专题10 因数和倍数（8种类型40道）（易错专项训练）数学苏教版五年级上册（新教材）

**基本信息** 聚焦因数和倍数8大易错点，通过40道梯度题构建从概念认知到综合应用的训练体系，强化数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错点1-2|10道|概念辨析与因数找法|从因数倍数定义切入，建立“整除关系→因数特征”认知链| |易错点3-5|15道|因数倍数特征应用题|结合实际情境（分物/计数），深化“特征分析→问题解决”推理| |易错点6-8|15道|综合运用与奇偶性|整合2、3、5倍数特征，构建“概念→特征→综合应用”完整逻辑链|

专题10 因数和倍数 （8种类型40道） 目录 易错点1：因数和倍数的认识 1 易错点2：找一个数的因数及因数的特征 3 易错点3：根据因数的特征解决问题 4 易错点4：找一个数的倍数及倍数的特征 7 易错点5：根据倍数的特征解决问题 9 易错点6：因数和倍数的综合运用 12 易错点7：2，3，5的倍数特征 15 易错点8：奇数与偶数的认识 18 易错点1：因数和倍数的认识 1．在18÷6＝3中，( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 【答案】 18 6 3 6 3 18 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商就是被除数的因数。 【详解】在18÷6＝3中，18是6和3的倍数，6和3是18的因数。 2．如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如，10除本身10以外，还有1、2、5三个因数，10＞1＋2＋5，所以10就是“亏数”。那么按此方法可知，36是( )。 【答案】盈数 【分析】根据“亏数”的意义，找出36的所有因数（本身除外），再把这些因数相加，然后与36进行比较即可解答。 【详解】36除本身之外的所有因数：1、2、3、4、6、9、12、18； 把它们相加得到和为1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55， 55比36大，符合“盈数”的定义，所以36是盈数。 3．一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 9 54 【分析】根据题意，这个数需要同时满足两个条件：一是9的倍数，二是54的因数。解题思路是先分别列举出9的倍数和54的因数，然后找出这两个数列中公共的数，最后在这些公共数中确定最小值和最大值。 【详解】9的倍数：、、、、、 所以9的倍数有： 54的因数：、、、 所以54的因数有：。 找出既是9的倍数又是54的因数的数：。 最小的是，最大的是。 4．在3×7＝21中，3是( )的因数，( )是7的倍数。 【答案】 21 21 【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答。 【详解】在3×7＝21中，3是21的因数，21是7的倍数。 5．在等式3×7＝21中，( )和( )是21的因数，21是( )和( )的倍数；在m÷n＝k（m，n，k都是非零自然数）中，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。 【答案】 3 7 3 7 n k m m n k 【分析】因数和倍数的概念：如果a×b＝c（a、b、c都是不为0的自然数），a和b是c的因数，c是a和b的倍数。除法算式m÷n＝k可以改写成乘法：n×k＝m。 【详解】3×7＝21：乘数是3和7，积是21。 所以3和7是21的因数，21是3和7的倍数。 m÷n＝k（m，n，k是非零自然数）： 变形：n×k＝m 所以n和k是m的因数，m是n和k的倍数。 易错点2：找一个数的因数及因数的特征 6．有一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a＋f＝21，那么这个自然数是( )，c＋d＝( )。 【答案】 20 9 【分析】任何自然数最小的因数都是1，也就是这里的a＝1；而一个数最大的因数就是它自己，也就是这里的f；结合a＋f＝21就能求出f，也就是这个自然数本身。 确定该自然数的所有因数并从小到大排序，找到对应的c和d后计算两者之和。 【详解】a ＝1，可算出f＝21－1＝20，也就是这个自然数本身是20。 把20的因数全部列出来排序：1、2、4、5、10、20，刚好6个，符合题目条件，数一下第三位c是4，第四位d是5，加起来就是4＋5＝9。 7．一个两位数，个位数是最大的一位整数，十位数是7的最大因数，这个两位数是( )。 【答案】79 【分析】根据题意，最大的一位整数是9，7的最大因数是7，所以个位是9，十位是7，据此解答。 【详解】一个两位数，个位数是最大的一位整数，十位数是7的最大因数，这个两位数是79。 8．根据A÷B＝7（A，B为非零自然数）可知，A是B的( )，B是A的( )。若a是大于1的自然数，则a的最小因数是( )，最小倍数是( )。 【答案】 倍数 因数 1 a 【分析】已知A÷B＝7且A、B为非零自然数，根据因数和倍数的定义：如果非零自然数A÷B＝C，C是整数，没有余数，A就是B的倍数，B就是A的因数，即可判断。 任何大于1的自然数，都有因数1和它自己，对于大于1的自然数a，最小的因数是1，一个数的倍数是它乘1、2、3……得到，最小的倍数就是乘1的结果，也就是它本身。 【详解】根据A÷B＝7（A，B为非零自然数），可知7是整数，再根据因数和倍数的定义，可判断A是B的倍数，B是A的因数。 能整除a的数叫a的因数，任何大于1的自然数，都有因数1和它自己，1是最小的正整数，因此a的最小因数是1，由分析可知，最小的倍数是。 因此根据A÷B＝7（A，B为非零自然数）可知，A是B的倍数，B是A的因数。若a是大于1的自然数，则a的最小因数是1，最小倍数是a。 9．“六一”前夕，志愿服务队的同学们开展“童心伴夕阳”敬老慰问活动，准备将24支向日葵全部扎成花束。要求每束花中的向日葵数量相等，且不能只扎1束，一共有( )种不同的扎法。 【答案】 7 【分析】将24支向日葵扎成数量相等的花束（非1束），本质是求24的所有因数（排除仅扎1束的情况），每个因数对应一种扎法。 【详解】24可分解为1×24、2×12、3×8、4×6、6×4、8×3、12×2，24×1，其因数为1，2，3，4，6，8，12，24。 排除因数1，剩余因数为2，3，4，6，8，12，24，共7个，不同扎法有7种。 10．把72支铅笔平均分给五（1）班的同学，正好分完。已知五（1）班人数在30~40之间，五（1）班有( )名同学。 【答案】 36 【分析】铅笔总数能被学生人数整除且没有剩余，说明学生人数是铅笔总数72的因数。解题思路是先找出72的所有因数，再根据班级人数在之间的条件，筛选出符合要求的人数。 【详解】72的因数有：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72。已知学生人数在之间，在上述因数中，只有36符合该范围要求，所以五（1）班有36名同学。 易错点3：根据因数的特征解决问题 11．把48个玻璃球装进同样的瓶子里，每个瓶中玻璃球的数量相等（每瓶中的玻璃球不少于3个，不超过12个），并且正好装完，有( )种不同的方法。 【答案】5 【分析】根据找一个数因数的方法，列举出48的因数，进而根据题意，找出不超过12个，不少于3的数，即每个瓶中玻璃球的数量，据此解答即可。 【详解】48的所有因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 每个瓶中玻璃球的数量不少于3个，不超过12个，所以每个瓶中玻璃球的数量可以是3个、4个、6个、8个、12个，五种。 即共有5种不同的方法。 12．6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是。像6这样的数，叫作完全数。乐佳说：18也是完全数。她的说法( )（填“正确”或“错误”），请你说明理由：( )。 【答案】 错误 18的因数有1、2、3、6、9、18，，，18不是完全数，乐佳的说法错误 【分析】一个数除了它本身以外的其余因数之和等于它本身，这个数就是完全数。 先采用乘法成对列举法找18的因数，依次写出乘积为18的乘法算式，找出18的所有因数，再求出除它本身外其余因数的和，最后与18进行比较即可判断。 【详解】找18的因数：因为1×18＝2×9＝3×6＝18，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。 1＋2＋3＋6＋9 ＝3＋3＋6＋9 ＝6＋6＋9 ＝12＋9 ＝21 因为，所以18不是完全数，乐佳的说法错误。 13．一个数有6个因数，从小到大排列，第1个和第6个之和是29，前5个因数之和是( )。 【答案】 28 【分析】一个数最小因数是1，最大因数是这个数本身，根据题意，这个数是29－1＝28，列举出28的全部因数，由小到大排列并计算出前5个因数的和。 【详解】28的所有因数有：1、2、4、7、14、28 1＋2＋4＋7＋14＝28 14．105个同学参加团体体操表演。如果要求每排人数相等，且每排不能少于10人，也不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？请把符合要求的情况写出来。 【答案】2种：每排21人，5排；每排15人，7排 【分析】先找出105的全部因数，按照要求筛选：找出因数里不小于10、不大于30的数，只有15和21两个，对应两种队列排法 【详解】105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15 因此105的因数有1、3、5、7、15、21、35、105。 答：符合要求的队列一共有2种，分别是：每排15人，共7排；每排21人，共5排。 15．某班有36名同学参加研学，按学校要求需分成人数相同的小组，每组人数必须多于3人，少于10人，一共有哪几种不同的分组方法？ 【答案】 3种 【分析】要将36人分成人数相同的小组，每组人数必须是36的因数。先找出36的所有因数，再从中筛选出大于3且小于10的因数，每个符合条件的因数对应一种分组方法，用总人数除以每组人数即可得到对应组数。 【详解】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 符合“多于3人、小于10人”要求的因数有4、6、9。 （组），每组4人，分成9组； （组），每组6人，分成6组； （组），每组9人，分成4组； 答：共3种分组方法。 易错点4：找一个数的倍数及倍数的特征 16．用1、2、3、5四张数字卡片组成三位数，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】 132 315 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；根据题意要使组成的最小三位数既是2的倍数，又是3的倍数，百位是1，个位必须是2，三个数字之和要能被3整除；要使组成的最大三位数既是3的倍数，又是5的倍数，个位必须是5，三个数字之和要能被3整除，百位尽量选大数。据此解答。 【详解】百位是1，个位是2，此时可能组成的三位数是：132，152； 1＋2＋3＝6，6÷3＝2；所以132符合； 1＋2＋5＝8，8÷3＝2……2；所以152不符合； 因此，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是132。 个位是5，百位数字最大是3；此时可能组成的三位数是：315，325； 5＋3＋1＝9，9÷3＝3；所以315符合； 5＋3＋2＝10，10÷3＝3……1；所以325不符合； 因此，既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是315。 17．一个数既是4的倍数，又是36的因数，这个数可能是( )。（写出所有可能） 【答案】4，12，36 【分析】因数的定义：若整数a除以整数b（不等于0）的商是整数且无余数，则b是a的因数， 通过列举法找36的因数；倍数的定义：若整数a能被整数b（b不等于0）整除，无余数，则a是b的倍数。逐一验证36的因数是否为4的倍数即除以4无余数。 【详解】找出36的所有因数 36÷1＝36，因此1和36是36的因数；36÷2＝18，因此2和18是36的因数；36÷3＝12，因此3和12是36的因数；36÷4＝9，因此4和9是36的因数；36÷6＝6，因此6是36的因数；综上，36的因数为：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 从36的因数中筛选4的倍数 4÷4＝1，无余数，是4的倍数；12÷4＝3，无余数，是4的倍数；36÷4＝9，无余数，是4的倍数。 既是4的倍数，又是36的因数的数为：4、12、36。 18．如果a的最大因数是13，b的最小倍数是1，a＋b＝( )，a＋b的因数有( )，a－b的因数有( )，a×b＝( )，a×b的因数有( )。 【答案】 14 1，2，7，14 1，2，3，4，6，12 13 1，13 【分析】一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身。由此可得，的值，进而可求得、、的值，求出它们的因数即可。 【详解】因为的最大因数是，的最小倍数是， 所以，， ， ， 所以的因数有，，，； ， ， 所以的因数有，，，，，； ， 的因数有，。 所以的最大因数是，的最小倍数是，，的因数有，，，，的因数有，，，，，；，的因数有，。 19．一个数的最大因数是30，这个数是( )，这个数的最小倍数是( )。 【答案】 30 30 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 【详解】一个数的最大因数是，这个数是，这个数的最小倍数是。 20．在1~100中，不能被6整除的数有多少个？ 【答案】84个 【分析】先把100以内所有6的倍数的个数算出来，再用100减去6的倍数的个数即可。 【详解】100÷6＝16（个）……4（个）    100－16＝84（个） 答：在1~100中，不能被6整除的数有84个。 易错点5：根据倍数的特征解决问题 21．小亮帮奶奶数一筐鸡蛋，他3个3个地数刚好数完，然后告诉奶奶这筐鸡蛋共有125个。请判断他是否数准确？( )（填“是”或“否”） 【答案】 否 【分析】判断一个数能否被3整除，要看这个数各位上的数字之和能否被3整除。如果各位数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除；如果各位数字之和不能被3整除，那么这个数就不能被3整除。小亮说3个3个地数刚好数完，那就意味着鸡蛋总数应该能被3整除，所以要判断125是否能被3整除。 【详解】，8不能被3整除，根据能被3整除的数的特征可知，125不能被3整除，所以小亮说的不准确。 22．一个从里面量长是16cm、宽是12cm、高是5cm的长方体糖盒子，最多能放( )块棱长是2cm的正方体糖。 【答案】96 【分析】根据题意可知，16与12是2的倍数，5不是2的倍数，则沿长方体糖盒子的长与宽放糖，刚好可以放满，但沿高放会有剩余，所以不能用长方体糖盒子的容积除以正方体糖的体积；可以用长方体糖盒子的长、宽、高分别除以正方体糖的棱长，分别求出沿长、宽、高最多可以放的个数，再相乘。 【详解】16÷2＝8（个） 12÷2＝6（个） 5÷2＝2（个）……1（cm） 8×6×2 ＝48×2 ＝96（个） 23．两个数的和是100，一个是7的倍数，另一个是11的倍数。这两个数分别是( )和( )。 【答案】 56 44 【分析】先明确核心条件：两个数相加等于，其中一个是的倍数，另一个是的倍数。 分别列出以内所有的倍数、所有的倍数。从这两组数中，逐一验证两个数相加是否等于，筛选出同时满足“和为”“分别是、的倍数”的组合，最终得到符合要求的两个数。 【详解】以内的倍数：，，，，，，，，，，，，，； 以内的倍数：，，，，，，，，； 只有满足题意， 所以两个数的和是，一个是的倍数，另一个是11的倍数。这两个数分别是和。 24．乐乐到花店买了3盆价格相同的马蹄莲，单价是整数，付给营业员100元，找回12元，乐乐说营业员算错了，营业员一查，发现多算了，多算的钱数是一个一位数的偶数，一盆马蹄莲的价格是多少元？ 【答案】28元 【分析】因为买了3盆价格相同的马蹄莲，所以价格一定是3的倍数，多算的钱数是一位数的偶数，所以可能会多算2元、4元、6元、8元，以此解答即可。 【详解】100－12＝88（元） 如果多算2元，88－2＝86，86不是3的倍数。 如果多算4元，88－4＝84，84是3的倍数，每盆84÷3＝28（元）。 如果多算6元，88－6＝82，82不是3的倍数。 如果多算8元，88－8＝80，80不是3的倍数。 答：一盆马蹄莲的价格是28元。 25．学校图书室买来70多本少儿励志书，现将这些书放到书架上。如果每排放6本，正好多3本。学校买来多少本少儿励志书？ 【答案】 75本 【分析】根据题意，书的总数在70到80之间，且总数除以6余3，通过计算6的倍数加3的结果，筛选出符合范围的数即可。 【详解】6×11＋3 ＝66＋3 ＝69（本） 69本小于70本，不符合要求； 6×12＋3 ＝72＋3 ＝75（本） 75本是70多本，符合要求； 6×13＋3 ＝78＋3 ＝81（本） 81本大于80本，不符合要求。 答：学校买来75本少儿励志书。 易错点6：因数和倍数的综合运用 26．15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？ 【答案】可以分给3个人，每人分5支；或分给5个人，每人分3支；有2种分法 【分析】每人发的一样多，这个表示人数和每人分到的铅笔数都必须是15的因数，即人数每人分到的支数＝，所以要先找的因数；再根据题目条件筛选，“每人不止支”意味着每人分到的铅笔数必须大于，即不能人每人支；“几个人”说明人数大于人，即不能人分支。从而确定最终的分法数量。 【详解】的因数有：，，，。 根据题意“每人不止1支”和“几个人”，排除因数（人分支）和（人每人支），还剩两种情况。 方案1：分给个人，（支），即每人分支； 方案2：分给个人，（支），即每人分支； 答：可以分给个人，每人支；或者分给个人，每人支； 一共种分法。 27．五（1）班的学生参加植树活动，一共要种54棵树。要求每行种树的棵数相等，你有几种不同的种法？（每行多于1棵少于54棵） 【答案】6种 【分析】找到所有54的因数，即可求出要求每行种树的棵数相等，有几种不同的种法。 【详解】54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54，因为每行多于1棵少于54棵，所以排除1和54； 54＝2×27，可种2行，每行27棵；可种27行，每行2棵； 54＝3×18，可种3行，每行18棵；可种18行，每行3棵； 54＝6×9，可种6行，每行9棵；可种9行，每行6棵； 答：有6种不同的种法。 28．青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 【答案】 不对。 【分析】已知康乃馨10元/枝，郁金香5元/枝。10是5的倍数，5本身是5的倍数，所以不管购买几枝康乃馨和郁金香，花费的总金额一定是5的倍数。小华妈妈付给售货员50元，找回13元，则花费的金额为50−13＝37元。37不是5的倍数，这与前面分析的 “花费总金额一定是5的倍数” 相矛盾。 【详解】50－13＝37（元） 设购买康乃馨a枝，郁金香b枝， 则总共花费：10a＋5b＝5×（2a＋b） 5×（2a＋b）有因数5，所以妈妈买花的钱必是5的倍数。 37÷5＝7……2，因此37不是5的倍数。 答：实际花费37元不符合总花费的倍数性质，因此找回的13元不正确。 29．赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 【答案】3.51元 【分析】 因为买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元．已知处数字相同，说明9.2是28的倍数，又因28同一个数相乘，末尾的数一定是0，2，4，6，8，故方框内的数可能是0，2，4，6，8，中的任意一个，分别填入0，2，4，6，8试一试，据此可列式解答。 【详解】 9.2元92分。 9020、9222、9424、9626均不能被28整除，9828能被28整除，所以处应该填8。（元） 答：每支钢笔3.51元。 【点睛】本题考查了学生对因数和倍数的认识、小数除法，以及人民币的掌握情况，关键要弄清28同一个数相乘末尾数的特征。 30．小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【答案】爸爸：42岁；小强：14岁 【分析】公因数只有1的两个非零自然数为互质数，所以2和7为互质数，即最小公倍数为互质数的乘积，所以小强年龄的最小公倍数就是2和7相乘即14。14的倍数有14，28，42，56，由于爸爸今年的年龄是小强的倍数，也是42的因数，所以爸爸和小强的年龄同时是2，7的倍数也是42的因数，小强的年龄不能比爸爸大，所以42是爸爸的年龄，14是小强的年龄。 【详解】因为2和7的公因数为1，所以2和7互质，所以2和7的最小公倍数是14，14的倍数有14，28，42，42也是42因数，所以爸爸今年42岁，小强今年14岁。 答：爸爸今年42岁，小强今年14岁。 易错点7：2，3，5的倍数特征 31．在5、9、1、6、0中选出3个不同数字组成一个数，且满足同时是2、3、5的倍数，则这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 960 150 【分析】2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；2、5的倍数特征：个位上是0的数。3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。这个三位数要最大，则百位上和十位上的数要尽量大，且各个数位上的数字之和应是3的倍数；相反这个三位数要最小，则百位上和十位上的数要尽量小（百位上的数不能为0），且各个数位上的数字之和应是3的倍数。据此找出合适的数。 【详解】据分析可知，这个数的个位是0 这个三位数要最大，百位上的数最大是9，十位上的数也应尽量大，且十位上的数与百位上的数、个位上的数相加应是3的倍数，，15是3的倍数，所以这个三位数最大是960。 这个三位数要最小，百位上的数0除外最小是1，十位上的数也应尽量小，且十位上的数与百位上的数、个位上的数相加应是3的倍数，，6是3的倍数，所以这个三位数最小是150。 32．从0，2，4，5四个数中，选一个同时是2，3，5的倍数的数，最大三位数是( )。 【答案】 540 【分析】同时是2和5的倍数，个位上的数必须是0。3的倍数特征：各个数位上的数的和必须是3的倍数。要求最大的三位数，百位上的数应尽可能大，其次是十位。根据给定的数字 0、2、4、5，先确定个位，再筛选百位和十位的组合，最后比较大小。 【详解】因为组成的数要同时是2和5的倍数，所以个位上的数字必须是0 剩余数字有2、4、5，组成的数也要是3的倍数，所以各个数位上的数的和必须是3的倍数 从2、4、5中选择两个数，可能的组合有： 2＋5＝7，7不是3的倍数，不符合条件 2＋4＝6，6是3的倍数，符合条件 4＋5＝9，9是3的倍数，符合条件 要使三位数最大，百位上的数字要尽可能大，在符合条件的数字中5最大，所以百位上的数字是5 与5搭配且和是3的倍数的数字是4，所以十位上的数字是4 所以，这个最大的三位数是540。 33．从2，3，4，5，0中选出三个数字组成既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )；组成一个同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】 204 540 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各个数位上数字之和能被3整除；据此观察题目给出的5个数字，先找出哪三个数字的是3的倍数；要想求出既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数，则组成三位数的三个数字都要尽量小组合，写出这组数字组成的三位，从中找出个位满足2的倍数特征的最小的那个数，即可解答；要想求出同时是2，3，5的倍数的最大三位数，则组成三位数的三个数字都要尽量大的组合，因为同时是2、5的倍数特征：个位数字必须是0的数，因此这组的三个数字中需包含0，据此写出这组数字组成的三位，从中找出个位是0的最大数即可。 【详解】2＋4＋0＝6，6÷3＝2；所以2、4、0这三个数字组成的三位数是3的倍数； 4＋5＋0＝9，9÷3＝3；所以4、5、0这三个数字组成的三位数是3的倍数； 3＋4＋5＝12，12÷3＝4；所以3、4、5这三个数字组成的三位数是3的倍数； 2、4、0这三个数字组成的三位数：204、240、402、420，其中最小的是204。 204的个位是4，因此204也是2的倍数，所以既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是204。 4、5、0这三个数字组成的三位数：405、450、504、540，其中个位是0的最大数是540。即同时是2，3，5的倍数的最大三位数是540。 即从2，3，4，5，0中选出三个数字组成既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是204；组成一个同时是2，3，5的倍数的最大三位数是540。 34．截至2025年6月，某县城投放的共享单车已达1□8□辆，横线上的这个四位数既是3的倍数，又是5的倍数，还有因数2。这个县城投放的共享单车最少有( )辆，最多有( )辆。 【答案】 1080 1980 【分析】2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数； 5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数； 3的倍数的特征，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 先根据同时是2和5的倍数确定个位数字，再根据3的倍数特征，确定百位数字的可能取值，最后通过比较得出最大值和最小值。 【详解】因为有因数2，说明它是2的倍数，又因为它是5的倍数，可确定个位数字为0。 因为这个数是3的倍数，所以各位上数的和为1＋□＋8＋0＝9＋□；9是3的倍数，因此□里的数必须是3的倍数，即0、3、6、9，□里最大是9，最小是0。 这个数最小是1080，最大是1980，即这个县城投放的共享单车最少有1080辆，最多有1980辆。 35．明明家的Wi－Fi密码是一个四位数：5□2□。已知这个四位数是2、3、5的倍数，且第二位是一个偶数，那么明明家的Wi－Fi密码可能是( )，也可能是( )。 【答案】 5220 5820 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数，是2的倍数。2的倍数是偶数。 5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数； 3的倍数特征：一个数各个位上的数的和是3的倍数，那么这个数是3的倍数。 2、3、5的倍数特征：个位是0且各个位上数的和是3的倍数。 【详解】已知这个四位数是2、3、5的倍数，则这个数的末尾是0； 5＋2＝7 7＋2＝9，7＋8＝15，所以第二位是偶数，且要保证各个位上的数的和是3的倍数，则第二位可能是：2、8。 所以明明家的Wi－Fi密码可能是5220，也可能是5820。 易错点8：奇数与偶数的认识 36．一枚硬币放在桌上，正面朝上，翻一次硬币变为反面朝上，再翻一次硬币变为正面朝上。若翻27次，则硬币变为( )面朝上。（填“正”或“反”） 【答案】反 【分析】硬币每翻动2次就变回原来的状态，翻动次数为偶数（2的倍数）时正面朝上，翻动次数为奇数（不是2的倍数）时反面朝上，只需判断27是奇数还是偶数即可解题。 【详解】27是奇数，27÷2＝13……1，余数为1，和翻动1次的状态相同，硬币为反面朝上。 37．一条河的东、西两岸之间有一条小船。小船最初在东岸，摆渡一次到西岸，再摆渡一次到东岸……摆渡了256次后，这条小船在( )岸。 【答案】东 【分析】小船初始在东岸。摆渡1次到西岸（奇数次在西岸），摆渡2次回到东岸（偶数次在东岸），规律：摆渡奇数次，船在西岸；摆渡偶数次，船在东岸。256是偶数，所以船在东岸。 【详解】根据分析：256是偶数，摆渡256次后，小船在东岸。 38．有六只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻动五只杯子，若让六只杯子全部口朝上，需翻动( )次。 【答案】6 【分析】初始状态六只杯子口朝下，每只需翻动奇数次才能口朝上，六只共需翻动偶数次，每次翻动五只，设翻动n次，总翻动次数为5n次，5n需为偶数，故n为偶数。如图所示： 每次翻动五只，六次后每只杯子均被翻动五次，由口朝下变为口朝上。 【详解】根据分析：若让六只杯子全部口朝上，需翻动6次。 39．用1、2、3三张数字卡片可以组成( )个没有重复数字的两位数。在这些两位数中，奇数有( )，偶数有( )，是3的倍数的有( )。 【答案】 6 13、21、23、31 12、32 12、21 【分析】两位数有十位、个位，数字不能重复，列出所有两位数，再统计个数；个位是1、3、5、7、9的数是奇数，个位是0、2、4、6、8的数是偶数，各个数位上数字相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】组成的两位数有：十位上是1的：12、13；十位上是2的：21、23；十位上是3的：31、32；共有6个； 奇数有：13、21、23、31；偶数有：12、32； 12：1＋2＝3，3÷3＝1，3是3的倍数，所以12是3的倍数； 13：1＋3＝4，4÷3＝1……1，4不是3的倍数，所以13不是3的倍数； 21：2＋1＝3，3÷3＝1，3是3的倍数，所以21是3的倍数； 23：2＋3＝5，5÷3＝1……2，5不是3的倍数，所以23不是3的倍数； 31：3＋1＝4，4÷3＝1……1，4不是3的倍数，所以31不是3的倍数； 32：3＋2＝5，5÷3＝1……2，5不是3的倍数，所以32不是3的倍数；综上，是3的倍数的有12、21。 40．最小的质数是( )，最小的合数是( )，最小的偶数是( )，只有1个因数的数是( )，从这四个数字中任选三个组成三位数，满足同时是2、3、5的倍数的最小三位数是( )，最大三位数是( )。 【答案】 2 4 0 1 120 420 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数，还有别的因数，这样的数叫合数。1既不是质数，也不是合数；整数中能被2整除的数就是偶数；一个三位数，如果同时是2、3、5的倍数，那和这个三位数的个位一定是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。据此填写。 【详解】最小的质数是（2），最小的合数是（4），最小的偶数是（0），只有1个因数的数是（1），从这四个数字中任选三个组成三位数，满足同时是2、3、5的倍数的最小三位数是（120），最大三位数是（420）。 【点睛】掌握质数、合数、偶数的概念、2、3、5的倍数特征是解答本题的关键。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 因数和倍数 （8种类型40道） 目录 易错点1：因数和倍数的认识 1 易错点2：找一个数的因数及因数的特征 1 易错点3：根据因数的特征解决问题 2 易错点4：找一个数的倍数及倍数的特征 3 易错点5：根据倍数的特征解决问题 3 易错点6：因数和倍数的综合运用 4 易错点7：2，3，5的倍数特征 5 易错点8：奇数与偶数的认识 6 易错点1：因数和倍数的认识 1．在18÷6＝3中，( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 2．如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如，10除本身10以外，还有1、2、5三个因数，10＞1＋2＋5，所以10就是“亏数”。那么按此方法可知，36是( )。 3．一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数最小是( )，最大是( )。 4．在3×7＝21中，3是( )的因数，( )是7的倍数。 5．在等式3×7＝21中，( )和( )是21的因数，21是( )和( )的倍数；在m÷n＝k（m，n，k都是非零自然数）中，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。 易错点2：找一个数的因数及因数的特征 6．有一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a＋f＝21，那么这个自然数是( )，c＋d＝( )。 7．一个两位数，个位数是最大的一位整数，十位数是7的最大因数，这个两位数是( )。 8．根据A÷B＝7（A，B为非零自然数）可知，A是B的( )，B是A的( )。若a是大于1的自然数，则a的最小因数是( )，最小倍数是( )。 9．“六一”前夕，志愿服务队的同学们开展“童心伴夕阳”敬老慰问活动，准备将24支向日葵全部扎成花束。要求每束花中的向日葵数量相等，且不能只扎1束，一共有( )种不同的扎法。 10．把72支铅笔平均分给五（1）班的同学，正好分完。已知五（1）班人数在30~40之间，五（1）班有( )名同学。 易错点3：根据因数的特征解决问题 11．把48个玻璃球装进同样的瓶子里，每个瓶中玻璃球的数量相等（每瓶中的玻璃球不少于3个，不超过12个），并且正好装完，有( )种不同的方法。 12．6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是。像6这样的数，叫作完全数。乐佳说：18也是完全数。她的说法( )（填“正确”或“错误”），请你说明理由：( )。 13．一个数有6个因数，从小到大排列，第1个和第6个之和是29，前5个因数之和是( )。 14．105个同学参加团体体操表演。如果要求每排人数相等，且每排不能少于10人，也不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？请把符合要求的情况写出来。 15．某班有36名同学参加研学，按学校要求需分成人数相同的小组，每组人数必须多于3人，少于10人，一共有哪几种不同的分组方法？ 易错点4：找一个数的倍数及倍数的特征 16．用1、2、3、5四张数字卡片组成三位数，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( )。 17．一个数既是4的倍数，又是36的因数，这个数可能是( )。（写出所有可能） 18．如果a的最大因数是13，b的最小倍数是1，a＋b＝( )，a＋b的因数有( )，a－b的因数有( )，a×b＝( )，a×b的因数有( )。 19．一个数的最大因数是30，这个数是( )，这个数的最小倍数是( )。 20．在1~100中，不能被6整除的数有多少个？ 易错点5：根据倍数的特征解决问题 21．小亮帮奶奶数一筐鸡蛋，他3个3个地数刚好数完，然后告诉奶奶这筐鸡蛋共有125个。请判断他是否数准确？( )（填“是”或“否”） 22．一个从里面量长是16cm、宽是12cm、高是5cm的长方体糖盒子，最多能放( )块棱长是2cm的正方体糖。 23．两个数的和是100，一个是7的倍数，另一个是11的倍数。这两个数分别是( )和( )。 24．乐乐到花店买了3盆价格相同的马蹄莲，单价是整数，付给营业员100元，找回12元，乐乐说营业员算错了，营业员一查，发现多算了，多算的钱数是一个一位数的偶数，一盆马蹄莲的价格是多少元？ 25．学校图书室买来70多本少儿励志书，现将这些书放到书架上。如果每排放6本，正好多3本。学校买来多少本少儿励志书？ 易错点6：因数和倍数的综合运用 26．15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？ 27．五（1）班的学生参加植树活动，一共要种54棵树。要求每行种树的棵数相等，你有几种不同的种法？（每行多于1棵少于54棵） 28．青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 29．赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 30．小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 易错点7：2，3，5的倍数特征 31．在5、9、1、6、0中选出3个不同数字组成一个数，且满足同时是2、3、5的倍数，则这个数最大是( )，最小是( )。 32．从0，2，4，5四个数中，选一个同时是2，3，5的倍数的数，最大三位数是( )。 33．从2，3，4，5，0中选出三个数字组成既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )；组成一个同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )。 34．截至2025年6月，某县城投放的共享单车已达1□8□辆，横线上的这个四位数既是3的倍数，又是5的倍数，还有因数2。这个县城投放的共享单车最少有( )辆，最多有( )辆。 35．明明家的Wi－Fi密码是一个四位数：5□2□。已知这个四位数是2、3、5的倍数，且第二位是一个偶数，那么明明家的Wi－Fi密码可能是( )，也可能是( )。 易错点8：奇数与偶数的认识 36．一枚硬币放在桌上，正面朝上，翻一次硬币变为反面朝上，再翻一次硬币变为正面朝上。若翻27次，则硬币变为( )面朝上。（填“正”或“反”） 37．一条河的东、西两岸之间有一条小船。小船最初在东岸，摆渡一次到西岸，再摆渡一次到东岸……摆渡了256次后，这条小船在( )岸。 38．有六只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻动五只杯子，若让六只杯子全部口朝上，需翻动( )次。 39．用1、2、3三张数字卡片可以组成( )个没有重复数字的两位数。在这些两位数中，奇数有( )，偶数有( )，是3的倍数的有( )。 40．最小的质数是( )，最小的合数是( )，最小的偶数是( )，只有1个因数的数是( )，从这四个数字中任选三个组成三位数，满足同时是2、3、5的倍数的最小三位数是( )，最大三位数是( )。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $