3.1.2 函数的表示法 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数表示法核心知识点，系统梳理函数的解析法、列表法、图象法及其优缺点，求解析式的配凑法、换元法、待定系数法、方程组法，间接求值，函数图象应用，综合建模及分段函数等内容，构建从基础到应用的完整学习支架。 该资料通过网约车计费、文创销售利润等实例培养数学眼光，以方法归纳发展数学思维，借图象分析与建模体现数学语言。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固知识，弥补盲点，兼具教学实用性与学习指导性。

第三章函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法 [学习要点] 1. 掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），理解各自的优缺点与适用场景，能根据实际需求选择合适的表示方法； 2. 熟练掌握求函数解析式的四种常用方法：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法，能准确标注函数的定义域； 3. 能利用函数解析式进行间接求值，掌握已知复合函数表达式求特定函数值、已知函数值反求自变量的方法； 4. 理解函数图象的几何意义，能绘制简单函数与分段函数的图象，能利用图象分析函数性质、求解不等式； 5. 能结合实际场景建立函数模型，综合运用函数表示方法解决计费、利润等实际问题； 6. 掌握分段函数的求值方法，能准确处理分段函数的复合求值问题； 7. 掌握分段函数图象的绘制方法，能利用分段函数图象解决值域、不等式、实际优化等问题。 一、函数的三种表示法 核心知识点 函数的表示方法共有三种，分别为解析法、列表法、图象法，三者各有优劣，实际应用中常结合使用。 表示法 核心定义 优点 缺点 解析法 用数学解析式表示两个变量之间的对应关系 精确全面，可通过代数运算得到任意自变量的函数值，便于研究函数性质 不够直观，部分复杂函数无法写出解析式 列表法 通过表格的形式列出自变量与对应函数值 无需计算即可直接读取表格内的函数值，清晰直观 只能表示有限个自变量的对应关系，无法反映函数整体变化规律 图象法 用平面直角坐标系中的图象呈现对应关系 形象直观，能清晰展现函数的变化趋势、最值、对称性等性质 通过图象读取的函数值存在误差，精度有限 注意：函数的三种表示法本质上是对同一对应关系的不同呈现形式，可以相互转化。 例1.某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). 例2.（多选）下列关于函数三种表示法的说法正确的有（ ） A. 所有函数都可以用解析法精确表示 B. 气象站记录一天内的气温变化，最适合用图象法表示 C. 餐厅的菜单价目表对应函数的列表法表示 D. 图象法表示的函数都无法用解析式表达 二、求函数的解析式 核心知识点 求函数解析式有四种核心方法，适用于不同的已知条件： 1. 配凑法：对的表达式进行代数变形，将其配凑成以为整体的形式，直接替换得到，适合表达式易变形的场景。 2. 换元法：令，反解出x关于t的表达式，代入原式得到，再将t替换为x。适用范围广，注意换元后t的取值范围即为新函数的定义域。 3. 待定系数法：已知函数的类型（一次函数、二次函数等），先设出函数的一般形式，再根据已知条件列方程求解系数。 4. 方程组法（消元法）：当关系式中同时出现与、与等成对形式时，通过替换变量构造另一个方程，联立消元求解。 注意：求出解析式后必须标注定义域，换元法得到的函数定义域由换元的范围决定。 例3.已知，求的解析式。 例4.已知是一次函数，且满足，求的解析式。 三、由函数解析式间接求值 核心知识点 间接求值分为两类常见题型： · 已知复合函数表达式，求特定函数值 · 简便方法：直接令内层函数等于目标值，解出x后代入原式计算，无需完整求出； · 通用方法：先求出的解析式，再代入目标值计算。 · 已知函数值反求自变量 令等于给定值，解方程得到x的解；分段函数需分区间讨论，最后检验解是否在对应定义域内。 例5.已知，求的值。 例6.已知函数，若，求实数a的值。 四、函数图象及应用 核心知识点 1. 函数图象的定义：以自变量x为横坐标，对应函数值y为纵坐标，所有满足的点构成的集合，就是函数的图象。 2. 函数图象的判定依据：垂直于轴的直线与函数图象至多有一个交点，这是由函数的“唯一性”特征决定的。 3. 图象的常见应用 · 直观分析函数的变化趋势、最值、值域； · 求解不等式：寻找图象在图象上方对应的x的范围； · 判断方程解的个数：转化为两个函数图象的交点个数。 例7. （2025-2026·上海高一期末）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（ ） A. B. C. D. 五、函数表示的综合应用 1. 实际问题建模步骤 a. 审题：理清问题中的变量与常量，明确数量关系； b. 设元：合理选择自变量与因变量； c. 列式：根据等量关系建立函数解析式； d. 定域：结合实际意义确定函数的定义域； e. 表示：根据需求选择合适的表示方法。 2. 常见场景：分段计费、销售利润、几何面积等问题，多以分段函数为模型。 例8. 某网约车平台收费规则如下：3 公里以内（含 3 公里）收取起步价 10 元；超过 3 公里但不超过 10 公里的部分，每公里收费 2.2 元；超过 10 公里的部分，每公里加收 50% 的返程费。设行驶里程为x公里（），收取费用为y元，写出y关于x的函数解析式。 例9. 某商店销售一款文创产品，每件成本为10元，售价为元/件（），每日销量件与售价满足关系。 (1) 写出每日利润关于售价的函数解析式； (2) 当售价为20元时，每日利润为多少？ 六、分段函数求值 核心知识点 1. 分段函数的定义：函数在定义域的不同区间上，有不同的对应解析式。分段函数本质上是一个函数，而非多个函数。 2. 分段函数的定义域与值域：定义域是各段自变量取值范围的并集；值域是各段函数值范围的并集。 3. 分段函数求值规则 · 单重求值：先判断自变量所属的区间，再代入对应区间的解析式计算； · 复合求值：遵循由内到外的原则，逐层计算，每一层都先判断自变量所在区间。 例10.已知函数 求，，的值。 七、分段函数的图象及应用 1. 分段函数图象的绘制步骤 a. 忽略定义域限制，分别画出每一段解析式对应的完整函数图象； b. 根据每一段的定义域，截取对应的图象部分； c. 标注端点虚实：包含端点画实心点，不包含画空心点，保证不重不漏。 2. 图象的核心应用 a. 直观求解分段函数的值域、最值； b. 求解分段不等式：结合图象快速确定满足条件的范围； c. 分析方程解的个数：转化为水平直线与分段图象的交点个数。 例11.已知函数f(x)=-x2+2，g(x)=x，令φ(x)=min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的最小者). (1)分别用图象和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域和值域； (3)解关于x的不等式φ(x)≥-1. 课堂小结 1. 函数三种表示法各有侧重：解析法便于代数运算与性质研究，列表法适合离散数据的直观读取，图象法擅长展现变化趋势，实际应用中常结合使用。 2. 求解析式的核心方法：已知函数类型用待定系数法，复合函数用换元/配凑法，变量成对出现用方程组法，求出解析式后务必标注定义域。 3. 分段函数是一个完整的函数，求值先定区间、再代解析式；画图注意端点虚实，是解决分段计费、利润优化等实际问题的重要模型。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法 [学习要点] 1. 掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），理解各自的优缺点与适用场景，能根据实际需求选择合适的表示方法； 2. 熟练掌握求函数解析式的四种常用方法：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法，能准确标注函数的定义域； 3. 能利用函数解析式进行间接求值，掌握已知复合函数表达式求特定函数值、已知函数值反求自变量的方法； 4. 理解函数图象的几何意义，能绘制简单函数与分段函数的图象，能利用图象分析函数性质、求解不等式； 5. 能结合实际场景建立函数模型，综合运用函数表示方法解决计费、利润等实际问题； 6. 掌握分段函数的求值方法，能准确处理分段函数的复合求值问题； 7. 掌握分段函数图象的绘制方法，能利用分段函数图象解决值域、不等式、实际优化等问题。 一、函数的三种表示法 核心知识点 函数的表示方法共有三种，分别为解析法、列表法、图象法，三者各有优劣，实际应用中常结合使用。 表示法 核心定义 优点 缺点 解析法 用数学解析式表示两个变量之间的对应关系 精确全面，可通过代数运算得到任意自变量的函数值，便于研究函数性质 不够直观，部分复杂函数无法写出解析式 列表法 通过表格的形式列出自变量与对应函数值 无需计算即可直接读取表格内的函数值，清晰直观 只能表示有限个自变量的对应关系，无法反映函数整体变化规律 图象法 用平面直角坐标系中的图象呈现对应关系 形象直观，能清晰展现函数的变化趋势、最值、对称性等性质 通过图象读取的函数值存在误差，精度有限 注意：函数的三种表示法本质上是对同一对应关系的不同呈现形式，可以相互转化。 例1.某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). 【答案】这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.用解析法可将函数y=f(x)表示为 y=5x，x∈{1，2，3，4，5}. 用列表法可将函数y=f(x)表示为 笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 用图象法可将函数y=f(x)表示为如图所示. 例2.（多选）下列关于函数三种表示法的说法正确的有（ ） A. 所有函数都可以用解析法精确表示 B. 气象站记录一天内的气温变化，最适合用图象法表示 C. 餐厅的菜单价目表对应函数的列表法表示 D. 图象法表示的函数都无法用解析式表达 【答案】BC 【详解】A选项，部分函数（如气温随时间的变化）无法写出精确解析式，错误； B选项，气温随时间的连续变化趋势用图象法呈现最直观，正确； C选项，价目表用表格呈现菜品与价格的对应关系，属于列表法，正确； D选项，多数初等函数既可以用解析式表示，也可以用图象表示，错误。 二、求函数的解析式 核心知识点 求函数解析式有四种核心方法，适用于不同的已知条件： 1. 配凑法：对的表达式进行代数变形，将其配凑成以为整体的形式，直接替换得到，适合表达式易变形的场景。 2. 换元法：令，反解出x关于t的表达式，代入原式得到，再将t替换为x。适用范围广，注意换元后t的取值范围即为新函数的定义域。 3. 待定系数法：已知函数的类型（一次函数、二次函数等），先设出函数的一般形式，再根据已知条件列方程求解系数。 4. 方程组法（消元法）：当关系式中同时出现与、与等成对形式时，通过替换变量构造另一个方程，联立消元求解。 注意：求出解析式后必须标注定义域，换元法得到的函数定义域由换元的范围决定。 例3.已知，求的解析式。 【答案】方法一（配凑法）： 由得， 因此，。 方法二（换元法）： 令，则，且，。 代入原式得，， 因此，。 例4.已知是一次函数，且满足，求的解析式。 【答案】设， 则， 。 代入条件整理得： 由等式恒成立，得，解得，， 因此。 三、由函数解析式间接求值 核心知识点 间接求值分为两类常见题型： · 已知复合函数表达式，求特定函数值 · 简便方法：直接令内层函数等于目标值，解出x后代入原式计算，无需完整求出； · 通用方法：先求出的解析式，再代入目标值计算。 · 已知函数值反求自变量 令等于给定值，解方程得到x的解；分段函数需分区间讨论，最后检验解是否在对应定义域内。 例5.已知，求的值。 【答案】方法一（直接代入法）： 令，解得， 代入原式得。方法二（求解析式法）： 令，则， 代入得， 因此。 例6.已知函数，若，求实数a的值。 【答案】分区间讨论： · 当时，令，解得，与矛盾，舍去； · 当时，令，解得或， 其中不符合，舍去，故。 综上，。 四、函数图象及应用 核心知识点 1. 函数图象的定义：以自变量x为横坐标，对应函数值y为纵坐标，所有满足的点构成的集合，就是函数的图象。 2. 函数图象的判定依据：垂直于轴的直线与函数图象至多有一个交点，这是由函数的“唯一性”特征决定的。 3. 图象的常见应用 · 直观分析函数的变化趋势、最值、值域； · 求解不等式：寻找图象在图象上方对应的x的范围； · 判断方程解的个数：转化为两个函数图象的交点个数。 例7. （2025-2026·上海高一期末）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】分析B项：图象中对于每一个值，都有唯一的值与之对应，符合函数定义. 分析C项：图象中每一个值，都有唯一确定的值与之对应，满足函数定义. 分析D项：图象里每一个值，均有唯一的值与之对应，符合函数要求. 分析A项：当时，存在一个值对应两个不同的值， 不满足函数定义中“唯一确定”这一条件. 所以不是以为自变量的函数图象是A选项. 五、函数表示的综合应用 1. 实际问题建模步骤 a. 审题：理清问题中的变量与常量，明确数量关系； b. 设元：合理选择自变量与因变量； c. 列式：根据等量关系建立函数解析式； d. 定域：结合实际意义确定函数的定义域； e. 表示：根据需求选择合适的表示方法。 2. 常见场景：分段计费、销售利润、几何面积等问题，多以分段函数为模型。 例8. 某网约车平台收费规则如下：3 公里以内（含 3 公里）收取起步价 10 元；超过 3 公里但不超过 10 公里的部分，每公里收费 2.2 元；超过 10 公里的部分，每公里加收 50% 的返程费。设行驶里程为x公里（），收取费用为y元，写出y关于x的函数解析式。 【答案】当时，； · 当时，； · 当时，超过10公里部分单价为元/公里， 。 综上，函数解析式为： 例9. 某商店销售一款文创产品，每件成本为10元，售价为元/件（），每日销量件与售价满足关系。 (1) 写出每日利润关于售价的函数解析式； (2) 当售价为20元时，每日利润为多少？ 【答案】(1) 每件利润为元，每日销量为件， 因此，定义域为。 (2) 当时，元。 即售价为20元时，每日利润为400元。 六、分段函数求值 核心知识点 1. 分段函数的定义：函数在定义域的不同区间上，有不同的对应解析式。分段函数本质上是一个函数，而非多个函数。 2. 分段函数的定义域与值域：定义域是各段自变量取值范围的并集；值域是各段函数值范围的并集。 3. 分段函数求值规则 · 单重求值：先判断自变量所属的区间，再代入对应区间的解析式计算； · 复合求值：遵循由内到外的原则，逐层计算，每一层都先判断自变量所在区间。 例10.已知函数 求，，的值。 【答案】 · ，故； · 属于区间，， 属于区间，故； · ，， 2属于区间，故。 七、分段函数的图象及应用 1. 分段函数图象的绘制步骤 a. 忽略定义域限制，分别画出每一段解析式对应的完整函数图象； b. 根据每一段的定义域，截取对应的图象部分； c. 标注端点虚实：包含端点画实心点，不包含画空心点，保证不重不漏。 2. 图象的核心应用 a. 直观求解分段函数的值域、最值； b. 求解分段不等式：结合图象快速确定满足条件的范围； c. 分析方程解的个数：转化为水平直线与分段图象的交点个数。 例11.已知函数f(x)=-x2+2，g(x)=x，令φ(x)=min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的最小者). (1)分别用图象和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域和值域； (3)解关于x的不等式φ(x)≥-1. 【答案】(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图1. 令-x2+2=x，得x=-2或x=1. 由图1中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图2. 结合图2，得出φ(x)的解析式为 φ(x)= 即φ(x)= (2)由图2知，φ(x)的定义域为R，φ(1)=1， 所以φ(x)的值域为(-∞，1]. (3)当φ(x)=-1时，当x≤-2或x≥1时， -x2+2=-1，解得x= 当-2<x<1时，x=-1， 由图象知，φ(x)≥-1的解集为[-1]. 课堂小结 1. 函数三种表示法各有侧重：解析法便于代数运算与性质研究，列表法适合离散数据的直观读取，图象法擅长展现变化趋势，实际应用中常结合使用。 2. 求解析式的核心方法：已知函数类型用待定系数法，复合函数用换元/配凑法，变量成对出现用方程组法，求出解析式后务必标注定义域。 3. 分段函数是一个完整的函数，求值先定区间、再代解析式；画图注意端点虚实，是解决分段计费、利润优化等实际问题的重要模型。 学科网（北京）股份有限公司 $