限时训练卷20 解三角形综合训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形核心知识，通过基础计算、综合应用及实际情境题型，系统覆盖正弦余弦定理、面积公式及边角关系转化，强化数学建模与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择1-5、填空12-13|定理直接应用、三角形形状判断|从边角关系到定理推导，构建“概念-公式-应用”逻辑链| |综合应用|选择7-8、解答15-17|取值范围、面积与周长最值|结合函数性质与不等式，深化定理综合迁移| |实际情境|选择6、填空14、解答18|测量与航海问题|以现实场景为载体，培养数学建模与空间观念|

2027年高考一轮限时训练卷20　解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．（2026高三·全国·专题练习）在中，，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·四川成都·阶段检测）在△中，角，，的对应边分别为，，，若，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·辽宁·期末）研学小组测量景区古塔高度，水平地面，A，B，C三点在同一条直线上，塔底O与地面上三点A，B，C共面且不在直线上，米.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，在C处测得塔顶P的仰角为，则古塔的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，已知 ，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，已知，，则的角平分线的最大长度为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·湖南娄底·期末）在中，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则一定为直角三角形 D．若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角 10．（25-26高三·湖北荆门·期末）已知内角，，的对边分别为，，，外接圆半径为．若，且，则（     ） A． B．面积的最大值为 C． D．边上的高的最大值为 11．（25-26高三·甘肃天水·期末）在中，，，，则（     ） A． B．的面积为 C．外接圆的直径是 D．若是的中线，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·安徽·竞赛）在中，角所对的边分别为，若，且，则_________． 13．（25-26高三·辽宁沈阳·期末）在中，在线段上，，，，，则线段的长是__________． 14．（25-26高三·内蒙古巴彦淖尔·期末）长春净月潭国家森林公园是知名研学实践基地，景区标志性建筑碧松净月塔楼矗立在观潭山上，某高中数学研学小组开展实地测量活动，选取与塔楼底部位于同一水平面的地面三点，，，且，，三点在同一直线上，米．若在，，三处分别测得塔楼顶端的仰角为，，，则碧松净月塔楼的竖直高度________米．（结果保留一位小数，参考数据：取） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·辽宁沈阳·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求在上的单调性； (2)设是锐角三角形，，，是的内角，若，求的取值范围． 16．（2026高三·全国·专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，求周长的最大值． 17．（25-26高三·浙江台州·期末）在中，角所对的边分别为，角为钝角，且． (1)若，求角； (2)设的平分线交于点，若面积为，求的最大值． 18．（2026高三·全国·专题练习）海岛上有一座高出水面1的山，山顶上设有观察站，上午11时，测得一轮船在的北偏东的处，俯角为，11时10分，该船位于的北偏西的处，俯角为． (1)求该船的速度． (2)若船的速度与方向不变，则船何时能到达的正西方向，此时船离的水平距离是多少？ (3)若船的速度与方向不变，何时它到的距离最近？ 19．（25-26高三·山西长治·期中）在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角A的大小； (2)若D是线段的中点，且，，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮限时训练卷20　解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，利用三角恒等变换可求得，即可求得． 【详解】根据正弦定理，原等式可化为， 进一步化为， 则，故， 又，所以，故， 又因为，因此． 2．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】应用诱导公式结合两角和余弦得出余弦值异号即可判断形状. 【详解】， ， ， ， ， 与异号. 在三角形中，余弦为负的角是钝角，余弦为正的角是锐角， 与中一个为钝角、一个为锐角， 为钝角三角形. 3．（2026高三·全国·专题练习）在中，，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ，．设外接圆的半径为, 由正弦定理，，， ， 所以外接圆的面积. 4．（25-26高三·四川成都·阶段检测）在△中，角，，的对应边分别为，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】展开已知等式，利用余弦定理可求得，利用同角三角函数的平方关系求得，利用诱导公式与二倍角的正余弦公式可求得. 【详解】由，得， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以. 5．（2026高三·全国·专题练习）在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由锐角，，得,,即,得，， 由正弦定理得. 6．（25-26高三·辽宁·期末）研学小组测量景区古塔高度，水平地面，A，B，C三点在同一条直线上，塔底O与地面上三点A，B，C共面且不在直线上，米.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，在C处测得塔顶P的仰角为，则古塔的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 由， 可得，， 解得. 7．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，已知 ，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理，余弦定理以及基本不等式分析求解即可. 【详解】在中，根据正弦定理由得：， 即 ， 由余弦定理得：， 因为，所以，， 又，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积为， 所以当且仅当时，面积的最大值为. 8．（2026高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，已知，，则的角平分线的最大长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和二倍角的正弦公式得到，利用基本不等式和三角形边的关系求出的最大长度. 【详解】因为， 所以， 解得， 即， 即， 因为，所以，所以， 所以，又， 则 因为 ， 所以， 因为，，， 所以的最大值在取最小值的时候取到，且， 由，， 当且仅当时，等号成立， 此时 ，，， 故，故选项B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·湖南娄底·期末）在中，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则一定为直角三角形 D．若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角 【答案】ACD 【分析】选项A，由三角形边角关系和正弦定理，可判断；选项B，由三角函数确定角的关系，要结合角范围判断；选项C，用正弦定理边化角，再将代入展开，整理可得，进而判断；选项D，用余弦定理求出最大边所对的角，即可判断. 【详解】对于A，在中，若，则， 又，所以，故A正确； 对于B，当，，时，，， 满足，但不是等腰三角形，故B错误； 对于C，若，则， 又，所以， 所以，即， 因为，所以，即， 所以一定是直角三角形，故C正确； 对于D，设三角形最大的角为， 则，又，所以， 因此此三角形的最大角为钝角，故D正确. 10．（25-26高三·湖北荆门·期末）已知内角，，的对边分别为，，，外接圆半径为．若，且，则（     ） A． B．面积的最大值为 C． D．边上的高的最大值为 【答案】ABD 【分析】对A由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，再由同角三角函数关系式可得正弦值；对C直接由正弦定理可得；对B结合A选项分析，再通过基本不等式、三角形面积公式可得三角形面积的最大值；对D由三角形面积的最大值可得边上的高的最大值. 【详解】选项A：由，再由正弦定理得. 又因为，所以得，即， 由余弦定理， 又因为，所以，故A正确； 选项C：由正弦定理，得​​，并非，故C错误； 选项B：由A选项分析知，结合基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号，将代入，解得. 所以三角形面积​​，即面积的最大值为，故B正确； 选项D：设边上的高为，由三角形面积公式，由选项B分析知， 所以，得，当且仅当时取等号， 即边上的高的最大值为，故D正确. 11．（25-26高三·甘肃天水·期末）在中，，，，则（     ） A． B．的面积为 C．外接圆的直径是 D．若是的中线，则 【答案】AD 【分析】根据余弦二倍角公式得，进而得，再根据余弦定理求解，判断A；根据面积公式计算判断B；根据正弦定理计算判断C；根据，结合余弦定理得，再代入数据计算判断D. 【详解】已知在中，，，， 由二倍角公式：，代入得： ， 因为，所以. 对于A选项，由余弦定理： ，即，故A选项正确； 对于B选项，三角形面积公式：，故B选项错误； 对于C选项，由正弦定理（为外接圆直径）： ， 故C选项错误； 对于D选项，因为是的中线， 所以， 所以， 由余弦定理得： ，即， 代入数值得：，故D选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·安徽·竞赛）在中，角所对的边分别为，若，且，则_________． 【答案】 【分析】根据正弦定理及条件得，再由两角和的余弦公式得，再结合齐次计算可得. 【详解】由及正弦定理，得，即. 又因为，且， 所以，且， 所以. 因此. 13．（25-26高三·辽宁沈阳·期末）在中，在线段上，，，，，则线段的长是__________． 【答案】6 【详解】设 ， 因为，， 则， 底边，， 在中，由余弦定理得， 即， 化简得，解得 或 ，即 或 ， 当，，， 由余弦定理得，此时，矛盾，故 舍去， 得 ，所以. 14．（25-26高三·内蒙古巴彦淖尔·期末）长春净月潭国家森林公园是知名研学实践基地，景区标志性建筑碧松净月塔楼矗立在观潭山上，某高中数学研学小组开展实地测量活动，选取与塔楼底部位于同一水平面的地面三点，，，且，，三点在同一直线上，米．若在，，三处分别测得塔楼顶端的仰角为，，，则碧松净月塔楼的竖直高度________米．（结果保留一位小数，参考数据：取） 【答案】 【分析】设碧松净月塔楼的竖直高度米．结合仰角的正切值计算可得，在两个三角形中根据余弦定理的推论计算可得答案； 【详解】设碧松净月塔楼的竖直高度米．结合仰角的正切值计算可得： ，，， 因为，所以 在两个三角形中根据余弦定理的推论可得 ，即 化简得， 解得（米） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·辽宁沈阳·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求在上的单调性； (2)设是锐角三角形，，，是的内角，若，求的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减； (2) 【分析】（1）先根据诱导公式二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得的值，得到函数解析式，进而得到三角函数的单调性； （2）由题意可得，结合锐角三角形内角范围，可得的大小，进而表示，，再利用正弦定理变换结合三角形内角变换解得的取值范围. 【详解】（1） 因为函数的最小正周期为，所以，即， 因此函数 又，可得 当即时，单调递增，故单调递增； 当即时，单调递减，故单调递减； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，， 已知，可得，化简得 因为是锐角三角形内角，所以，故，得， 又，故， 因为三角形是锐角三角形，所以，解得 由正弦定理可得： 因为，所以，则，故 因此 16．（2026高三·全国·专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理得到，进而由余弦定理得到，求出； （2）由条件结合正弦定理可得外接圆半径，再结合正弦定理求，结合余弦定理和基本不等式求的最大值. 【详解】（1）由二倍角公式可得， 又． 所以， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 所以，又， 所以． （2）由正弦定理得，，其中R为外接圆半径．． 由正弦定理得，． 由余弦定理得：，， 由基本不等式可知： ，当且仅当时取等号， 所以当时，的周长取最大值，最大值为． 17．（25-26高三·浙江台州·期末）在中，角所对的边分别为，角为钝角，且． (1)若，求角； (2)设的平分线交于点，若面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）利用正弦定理，辅助角公式结合已知条件求解即可； （2）利用三角形面积公式以及基本不等式分析求解即可. 【详解】（1）由正弦定理有：， 从而， 在中，由， 所以， 即，也即， 因为，， 所以，又，所以， 由正弦定理以及得：， 所以，所以. （2）由（1）知，且得：， 因为为的平分线，所以， 又，即，解得：， 由，当且仅当即时等号成立， 所以的最大值为. 18．（2026高三·全国·专题练习）海岛上有一座高出水面1的山，山顶上设有观察站，上午11时，测得一轮船在的北偏东的处，俯角为，11时10分，该船位于的北偏西的处，俯角为． (1)求该船的速度． (2)若船的速度与方向不变，则船何时能到达的正西方向，此时船离的水平距离是多少？ (3)若船的速度与方向不变，何时它到的距离最近？ 【答案】(1)． (2)11时15分 ． (3)船在上午11时分时到的距离最近． 【分析】（1）根据题意建立数学模型，画出图象，设在海平面上的投影为，如图①，依题意可知在与中，，，， 由余弦定理可计算出，最后求出该船的速度； （2）以为原点，海平面为平面建立平面直角坐标系，船到达的正西方向即船行驶到轴上，计算出船运动轨迹与轴的交点，最后求船行驶到该点的时间即可； （3）如图②，作于，则点到的距离最近（点到直线的距离，垂线段最短），通过等面积法求出，再求出，即可求得船的运动时间. 【详解】（1）设在海平面上的投影为，如图①，依题意可知 在中，， 在中，， 由题意可得， ， ∴船的速度． （2）以为原点，海平面为平面建立平面直角坐标系，如图②，设船到达的正西位置为． 由（1）知的坐标为， 的坐标为， 又三点共线，， ，． ， 该船在上午11时15分到达正西方向，此时船离的水平距离为． （3）如图②，作于，则点到的距离最近． ，， ，． ，∴船在上午11时分时到的距离最近． 19．（25-26高三·山西长治·期中）在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角A的大小； (2)若D是线段的中点，且，，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求出角； （2）把中线长转化为中线向量，再利用向量运算结合余弦定理即可求出面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变形，利用锐角三角形确定角的范围，问题即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得:， 因为，所以. （2）由余弦定理，，，代入可得:， 因为为线段的中点，所以， 则，即， 由上面两式相减可得:，解得:， 所以； （3）由正弦定理得:，所以，， 即 ， 因为为锐角三角形，所以，解得:， 则，所以，即， 因为，所以，即的取值范围为. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $