4.4 对数函数专题训练【14大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以14大考点为框架，系统覆盖对数函数从概念到反函数的全链条知识，通过分层题型训练培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数函数全考点|60题（含选择/填空/解答）|覆盖概念判断、解析式求解、定义域/值域、单调性、图象分析、反函数等|遵循“概念生成→性质推导→应用拓展”逻辑，从基础（概念/定义域）到综合（单调性与不等式、最值与参数）再到延伸（反函数）递进|

4.4 对数函数 14大考点汇总 考点01 对数函数的概念判断与求值 考点02 求对数函数的解析式 考点03 求对数型复合函数的定义域 考点04 对数型函数图象过定点问题 考点05 根据对数型函数图象判断参数的范围 考点06 对数型复合函数的单调性 考点07 由对数(型)的单调性求参数 考点08 由对数函数的单调性解不等式 考点09 比较对数式的大小 考点10 求对数(型)函数的值域与最值 考点11 根据对数函数的值域或最值求参数 考点12 对数函数最值与不等式的综合问题 考点13 求反函数 考点14 反函数的性质应用 题型专练 考点01 对数函数的概念判断与求值 1．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 2．（25-26高一上·上海·期中）函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 3．（25-26高一上·全国·周测）（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 【答案】（1）且；（2）或或 【分析】（1）根据对数函数的定义列出关于的不等式组，即可求解； （2）根据对数函数的定义及定义域列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】（1）因为是对数函数，所以，解得且， 即实数的取值范围是且. （2）要使对数式有意义，则，解得或或， 故实数的取值范围是或或. 4．（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知函数，若，则______． 【答案】2 【分析】将代入解析式，建立关于的等式，利用对数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】且， ， ， 解得：， 故答案为：2． 考点02 求对数函数的解析式 5．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 【答案】 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 6．（2026高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 7．（25-26高一上·全国·周测）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)解方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）在等式中，用替代，可得出，联立这两个等式，即可得出函数的解析式； （2）求出的值，然后直接解方程即可. 【详解】（1）由题意可知，函数的定义域为， 在等式中， 用替代可得， 所以，解得， （2）因为，由可得， 整理得，可得或，解得或. 8．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）函数（，且）是对数函数，且过点，则________． 【答案】1 【分析】根据函数为对数函数及所过的点列方程求参数，进而求对应函数值. 【详解】由题设，可得，故， 所以. 故答案为：1 考点03 求对数型复合函数的定义域 9．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域是. 10．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）若函数的定义域是，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将题设条件等价转换成不等式恒成立进行求解． 【详解】依题意得，对任意的，都有恒成立， 所以，故得，即对任意的恒成立， 则，即，解得， 故实数的取值范围是． 11．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】直接由对数函数及幂函数的性质列不等式组，再解不等式组可得. 【详解】要使函数有意义，则， 由，得，解得或； 由，得，解得或. 因此不等式组的解集为或. 所以函数的定义域为或. 12．（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【答案】（1）的取值范围是，值域为； （2）的取值范围是，定义域为 【分析】（1）分析可知，可求出的取值范围，再利用配方法结合对数函数的单调性可求出原函数的值域； （2）分析可知，可求出的取值范围，由可求出原函数的定义域. 【详解】（1）函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是，函数的值域为； （2）函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， 由得或． 所以函数的定义域为． 考点04 对数型函数图象过定点问题 13．（25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________． 【答案】 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. 14．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 15．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）（多选）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 【答案】BCD 【分析】根据题意可得图象恒过定点，结合基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则， 所以，所以A选项错误； ，，当且仅当时等号成立，故B选项正确； ，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； ， 当且仅当时等号成立，故D选项正确. 16．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【分析】先根据指数函数的定义，确定的值，再依据对数函数的性质，令中真数为1求出定点横坐标，进而得出定点坐标. 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 考点05 根据对数型函数图象判断参数的范围 17．（25-26高一上·天津河西·期末）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的特征分析即可. 【详解】 过点作轴的垂线，交于， 可得：， 过点作轴的垂线，交于， 可得：，解得， 由图象知：， 所以：. 故选：D 18．（25-26高一·全国·课后作业）如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】根据对数函数的图象与性质判断． 【详解】∵当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴，故，，，对应的a值依次是，，，． 故选：B． 19．（25-26高一上·河南·期中）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案. 【详解】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 考点06 对数型复合函数的单调性 20．（25-26高一上·广西河池·阶段检测）已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用数形结合思想，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】∵存在，满足，由图像可知，，∴， ，∵，∴ ∴，即，∴∴的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用数形结合思想是解题的关键. 21．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性求解. 【详解】函数，设， 令，即，解得或， 得函数的定义域为， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在定义域内单调递减，结合复合函数的单调性可知， 函数的单调递增区间为. 22．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域，然后根据二次函数的单调性及复合函数单调性判断原则进行判断即可． 【详解】解：令，解得或，所以的定义域为， 因为的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在定义域上为减函数， 所以的单调增区间为． 23．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）已知函数，则下列不正确的为（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】因为，由，解得， 所以的定义域是，故A正确； ， 因的对称轴为直线，其图象在上递增，在上递减， 又在上单调递增，故在上递增，在上递减， 所以的最大值为，故B、D正确； ，即 所以解得，故C错误. 24．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间为_______________． 【答案】和 【分析】使用对数型复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得， 函数的定义域为， 令，当和时，是减函数， 当和时，是增函数， 因为是减函数， 所以的递增区间为和. 考点07 由对数(型)的单调性求参数 25．（2026·河北沧州·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 且对恒成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 26．（25-26高二下·天津南开·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用复合函数单调性，对数函数底数和真数取值范围解题即可. 【详解】令，则函数可看成由 与复合而成， 因为对数的底数且，所以是单调递减函数， 又因为函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到， 又在区间上，作为的真数要大于0恒成立， 所以，所以， 综上所述实数的取值范围为. 27．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，由的解集为，得为方程的两个根，进而判断；对于B，由对于恒成立，进而判断；对于C，令，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于D，令，由外函数为增函数，得在上单调递增，进而判断. 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 28．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】令，分析可知在内单调递增，且在内恒成立，结合二次函数性质运算求解. 【详解】令，原题意等价于函数在单调递增， 可知在内单调递增，且在内恒成立， 则，解得， 所以的取值范围为. 29．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过保证左段二次函数对称轴在1的右侧、右段对数函数底数大于1，以及分段点处左极限不大于右函数值，即可解得a的取值范围. 【详解】因为在上单调递增， 所以对于时，单调递增， 即，解得， 对于时，单调递增， 即， 且，即，解得， 综上，a的取值范围是 30．（25-26高三下·河南·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先取，计算和时函数的上确界，结合单调性定义排除，当时，根据分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处，左端的上确界小于等于右端函数值的最小值，得到不等式组，求出的范围. 【详解】当时，， 由，知在上不单调递增， 当时，因为在上单调递增，， 解得，故实数的取值范围为． 故选：D． 考点08 由对数函数的单调性解不等式 31．（25-26高二下·吉林长春·期末）设函数，则满足的x取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段分析函数的单调性，再综合分析函数的单调性，利用函数的单调性列式求的取值范围. 【详解】因为在上单调递减， 在上也是单调递减，且， 所以函数在上单调递减. 所以，解得. 即满足的x取值范围是. 32．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中函数解析式结合对数运算可得，即可得结果. （2）利用函数解析式将不等式化简可得在上恒成立.，再利用二次不等式恒成立即可求解. 【详解】（1）的定义域为， 因为，可得. 又因为且，所以. （2）由（1）可知：. 因为，， 则，，可得. 因为在上单调递增， 则，即在上恒成立. 又在上最小值为0，则，解得， 且，所以的取值范围为. 33．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若不等式恒成立，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】依题意构造函数，设 ，判断为奇函数，即得，进而判断 在上单调递增，令，将不等式转化为，利用单调性推得，设 ，则得，分段讨论函数的最小值即得参数范围. 【详解】， 令 设 ，记 则 ，即 （*）， 因为函数，，都是递增函数，故 在上单调递增， 令， 由（*）可得 ，则有， 又 在上单调递增，可得 即，也即， 设 ，原不等式恒成立等价于， 分三段讨论： 当时：为增函数，此时； 当时：，为常函数； 当时：，为减函数，此时. 故 在区间 上恒取到最小值 即 ，解得 ，即的取值范围是 . 34．（25-26高一下·河南焦作·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用奇函数的性质化简给定不等式，得到，再结合的单调性求解对数不等式，即可得到的取值范围. 【详解】因为是定义在上的奇函数，故，，且， 代入原不等式得，即，整理得， 因为对于任意，都有，所以在单调递增，又是奇函数， 所以在单调递增，令， ① 当时，，则， 因为在单调递增，所以，即，解得； ② 当时，，所以， 因为在单调递增，故， 即，解得； 综上，实数的取值范围为. 考点09 比较对数式的大小 35．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数在 上单调递减，判断；根据幂函数 在 上单调递增，得到 . 【详解】因为对数函数在 上单调递减，所以 ，所以； ， ， 因为幂函数 在 上单调递增，且 ，所以 ， 即 ； 所以 . 36．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即， ，则，即， ，则，得，即， 所以，，的大小关系为. 37．（25-26高一下·全国·专题训练）设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用换底公式计算化简，再结合对数范围计算求解. 【详解】利用换底公式将c转换为自然对数形式，. 比较a和b：两边同乘正数12得.，，因为，即，因此 比较b和c：两边同乘正数得.，因为，即，因此 综上大小关系为： 38．（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 考点10 求对数(型)函数的值域与最值 39．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 40．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数求最值的方法结合对数型复合函数的值域求解. 【详解】的定义域为， 当时， ，，所以 当时， ，,所以. 所以. . 41．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用换元法结合对数函数值域及二次函数分段得出函数值域. 【详解】因为， 当时，设，， 当时，单调递增，所以， 所以函数的值域为 42．（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【答案】 【分析】由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可． 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 考点11 根据对数函数的值域或最值求参数 43．（25-26高二下·福建福州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】先通过函数单调性，求出分段函数在上的值域，再通过对参数的范围讨论，通过二次函数的性质求出函数在上的值域，通过并集为全集求出参数的范围，从而求得结果. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即，所以， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，即函数的值域为， 因为，所以此时函数的值域为，即， 综上所述：. 44．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质，一次函数及二次函数的性质，结合分类讨论思想求解即可. 【详解】令， 函数的值域为，即能取到所有正数. 当时，，能取到所有正数，满足条件； 当时，是开口向上的二次函数，要让函数取到所有正数， 需，所以； 当时，是开口向下的二次函数，无法取到所有正数，不符合条件. 综上，. 故实数的取值范围是. 45．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 【答案】 【分析】根据对数基本运算，化简函数，利用换元将函数改为二次函数形式，讨论a范围，求解即可. 【详解】因为，， 故函数， 令，则， 根据函数最大值为0，最小值为，可以得到， 最小值在时取得，此时， 最大值在或时取得，此时或， 当时，，即 因为时取得最小值，故不符合题意，故， 当时，，此时，最大值在区间端点处取得， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 综上所述，. 46．（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数为奇函数，函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先利用奇函数求并算出值域，再换元化简求其值域，最后根据任意和存在的子集关系列不等式求范围. 【详解】已知为奇函数，由奇函数性质可得，则， 因为，所以，所以， 所以 在的值域. 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域. 又对任意的，总存在，使得 成立，即， 所以，解得. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 47．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知常数，函数，其中， (1)函数是否为奇函数，若是请证明；若不是，请说明理由. (2)当，若函数在区间上的最大值为2，求实数的值. 【答案】(1) 由得，所以的定义域是，该区间关于原点对称. ， 故函数是奇函数. (2) 【分析】（1）先确定定义域的对称性，再通过与的关系判断奇偶性； （2）化简函数后，分析内层函数的单调性，结合对数函数的单调性确定最值点，解方程求的值. 【详解】（1）略 （2）当时，. 令，. 在单调递减，在单调递增，故在单调递增. 因，单调递增，故在单调递增. ，解得，（）. 48．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知存在最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】分，，，，，六种情况分别讨论说明函数在对应区间上的函数值的变化情况求解即可. 【详解】当时，第一段函数在为增函数，函数值的范围为，无最小值，不满足题意； 当时，第一段函数为常函数；第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 所以，当时，函数的值域范围为，有最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 此时，，， 所以，当时，函数的值域范围为，有最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 此时，，即， ，即 所以，时，函数的值域范围为，不存在最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 所以函数的值域为，无最小值； 当时，第一段函数在为减函数， 函数值的范围为，且， 第二段函数与第三段函数在对应的区间上的函数值为非负数， 所以，函数的值域为，无最小值. 综上，函数有最小值，实数的取值范围是. 故答案为： 考点12 对数函数最值与不等式的综合问题 49．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)在区间和单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据奇函数的定义，结合对数的运算性质求解即可； （2）根据对数的单调性、单调性的定义进行求解即可； （3）根据奇函数的性质，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，即，则， 故，则，由于x不恒为常数，则，即， 当时，，不满足题意； 当时，由，得或， 所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以满足题意， 综上，． （2）在区间和单调递增，证明如下： 的定义域为， 当时，因为， 令，则，取， 则，即， 因为在其定义域上单调递增，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 因为是奇函数，所以在上也是单调递增， 因此在区间和单调递增； （3）因为为奇函数， 所以由，得， 因为在其定义域上单调递增， 所以在上恒成立，则恒成立， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以． 50．（25-26高一上·山东·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，转化为的一元二次函数，再利用复合函数的性质求值域. （2）令，然后参变分离求解参数范围即可. 【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，， 令，可得， 由题意得二次函数开口向上，在区间单调递减，在区间单调递增， 可知当时，，当时，； 因此可得当时，该函数的值域为. （2）当时，可得， 原不等式可化为对于恒成立， 即可得对于恒成立， 由对勾函数性质得函数在上单调递增， 所以，因此只需即可， 得到；即的取值范围是. 51．（25-26高一上·甘肃平凉·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)定义域为，增函数； (2)； (3). 【分析】（1）令解不等式即可求出定义域，根据复合函数的单调性即可判断函数的单调性； （2）求出函数在上的值域，求出函数在上的值域，根据题意可得出两个函数值域的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）求出函数在上的值域，可得出，，令，可得，利用基本不等式求出的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）令，即，解得， 所以，函数的定义域为， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以函数在其定义域上为增函数. （2）， 当时，令，， 当，取得最小值，当，取得最大值， 则当，， 由（1）知函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， ，当且仅当时，等号成立， 所以，，解得， 所以实数的取值范围是. 52．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）已知函数，，． (1)若，求定义域，并解关于x的方程； (2)设，函数在区间上的最大值为3，求t的取值范围； (3)当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求a的取值范围． 【答案】(1)定义域为，解为， (2) (3) 【分析】（1）将代入函数的解析式，求出函数的定义域，利用对数的运算法则可解出方程； （2）当时，，分、和三种情况讨论，去绝对值， 分析函数在区间上的单调性，结合该函数在区间上的最大值为，可求出实数的取值范围； （3）利用对数的运算性质可得出，可知该函数在区间上为减函数， 由题意得出对任意的恒成立，求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则，解得： 则得定义域为. 由，可得，可得， 解得，因此，关于的方程的解为； （2）当时，. 当时，对任意的恒成立，则， 此时，函数在区间上为增函数，，合乎题意； 当时，对任意的恒成立，则， 此时，函数在区间上为减函数，，解得，不合乎题意； 当时，令，得，此时， 所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数. ，，由于，所以，解得. 此时，. 综上所述，实数的取值范围是； （3）， 由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数， 所以，函数在区间上为减函数， 所以，， 由题意可得，可得， 所以，. ①当时，； ②当时，令，设， 可得. 下面利用定义证明函数在区间上的单调性， 任取、且，即， ， ，，，，即， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，函数取得最大值. 综上所述，函数在上的最大值为，. 因此，实数的取值范围是. 考点13 求反函数 53．（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反函数的定义结合指对互化即可获得． 【详解】由得，． 因此函数的反函数是. 54．（25-26高一下·全国·专题训练）已知函数与其反函数是同一个一次函数，试指出的所有取值可能． 【答案】或． 【分析】方法一是求解的反函数的解析式，与比较，利用恒等式对应系数相等，列出关于的方程；方法二是利用两个函数图象的对称性，找对称点，利用点的坐标满足解析式来列方程； 【详解】方法一：当时不符合题意； 当时，由，得，所以， 因为函数与其反函数是同一个一次函数， 所以，解得或. 方法二：由知点在图象上，则点定在的图象上；于是 ① 又过点，则点也在的图象上，于是 ② 由①得或，当时，代入②，此时②恒成立即； 当时，代入②，解得；综上， 的所有取值可能有或． 55．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)当时，，求函数的反函数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法求函数解析式； （2）由，可得，可得反函数. 【详解】（1）根据题意，， 设，则，则， 所以； （2）当时，单调递增，则， 且由， 因为，所以解得， 所以. 考点14 反函数的性质应用 56．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则_____. 【答案】4 【分析】令，用来表示即得反函数表达式，代入可得答案. 【详解】令，则,因为,所以, 由反函数的定义可知,所以. 故答案为：4. 57．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与函数（其中且）的图象关于（   ） A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称 【答案】C 【详解】∵函数与的图象关于直线对称， 而函数与的图象分别为函数与的图象向左平移1个单位可得， ∴函数的图象与函数的图象关于直线对称． 58．（25-26高二下·陕西渭南·期末）若函数的反函数为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用互为反函数的两个函数可以互相还原，先求出的反函数表达式，再和题干给出的原函数 划等号，整理变形得到 的关系式. 【详解】由知，， 即函数的反函数为． 因函数的反函数为， 故；则B正确． 59．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数奇偶性定义及反函数的性质得出是上单调递减的奇函数，再将问题转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】因为，所以是上的奇函数， 又因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，且的值域为， 所以也是在上单调递减的奇函数， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得或， 故原不等式的解集为． 60．（2026高一·全国·专题练习）已知函数与函数（且）互为反函数，记.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是____. 【答案】 【分析】先明确函数的解析式，分和，结合复合函数单调性进行讨论，进而求解实数的取值范围. 【详解】因为函数与函数（且）互为反函数， 所以（且）. 所以. 设，， 当时，在上单调递减，所以， 又在区间上是增函数， 所以在上单调递减， 所以. 又，所以. 结合，所以. 当时，在上单调递增，所以， 又在区间上是增函数， 所以在上单调递增， 所以， 又，所以， 因为，所以，则，与矛盾，故此种情况无解， 综上可知：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 对数函数 14大考点汇总 考点01 对数函数的概念判断与求值 考点02 求对数函数的解析式 考点03 求对数型复合函数的定义域 考点04 对数型函数图象过定点问题 考点05 根据对数型函数图象判断参数的范围 考点06 对数型复合函数的单调性 考点07 由对数(型)的单调性求参数 考点08 由对数函数的单调性解不等式 考点09 比较对数式的大小 考点10 求对数(型)函数的值域与最值 考点11 根据对数函数的值域或最值求参数 考点12 对数函数最值与不等式的综合问题 考点13 求反函数 考点14 反函数的性质应用 题型专练 考点01 对数函数的概念判断与求值 1．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·上海·期中）函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 3．（25-26高一上·全国·周测）（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 4．（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知函数，若，则______． 考点02 求对数函数的解析式 5．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 6．（2026高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 7．（25-26高一上·全国·周测）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)解方程． 8．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）函数（，且）是对数函数，且过点，则________． 考点03 求对数型复合函数的定义域 9．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）若函数的定义域是，则实数的取值范围是________． 11．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 12．（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 考点04 对数型函数图象过定点问题 13．（25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________． 14．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 15．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）（多选）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 16．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 考点05 根据对数型函数图象判断参数的范围 17．（25-26高一上·天津河西·期末）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一·全国·课后作业）如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 19．（25-26高一上·河南·期中）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 考点06 对数型复合函数的单调性 20．（25-26高一上·广西河池·阶段检测）已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______. 21．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）函数的单调递增区间是__________. 23．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）已知函数，则下列不正确的为（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 24．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间为_______________． 考点07 由对数(型)的单调性求参数 25．（2026·河北沧州·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 26．（25-26高二下·天津南开·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 27．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 28．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 29．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 30．（25-26高三下·河南·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点08 由对数函数的单调性解不等式 31．（25-26高二下·吉林长春·期末）设函数，则满足的x取值范围是（ ） A． B． C． D． 32．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围． 33．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若不等式恒成立，则的取值范围是_______． 34．（25-26高一下·河南焦作·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点09 比较对数式的大小 35．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高一下·全国·专题训练）设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 38．（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 考点10 求对数(型)函数的值域与最值 39．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 40．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 41．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）值域为（   ） A． B． C． D． 42．（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 考点11 根据对数函数的值域或最值求参数 43．（25-26高二下·福建福州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是________. 44．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 45．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 46．（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数为奇函数，函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______． 47．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知常数，函数，其中， (1)函数是否为奇函数，若是请证明；若不是，请说明理由. (2)当，若函数在区间上的最大值为2，求实数的值. 48．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知存在最小值，则实数的取值范围是______． 考点12 对数函数最值与不等式的综合问题 49．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 50．（25-26高一上·山东·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 51．（25-26高一上·甘肃平凉·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 52．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）已知函数，，． (1)若，求定义域，并解关于x的方程； (2)设，函数在区间上的最大值为3，求t的取值范围； (3)当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求a的取值范围． 考点13 求反函数 53．（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 54．（25-26高一下·全国·专题训练）已知函数与其反函数是同一个一次函数，试指出的所有取值可能． 55．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)当时，，求函数的反函数． 考点14 反函数的性质应用 56．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则_____. 57．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与函数（其中且）的图象关于（   ） A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称 58．（25-26高二下·陕西渭南·期末）若函数的反函数为，那么（    ） A． B． C． D． 59．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 60．（2026高一·全国·专题练习）已知函数与函数（且）互为反函数，记.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是____. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $