专题04 有理数章节15种易错题型（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

### 基本信息 聚焦有理数章节15种易错题型，以“题型突破·举一反三”系统整合概念辨析、工具应用及综合拓展，提炼分类讨论、数形结合等核心方法，构建从基础到进阶的知识逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 ### 专项设计 |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题型/3典例|反向表述判断、有理数分类标准、概念正误辨析|从相反意义的量到有理数分类，再到概念体系构建| |数轴应用|4题型/4典例|三要素规范、距离双向性、点位置与式子正负判断|数轴工具→距离计算→数与式的几何意义关联| |绝对值性质|6题型/6典例|非负性应用、化简步骤、方程求解分类讨论、几何意义|绝对值定义→性质应用→综合化简与方程求解| |综合应用|2题型/2典例|代数式综合运算、大小比较法则|有理数概念与性质的综合迁移，强化应用意识|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04有理数章节15种易错题型 (题型突破举一反三) 题型01反向表述的相反意义的量 典例精析 【典例1】B 举一反王 【变式1】D 【变式2】D 【变式3】 【答案】产值减少10万元 题型02有理数的分类 三典例精析 【典例2】 【答案】 ④ ①③1③① 三 举一反三 【变式1】 【答案】8 【变式2】 【答案】5， 4,2010,62:-3-3 2,-35-195,0,2010:5,-3,0,2010,-35:-114, 2,6.2:-3 :5,4,0,2010,6.2:-3,0,-35’-1 【变式3】 【答案】 解：整数集合： ③④⑥⑨： 分数集合：①②⑤⑦⑧四： 1/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 非负数集合：①②③④⑦⑨： 负有理数集合：⑤⑥⑧⑩ 题型03理解有理数的相送概念 典例精析 【典例3】C 举一反目 【变式1】A 【变式2】A 【变式3】C 题型04数轴的三要素及画法 典例精析 【典例4】C 举一反三 【变式1】C 【变式2】C 题型05数轴上两点之间的距离 典例精析 【典例5】 【答案】2或8/8或2 举一反三 【变式1】 【答案】-5或33或-5 【变式2】 【答案】6或14 【变式3】 【答案】10或4 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式4】 【答案】-3 题型06利用数轴上的点表示有理数 典例精析 【典例6】 【答案】 1.5 举一反 【变式1】 【答案】-1 【变式2】 【答案】1或5 【变式3】 【答案】1或-5 题型07根据点在数铀的位置判断式子正负 典例精析 【典例7】C E 举一反三 【变式1】B 【变式2】 【答案】①③④ 【变式3】 【答案】①②④ 题型08利用绝对值的非负性求解 三典例精析 【典例8】 【答案】1 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式1】 【答案】9 【变式2】 【答案】1 【变式3) 【答案】x=2,y=3,z=4 题型09由绝对值等式判断字母取值范围 典例精析 【典例9】B 三举一反目 【变式1】 【答案】 a≥0 a≤0 【变式2】 【答案】x≠士1 【变式3】 【答案】x≥3 题型10利用数轴化简绝对值 典例精析 【典例10)A E 举一反王 【变式1】 【答案】3a-b 【变式2】 【答案】-5b-5c 题型11 含绝对值的化简问题 4/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例11】 【答案】1或-3/-3或1 举一反三 【变式1】 【答案】-2025 【变式2】 【答案】3或-1/-1或3 【变式3】 【答案】4 题型12解绝对值方程 典例精析 【典例12】 【答案】5或1 举一反王 【变式1】 【答案】28或-22/-22或28 【变式2】 2 【答案】(1)x=2或x= 3 (2)x=-2或x=0 【变式3】 【答案】(13或-1 9 1 (2)x=2或2 题型13绝对值的几何意义 三典例精析 5/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例13】 【答案】 表示数x与数1的两点之间的距离 举一反三 【变式1】 【答案】8 【变式2】 【答案】（-)4，（二）(1)2028或-2022：(2)2028：(3)-2028：(4)a为4时， 121 3引a-3+4a+1川+13a-61+5引a+3引的最小值为4， 【变式3】 【答案】【问题解决】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和4两个点的距离之和，2；(2)2,3： (3)9;(4)1023132;【拓展应用】-1.5<0<2.5 题型14绝对值与代数式综合 典例精析 【典例14】 【答案】5或1 举一反三 【变式1】 【答案】0 【变式2】 【答案】50或10 【变式3】 【答案】1或9 【变式4】 【答案】(1)-9 (2)±14 6/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型15有理数比较大小 典例精析 【典例15】 【答案】< 举一反三 【变式1】 【答案】 【变式2】 【答案】氢气 【变式3】 - 【答案】(1)10之-7 a-05>号 a0 4=7 【变式4】 【答案】(1)=，> 2)当a>0时，l4>-a:当a≤0时，l4=-a 7/7 专题04 有理数章节15种易错题型 （题型突破·举一反三） 题型01 反向表述的相反意义的量 题型02 有理数的分类 题型03 理解有理数的相关概念 题型04 数轴的三要素及画法 题型05 数轴上两点之间的距离 题型06 利用数轴上的点表示有理数 题型07 根据点在数轴的位置判断式子正负 题型08 利用绝对值的非负性求解 题型09 由绝对值等式判断字母取值范围 题型10 利用数轴化简绝对值 题型11 含绝对值的化简问题 题型12 解绝对值方程 题型13 绝对值的几何意义 题型14 绝对值与代数式综合 题型15 有理数的比较大小 ▌题型01 反向表述的相反意义的量 用正、负数表示具有相反意义的量，在描述指定方向变化的情况时，一般地，用正数表示，也可以用指定方向的相反方向的负数表示. 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某市1月2日的气温比1月1日的气温上升了的意义是（    ） A．上升了 B．下降了 C．下降了 D．实际温度是 【答案】B 【分析】根据负数的意义逐个判断即可． 【详解】上升了相当于下降了，A错误，B正确；下降了相当于上升了，C错误；上升了，相当于下降了，并不代表实际温度是，D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了负数的意义，即表示相反意义的量，解题的关键是正确理解负数的含义． 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是（　　） A．前进-18米的意义是后退18米 B．收入-4万元的意义是支出4万元 C．盈利的相反意义是亏损 D．公元-300年的意义是公元后300年 【答案】D 【详解】解：A、前进的相反意义是后退，则本语句正确； B、收入-4万元的意义是支出4万元，则本语句正确； C、盈利的相反意义是亏损，则本语句正确； D、公元前-300年的意义是公元前300年，此句错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正负数的意义，掌握正数与负数表示意义相反的两种量是解答本题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期中）下列说法正确的是（    ） A．飞机上升米，实际上就是下降-30米 B．“向东行走”与“向西行走”是具有相反意义的量 C．“盈利20000元”与“支出1000元”是具有相反意义的量 D．弹簧“伸长”与“缩短”是具有相反意义的量 【答案】D 【分析】利用相反意义量的定义判断即可． 【详解】解：A、飞机上升米，实际上就是下降30米，故错误； B、“向东行走”与“向西行走”是具有相反意义，但不是量，故错误； C、“盈利20000元”与“支出1000元”不是具有相反意义的量，故错误； D、弹簧“伸长”与“缩短”是具有相反意义的量，故正确； 故选D． 【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，明确什么是相反意义的量． 【变式3】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）产值增加万元的意义是__________． 【答案】产值减少10万元 【分析】本题主要考查了正负数的意义，正负数表示相反意义的两个量，根据增加万元即表示与增加相反的意义的意思回答即可． 【详解】解：产值增加万元的意义是产值减少10万元， 故答案为：产值减少10万元． ▌题型02 有理数的分类 1）类似的含π式子不是有理数. 2）有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数. 【典例2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②③0，④，⑤（每两个1之间依次多一个，⑥；则是正有理数的是 __；非正整数 __． 【答案】 ④ ①③/③① 【分析】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 根据有理数的定义及分类即可求得答案． 【详解】解：正有理数是④；非正整数是①③； 故答案为：④；①③． 【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·阶段检测），，，，，15，，其中正整数有a个，有理数有b个，则______． 【答案】8 【分析】根据数据判断a，b代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，，15，中正整数有15，共2个，除了余下6个数是有理数， ∴，， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查的是有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的定义和分类． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将下列各数填在相应的集合内. 5，，，，0，2010，，6.2，. 正数集合{ …}；负数集合{ …}； 自然数集合{ …}；整数集合{ …}； 分数集合{ …}；负分数集合{ …}； 非负数集合{ …}；非正整数集合{ …}； 【答案】5，，2010，6.2；，，，；5，0，2010；5，，0，2010，，；，，6.2；；5，，0，2010，6.2；，0，， 【分析】根据有理数的分类进行判断即可． 【详解】解：正数集合{5，，2010，6.2，…}；负数集合{，，，，…}； 自然数集合{5，0，2010，…}；整数集合{5，，0，2010，，，…}； 分数集合{，，6.2，…}；负分数集合{，…}； 非负数集合{5，，0，2010，6.2，…}；非正整数集合{，0，，，…}. 故答案为：5，，2010，6.2；，，-35，-1；5，0，2010；5，，0，2010，，；，，6.2；；5，，0，2010，6.2；，0，，． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）把下列各数相应的序号填入相应的横线内： ；；；；；；；；；． 整数集合：__________；分数集合：__________； 非负数集合：__________；负有理数集合：__________． 【答案】 解：整数集合：； 分数集合：； 非负数集合：； 负有理数集合：． 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解决本题的关键是有理数的分类情况，按照整数、分数、非负数、负有理数分类即可． 【详解】略 ▌题型03 理解有理数的相关概念 【典例3】（25-26七年级上·浙江温州·期中）下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．绝对值是本身的数是零 C．整数和分数统称为有理数 D．正整数和负整数统称为整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的基本概念． 根据有理数的基本概念逐一分析即可． 【详解】解：A、当为负数或时，则为正数或0，故A错误，不符合题意； B、绝对值是本身的数包括0和所有正数，故B错误，不符合题意； C、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意； D、正整数、负整数和0统称为整数，故D错误，不符合题意， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列几种说法中，其中正确的个数是（   ） ①一个有理数不是整数就是分数；②两个有理数比较大小，绝对值大的反而小； ③几个有理数相乘，若负因数为奇数个，则积为负数；④一个数的绝对值一定不小于这个数； ⑤的绝对值等于； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的大小比较，有理数的乘法，以及绝对值，掌握相关知识点是解题关键．根据整数和分数统称为有理数，有理数的大小比较法则，有理数的乘法法则，绝对值的意义，逐一分析即可． 【详解】解：①一个有理数不是整数就是分数，原说法正确； ②两个负有理数比较大小，绝对值大的反而小，原说法错误； ③几个不为0的有理数相乘，若负因数为奇数个，则积为负数，原说法错误； ④一个数的绝对值一定不小于这个数，原说法正确； ⑤当时，，则的绝对值等于，原说法错误； 则正确的个数是2个， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列说法中：①有理数中，0的意义表示没有；②带“＋”的数就是正数，带“－”的数就是负数；③最大的负整数是；④数轴上原点两侧的数互为相反数；⑤任何数的绝对值都大于或等于0；⑥两个数比较大小，绝对值大的反而小．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了0的意义、数轴的性质、相反数、绝对值、有理数的大小比较等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据0的意义、有理数的分类、数轴的性质、相反数、绝对值、有理数的大小比较逐个判断即可得． 【详解】解：①有理数中，0的意义不仅可以表示没有，也可以作为某些数量的界限，如温度等；则原说法错误； ②带“＋”的数不一定是正数，带“－”的数不一定是负数，如，既不是正数也不是负数；则原说法错误； ③最大的负整数是，则原说法正确； ④数轴上原点两侧满足绝对值相等的数互为相反数，例如2和在原点两侧，但它们不互为相反数，则原说法错误； ⑤任何数的绝对值都大于或等于0；则原说法正确； ⑥需要限定都是负数，即两个负数比较大小，绝对值大的反而小，例如比较两个正数时，，它们的绝对值也满足，则原说法错误； 综上，正确的个数有2个， 故选：A． 【变式3】（2025九年级下·浙江湖州·专题练习）下列说法正确的是 （    ） A．有最大的负数，没有最小的正数 B．有最小的负数，没有最大的正数 C．没有最大的有理数和最小的有理数 D．有最小的负整数和最大的正整数 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的有关概念和性质．根据有理数的有关概念和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、没有最大的负数，也没有最小的正数，故本选项错误，不符合题意； B、没有最小的负数，也没有最大的正数，故本选项错误，不符合题意； C、没有最大的有理数和最小的有理数，故本选项正确，符合题意； D、没有最小的负整数，也没有最大的正整数，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． ▌题型04 数轴的三要素及画法 数轴三要素是“规定”的，通常我们习惯性向右或向上为正方向，向左或向下为负方向.原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变 【典例4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各图中，表示数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴三要素：原点、单位长度和正方向，任何一个条件都不能少，都必须体现在数轴上． 根据数轴三要素判断即可． 【详解】解：A． 无原点，不是数轴； B． 无原点，不是数轴； C． 符合数轴三要素，是数轴； D． 无正方向，不是数轴； 故选：C． 【变式1】（21-22七年级上·浙江绍兴·阶段检测）下列各图中，表示的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的三要素：原点、单位长度（相邻两个单位长度之间距离相等）、正方向即可求解． 【详解】解：数轴是由原点、单位长度（相邻两个单位长度之间距离相等）、正方向组成的， 选项，没有正方向，不符合题意； 选项，没有原点，不符合题意； 选项，有原点、单位长度、正方向，符合题意； 选项，相邻两个单位长度之间距离不相等，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，下列是四位同学所画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的定义，熟练掌握规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，且数轴的单位长度相同是解题的关键，根据数轴的定义作出判断即可． 【详解】解：A、没有正方向，故本选项错误，不符合题意； B、单位长度不一致，故本选项错误，不符合题意； C、所画数轴正确，故本选项正确，符合题意； D、单位长度不一致，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． ▌题型05 数轴上两点之间的距离 由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑所有可能出现的结果． 【典例5】（25-26七年级上·浙江台州·期中）数轴上到数距离是的数为________． 【答案】或/或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离以及用数轴上的点表示有理数，注意分类讨论是解题的关键．分该点在的左边和的右边两种情况，分别求解． 【详解】解：当该点在的左边时，则有； 当该点在的右边时，则有． 故答案为：或． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）数轴上点表示有理数，将点向右平移个单位长度到达点，点到点的距离为，则点表示的有理数为____． 【答案】或/3或 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上两点之间的距离，有理数的加减法运算． 点向右平移个单位长度到达点，所以表示的数是，点到点的距离为则有两种情况求解即可． 【详解】解：点向右平移个单位长度到达点，所以表示的数是； 点到点的距离为则有两种情况： 在的右侧时，； 在的左侧时，． 故答案为：或． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）数轴上点表示的有理数是10，点与点相距4个单位长度，点表示的数是__________． 【答案】6或14 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离的计算，点P在点A左侧，则用点A表示的数减去点P与点A的距离，点P在点A右侧，则用点A表示的数加上点P与点A的距离，据此求解即可． 【详解】解：当点P在点A左侧时，则点P表示的数为， 当点P在点A右侧时，则点P表示的数为， 综上所述，点P表示的数为6或14， 故答案为：6或14． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）一条数轴上有A，B两点，点A，B表示的数分别为和2，若B，C两点间的距离为3，则A，C两点间的距离为______． 【答案】10或4 【分析】本题考查了数轴上两点的距离．掌握求数轴上两点距离的方法，分类讨论，是解题的关键． 根据数轴上两点的距离求解即可，由点B表示的数为2，B，C两点间的距离为3，得点C表示的数为5或，由点A表示的数为，可得A，C两点间的距离为10或4． 【详解】解：∵点B表示的数为2，B，C两点间的距离为3， ∴点C表示的数为或． ∵点A表示的数为， ∴A，C两点间的距离为，或． 故答案为：10或4． 【变式4】（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在数轴上，点、分别表示、，、互为相反数且它们之间的距离为6，则点表示的数为______． 【答案】 【分析】利用互为相反数的定义进行求解． 【详解】解：∵、互为相反数且它们之间的距离为6， ∴， ∴， ∴点表示的数为． ▌题型06 利用数轴上的点表示有理数 【典例6】（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示__________；如果点表示0，点表示1，则A点表示__________． 【答案】 1.5 【分析】本题考查了数轴的认识，结合正负数知识解答即可． 根据图示，结合数轴知识，如果A点表示0，E点表示1，则每个小格表示0.25，所以G点表示1.5；如果D点表示0，G点表示1，结合正负数知识可知A点表示． 【详解】解：如果A点表示0，E点表示1，则G点表示1.5； 如果D点表示0，G点表示1， 由图知： 所以A点表示． 故答案为：1.5；． 【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，数轴上点A表示数是0，则点B表示的数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．根据所给图形，结合数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由所给数轴可知， 因为， 所以点B在点A左边，且与点A相距 因为点A表示的数是0， 所以点B表示的数是． 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知点A，B在数轴上对应的数分别为和，若点B在点A的右侧，点C为的中点，且点C到原点的距离为1，则m的值为______． 【答案】1或5 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，两点间距离，线中点的计算，先求出的长度，再根据中点公式求出的长度，然后分情况进行求解即可． 【详解】解：点A，B在数轴上对应的数分别为和，点B在点A的右侧， ， 点C为的中点， ， 点C到原点的距离为1， 点C表示的数是1或， 当点C表示1时，，解得：， 当点C表示时，，解得：， 综上所述，m的值为1或5， 故答案为：1或5． 【变式3】（23-24七年级上·浙江·周测）如图，数轴上、两点表示的数分别为，，将长为的线段摆放在数轴上，使得点与中点重合，则点表示的数________．    【答案】1或 【分析】此题考查了数轴的应用，求得的中点表示的数，分两种情况，当在的左边或在的右边时，求出点P表示的数，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，的中点表示的数为， 即点P表示的数为， 当在的左边时，此时点Q表示的数为， 当在的右边时，此时点Q表示的数为， 故答案为：或 ▌题型07 根据点在数轴的位置判断式子正负 【典例7】（2026·浙江绍兴·二模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由图得到，逐项验证选项中的结论即可． 【详解】解：由实数，在数轴上的对应点的位置可知， ，，，， 则四个选项中的结论只有C正确． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）表示实数a，b，c，d的点在数轴上的位置如图所示，若，则下列各式正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，相反数，绝对值的几何意义．根据，可得b，d互为相反数，且，观察数轴得：，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴b，d互为相反数，且， 观察数轴得：，，故④错误； ∴，，；故②③正确，①错误； 故选：B 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中： ①；②；③；④；其中正确的是______（所有正确结论的序号都选上）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，化简绝对值，有理数的乘法运算，有理数的减法运算，有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则和绝对值的性质． 观察数轴可知：，，再根据有理数的加减乘除法则和绝对值的性质，对各种说法进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：，， ， ∴， 则， 则，，， ①③④正确，②错误， 故答案为：①③④． 【变式3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式中，正确的是______（填序号）． ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【分析】此题考查了数轴，整式的加减混合运算，绝对值的性质，观察数轴得到，且是解题的关键． 观察数轴得：，且，可得，故①正确；，故②错误；由得到，故③错误；故④正确，即可． 【详解】解：观察数轴得：，且， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵， ∴，即，故③错误； ∴，， 即，故④正确； 故答案为：①②④． ▌题型08 利用绝对值的非负性求解 根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0. 【典例8】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）若与互为相反数，则的值为__________． 【答案】１ 【分析】此题主要考查了非负数．熟练掌握相反数性质，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，几个非负数都为0，是解题关键． 直接利用两个互为相反数和为0列方程，绝对值的非负性质，非负数性质，得出a，b的值，进而代入得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）若，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了非负数的性质，以及乘方的运算，解决本题的关键是求解出x与y的值． 根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零则每个部分为零，从而求出 x 和 y的值，再由乘方运算计算即可． 【详解】解：由 ， 得 且 ， 解得 ，， ∴ ． 故答案为： 9． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性，有理数的乘方运算． 根据绝对值的非负性，平方的非负性求出、的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知，则，，的值分别是______． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解． 【详解】∵，，，且， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，，． ▌题型09 由绝对值等式判断字母取值范围 【典例9】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则a的取值范围是 ___________；若，则a的取值范围是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 直接利用绝对值的意义得出答案． 【详解】解：若，则a的取值范围是； 若，则a的取值范围是． 故答案为：；． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，通过移项得，根据绝对值的定义确定x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若成立，那么x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． ▌题型10 利用数轴化简绝对值 【典例10】（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，数轴上的点所表示的数为，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值．根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果． 【详解】根据数轴上点的位置得：， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）有理数在数轴上对应点的位置如图，化简：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴之间的对应关系及绝对值的化简，根据绝对值的意义：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．同时注意数轴上右边的数总大于左边的数，即可求解． 【详解】解：由有理数a，b在数轴上对应的点的位置可知：，且， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值，整式的加减，解决问题的关键是确定绝对值号里面的数的正负． 先根据各点在数轴上的位置判断出其符号，再根据绝对值的性质去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：由数轴，得 ， ∴， ∴ ． 故答案为：． ▌题型11 含绝对值的化简问题 【典例11】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）若，，为有理数，且，，则______． 【答案】或/或1 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的运算，由，然后分，，，两种情况，利用绝对值的性质化简后，再根据有理数的运算法则计算即可，熟练掌握基本知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ，， ∴， 故答案为：或． 【变式1】（24-25七年级上·浙江丽水·期末）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值化简，掌握绝对值的性质是正确解答的关键． 根据绝对值的性质以及、的符号进行解答即可． 【详解】解：， ，、异号， ， 当，时，，， ∴， 当，时，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·浙江湖州·期末）若都是有理数，且，则的值是___． 【答案】3或/或3 【分析】本题考查了相反数的意义，绝对值的意义，有理数的除法法则，分类讨论是解题的关键．由变形可得：，从而原式可化为：；再由可知：在x、y、z中必有一负两正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式， ∵， ∴在x、y、z中必为两正一负， ∴当x为负时，原式， 当y为负时，原式， 当z为负时，原式， 故答案为：3或． 【变式3】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 【详解】解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． ▌题型12 解绝对值方程 在解含有两个及以上绝对值符号的方程时，要在未知数取值的不同范围内，分别化简方程，并求出化简后的方程的解，要注意检验所求出的解是否在限定范围内，若不在该范围内，则所求出的解不是原方程的解，应舍去. 【典例12】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）若，则的值为___； 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义和运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键 根据绝对值的性质得到关于的方程，再解方程即可求得的值． 【详解】解：， ， 解得：或． 故答案为：或． 【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）对于实数a，满足，则a的值为________． 【答案】28或/或28 【分析】本题考查了绝对值方程，根据绝对值的性质化简，分情况讨论即可求解． 【详解】解：， 当时，，即， 解得：； 当时，，等式不成立； 当时，，即， 解得：； a的值为：28或， 故答案为：28或． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州阶段检测）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解绝对值方程． （1）仿照题干作答即可； （2）对于形如的方程，等价于或，因此，解方程，只需解与即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得：或， 解得：或x； （2）解：由绝对值的意义得：或， 解得：或． 【变式3】（24-25七年级上·浙江台州·阶段检测）阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 【答案】(1)3或 (2)或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案； （2）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）∵ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或； （2）∵ ∴ ∴ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或． ▌题型13 绝对值的几何意义 【典例13】（22-23七年级上·浙江杭州·阶段检测）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则： ①表示的实际意义是 _____． ②的最小值是 _____． ③的最小值是 _____． 【答案】 表示数x与数1的两点之间的距离 2 4 【分析】①根据数轴上两点的距离公式求解即可； ②根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当时有最小值； ③根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当时有最小值． 【详解】解：①表示的实际意义是表示数x与数1的两点之间的距离； 故答案为：表示数x与数1的两点之间的距离； ②分类讨论： 1）当时，， ∴当时，有最小值3； 2）当时，， ∴当x=2时，有最小值2； 3）当时，， 此时最小值大于2； 4）当时，， 此时最小值大于3； 综上可知，当时，且最小值为2； 故答案为：2； ③根据的几何意义，可表示x到数轴上1，2，3和4的距离之和． 于是可分以下五个情况讨论： 1）当时，； 2）当时； 3）当时，； 4）当时，； 5）当时，； 综上所述，当时，有最小值4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的化简．掌握数轴上两点之间的距离的求法和绝对值的几何意义是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）的最小值为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，整式加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别去掉绝对值，求出其范围，然后进行判断即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 此时； 当时， ， 此时； 当时， ， 此时； 当时， ， 此时； 综上分析可知：的最小值为8． 故答案为：8． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为 ，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数2的点之间的距离是 ． （二）数轴上点A用数a表示， （1）若，那么a的值是 ． （2）最小值是 ． （3）最小值是 ． （4）当a为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】（一）4；（二）（1）或；（2）2028；（3）；（4）a为时，的最小值为． 【分析】本题考查数轴，绝对值方程，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键． （一）根据两点间距离的求法直接写出即可； （二）（1）由题意可得或，求出的值即可； （2）根据绝对值的几何意义可知时，有最小值2028； （3）分类讨论，去绝对值符号即可解答； （4）将原式化为，根据绝对值的意义分段解答即可． 【详解】解：（一）表示数的点和表示数2的点之间的距离是， 故答案为：4； （二）（1）， 或， 解得或， 的值是或， 故答案为：或； （2）表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和， 当时，的最小值是2028， 故答案为：2028； （3）当时，； 当时，， 时，取最小值为； 当时，， 综上所述，的最小值为， 故答案为：； （4）， ， 当时，有最小值， 当时，有最小值， 所以当时，原式有最小值， 最小值为 综上，a为时，的最小值为． 【变式3】（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 所以a到1和2的距离之和最小值是1． 【问题解决】 （1）的几何意义是_______；请你结合数轴探究：的最小值是_____； （2）请你结合图④探究：的最小值是______，此时a为______； （3）的最小值为_____； （4）的最小值为_____． 【拓展应用】 如图⑤，已知a到，2的距离之和小于4，请写出a的范围为_____． 【答案】【问题解决】（1）这个数在数轴上对应的点到2和4两个点的距离之和，2；（2）2，3；（3）9；（4）1023132；【拓展应用】 【分析】【问题解决】（1）根据题目提供的方法，说明即可； （2）根据题目提供的方法，当在2和4之间，且处于中点时，即当时，最小； （3）根据题目提供的方法，当在1和6之间，且处于中点时，所求式子最小； （4）根据题目提供的方法，当在1和2022之间，且处于中点时，即当时，所求式子最小； 【拓展应用】分①当时，②当时，③当时，求出的范围，再合并即可． 【详解】解：【问题解决】（1）根据题目提供的方法，可知：这个数在数轴上对应的点到表示2和4两个数的点的距离之和；此时最小值为2； 故答案为：这个数在数轴上对应的点到表示2和4两个数的点的距离之和；2； （2）根据题目提供的方法，可知：当处于2和4的中点，即时最小，最小值为：； 故答案为：2；3； （3）根据题目提供的方法，可知：当在1和6之间，取最小值， 当在2和5之间，取最小值， 当在3和4之间，取最小值， ∴当在3和4之间，所求式子最小； 不妨取，最小值为：； 故答案为：9； （4）总结规律可知，最中间一个数或者中间两个数之间取最小值. 1，2，3，4，的中间数为：1012 ； 故答案为：； 【拓展应用】使它到，2的距离之和小于4， ， ①当时，则有， 解得：． ； ②当时，则有， ； ③当时，则有， 解得：， ； 由①②③不得式得出：． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴、绝对值的几何意义，简单的一元一次不等式的解法等知识，解题的关键是理解题目提供的方法，灵活运用这一方法解题． ▌题型14 绝对值与代数式综合 【典例14】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若，，且，则的值为______． 【答案】5或1 【分析】本题考查绝对值，有理数比较大小，有理数的减法，掌握相关知识是解题的关键． 由绝对值得到，，根据得到，，再分类求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴当，时，， 当，时，， ∴的值为5或1． 故答案为：5或1． 【变式1】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，，则代数式的值为______． 【答案】0 【分析】利用相反数、倒数的性质及绝对值的定义，分别得出，，，再代入代数式计算． 【详解】解：因为a与b互为相反数， 所以； 因为c与d互为倒数， 所以； 因为， 所以． 因此，． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了相反数的定义，求一个数的绝对值，倒数，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，，且，求的值为_____． 【答案】50或10 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的减法，判断出的对应值是解本题的关键． 根据绝对值的性质求出，再判断出的对应情况，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可． 【详解】，， ， 时，，， ，， 综上所述：的值为50或10． 故答案为：50或10． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，，且，则的值为__． 【答案】1或9 【分析】本题考查求代数式的值、绝对值．由题意可得，，再结合条件进行求解即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ，， 当时，时，， 当时，，， 或9． 故答案为：1或9． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，，根据下列条件，求式子的值． (1)当，时，求的值； (2)当时，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了绝对值的意义，熟悉掌握绝对值的化简是解题的关键． （1）化简和的绝对值，再根据和的取值范围确定和的值，代入运算即可； （2）化简和的绝对值，再根据和的取值情况确定和的值，代入运算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵，与异号， ∴当时，，则； 当时，，则； 综上的值为：． ▌题型15 有理数比较大小 比较数大小数轴最直接；数比0大，负数比0小；同负绝对值，值大数反小. 【典例15】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）比较大小，用“”“”或“”连接： _____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则，两个负数相比较，绝对值大的反而小，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：______；______；______ 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，灵活运用绝对值的化简规则、有理数大小比较的方法是解题的关键通过化简绝对值、将数转化为相同形式（小数或分数），结合有理数大小比较的规律（正数大于负数、负数比较绝对值），即可完成大小比较 【详解】，，由于，所以； ，，由于，所以； ，，由于负数小于正数，所以 故答案为：，， 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）氧气、氢气、氮气、氨气的液化温度（标准大气压下）分别是，，，，其中液化温度最低的气体是________． 【答案】氢气 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可． 【详解】解：各气体的液化温度分别为：氧气，氢气，氮气，氨气． ∵， ∴液化温度最低的气体是氢气． 故答案为：氢气． 【变式3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵， ∴． 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 【答案】(1)， (2)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数比较大小，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 （1）直接根据去绝对值的方法及有理数的大小比较即可得出答案； （2）根据绝对值的三种情况，进行分析求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，；当时，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数章节15种易错题型 （题型突破·举一反三） 题型01 反向表述的相反意义的量 题型02 有理数的分类 题型03 理解有理数的相关概念 题型04 数轴的三要素及画法 题型05 数轴上两点之间的距离 题型06 利用数轴上的点表示有理数 题型07 根据点在数轴的位置判断式子正负 题型08 利用绝对值的非负性求解 题型09 由绝对值等式判断字母取值范围 题型10 利用数轴化简绝对值 题型11 含绝对值的化简问题 题型12 解绝对值方程 题型13 绝对值的几何意义 题型14 绝对值与代数式综合 题型15 有理数的比较大小 ▌题型01 反向表述的相反意义的量 用正、负数表示具有相反意义的量，在描述指定方向变化的情况时，一般地，用正数表示，也可以用指定方向的相反方向的负数表示. 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某市1月2日的气温比1月1日的气温上升了的意义是（    ） A．上升了 B．下降了 C．下降了 D．实际温度是 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是（　　） A．前进-18米的意义是后退18米 B．收入-4万元的意义是支出4万元 C．盈利的相反意义是亏损 D．公元-300年的意义是公元后300年 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期中）下列说法正确的是（    ） A．飞机上升米，实际上就是下降-30米 B．“向东行走”与“向西行走”是具有相反意义的量 C．“盈利20000元”与“支出1000元”是具有相反意义的量 D．弹簧“伸长”与“缩短”是具有相反意义的量 【变式3】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）产值增加万元的意义是__________． ▌题型02 有理数的分类 1）类似的含π式子不是有理数. 2）有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数. 【典例2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②③0，④，⑤（每两个1之间依次多一个，⑥；则是正有理数的是 __；非正整数 __． 【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·阶段检测），，，，，15，，其中正整数有a个，有理数有b个，则______． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将下列各数填在相应的集合内. 5，，，，0，2010，，6.2，. 正数集合{ …}；负数集合{ …}； 自然数集合{ …}；整数集合{ …}； 分数集合{ …}；负分数集合{ …}； 非负数集合{ …}；非正整数集合{ …}； 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）把下列各数相应的序号填入相应的横线内： ；；；；；；；；；． 整数集合：__________；分数集合：__________； 非负数集合：__________；负有理数集合：__________． ▌题型03 理解有理数的相关概念 【典例3】（25-26七年级上·浙江温州·期中）下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．绝对值是本身的数是零 C．整数和分数统称为有理数 D．正整数和负整数统称为整数 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列几种说法中，其中正确的个数是（   ） ①一个有理数不是整数就是分数；②两个有理数比较大小，绝对值大的反而小； ③几个有理数相乘，若负因数为奇数个，则积为负数；④一个数的绝对值一定不小于这个数； ⑤的绝对值等于； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列说法中：①有理数中，0的意义表示没有；②带“＋”的数就是正数，带“－”的数就是负数；③最大的负整数是；④数轴上原点两侧的数互为相反数；⑤任何数的绝对值都大于或等于0；⑥两个数比较大小，绝对值大的反而小．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（2025九年级下·浙江湖州·专题练习）下列说法正确的是 （    ） A．有最大的负数，没有最小的正数 B．有最小的负数，没有最大的正数 C．没有最大的有理数和最小的有理数 D．有最小的负整数和最大的正整数 ▌题型04 数轴的三要素及画法 数轴三要素是“规定”的，通常我们习惯性向右或向上为正方向，向左或向下为负方向.原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变 【典例4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各图中，表示数轴的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22七年级上·浙江绍兴·阶段检测）下列各图中，表示的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，下列是四位同学所画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． ▌题型05 数轴上两点之间的距离 由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑所有可能出现的结果． 【典例5】（25-26七年级上·浙江台州·期中）数轴上到数距离是的数为________． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）数轴上点表示有理数，将点向右平移个单位长度到达点，点到点的距离为，则点表示的有理数为____． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）数轴上点表示的有理数是10，点与点相距4个单位长度，点表示的数是__________． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）一条数轴上有A，B两点，点A，B表示的数分别为和2，若B，C两点间的距离为3，则A，C两点间的距离为______． 【变式4】（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在数轴上，点、分别表示、，、互为相反数且它们之间的距离为6，则点表示的数为______． ▌题型06 利用数轴上的点表示有理数 【典例6】（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示__________；如果点表示0，点表示1，则A点表示__________． 【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，数轴上点A表示数是0，则点B表示的数是______． 【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知点A，B在数轴上对应的数分别为和，若点B在点A的右侧，点C为的中点，且点C到原点的距离为1，则m的值为______． 【变式3】（23-24七年级上·浙江·周测）如图，数轴上、两点表示的数分别为，，将长为的线段摆放在数轴上，使得点与中点重合，则点表示的数________．    ▌题型07 根据点在数轴的位置判断式子正负 【典例7】（2026·浙江绍兴·二模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）表示实数a，b，c，d的点在数轴上的位置如图所示，若，则下列各式正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中： ①；②；③；④；其中正确的是______（所有正确结论的序号都选上）． 【变式3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式中，正确的是______（填序号）． ①；②；③；④ ▌题型08 利用绝对值的非负性求解 根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0. 【典例8】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）若与互为相反数，则的值为__________． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）若，则______． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，则的值为___________． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知，则，，的值分别是______． ▌题型09 由绝对值等式判断字母取值范围 【典例9】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则a的取值范围是 ___________；若，则a的取值范围是 ___________． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）若，则的取值范围是__________． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若成立，那么x的取值范围是_______． ▌题型10 利用数轴化简绝对值 【典例10】（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，数轴上的点所表示的数为，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）有理数在数轴上对应点的位置如图，化简：__________． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． ▌题型11 含绝对值的化简问题 【典例11】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）若，，为有理数，且，，则______． 【变式1】（24-25七年级上·浙江丽水·期末）若，则的值为______． 【变式2】（23-24七年级上·浙江湖州·期末）若都是有理数，且，则的值是___． 【变式3】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知关于的方程有四个解，化简． ▌题型12 解绝对值方程 在解含有两个及以上绝对值符号的方程时，要在未知数取值的不同范围内，分别化简方程，并求出化简后的方程的解，要注意检验所求出的解是否在限定范围内，若不在该范围内，则所求出的解不是原方程的解，应舍去. 【典例12】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）若，则的值为___； 【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）对于实数a，满足，则a的值为________． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州阶段检测）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【变式3】（24-25七年级上·浙江台州·阶段检测）阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． ▌题型13 绝对值的几何意义 【典例13】（22-23七年级上·浙江杭州·阶段检测）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则： ①表示的实际意义是 _____． ②的最小值是 _____． ③的最小值是 _____． 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）的最小值为______． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为 ，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数2的点之间的距离是 ． （二）数轴上点A用数a表示， （1）若，那么a的值是 ． （2）最小值是 ． （3）最小值是 ． （4）当a为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【变式3】（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 所以a到1和2的距离之和最小值是1． 【问题解决】 （1）的几何意义是_______；请你结合数轴探究：的最小值是_____； （2）请你结合图④探究：的最小值是______，此时a为______； （3）的最小值为_____； （4）的最小值为_____． 【拓展应用】 如图⑤，已知a到，2的距离之和小于4，请写出a的范围为_____． ▌题型14 绝对值与代数式综合 【典例14】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若，，且，则的值为______． 【变式1】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，，则代数式的值为______． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，，且，求的值为_____． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，，且，则的值为__． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，，根据下列条件，求式子的值． (1)当，时，求的值； (2)当时，求的值； ▌题型15 有理数比较大小 比较数大小数轴最直接；数比0大，负数比0小；同负绝对值，值大数反小. 【典例15】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）比较大小，用“”“”或“”连接： _____． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：______；______；______ 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）氧气、氢气、氮气、氨气的液化温度（标准大气压下）分别是，，，，其中液化温度最低的气体是________． 【变式3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $