解题大招43 诱导公式，贵在“导”字（3大题型）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以诱导公式为核心，通过“导角、导名、导式”三维策略构建解题体系，实现从公式记忆到灵活应用的逻辑进阶，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导角|1典例+4训练|负角化正角→大角化小角→锐角求值流程|基于诱导公式的角转化，夯实三角运算基础| |导名|1典例+4训练|利用角关系统一函数名，破解给值求值问题|公式逆向应用，发展逻辑推理能力| |导式|2典例+4训练|化繁为简，含n奇偶讨论的分类化简策略|公式综合应用，提升数学思维系统性|

解题大招43 诱导公式，贵在“导”字 知识点 诱导公式 角 正弦 余弦 正切 α＋2kπ (k∈Z) sin α cos α tan α －α －sin α cos α －tan α α＋π －sin α －cos α tan α α－π －sin α －cos α tan α π－α sin α －cos α －tan α α＋ cos α －sin α － －α cos α sin α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 诱导公式是三角变换中重要公式，角可统一表示为±．同时简记为“奇变偶不变，符号看象限”，即当k为奇(或偶)数时，角±的三角函数值等于角的余(或同)名三角函数值，前面加上一个把角看成锐角时，角±的三角函数值的符号. 题型01 导角 运用诱导公式导出锐角、特殊角、特定角等，即为“导角”.“导角”策略常用于求解给角求值问题. 【典例1】求值：sin(-1 200º)·cos1 290º+cos(-1 020º)·sin(-1 050º). 【分析】 式子中角均为大角、负角,其三角函数值无法直接得到，故应利用诱导公式“导角”，将这些角导出为易于求三角函数值的锐角. 【详解】原式＝－sin(120º+3·360º)cos(210º+3·360º) +cos(300º+2·360º)[-sin(330º+2·360º)] ＝－sin120º·cos210º－cos300º·sin330º ＝－sin(180º－60º)·cos(180º+30º)－cos(360º－60º)·sin(360º-30º) =sin60º·cos30º+cos60º·sin30º=·+·=1. 【点评】这是给角求值问题，常用诱导公式导出锐角，再利用熟知的特殊角三角函数值代入计算.其中导角的流程一般为：负角化正角，大角化小角，化到锐角是目标. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得. 2．（25-26高三上·江西南昌·期末）计算：（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和与差的正弦公式化简即可. 【详解】 . 3．（25-26高三上·江西赣州·期末）______. 【答案】 【详解】由题意得 . 4．（2026高一·全国·专题练习）的值为________． 【答案】 【分析】根据诱导公式一，及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】 ＝ 题型02 导名 利用诱导公式导出需要的函数名,即为“导名”.“导名”策略常用于求解给值求值问题. 【典例2】已知，的值为 ． 【答案】0 【分析】题设给出的是角的余弦值，而所求的代数式既含余弦、也含正弦,显然应利用诱导公式将所求式统一成余弦形式,即“导名”. 【详解】分别求，的值． ＝＝－, ＝＝＝． ∴＝－． 【点评】解答本题的关键是根据给的值（式）、被求式的关系，发现、与之间的关系，即()+()=，,这便为应用诱导公式化简本题找到入手之处． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·湖南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式及诱导公式求解即可. 【详解】由题意得 . 2．（25-26高三上·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由,得; 同除以,得 由得, 代入化简得, 即, 解得， 则. 3．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将待求角改写为已知角的二倍角再加 ，然后使用余弦二倍角公式计算. 【详解】因为所以 由余弦二倍角公式，得 代入 ，得 4．（2026高三·全国·专题练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， 解得. 题型03 导式 利用诱导公式导出最简式、特定式,即为“导式”.“导式”策略常用于化简三角函数式、证明三角恒等式、求解给式求值问题等. 【典例3-1】化简　　 【分析】本题可直接利用诱导公式化繁为简，化到不能再化简为止，即导出最简式　 【详解】原式＝ 　　　　　＝ 【点评】化简三角函数式的一般要求是:次数尽可能低；项数尽可能少；函数种数尽量少；尽量不含分式和根式；能求值的尽量求出值． 【典例3-2】 已知=· (nZ)，求. 【详解】当n = 2k (kZ)时， =· =·==sinx 故= sin= sin(＋)=－sin=－。 当n = 2k＋1 (kZ)时， =· =· =·=－sinx 故=－sin=－sin(＋)=sin=。 【点评】本题为一给式求值题,这类题型求解时一般应先化简函数解析式,再求函数值.当角中含有(nZ)时，不能直接应用诱导公式变形与化简，需对n分奇偶整数进行讨论. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·河北承德·期末）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简根号内的三角函数式，再结合半角公式与α的取值范围去绝对值即可得到结果. 【详解】已知，因此，可得， 根据诱导公式得 ， 由余弦半角公式得 ， 结合，去绝对值得. 2．（25-26高三上·辽宁葫芦岛·期末）化简：__________. 【答案】1 【详解】. 3．（25-26高三上·上海·期中）化简得___________． 【答案】 【详解】原式. 4．（24-25高三上·河南周口·阶段检测）已知，________． 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式化简求解即可. 【详解】 . 所以. 1．（25-26高三上·青海西宁·期末）等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得. 2．（25-26高三上·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式结合题设可得答案. 【详解】由诱导公式，. 3．（2027年高考数学一轮复习讲练测）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦的二倍角公式，结合同角三角函数关系的齐次式求值得，再结合诱导公式与余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 4．（25-26高三上·辽宁辽阳·期末）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式及二倍角公式求解即可. 【详解】. 5．（25-26高三上·贵州遵义·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察所求角与已知角的数量关系，利用三角函数诱导公式转化求解. 【详解】已知，则，故B正确. 6．（25-26高三上·辽宁·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将未知角转化为已知角，利用两角和差公式以及二倍角公式计算式子的值． 【详解】因为； ； 因为，则；则， 则； 代入可得． 7．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】C 【详解】由角的终边上一点， 可得， 所以 . 8．（25-26高三上·山东威海·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据诱导公式得， 由和二倍角公式，代入得， 分子分母同除以（）得， 代入，可知. 9．（多选）（2026高二下·浙江·学业考试）在中，下列恒等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由以及诱导公式即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以， 由诱导公式可得，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 由诱导公式可得，故B错误； 对于C选项， 因为，所以，所以， 由诱导公式可得，故C错误； 对于D选项，因为，所以，所以， 由诱导公式可得，故D正确. 10．（多选）（25-26高三上·山东滨州·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为的终边经过点，则， 可得，，，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 11．（多选）（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数（）的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由，结合的取值范围求得的值，得到解析式.直接代入计算可判断A；代入后利用诱导公式结合正弦函数的单调性可判断B；通过举反例可判断C；利用“任意实数 ，都有不等式 ”可判断D. 【详解】由题意，得 因为，所以， 所以得, 故. 对于A，，，故A不正确； 对于B，， ，，故B正确； 对于C，令，则 显然此时不成立，故C不正确； 对于D，对于任意实数 ，都有不等式 ，等号仅在时成立. 令，则，等号仅在时成立 所以，故D正确. 12．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D， ，故D正确． 13．（25-26高三上·上海静安·期末）化简：______． 【答案】1 【详解】 14．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）设，其中a，b，，，若，则__________. 【答案】1 【详解】因为， 则，， 故， 又因为，所以. 15．（25-26高三上·江西九江·期末）已知，则_____ 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式化简求值即可. 【详解】由，代入原式得： 因为，且，将分子分母同除以， 得：，即 解得. 16．（25-26高三上·贵州遵义·期末）已知为第二象限角，若，则_______________． 【答案】 【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系可求的值，再代入所求式子即可. 【详解】因为为第二象限角，， 所以，则. 所以. 17．（2025高三下·甘肃·竞赛），则_________． 【答案】 【分析】利用诱导公式、和差化积及积化和差公式化简，再代入求解即可. 【详解】 . 18．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）求值：________． 【答案】 【分析】根据二倍角公式、诱导公式及两角和的余弦公式化简求解即可. 【详解】原式 . 19．（25-26高三上·上海徐汇·期末）已知，则 _________. 【答案】 【详解】由， 所以，解得. 20．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若，且，则___________． 【答案】 【分析】先利用二倍角余弦公式化简为辅助角形式，结合的范围求出的正、余弦值，再通过两角和的正弦公式计算. 【详解】由二倍角余弦公式，可得， 因此：， 已知，代入化简后得：， 由，得，该区间内余弦值为负， 因此：， . 21．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）以轴为始边作终边落在第二象限的角，且与单位圆交于点． (1)求、的值，并求的值； (2)化简求值：． 【分析】由单位圆交点的坐标确定正弦、余弦，结合第二象限确定余弦符号；再利用两角和正切公式及诱导公式化简计算． 【详解】（1）因为角的终边与单位圆交于点，所以． 由，得． 又角的终边落在第二象限，所以，即． 所以，． 因此． （2）由诱导公式得，，． 所以原式化为． 将，，代入，得分子为，分母为． 所以原式的值为． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招43 诱导公式，贵在“导”字 知识点 诱导公式 角 正弦 余弦 正切 α＋2kπ (k∈Z) sin α cos α tan α －α －sin α cos α －tan α α＋π －sin α －cos α tan α α－π －sin α －cos α tan α π－α sin α －cos α －tan α α＋ cos α －sin α － －α cos α sin α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 诱导公式是三角变换中重要公式，角可统一表示为±．同时简记为“奇变偶不变，符号看象限”，即当k为奇(或偶)数时，角±的三角函数值等于角的余(或同)名三角函数值，前面加上一个把角看成锐角时，角±的三角函数值的符号. 题型01 导角 运用诱导公式导出锐角、特殊角、特定角等，即为“导角”.“导角”策略常用于求解给角求值问题. 【典例1】求值：sin(-1 200º)·cos1 290º+cos(-1 020º)·sin(-1 050º). 【分析】 式子中角均为大角、负角,其三角函数值无法直接得到，故应利用诱导公式“导角”，将这些角导出为易于求三角函数值的锐角. 【详解】原式＝－sin(120º+3·360º)cos(210º+3·360º) +cos(300º+2·360º)[-sin(330º+2·360º)] ＝－sin120º·cos210º－cos300º·sin330º ＝－sin(180º－60º)·cos(180º+30º)－cos(360º－60º)·sin(360º-30º) =sin60º·cos30º+cos60º·sin30º=·+·=1. 【点评】这是给角求值问题，常用诱导公式导出锐角，再利用熟知的特殊角三角函数值代入计算.其中导角的流程一般为：负角化正角，大角化小角，化到锐角是目标. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得. 2．（25-26高三上·江西南昌·期末）计算：（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和与差的正弦公式化简即可. 【详解】 . 3．（25-26高三上·江西赣州·期末）______. 【答案】 【详解】由题意得 . 4．（2026高一·全国·专题练习）的值为________． 【答案】 【分析】根据诱导公式一，及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】 ＝ 题型02 导名 利用诱导公式导出需要的函数名,即为“导名”.“导名”策略常用于求解给值求值问题. 【典例2】已知，的值为 ． 【答案】0 【分析】题设给出的是角的余弦值，而所求的代数式既含余弦、也含正弦,显然应利用诱导公式将所求式统一成余弦形式,即“导名”. 【详解】分别求，的值． ＝＝－, ＝＝＝． ∴＝－． 【点评】解答本题的关键是根据给的值（式）、被求式的关系，发现、与之间的关系，即()+()=，,这便为应用诱导公式化简本题找到入手之处． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·湖南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式及诱导公式求解即可. 【详解】由题意得 . 2．（25-26高三上·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由,得; 同除以,得 由得, 代入化简得, 即, 解得， 则. 3．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将待求角改写为已知角的二倍角再加 ，然后使用余弦二倍角公式计算. 【详解】因为所以 由余弦二倍角公式，得 代入 ，得 4．（2026高三·全国·专题练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， 解得. 题型03 导式 利用诱导公式导出最简式、特定式,即为“导式”.“导式”策略常用于化简三角函数式、证明三角恒等式、求解给式求值问题等. 【典例3-1】化简　　 【分析】本题可直接利用诱导公式化繁为简，化到不能再化简为止，即导出最简式　 【详解】原式＝ 　　　　　＝ 【点评】化简三角函数式的一般要求是:次数尽可能低；项数尽可能少；函数种数尽量少；尽量不含分式和根式；能求值的尽量求出值． 【典例3-2】 已知=· (nZ)，求. 【详解】当n = 2k (kZ)时， =· =·==sinx 故= sin= sin(＋)=－sin=－。 当n = 2k＋1 (kZ)时， =· =· =·=－sinx 故=－sin=－sin(＋)=sin=。 【点评】本题为一给式求值题,这类题型求解时一般应先化简函数解析式,再求函数值.当角中含有(nZ)时，不能直接应用诱导公式变形与化简，需对n分奇偶整数进行讨论. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·河北承德·期末）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简根号内的三角函数式，再结合半角公式与α的取值范围去绝对值即可得到结果. 【详解】已知，因此，可得， 根据诱导公式得 ， 由余弦半角公式得 ， 结合，去绝对值得. 2．（25-26高三上·辽宁葫芦岛·期末）化简：__________. 【答案】1 【详解】. 3．（25-26高三上·上海·期中）化简得___________． 【答案】 【详解】原式. 4．（24-25高三上·河南周口·阶段检测）已知，________． 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式化简求解即可. 【详解】 . 所以. 1．（25-26高三上·青海西宁·期末）等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得. 2．（25-26高三上·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式结合题设可得答案. 【详解】由诱导公式，. 3．（2027年高考数学一轮复习讲练测）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦的二倍角公式，结合同角三角函数关系的齐次式求值得，再结合诱导公式与余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 4．（25-26高三上·辽宁辽阳·期末）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式及二倍角公式求解即可. 【详解】. 5．（25-26高三上·贵州遵义·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察所求角与已知角的数量关系，利用三角函数诱导公式转化求解. 【详解】已知，则，故B正确. 6．（25-26高三上·辽宁·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将未知角转化为已知角，利用两角和差公式以及二倍角公式计算式子的值． 【详解】因为； ； 因为，则；则， 则； 代入可得． 7．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】C 【详解】由角的终边上一点， 可得， 所以 . 8．（25-26高三上·山东威海·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据诱导公式得， 由和二倍角公式，代入得， 分子分母同除以（）得， 代入，可知. 9．（多选）（2026高二下·浙江·学业考试）在中，下列恒等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由以及诱导公式即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以， 由诱导公式可得，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 由诱导公式可得，故B错误； 对于C选项， 因为，所以，所以， 由诱导公式可得，故C错误； 对于D选项，因为，所以，所以， 由诱导公式可得，故D正确. 10．（多选）（25-26高三上·山东滨州·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为的终边经过点，则， 可得，，，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 11．（多选）（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数（）的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由，结合的取值范围求得的值，得到解析式.直接代入计算可判断A；代入后利用诱导公式结合正弦函数的单调性可判断B；通过举反例可判断C；利用“任意实数 ，都有不等式 ”可判断D. 【详解】由题意，得 因为，所以， 所以得, 故. 对于A，，，故A不正确； 对于B，， ，，故B正确； 对于C，令，则 显然此时不成立，故C不正确； 对于D，对于任意实数 ，都有不等式 ，等号仅在时成立. 令，则，等号仅在时成立 所以，故D正确. 12．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D， ，故D正确． 13．（25-26高三上·上海静安·期末）化简：______． 【答案】1 【详解】 14．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）设，其中a，b，，，若，则__________. 【答案】1 【详解】因为， 则，， 故， 又因为，所以. 15．（25-26高三上·江西九江·期末）已知，则_____ 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式化简求值即可. 【详解】由，代入原式得： 因为，且，将分子分母同除以， 得：，即 解得. 16．（25-26高三上·贵州遵义·期末）已知为第二象限角，若，则_______________． 【答案】 【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系可求的值，再代入所求式子即可. 【详解】因为为第二象限角，， 所以，则. 所以. 17．（2025高三下·甘肃·竞赛），则_________． 【答案】 【分析】利用诱导公式、和差化积及积化和差公式化简，再代入求解即可. 【详解】 . 18．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）求值：________． 【答案】 【分析】根据二倍角公式、诱导公式及两角和的余弦公式化简求解即可. 【详解】原式 . 19．（25-26高三上·上海徐汇·期末）已知，则 _________. 【答案】 【详解】由， 所以，解得. 20．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若，且，则___________． 【答案】 【分析】先利用二倍角余弦公式化简为辅助角形式，结合的范围求出的正、余弦值，再通过两角和的正弦公式计算. 【详解】由二倍角余弦公式，可得， 因此：， 已知，代入化简后得：， 由，得，该区间内余弦值为负， 因此：， . 21．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）以轴为始边作终边落在第二象限的角，且与单位圆交于点． (1)求、的值，并求的值； (2)化简求值：． 【分析】由单位圆交点的坐标确定正弦、余弦，结合第二象限确定余弦符号；再利用两角和正切公式及诱导公式化简计算． 【详解】（1）因为角的终边与单位圆交于点，所以． 由，得． 又角的终边落在第二象限，所以，即． 所以，． 因此． （2）由诱导公式得，，． 所以原式化为． 将，，代入，得分子为，分母为． 所以原式的值为． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $