4.2 指数函数专题训练【12大考点】专项训练--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以12大考点为脉络，系统覆盖指数函数从概念判定到综合应用的全维度，通过分层题型构建从基础到进阶的逻辑训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数函数判定与参数|8题|定义辨析、待定系数求参数|从概念本质出发，建立指数函数三要素认知| |定义域与定点|8题|复合函数定义域、图象过定点|结合函数性质，深化对指数函数结构的理解| |图象与单调性|8题|图象判参数、复合函数单调性分析|通过数形结合，培养数学眼光观察函数特征| |大小比较与值域|8题|指数幂比较、值域最值求解|运用数学思维推理函数变化规律| |含参问题与综合|16题|由值域/最值求参数、不等式综合|提升数学语言表达复杂问题的能力|

4.2 指数函数 12大考点汇总 考点01 指数函数的判定与求值 考点02 根据函数是指数函数求参数 考点03 指数(型)复合函数的定义域 考点04 指数型函数图象过定点问题 考点05 根据指数型函数图象判断参数的范围 考点06 判断指数型复合函数的单调性 考点07 由指数(型)的单调性求参数 考点08 比较指数幂的大小 考点09 求指数(型)函数的值域与最值 考点10 含参指数函数的最值 考点11 根据指数函数的值域或最值求参数 考点12 指数函数最值与不等式的综合问题 题型专练 考点01 指数函数的判定与求值 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·专题训练）下列函数是指数函数的序号为______．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 3．（25-26高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 4．（25-26高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则______． 考点02 根据函数是指数函数求参数 5．（25-26高一上·湖北十堰·期中）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是__________ 6．（25-26高一上·吉林长春·期末）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数为指数函数，则（    ） A．或 B．且 C． D． 8．（25-26高一上·甘肃张掖·期中）（多选）函数是指数函数，则的值不可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点03 指数(型)复合函数的定义域 9．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 10．（25-26高三下·北京·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·上海青浦·期末）函数在区间上的最大值为，最小值为，则_________. 12．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）函数在区间上有意义，求的取值范围. 考点04 指数型函数图象过定点问题 13．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）若函数（，且）的图象经过定点M，则M的坐标为________． 15．（25-26高一上·四川成都·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则函数且的图象过定点__________. 16．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 考点05 根据指数型函数图象判断参数的范围 17．（25-26高二下·甘肃白银·期末）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 18．（25-26高一·全国·课后作业）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 19．（25-26高一上·全国·单元测试）若直线与函数的图像有两个公共点，则a的取值范围是______． 20．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）若实数满足，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 考点06 判断指数型复合函数的单调性 21．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）函数的单调递减区间为______． 22．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数，则不等式的解集______. 23．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）函数的单调性为（   ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 考点07 由指数(型)的单调性求参数 25．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）函数，满足对任意不相等的成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________． 27．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）已知命题，命题函数是减函数，若命题和命题都是真命题，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C． D．1 28．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 考点08 比较指数幂的大小 29．（25-26高一上·贵州遵义·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，则（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一下·湖南常德·期末）已知，，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 考点09 求指数(型)函数的值域与最值 33．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）函数的值域为______． 34．（25-26高一上·浙江宁波·期中）（多选）已知函数，则以下结论正确的是（   ） A．图象有对称轴 B．是偶函数 C．有最大值3 D．有最小值2 35．（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 36．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数． (1)若，求在区间上的最小值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围． 考点10 含参指数函数的最值 37．（2026高三·全国·专题练习）已知，求函数的最大值和最小值． 38．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)若函数，，讨论在上的最小值， 39．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 40．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数在区间上的最大值是7，则__________. 考点11 根据指数函数的值域或最值求参数 41．（2026·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为______． 43．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 44．（25-26高一上·江西吉安·期末）已知函数是定义域为的偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最小值为，求的值. 考点12 指数函数最值与不等式的综合问题 45．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知定义在上的函数() (1)若，求函数在上的最大值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 46．（25-26高一上·北京通州·期末）函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 47．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数为指数函数，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)设函数满足，若不等式恒成立，求实数的最大值. 48．（25-26高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 指数函数 12大考点汇总 考点01 指数函数的判定与求值 考点02 根据函数是指数函数求参数 考点03 指数(型)复合函数的定义域 考点04 指数型函数图象过定点问题 考点05 根据指数型函数图象判断参数的范围 考点06 判断指数型复合函数的单调性 考点07 由指数(型)的单调性求参数 考点08 比较指数幂的大小 考点09 求指数(型)函数的值域与最值 考点10 含参指数函数的最值 考点11 根据指数函数的值域或最值求参数 考点12 指数函数最值与不等式的综合问题 题型专练 考点01 指数函数的判定与求值 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义即可判断. 【详解】由指数函数的定义可知，带有常数项，A错误； 与的系数都不为1，B错误，D错误； ，符合题意，C正确. 故选：C 2．（25-26高一上·全国·专题训练）下列函数是指数函数的序号为______．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据指数函数的定义判断即可. 【详解】形如且的函数叫做指数函数， 因此②③⑤对. 故答案为：②③⑤. 3．（25-26高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由指数函数定义结合的图象经过点可得，，据此可得答案. 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴. 故选：A. 4．（25-26高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则______． 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义及图象经过点求解即可. 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：4. 考点02 根据函数是指数函数求参数 5．（25-26高一上·湖北十堰·期中）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是__________ 【答案】 【分析】根据指数函数的定义求解. 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数， 所以且，解得且. 故答案为： 6．（25-26高一上·吉林长春·期末）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数为指数函数，则（    ） A．或 B．且 C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可. 【详解】因为函数为指数函数， 则，且，解得， 故选：C 8．（25-26高一上·甘肃张掖·期中）（多选）函数是指数函数，则的值不可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】ACD 【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出的值. 【详解】由指数函数的定义知且，解得. 故选：ACD. 考点03 指数(型)复合函数的定义域 9．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义恒成立，即可求. 【详解】由题设，函数的定义域为R，且， 所以恒成立，则恒成立，故. 故选：B 10．（25-26高三下·北京·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 11．（25-26高一上·上海青浦·期末）函数在区间上的最大值为，最小值为，则_________. 【答案】2 【分析】变形给定函数，构造函数并探讨其奇偶性，再借助函数性质求解即得. 【详解】函数，令， 当时，，则函数是奇函数， 显然，，而， 所以. 故答案为：2 12．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）函数在区间上有意义，求的取值范围. 【答案】. 【分析】将问题转化为不等式在区间上恒成立，然后参变分离，利用单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间上有意义， 所以，不等式在区间上恒成立， ∵，∴，∴. 记， ∵与是上的减函数， ∴函数在上的单调递增. ∴时，恒成立. ∴，即的取值范围是. 考点04 指数型函数图象过定点问题 13．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数概念得，再根据指数函数性质即可得答案. 【详解】由为指数函数得，解得， 又且，故， 所以函数，令得，此时， 所以函数的图象过定点. 故选：A 14．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）若函数（，且）的图象经过定点M，则M的坐标为________． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质求解即可. 【详解】令，解得， 所以， 所以函数（，且）的图象恒过定点． 故答案为： 15．（25-26高一上·四川成都·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则函数且的图象过定点__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义以及偶函数的性质可得，结合指数函数的恒过点求解即可. 【详解】函数为幂函数，所以，解得：或， 当时，为奇函数，图象不关于轴对称，舍去； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 所以，则函数且， 令，得，， 所以函数且的图象过定点为; 故答案为： 16．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先求得图象的定点，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，所以图象的定点， 又由函数的图象过函数图象的定点， 可得，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 考点05 根据指数型函数图象判断参数的范围 17．（25-26高二下·甘肃白银·期末）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项. 【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则， 且当时，，可得. 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对. 故选：ABD. 18．（25-26高一·全国·课后作业）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系. 【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而. 故选：C． 19．（25-26高一上·全国·单元测试）若直线与函数的图像有两个公共点，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】作的图像，数形结合即可求解. 【详解】，作出其图像，数形结合可知，a∈. 故答案为：. 20．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）若实数满足，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用数形结合的思想一一判断各个选项是否能成立即可. 【详解】设， 则都为单调递增函数， 作出两函数的图象，两个函数图象有2个交点，分别为， 对于A，作一直线分别与图象相交， 交点横坐标为，且， 此时，即能成立，所以A不满足题意； 对于B， 作一直线分别与图象相交， 交点横坐标为，且， 此时，即能成立，所以B不满足题意； 对于C，， 因为，所以， 所以此时不可能成立，故C满足题意； 对于D，或，成立，所以D不满足题意. 故选:C. 考点06 判断指数型复合函数的单调性 21．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）函数的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】利用复合函数性质及二次函数性质计算即可得. 【详解】因为复合函数是由与复合而得， 而在上单调递减， 所以的单调减区间即为的单调增区间， 因为开口向下，对称轴为， 所以的单调增区间, 故函数的单调递减区间为. 故答案为：． 22．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数，则不等式的解集______. 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数并确定奇偶性，再由单调性求解不等式. 【详解】函数是定义域在上的减函数， 令函数，， 函数是R上的奇函数，且在R上单调递减， 不等式 ，因此，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 23．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析已知函数的奇偶性及单调性，再利用性质求解题设不等式即可. 【详解】函数的定义域为R， 由，可知函数是奇函数， 而函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 故不等式， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 24．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）函数的单调性为（   ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】B 【分析】根据题意，求得函数的定义域为，结合二次函数的单调性与复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由函数，则满足， 即，解得，即函数的定义域为， 又由函数的图象开口向下，且对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为在定义域上为单调递减函数， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得在上单调递减，在上单调递增. 故选：B. 考点07 由指数(型)的单调性求参数 25．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）函数，满足对任意不相等的成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可判断函数在上严格单调递增，然后根据一次函数和指数函数的单调性列出不等式，求出解集即可. 【详解】因为函数对任意不相等的，都有， 所以函数在上严格单调递增. 因为，则有. 解得. 故选：B. 26．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断确定的递增区间，结合已知求参数范围. 【详解】令，在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递增，所以在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，即， 故实数的取值范围是. 故答案为： 27．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）已知命题，命题函数是减函数，若命题和命题都是真命题，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】BC 【分析】先根据一元二次不等式恒成立及指数函数的单调性求解命题和命题，再结合题意求解即可. 【详解】若命题为真命题， 当时，显然恒成立， 当时，解得， 综上，. 若命题为真命题，只需，即，解得， 因为命题和命题都是真命题，所以. 故选：BC. 28．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，，结合二次函数及指数函数的性质求解即可； （2）令，结合指数型复合函数的单调性分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 令，， 由二次函数的图象和性质，当时，取得最小值， 当时，，则， 所以，即在上的值域为. （2）令，其图象的对称轴为直线，开口向上， 当时，为减函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递减，即， 解得，则； 当时，为增函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递增，即， 解得，则. 综上，实数的取值范围是. 考点08 比较指数幂的大小 29．（25-26高一上·贵州遵义·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性判断大小. 【详解】因为指数函数为增函数，且，所以，即； 因为幂函数为增函数，且，所以，即. 所以. 故选：B. 30．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 函数是减函数，所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 31．（25-26高一下·湖南常德·期末）已知，，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数及指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】，，. 令，因为，所以在上单调递增， 所以，即. 令，底数，所以在上单调递增. 因为，所以，即. 综上，. 故选：A. 32．（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用指数函数的单调性可判断选项A和B，利用幂函数的单调性可判断选项C和D． 【详解】选项A：因为在R上是减函数，且，所以，故A正确； 选项B： 因为在R上是增函数，且，所以，故B正确； 选项C：因为在上是减函数，且，所以，故C错误； 选项D：因为在R上是增函数，且，所以，故D正确． 故选：ABD 考点09 求指数(型)函数的值域与最值 33．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）函数的值域为______． 【答案】 【分析】根据指数复合函数值域计算求解. 【详解】因为， ，当时取最小值0． 所以值域为. 故答案为：. 34．（25-26高一上·浙江宁波·期中）（多选）已知函数，则以下结论正确的是（   ） A．图象有对称轴 B．是偶函数 C．有最大值3 D．有最小值2 【答案】AC 【分析】首先求出函数的定义域，由判断A，由判断B，再求出函数的值域，即可判断C、D. 【详解】函数的定义域为， 对于A ：因为，， 所以，则关于对称，故A正确； 对于B：因为，所以不是偶函数，故B错误； 对于C、D：因为，所以，所以，即， 所以有最大值，无最小值，当且仅当时取得最大值，故C正确，D错误. 故选：AC 35．（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解； （2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解； （3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值. 【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； （2）当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； （3）由题，， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：. 36．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数． (1)若，求在区间上的最小值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用换元，求得，将函数化成二次函数的最小值求解； （2）由题意得，根据函数的单调性和奇偶性得，从而将问题转化成对任意的恒成立，通过换元后，利用函数的单调性求出的最小值即可. 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以，且， 故当时，取最小值，所以在区间上的最小值为． （2）若对任意的，总存在，使得， 可得：． 因为偶函数，且在上为增函数，故在为减函数， 因，则，于是对任意的，， 则对任意的恒成立， 从而，，设，则，且， 令，． 因为在区间上为增函数，所以 所以实数m的取值范围是． 考点10 含参指数函数的最值 37．（2026高三·全国·专题练习）已知，求函数的最大值和最小值． 【答案】最小值为1，最大值为2 【分析】解二次不等式可得，结合指数函数单调性可得，换元令，结合二次函数性质求最值即可. 【详解】因为，即， 可得，解得， 令，可得， 当，即时，取到最小值1； 当，即时，取到最大值2. 38．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)若函数，，讨论在上的最小值， 【答案】(1)62 (2)当时，；当时，. 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，结合完全平方公式进行求解即可； （2）根据所给函数解析式的形式进行换元，利用基本不等式，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为，即有， 则； （2）函数， 令，因为， 所以，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号， 则， ①当时，即，，即， ②当时，即，，即. 综上所述：当时，；当时，. 39．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入，结合指数幂的运算直接求解即得. （2）令，则，将问题转化为求解最小值问题，根据和两种情况分类讨论求解即可. （3）利用换元法将恒成立问题转化为恒成立，令，则，然后利用函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】（1）因为函数且，所以，即，解得； （2）令，因为，所以，则转化为， 此抛物线开口向上，且对称轴， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调的递减，在上单调递增， 则. 综上，； （3）由，得， 令，则， ，令， 则由得，当且仅当时等号成立， 所以， 由题意知恒成立，令，则， 显然在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 40．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数在区间上的最大值是7，则__________. 【答案】或 【分析】设，把函数化为关于的一元二次函数，分离讨论的范围，根据函数最大值建立方程，解出即可. 【详解】设，又， 若，则， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 若时，， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 故答案为：或. 考点11 根据指数函数的值域或最值求参数 41．（2026·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 42．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为______． 【答案】 【分析】参变分离得到关于的不等式在上有解，利用对勾函数的性质求出，即可求出的取值范围. 【详解】因为关于的不等式在上有解， 所以关于的不等式在上有解， 所以，， 因为，所以，令，则， ， 令，， 因为对勾函数在上单调递减，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以，则，即实数的最小值为. 故答案为： 43．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】按分类，借助单调性求出最大值列式求解. 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. 44．（25-26高一上·江西吉安·期末）已知函数是定义域为的偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用得，则得到值，最后代入计算即可； （2）变形，再利用整体换元法，并结合二次函数性质即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）因为是定义域为的偶函数， 则，即， 所以，即， . （2）， ， 令，因为，则根据对勾函数和指数函数单调性可知，即， ， 若时，当时，，解得； 当时，当时，，解得，不符合题意，舍去； 综上，可知． 考点12 指数函数最值与不等式的综合问题 45．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知定义在上的函数() (1)若，求函数在上的最大值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）换元，令，可得，结合二次函数求最值； （2）由，换元令，整理得，结合函数单调性分析求解. 【详解】（1）若，则， 因为，令， 可得的图象开口向上，对称轴为， 可知：当时，取得最大值， 所以函数在上的最大值为8. （2）因为， 即， 整理得， 令，当且仅当，即时，等号成立， 则，， 则，整理得， 由题意可知：方程在内有解， 因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 46．（25-26高一上·北京通州·期末）函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数计算，利用换元法，结合基本不等式进行最小值的求解即可. （2）由于函数图像恒在轴上方，所以函数，进行参数分离，得到恒成立，结合换元法进行讨论即可. 【详解】（1）因为函数为偶函数. 所以恒成立，即恒成立. 即恒成立，解得， 所以，令， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. （2）当时，函数的图象恒在轴上方， 故当时恒成立. 即恒成立. 令，令，. 因为，对称轴为， 故当即时，取最大值4，故. 47．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数为指数函数，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)设函数满足，若不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）根据函数为指数函数得到，根据为奇函数得到，得到，得到的解析式； （2）求出，换元后得到，可得在时恒成立，由基本不等式求出最小值，得到. 【详解】（1）因为为指数函数， 所以，解得（舍去）或， 所以， 所以， 因为为奇函数，所以，即， 得到，解得，可得， 且，为奇函数， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 不等式恒成立，即恒成立， 令，则， 由，可得在时恒成立， 因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数的最大值为8. 48．（25-26高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为170，最小值为 (2) 【分析】（1）换元后得到，，求出最值； （2）转化为，只需，根据对勾函数的单调性得到函数最值，得到，求出答案. 【详解】（1）令， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 又，， 故的最大值为170，最小值为； （2），即， 令，故在上有解， ，只需， 其中在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 故，解得， 故实数的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $