36．在成长的道路上，我们常常被哪吒不畏艰难、勇于挑战的精神所鼓舞。五（1）班全体同学前往影院观看电影《哪吒之魔童闹海》，每行坐12人或16人都正好是整行。已知五（1）班的人数不超过50人，这个班共有学生多少人？ 37．学校体操队的人数在40～50之间，排练时每排3人，每排4人，每排8人都能刚好排完，学校体操队有多少人？ 38．非遗工坊制作传统木梳，制作总数在85–95之间。每5个装一盒或每6个装一盒，都能正好装完。工坊一共制作了多少把木梳？ 39．爸爸、妈妈带着小明一起在操场慢跑。爸爸每跑一圈用时5分钟，妈妈每跑一圈用时6分钟，小明每跑一圈用时9分钟。如果妈妈、小明在起点同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？此时妈妈、小明分别跑了多少圈？ 40．星星小学准备45∽75名学生参加全区合唱比赛，且男、女生人数相等。老师将所有队员进行了分组，既可以分成3组，也可以分成5组，都正好分完。参加合唱比赛的队员有多少名？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $