第三单元 《乘法数量关系》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年四年级数学上册(苏教版·新教材)

该小学数学《乘法数量关系》单元复习讲义以计算基础为起点，通过表格系统梳理单价数量总价、速度时间路程、工作效率时间工作总量三大核心数量关系，结合典型示例与易错提醒构建知识脉络，涵盖归一归总、连乘混合等综合题型，呈现清晰的重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如“买四送一”优惠问题、相遇问题等典型题型，培养运算能力与模型意识。易错提醒针对性强，专项精练覆盖不同难度，帮助基础薄弱学生掌握方法，优秀学生深化理解，为教师实施精准教学提供有力支持。

第三单元 《乘法数量关系》 典例易错讲义 知识点 1：计算基础 —— 三位数乘两位数与积的变化规律 1. 三位数乘两位数笔算法则 先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位与两位数的个位对齐； 再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位与两位数的十位对齐； 最后把两次乘得的积相加，得到最终结果。 2. 积的变化规律（核心基础） 一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0 除外），积也随之乘（或除以）相同的数。 拓展：若两个因数同时扩大，积扩大的倍数是两个因数扩大倍数的乘积。 3. 数量关系中的积变化逻辑 所有乘法数量关系都符合积的变化规律： 单一量（单价、速度、效率）不变时，总数量（数量、时间）乘几，总量（总价、路程、工作总量）也乘几； 总数量不变时，单一量乘几，总量也乘几。 典型示例 题目：计算 解： ① 个位 2 乘 124：，末位对齐个位 ② 十位 3 乘 124：，末位对齐十位 ③ 相加： 结果： 易错提醒 笔算时第二次乘积的末位对错位置，与个位对齐而非十位。 积的变化规律忽略 “0 除外” 的前提，因数除以 0 无意义。 多位数相乘时漏加进位，导致计算结果错误。 知识点 2：核心数量关系一：单价、数量与总价 1. 核心概念 单价：每件商品的价格，单位常为元 / 个、元 / 千克等。 数量：购买商品的多少，即件数、重量、个数等。 总价：购买商品一共花费的总钱数。 2. 三大核心关系式 关系式 应用场景 已知单价和数量，求一共花了多少钱 已知总价和单价，求能买多少件商品 已知总价和数量，求每件商品多少钱 3. 常见拓展题型 多商品总价：分别计算多种商品的总价，再相加求和。 找零问题：付出的钱 - 商品总价 = 找回的钱。 优惠促销：如 “买几送几”“满减”，先算实际购买数量和实际单价，再求总价。 典型示例 题目：每本笔记本 8 元，买 15 本笔记本一共需要多少钱？ 解：已知单价 8 元，数量 15 本，求总价。 （元） 答：一共需要 120 元。 题目：妈妈买 3 千克苹果花了 36 元，每千克苹果多少元？ 解：已知总价 36 元，数量 3 千克，求单价。 （元） 答：每千克苹果 12 元。 易错提醒 数量关系搞反，求单价时误用乘法，求数量时误用总价乘单价。 多商品计算时漏算某类商品的价格，导致总价错误。 优惠问题忽略赠送数量，直接按原价计算总费用。 知识点 3：核心数量关系二：速度、时间与路程 1. 核心概念 路程：物体运动一共走过的长度，单位常为米、千米等。 时间：物体运动所花费的时长，单位常为秒、分、时等。 速度：物体单位时间内走过的路程，描述运动的快慢，是复合单位，如千米 / 时（读作千米每时）、米 / 分、米 / 秒。 2. 三大核心关系式 关系式 应用场景 已知速度和时间，求一共走了多远 已知路程和速度，求需要走多久 已知路程和时间，求运动的快慢 3. 拓展题型：相遇问题（同时出发、相向而行） 两个物体从两地同时出发，相对而行，最终相遇： 总路程 = 速度和 × 相遇时间 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和 速度和 = 总路程 ÷ 相遇时间 典型示例 题目：一辆汽车每小时行驶 75 千米，从甲地到乙地行驶了 4 小时，甲乙两地相距多少千米？ 解：已知速度 75 千米 / 时，时间 4 小时，求路程。 （千米） 答：甲乙两地相距 300 千米。 题目：甲乙两地相距 240 千米，两车同时从两地出发相向而行，甲车每小时行 55 千米，乙车每小时行 65 千米，几小时后两车相遇？ 解：速度和：（千米 / 时） 相遇时间：（小时） 答：2 小时后两车相遇。 易错提醒 速度单位书写错误，只写长度单位，遗漏时间单位（如把千米 / 时写成千米）。 相遇问题忽略 “同时出发” 前提，不同时出发时需先算单独行驶的路程。 单位不统一直接计算，如速度是千米 / 时，时间用分钟，未先换算。 知识点 4：核心数量关系三：工作效率、工作时间与工作总量 1. 核心概念 工作总量：一共完成的工作量，如生产的零件总数、修路的总长度、打字的总字数等。 工作时间：完成工作所花费的时长，单位常为天、小时、分钟等。 工作效率：单位时间内完成的工作量，描述工作的快慢，如个 / 天、米 / 时、字 / 分。 2. 三大核心关系式 关系式 应用场景 已知效率和时间，求一共完成多少工作量 已知总量和效率，求需要多久完成 已知总量和时间，求单位时间完成多少 3. 拓展：合作工作问题 两人 / 多队合作完成一项工作时，总工作效率等于各方工作效率之和： 总效率 = 甲效率 + 乙效率 工作总量 = 总效率 × 合作时间 典型示例 题目：工人师傅每天生产 45 个零件，工作 12 天一共能生产多少个零件？ 解：已知工作效率 45 个 / 天，工作时间 12 天，求工作总量。 （个） 答：一共能生产 540 个零件。 题目：要加工 600 个零件，李师傅每小时加工 25 个，加工完这批零件需要多少小时？ 解：已知工作总量 600 个，工作效率 25 个 / 时，求工作时间。 （小时） 答：加工完需要 24 小时。 易错提醒 混淆工作效率和工作总量，误将总数量当作单位时间完成的数量。 合作问题中错误地将工作时间相加，正确做法是效率相加、时间不变。 场景理解偏差，如 “中途休息” 类问题，未扣除休息时间直接计算。 知识点 5：综合题型：归一问题与归总问题 1. 归一问题 题型特征：先求出单一量（如单价、速度、单产量、工作效率），再根据条件求总量或份数。 解题核心：第一步先用除法求出 “1 份是多少”。 两类细分： 正归一：先求单一量，再求几个单一量的总量（先除后乘） 反归一：先求单一量，再求包含多少个单一量（先除后除） 典型示例 题目：买 5 支钢笔花了 60 元，买 12 支同样的钢笔需要多少钱？ 解：先求单价（单一量）：（元） 再求 12 支总价：（元） 答：需要 144 元。 2. 归总问题 题型特征：先求出总数量（总价、总路程、工作总量），再根据新的单一量求份数，或根据新的份数求单一量。 解题核心：第一步先用乘法求出 “总量是多少”，总量始终不变。 典型示例 题目：一本书每天读 30 页，8 天可以读完。如果每天读 40 页，几天可以读完？ 解：先求总页数（总量）：（页） 再求新天数：（天） 答：6 天可以读完。 易错提醒 分不清归一和归总，第一步乘除搞反，导致整题错误。 归总问题中误以为总量随单一量变化，忽略 “总量不变” 的核心前提。 多步计算时中间结果算错，后续步骤全部偏差。 知识点 6：连乘与乘除混合实际问题 1. 连乘问题 题型特征：存在两个维度的数量关系，需要连续两次用乘法求总量。 常见场景：方阵人数、货物装箱、多排多列物品计数、多组多人工作总量等。 解题思路：可以先求每份数量再乘份数，也可以先求总份数再乘每份数量。 典型示例 题目：超市运进 5 箱饮料，每箱有 12 瓶，每瓶 4 元，这些饮料一共价值多少元？ 解：方法一：先算总瓶数，再算总价 总瓶数：（瓶） 总价：（元） 方法二：先算每箱价格，再算总价 每箱价格：（元） 总价：（元） 答：一共价值 240 元。 2. 乘除混合问题 题型特征：既有乘法求总量，又有除法求单一量或份数，多为归一、归总的复合题型。 解题关键：理清数量关系，明确先算什么、后算什么，必要时借助小括号调整运算顺序。 易错提醒 连乘问题中因数重复相乘，导致结果倍数错误。 列综合算式时遗漏小括号，运算顺序出错。 解题思路不清晰，盲目堆砌数字，未对应数量关系。 常考易错 题型1：乘、除法的意义及各部分的关系 【典例精讲1】根据14×25＝350，写出一道乘法算式和一道除法算式：( )。 【答案】25×14＝350；350÷14＝25 【分析】根据“交换两个因数的位置，积不变以及一个因数＝积÷另一个因数”来写出一道乘法算式和一道除法算式。 【详解】14×25＝350，写出一道乘法算式和一道除法算式为：25×14＝350、350÷14＝25（或350÷25＝14）。 常考易错 题型2：乘除法解决实际问题 【典例精讲2】南店里有4盒钢笔，每盒6支，共有多少支钢笔？若把这些钢笔分给8个同学，则每个同学分到几支钢笔？ 【答案】4×6＝24（支）          24÷8＝3（支） 【详解】略 常考易错 题型3：经济问题 【典例精讲3】教育部在2026年春季对“中小学生每天综合体育活动不低于2小时”这一要求，在全国范围内全面部署并强调刚性落实。实验小学为丰富学生的体育活动，购买了23个篮球和45个足球，一共花了2605元。已知每个篮球35元，每个足球多少钱？ 【答案】 40元 【分析】已知买了23个篮球，每个35元，总花费是23×35＝805元；两类球一共花了2605元，减去篮球的总花费，剩下的就是足球的总花费，然后再除以购买足球的数量即可得出每个足球的金额。 【详解】2605－23×35 ＝2605－805 ＝1800 1800÷45＝40（元） 答：每个足球40元。 常考易错 题型4：基础行程问题 【典例精讲4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时相遇，甲车再行驶3小时就能到达B地，已知甲车每小时比乙车多行驶15千米。A、B两地相距多少千米？ 【答案】420千米 【分析】根据题意，甲车行驶了4个小时和乙车相遇，这时乙车也行驶了4个小时，然后甲车又行驶了3个小时到达B地，即乙车行驶4个小时的路程等于甲车行驶了3个小时的路程。则甲车和乙车的速度比是4∶3，甲车每小时比乙车多行驶15千米，则每一份是15千米，甲车的速度占了其中的4份，甲车的速度是每小时60千米。 A、B两地甲车总共行驶了7个小时，根据路程＝速度×时间，得出距离。 【详解】甲车和乙车的速度比是4∶3 15÷（4－3）×4×（4＋3） ＝15÷1×4×7 ＝15×4×7 ＝420（千米） 答：A、B两地相距420千米。 专项精练 1．已知○＋△＝□，○×△＝☆（○，△不为0），下面算式正确的是（    ）。 A．□＋△＝○ B．☆×○＝△ C．□÷△＝○ D．☆÷△＝○ 【答案】D 【分析】加法中：一个加数＋另一个加数＝和、和－一个加数＝另一个加数，乘法中：一个因数×另一个因数＝积、积÷一个因数＝另一个因数。 由已知条件○＋△＝□可知，○和△是加数，□是和。根据加法各部分间的关系可得：□－△＝○、□－○＝△或△＋○＝□；由○×△＝☆可知，○和△是因数，☆是积；根据乘除法各部分间的关系可得：○×△＝☆、☆÷△＝○、☆÷○＝△；据此根据已知算式中的数量关系，逐项验证选项即可。 【详解】A．由○＋△＝□可知，□＋△≠○，此选项错误； B．由○×△＝☆可知，☆×○≠△，此选项错误； C．由○×△＝☆或○＋△＝□，都不能推出□÷△＝○，此选项错误； D．由○×△＝☆可知，☆÷△＝○，此选项正确。 2．已知，，下列算式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在减法中，被减数－减数＝差，被减数－差＝减数，差＋减数＝被减数；在除法算式中，被除数÷除数＝商；商×除数＝被除数；被除数÷商＝除数，根据减法各部分间的关系、除法各部分间的关系，解题即可。 【详解】 A．根据“”可知，，符合题意；B．根据“”可知，▲−◯≠□，不符合题意； C．根据“”可知，≠ ，不符合题意；D．根据“”可知，▲＋□≠〇，不符合题意； 3．某商店举行“买四送一”活动，每瓶矿泉水2元，小明想买10瓶，最少需要花（    ）元。 A．20 B．18 C．16 D．15 【答案】C 【分析】根据“买四送一”的活动规则，可知每瓶为一组，其中只需支付瓶的钱。要想花费最少，应尽可能多地享受优惠。先计算瓶里面包含几个瓶，从而确定实际需要付款的瓶数，再根据单价计算总价。 【详解】 （组） 4×2×2 ＝8×2 ＝16（元） 故最少需要花元。 4．王叔叔开车前往距离360千米的千岛湖，汽车平均每小时行驶80千米。中途加了一次“92号”汽油，汽油单价为每升7.97元。若王叔叔一共支付300元油费，他能加多少升汽油？解决这个问题列式为“300÷7.97”，所用的数量关系是（    ）。 A．总价÷单价＝数量 B．总价÷数量＝单价 C．路程÷速度＝时间 D．路程÷时间＝速度 【答案】A 【分析】算式中：元是购买汽油支付的总金额，即总价；元是每升汽油的价格，即单价。数量关系为“总价单价＝数量”，对比选项即可得出正确答案。 【详解】A．总价单价＝数量，与本题所用的数量关系一致，此选项正确； B．总价数量＝单价，这是求单价的关系式，与本题算式含义不符，此选项错误； C．路程速度＝时间，这是行程问题中的数量关系，与本题油费计算无关，此选项错误； D．路程时间＝速度，这是行程问题中的数量关系，与本题油费计算无关，此选项错误。 5．丁叔叔乘高铁从甲城到乙城，13：50从家出发去高铁站，乘坐的高铁14：50发车，17：50到达乙城，一共行驶了840千米。这列高铁的平均速度是（    ）。 A．210千米/时 B．210时/千米 C．280千米/时 D．280时/千米 【答案】C 【分析】根据数量关系“速度＝路程÷时间”，用到达时间减去发车时间，计算出高铁行驶时间，用总路程除以行驶时间求出平均速度，同时注意速度单位的正确表述是“路程单位/时间单位”。 【详解】17时50分－14时50分＝3（小时） （千米/时） 所以，这列高铁的平均速度是280千米/时。 6．淘气在计算一个三位数除以3时，马虎地将除数3看成了5，计算的结果是64……1，正确的商应该是（　　）。 A．106 B．107 C．117 D．321 【答案】B 【分析】在有余数的除法算式里，被除数＝商×除数＋余数，当除数是5时，计算的结果是64……1，依此先计算出被除数，然后用被除数除以3即可，依此计算。 【详解】64×5＋1 ＝320＋1 ＝321 321÷3＝107 正确的商应该是107。 故答案为：B 7．一盒乐高玩具189元，幼儿园买了5盒。如果全部付一百元一张的人民币，至少要付（    ）张。 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据题意，我们可以用单价乘上数量，求出总价，再每个选项乘100，进行排除，即可求出至少需要付几张100元人民币。 【详解】189×5＝945（元） A．8×100＝800，不够，排除； B．9×100＝900，不够，排除； C．10×100＝1000，够； D．11×100＝1100，够。但是剩余的钱比较多，舍去。 如果全部付一百元一张的人民币，至少要付10张。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查三位数乘一位数的实际运用，解答本题的关键在于根据题干列出算式。 8．体育用品店进行“买四送一”的促销活动，每个篮球的原价是50元，育华小学要买这样的16个篮球，优惠后要花（    ）。 A．640元 B．650元 C．700元 D．800元 【答案】B 【分析】“买四送一”，那么可以4个篮球一组的买，付4个篮球的钱，买到5个篮球。用16除以5，求出一共需要买几组，同时余下几个需要单独买，从而解题。 【详解】16÷（4＋1） ＝16÷5 ＝3（组）……1（个） 4×3×50＋50×1 ＝600＋50 ＝650（元） 所以，优惠后要花650元。 故答案为：B 【点睛】本题考查了折扣问题，明确“买四送一”的含义是解题的关键。 9．买2瓶饮料需要8元，买6瓶这样的饮料需要( )元。 【答案】24 【分析】我们可以用“总价÷数量＝单价”先算出1瓶饮料的价格，再计算买6瓶这样的饮料需要的钱数。 【详解】8÷2＝4（元） 4×6＝24（元） 10．在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数的和是81，商和余数都是5，除数是( )，被除数是( )。 【答案】 11 60 【分析】在有余数的除法里，被除数＝除数×商＋余数。 已知商和余数都是5，先把这个关系代入条件：四个数的总和是81，先减去已知的商和余数，得到被除数＋除数的和：81－5－5＝71；把“被除数＝除数×5＋5”代入上面的和，可得：除数×5＋5＋除数＝71，也就是6个除数相加再加5等于71。 计算除数：（71－5）÷ 6＝11；再算被除数：11×5＋5＝60。 【详解】商和余数都是5，则，被除数＋除数＝81－5－5＝71，且被除数＝除数×5＋5； 所以，除数×5＋5＋除数＝71，即，除数×6＋5＝71，故，除数＝（71－5）÷ 6＝66÷ 6＝11； 被除数＝11×5＋5＝55＋5＝60。 11．根据，可以直接得出( )。 【答案】 314 【分析】一个因数×另外一个因数＝积，可得积÷一个因数＝另外一个因数，由此解题即可。 【详解】根据 314×26＝ 8164 ，可以直接得出8164÷26＝314。 12．陵水一家圣女果采摘乐园的入园费单价为每人10元，可写成( )。新新一家三口前去采摘，应付入园费( )元。 【答案】 元/人 【分析】入园费单价为每人10元，可写作10元/人，表示每个人10元。总价＝单价×数量，这里单价10元/人，数量是3个人，用10乘3即可解答。 【详解】10×3＝30（元） 所以，入园费单价为每人10元，可写成10元/人，新新一家三口前去采摘，应付入园费30元。 13．为保护学生视力，学校购进了一批护眼灯。如果每间教室安装8盏，这批护眼灯刚好可供12间教室使用；如果每间教室安装4盏，这批护眼灯可供( )间教室使用。 【答案】24 【分析】每间教室安装护眼灯的盏数乘教室间数，即可算出购进的护眼灯总盏数（8×12），再用购进的护眼灯总盏数除以现在每间教室安装的盏数，即可求出这批护眼灯可供多少间教室使用。 【详解】8×12＝96（盏） 96÷4＝24（间） 所以如果每间教室安装4盏，这批护眼灯可供24间教室使用。 14．面包每个6元，面包店搞促销活动买3个送1个，54元钱最多能得到( )个这样的面包。 【答案】12 【分析】总价÷单价＝数量。先用总钱数除以面包单价，求出买到的数量；再用数量除以3个，计算出有几组3个，有几组3个面包送几个，最后把组数与买到的数量加起来，得出最多买到的面包数；据此解答。 【详解】54÷6＝9（个） 9÷3＋9 ＝3＋9 ＝12（个） 15．一辆汽车在公路上匀速行驶，3小时行210千米，汽车的速度是( )；李老师用530元买了5个同样的足球，足球的单价是( )。 【答案】 70千米/时 106元/个 【分析】行程问题里，速度＝路程÷时间，汽车3小时行驶210千米，用总路程210千米除以行驶时间3小时。 购物问题里，单价＝总价÷数量，5个足球总共花530元，用总价钱530元除以足球个数5。 【详解】210÷3＝70（千米/时） 530÷5＝106（元/个） 一辆汽车在公路上匀速行驶，3小时行210千米，汽车的速度是70千米/时；李老师用530元买了5个同样的足球，足球的单价是106元/个。 16．每张桌子80元，可以写成( )，雷声在空气中的传播速度是每秒340米，可以写成( )。 【答案】 80元/张 340米/秒 【分析】（1）单价的含义是单位数量商品的价格，所以桌子单价需要把总金额和对应的物品数量单位按规范组合，对照复合单位“数值+单位/单位时间（或单位数量）”的书写格式，所以题干给出的每张桌子80元，可以表示为80元/张； （2）速度的含义是单位时间内行驶的路程，所以雷声传播速度需要把路程单位和时间单位按规范组合对照复合单位“数值+单位/单位时间（或单位数量）”的书写格式，所以题干给出的雷声在空气中的传播速度是每秒340米，可以表示为340米/秒。 【详解】（1）每张桌子80元，可以写成80元/张。 （2）雷声在空气中的传播速度是每秒340米，可以写成340米/秒。 17．文文和晶晶同时从学校出发，沿同一条直路行走。文文步行速度是65米/分，晶晶步行速度是55米/分。两人反向而行，8分钟后两人相距( )米。 【答案】960 【分析】两人反向而行，8分钟后相距＝（文文的速度＋晶晶的速度）×8分钟。 【详解】（65＋55）×8 ＝120×8 ＝960（米） 18．“氓之蚩蚩，抱布贸丝”，《诗经。卫风。氓》记载了古老的物物交换。如果3匹布能换18捆丝，那么15匹布能换( )捆丝。 【答案】90 【分析】已知3匹布能换18捆丝，用兑换得到的丝的总数量除以布的总匹数，即可得到1匹布能换的丝的数量；用1匹布可兑换的丝的数量乘布的匹数15，即可得到总丝数。 【详解】18÷3×15 ＝6×15 ＝90（捆） 19．学校买来4套桌椅，每张桌子85元，每把椅子35元，一共花了多少元？ 【答案】480元 【分析】根据题意，用每张桌子的单价加上每把椅子的单价，求出一套桌椅的价钱，再用一套桌椅的价钱乘购买的套数，即可求出一共花了多少元。 【详解】（85＋35）×4 ＝120×4 ＝480（元） 答：一共花了480元。 20．周末乐乐乘车去外婆家玩，汽车每小时行驶86千米，外婆家距离乐乐家516千米，乐乐上午8：00坐车，什么时候到外婆家？ 【答案】14：00 【分析】先根据“时间＝路程÷速度”计算出到外婆家要经过的时间，再用上午8：00加上经过时间就是到达时间。 【详解】（小时） 8：00＋6小时＝14：00 答：14：00到达外婆家。 21．学校工会组织76名会员到电影院看电影，电影院的团购票有两种，第一种12张票240元，第二种8张票170元。怎样买票最省钱？至少要花多少钱？ 【答案】第一种团购票5份和第二种团购票2份；1540元 【分析】先计算两种团购票的单张价格，确定优先购买单价更低的第一种票，再通过调整第一种票的购买份数，结合剩余人数计算总费用，比较后选出最省钱的方案。 【详解】第一种票每张：240÷12＝20（元） 第二种票每张：170÷8＝21……2，即每张21元多， 20＜21，第一种票更便宜，优先买第一种票。 买6份第一种票的总费用： 76÷12＝6（份）……4（人） 剩余4人需买1份第二种票，总费用： 6×240＋1×170 ＝1440＋170 ＝1610（元） 调整为买5份第一种票，计算总费用： 5份第一种票的张数：5×12＝60（张） 剩余人数：76－60＝16（人） 剩余人数需买第二种票的份数：16÷8＝2（份） 总费用：5×240＋2×170 ＝1200＋340 ＝1540（元） 调整为买4份第一种票，计算总费用： 4份第一种票的张数：4×12＝48（张） 剩余人数：76－48＝28（人） 28÷8＝3（份）……4（人），需买4份第二种票 总费用：4×240＋4×170 ＝960＋680 ＝1640（元） 1540＜1610＜1640 答：买5份12张的团购票和2份8张的团购票最省钱，至少要花1540元。 22．甲乙两车分别从相距600千米的A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行65千米，两车出发3小时后还相差多少千米？ 【答案】195千米 【分析】思路是用总路程减去两车 3 小时行驶的路程和。两车行驶的路程和可以用速度和乘时间来计算，即路程＝速度×时间。 【详解】 （千米） 答：两车出发3小时后还相差195千米。 23．长春MDK智行汽车公司的一辆试验车，从智能光谷产业园出发前往试车场，两地相距120千米。去时满载，平均每时行驶40千米；返回时空车，平均每时行驶60千米。这辆试验车往返平均每时行多少千米？ 【答案】 48千米/时 【分析】平均速度是指总路程除以总时间，不能直接将去时的速度和返回的速度相加后除以 2。先根据时间＝路程÷速度，分别求出去时和返回的时间，再求往返的总路程和总时间，最后利用平均速度＝总路程÷总时间进行计算。 【详解】往返总路程为去时路程乘 2，往返总时间为去时时间加返回时间。 列综合算式如下： （千米/时） 答：这辆试验车往返平均每时行48千米。 24．A，B两人分别拿出5个苹果和3个苹果，这时又来了C，D两人，这样他们四个人平均分吃了这些苹果，后来C，D两人各拿出2元钱给A，B两人。问A，B两人各应得多少元？ 【答案】 A应得3元；B应得1元 【分析】理解C、D两人付出的钱是补偿A、B两人多拿出的苹果。首先计算苹果总数和每人平均分得的个数，确定A、B两人各为C、D提供了多少个苹果；然后根据C、D付出的总钱数和吃掉的苹果总数，求出每个苹果对应的钱数；最后根据A、B提供苹果的数量计算各自应得的钱数。 【详解】苹果总数：（个） 每人分得：（个） A多拿出：（个） B多拿出：（个） C、D共付钱：（元） C、D共吃：（个） 每个苹果价值：（元） A应得：（元） B应得：（元） 答：A应得3元，B应得1元。 25．汪汪队和猪猪侠一起去看电影，一张电影票28元。汪汪队共有7名成员，猪猪侠共有5名伙伴，他们买电影票一共需要多少元？ 【答案】336元 【分析】根据题意，已知电影票的单价和两个队伍的人数，要求总费用。先求出汪汪队和猪猪侠的总人数，再根据数量关系“总价单价数量"列式计算。也可以分别求出两个队伍买票的钱数，再相加求和。 【详解】 （元） 答：他们买电影票一共需要336元。 26．李阿姨带700元钱去商场购物，买了一双288元的运动鞋，她还想买一件外套，外套的价格是398元。估一估，她带的钱够不够买这件外套？写出估算的过程。 【答案】够 【分析】用估算计算够不够时，可以将每个物品的钱数估算成较接近的整十或者整百数，然后再加一起，最后与700元比较即可。 【详解】288≈300 398≈400 300＋400＝700（元） 答：她带的钱够买这件外套。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 《乘法数量关系》 典例易错讲义 知识点 1：计算基础 —— 三位数乘两位数与积的变化规律 1. 三位数乘两位数笔算法则 先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位与两位数的个位对齐； 再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位与两位数的十位对齐； 最后把两次乘得的积相加，得到最终结果。 2. 积的变化规律（核心基础） 一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0 除外），积也随之乘（或除以）相同的数。 拓展：若两个因数同时扩大，积扩大的倍数是两个因数扩大倍数的乘积。 3. 数量关系中的积变化逻辑 所有乘法数量关系都符合积的变化规律： 单一量（单价、速度、效率）不变时，总数量（数量、时间）乘几，总量（总价、路程、工作总量）也乘几； 总数量不变时，单一量乘几，总量也乘几。 典型示例 题目：计算 解： ① 个位 2 乘 124：，末位对齐个位 ② 十位 3 乘 124：，末位对齐十位 ③ 相加： 结果： 易错提醒 笔算时第二次乘积的末位对错位置，与个位对齐而非十位。 积的变化规律忽略 “0 除外” 的前提，因数除以 0 无意义。 多位数相乘时漏加进位，导致计算结果错误。 知识点 2：核心数量关系一：单价、数量与总价 1. 核心概念 单价：每件商品的价格，单位常为元 / 个、元 / 千克等。 数量：购买商品的多少，即件数、重量、个数等。 总价：购买商品一共花费的总钱数。 2. 三大核心关系式 关系式 应用场景 已知单价和数量，求一共花了多少钱 已知总价和单价，求能买多少件商品 已知总价和数量，求每件商品多少钱 3. 常见拓展题型 多商品总价：分别计算多种商品的总价，再相加求和。 找零问题：付出的钱 - 商品总价 = 找回的钱。 优惠促销：如 “买几送几”“满减”，先算实际购买数量和实际单价，再求总价。 典型示例 题目：每本笔记本 8 元，买 15 本笔记本一共需要多少钱？ 解：已知单价 8 元，数量 15 本，求总价。 （元） 答：一共需要 120 元。 题目：妈妈买 3 千克苹果花了 36 元，每千克苹果多少元？ 解：已知总价 36 元，数量 3 千克，求单价。 （元） 答：每千克苹果 12 元。 易错提醒 数量关系搞反，求单价时误用乘法，求数量时误用总价乘单价。 多商品计算时漏算某类商品的价格，导致总价错误。 优惠问题忽略赠送数量，直接按原价计算总费用。 知识点 3：核心数量关系二：速度、时间与路程 1. 核心概念 路程：物体运动一共走过的长度，单位常为米、千米等。 时间：物体运动所花费的时长，单位常为秒、分、时等。 速度：物体单位时间内走过的路程，描述运动的快慢，是复合单位，如千米 / 时（读作千米每时）、米 / 分、米 / 秒。 2. 三大核心关系式 关系式 应用场景 已知速度和时间，求一共走了多远 已知路程和速度，求需要走多久 已知路程和时间，求运动的快慢 3. 拓展题型：相遇问题（同时出发、相向而行） 两个物体从两地同时出发，相对而行，最终相遇： 总路程 = 速度和 × 相遇时间 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和 速度和 = 总路程 ÷ 相遇时间 典型示例 题目：一辆汽车每小时行驶 75 千米，从甲地到乙地行驶了 4 小时，甲乙两地相距多少千米？ 解：已知速度 75 千米 / 时，时间 4 小时，求路程。 （千米） 答：甲乙两地相距 300 千米。 题目：甲乙两地相距 240 千米，两车同时从两地出发相向而行，甲车每小时行 55 千米，乙车每小时行 65 千米，几小时后两车相遇？ 解：速度和：（千米 / 时） 相遇时间：（小时） 答：2 小时后两车相遇。 易错提醒 速度单位书写错误，只写长度单位，遗漏时间单位（如把千米 / 时写成千米）。 相遇问题忽略 “同时出发” 前提，不同时出发时需先算单独行驶的路程。 单位不统一直接计算，如速度是千米 / 时，时间用分钟，未先换算。 知识点 4：核心数量关系三：工作效率、工作时间与工作总量 1. 核心概念 工作总量：一共完成的工作量，如生产的零件总数、修路的总长度、打字的总字数等。 工作时间：完成工作所花费的时长，单位常为天、小时、分钟等。 工作效率：单位时间内完成的工作量，描述工作的快慢，如个 / 天、米 / 时、字 / 分。 2. 三大核心关系式 关系式 应用场景 已知效率和时间，求一共完成多少工作量 已知总量和效率，求需要多久完成 已知总量和时间，求单位时间完成多少 3. 拓展：合作工作问题 两人 / 多队合作完成一项工作时，总工作效率等于各方工作效率之和： 总效率 = 甲效率 + 乙效率 工作总量 = 总效率 × 合作时间 典型示例 题目：工人师傅每天生产 45 个零件，工作 12 天一共能生产多少个零件？ 解：已知工作效率 45 个 / 天，工作时间 12 天，求工作总量。 （个） 答：一共能生产 540 个零件。 题目：要加工 600 个零件，李师傅每小时加工 25 个，加工完这批零件需要多少小时？ 解：已知工作总量 600 个，工作效率 25 个 / 时，求工作时间。 （小时） 答：加工完需要 24 小时。 易错提醒 混淆工作效率和工作总量，误将总数量当作单位时间完成的数量。 合作问题中错误地将工作时间相加，正确做法是效率相加、时间不变。 场景理解偏差，如 “中途休息” 类问题，未扣除休息时间直接计算。 知识点 5：综合题型：归一问题与归总问题 1. 归一问题 题型特征：先求出单一量（如单价、速度、单产量、工作效率），再根据条件求总量或份数。 解题核心：第一步先用除法求出 “1 份是多少”。 两类细分： 正归一：先求单一量，再求几个单一量的总量（先除后乘） 反归一：先求单一量，再求包含多少个单一量（先除后除） 典型示例 题目：买 5 支钢笔花了 60 元，买 12 支同样的钢笔需要多少钱？ 解：先求单价（单一量）：（元） 再求 12 支总价：（元） 答：需要 144 元。 2. 归总问题 题型特征：先求出总数量（总价、总路程、工作总量），再根据新的单一量求份数，或根据新的份数求单一量。 解题核心：第一步先用乘法求出 “总量是多少”，总量始终不变。 典型示例 题目：一本书每天读 30 页，8 天可以读完。如果每天读 40 页，几天可以读完？ 解：先求总页数（总量）：（页） 再求新天数：（天） 答：6 天可以读完。 易错提醒 分不清归一和归总，第一步乘除搞反，导致整题错误。 归总问题中误以为总量随单一量变化，忽略 “总量不变” 的核心前提。 多步计算时中间结果算错，后续步骤全部偏差。 知识点 6：连乘与乘除混合实际问题 1. 连乘问题 题型特征：存在两个维度的数量关系，需要连续两次用乘法求总量。 常见场景：方阵人数、货物装箱、多排多列物品计数、多组多人工作总量等。 解题思路：可以先求每份数量再乘份数，也可以先求总份数再乘每份数量。 典型示例 题目：超市运进 5 箱饮料，每箱有 12 瓶，每瓶 4 元，这些饮料一共价值多少元？ 解：方法一：先算总瓶数，再算总价 总瓶数：（瓶） 总价：（元） 方法二：先算每箱价格，再算总价 每箱价格：（元） 总价：（元） 答：一共价值 240 元。 2. 乘除混合问题 题型特征：既有乘法求总量，又有除法求单一量或份数，多为归一、归总的复合题型。 解题关键：理清数量关系，明确先算什么、后算什么，必要时借助小括号调整运算顺序。 易错提醒 连乘问题中因数重复相乘，导致结果倍数错误。 列综合算式时遗漏小括号，运算顺序出错。 解题思路不清晰，盲目堆砌数字，未对应数量关系。 常考易错 题型1：乘、除法的意义及各部分的关系 【典例精讲1】根据14×25＝350，写出一道乘法算式和一道除法算式：( )。 常考易错 题型2：乘除法解决实际问题 【典例精讲2】南店里有4盒钢笔，每盒6支，共有多少支钢笔？若把这些钢笔分给8个同学，则每个同学分到几支钢笔？ 常考易错 题型3：经济问题 【典例精讲3】教育部在2026年春季对“中小学生每天综合体育活动不低于2小时”这一要求，在全国范围内全面部署并强调刚性落实。实验小学为丰富学生的体育活动，购买了23个篮球和45个足球，一共花了2605元。已知每个篮球35元，每个足球多少钱？ 常考易错 题型4：基础行程问题 【典例精讲4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时相遇，甲车再行驶3小时就能到达B地，已知甲车每小时比乙车多行驶15千米。A、B两地相距多少千米？ 专项精练 1．已知○＋△＝□，○×△＝☆（○，△不为0），下面算式正确的是（    ）。 A．□＋△＝○ B．☆×○＝△ C．□÷△＝○ D．☆÷△＝○ 2．已知，，下列算式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．某商店举行“买四送一”活动，每瓶矿泉水2元，小明想买10瓶，最少需要花（    ）元。 A．20 B．18 C．16 D．15 4．王叔叔开车前往距离360千米的千岛湖，汽车平均每小时行驶80千米。中途加了一次“92号”汽油，汽油单价为每升7.97元。若王叔叔一共支付300元油费，他能加多少升汽油？解决这个问题列式为“300÷7.97”，所用的数量关系是（    ）。 A．总价÷单价＝数量 B．总价÷数量＝单价 C．路程÷速度＝时间 D．路程÷时间＝速度 5．丁叔叔乘高铁从甲城到乙城，13：50从家出发去高铁站，乘坐的高铁14：50发车，17：50到达乙城，一共行驶了840千米。这列高铁的平均速度是（    ）。 A．210千米/时 B．210时/千米 C．280千米/时 D．280时/千米 6．淘气在计算一个三位数除以3时，马虎地将除数3看成了5，计算的结果是64……1，正确的商应该是（　　）。 A．106 B．107 C．117 D．321 7．一盒乐高玩具189元，幼儿园买了5盒。如果全部付一百元一张的人民币，至少要付（    ）张。 A．8 B．9 C．10 D．11 8．体育用品店进行“买四送一”的促销活动，每个篮球的原价是50元，育华小学要买这样的16个篮球，优惠后要花（    ）。 A．640元 B．650元 C．700元 D．800元 9．买2瓶饮料需要8元，买6瓶这样的饮料需要( )元。 10．在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数的和是81，商和余数都是5，除数是( )，被除数是( )。 11．根据，可以直接得出( )。 12．陵水一家圣女果采摘乐园的入园费单价为每人10元，可写成( )。新新一家三口前去采摘，应付入园费( )元。 13．为保护学生视力，学校购进了一批护眼灯。如果每间教室安装8盏，这批护眼灯刚好可供12间教室使用；如果每间教室安装4盏，这批护眼灯可供( )间教室使用。 14．面包每个6元，面包店搞促销活动买3个送1个，54元钱最多能得到( )个这样的面包。 15．一辆汽车在公路上匀速行驶，3小时行210千米，汽车的速度是( )；李老师用530元买了5个同样的足球，足球的单价是( )。 16．每张桌子80元，可以写成( )，雷声在空气中的传播速度是每秒340米，可以写成( )。 17．文文和晶晶同时从学校出发，沿同一条直路行走。文文步行速度是65米/分，晶晶步行速度是55米/分。两人反向而行，8分钟后两人相距( )米。 18．“氓之蚩蚩，抱布贸丝”，《诗经。卫风。氓》记载了古老的物物交换。如果3匹布能换18捆丝，那么15匹布能换( )捆丝。 19．学校买来4套桌椅，每张桌子85元，每把椅子35元，一共花了多少元？ 20．周末乐乐乘车去外婆家玩，汽车每小时行驶86千米，外婆家距离乐乐家516千米，乐乐上午8：00坐车，什么时候到外婆家？ 21．学校工会组织76名会员到电影院看电影，电影院的团购票有两种，第一种12张票240元，第二种8张票170元。怎样买票最省钱？至少要花多少钱？ 22．甲乙两车分别从相距600千米的A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行65千米，两车出发3小时后还相差多少千米？ 23．长春MDK智行汽车公司的一辆试验车，从智能光谷产业园出发前往试车场，两地相距120千米。去时满载，平均每时行驶40千米；返回时空车，平均每时行驶60千米。这辆试验车往返平均每时行多少千米？ 24．A，B两人分别拿出5个苹果和3个苹果，这时又来了C，D两人，这样他们四个人平均分吃了这些苹果，后来C，D两人各拿出2元钱给A，B两人。问A，B两人各应得多少元？ 25．汪汪队和猪猪侠一起去看电影，一张电影票28元。汪汪队共有7名成员，猪猪侠共有5名伙伴，他们买电影票一共需要多少元？ 26．李阿姨带700元钱去商场购物，买了一双288元的运动鞋，她还想买一件外套，外套的价格是398元。估一估，她带的钱够不够买这件外套？写出估算的过程。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $