《周长与面积的变化》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年四年级数学上册(苏教版·新教材)

该小学数学《周长与面积的变化》讲义以“一个量固定调整形状”为核心线索构建知识体系，通过表格枚举验证（如面积16平方厘米时不同长宽的周长对比）、核心规律提炼（面积固定正方形周长最短等）和实际应用分类（拼接裁剪、一面靠墙围篱笆），系统呈现周长与面积变化的重难点及内在联系。 讲义亮点在于“典例+易错”双轨设计，如“用12个小正方形拼长方形求最短周长”通过分解因数找最接近长宽，结合几何直观培养推理意识，“一面靠墙围篱笆”模型引导学生用数学语言表达实际问题。专项精练覆盖选择、填空、解答题，易错提醒帮助不同层次学生规避错误，为教师精准教学提供支持。

《周长与面积的变化》 典例易错讲义 知识点 1：基础公式回顾 1. 核心计算公式 长方形周长：（ 为长， 为宽） 长方形面积： 正方形周长：（ 为边长） 正方形面积： 2. 研究前提 本单元所有最值规律，均以 “图形为长方形或正方形” 为前提，重点研究一个量固定不变，调整形状时另一个量的变化趋势，核心是找到周长的最小值或面积的最大值。 知识点 2：面积固定，求最短周长（核心专项） 1. 核心规律 当长方形的面积保持不变时，长和宽的长度越接近，图形的周长越短；当长和宽相等（成为正方形）时，周长达到最小值。 反之，长和宽的差距越大，图形的周长越长。 2. 枚举验证（面积为 16 平方厘米） 用面积为 1 平方厘米的小正方形摆长方形，总面积固定为 16 平方厘米，长、宽均取整厘米数： 长（厘米） 宽（厘米） 面积（平方厘米） 周长（厘米） 16 1 16 34 8 2 16 20 4 4 16 16 结论：面积相等的长方形和正方形，正方形的周长最短。 3. 常考题型一：已知面积，直接求最短周长 解题方法： 先对面积值分解因数，找出所有可能的长和宽的组合； 计算每组对应的周长，对比找到最小值； 快速结论：能拼成正方形时，正方形周长就是最短周长。 典型示例 题目：一个长方形的面积是 36 平方分米，长和宽都是整分米数，它的周长最短是多少分米？ 解：面积 36 平方分米的长方形，长和宽的组合有：36×1、18×2、12×3、9×4、6×6。 当长 = 宽 = 6 分米时，为正方形，周长最短。 最短周长：（分米） 答：周长最短是 24 分米。 4. 常考题型二：固定数量小正方形拼图形，求最短周长 解题方法： 小正方形总数固定，即总面积固定； 将总个数分解成两个整数相乘（行数 × 列数），两个因数越接近，拼成的图形周长越短； 当总个数是完全平方数时，拼成正方形周长最短。 典型示例 题目：用 12 个边长 1 厘米的小正方形拼成长方形，拼成的图形周长最短是多少厘米？ 解：12 个小正方形总面积固定，拼法有：1×12、2×6、3×4。 长和宽最接近的是 3 厘米和 4 厘米。 最短周长：（厘米） 答：周长最短是 14 厘米。 易错提醒 误以为面积大的长方形周长一定更长，忽略形状差异对周长的影响。 分解因数时遗漏组合，导致找不到最短周长的长和宽。 计算周长时漏乘 2，直接用长加宽作为周长结果。 知识点 3：周长固定，求最大面积 1. 核心规律 当长方形的周长保持不变时，长和宽的长度越接近，图形的面积越大；当长和宽相等（成为正方形）时，面积达到最大值。 反之，长和宽的差距越大，图形的面积越小。 2. 枚举验证（周长为 20 厘米） 用一根长 20 厘米的铁丝围长方形，长、宽均取整厘米数，则长 + 宽 = 10 厘米： 长（厘米） 宽（厘米） 周长（厘米） 面积（平方厘米） 9 1 20 9 8 2 20 16 7 3 20 21 6 4 20 24 5 5 20 25 结论：周长相等的长方形和正方形，正方形的面积最大。 典型示例 题目：用一根长 48 厘米的铁丝围一个长方形，围成的图形面积最大是多少平方厘米？ 解：周长固定时，围成正方形面积最大。 正方形边长：（厘米） 最大面积：（平方厘米） 答：面积最大是 144 平方厘米。 易错提醒 混淆两条核心规律，记反 “面积定正方形周长最短” 和 “周长定正方形面积最大”。 解决 “一面靠墙” 问题时，直接套用正方形最大的结论，忽略前提是 “四面都围”。 知识点 4：图形拼接中的周长变化与最短周长方案 1. 拼接的基本规律 将若干个相同的小长方形 / 正方形拼接成一个大图形： 总面积不变：大图形面积 = 所有小图形面积之和 总周长减少：每拼接 1 次，有 2 条边重合隐藏，总周长减少 2 条重合边的长度 2. 拼接求最短周长的核心原则 要让拼成的大图形周长最短，就要让重合的边总长度最长，即尽可能让更多的长边重合，或让拼接后图形的长和宽最接近。 拼接正方形：优先选择能拼成正方形的方案，周长最短； 拼接长方形：长和宽越接近，周长越短； 小长方形拼接：让长边重合的拼接方式，比拼短边的周长更短。 典型示例 题目：用两个长 8 厘米、宽 3 厘米的小长方形拼大长方形，怎样拼周长最短？最短周长是多少？ 解：有两种拼法： ① 宽边重合：长 16 厘米，宽 3 厘米，周长 =厘米 ② 长边重合：长 8 厘米，宽 6 厘米，周长 =厘米 ，长边重合时周长更短。 答：将长边重合拼接周长最短，最短周长是 28 厘米。 易错提醒 误以为拼接后周长和面积都不变，忽略重合边会让总周长减少。 计算减少的周长时只算 1 条边，遗漏每次拼接重合 2 条边。 多个图形拼接时，只考虑一种拼法，找不到最优方案。 知识点 5：边长缩放引起的周长与面积变化 1. 正方形的缩放规律 正方形的边长扩大到原来的倍： 周长扩大到原来的倍； 面积扩大到原来的（的平方）倍。 反之，边长缩小到原来的，周长缩小到原来的，面积缩小到原来的。 2. 长方形的缩放规律 长和宽同时扩大到原来的倍：周长扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍； 仅一条边扩大、另一条边不变：面积扩大倍数与边长扩大倍数相同，周长无固定整倍数关系。 典型示例 题目：正方形的边长扩大到原来的 3 倍，周长扩大到原来的几倍？面积扩大到原来的几倍？ 解：周长扩大倍数与边长一致，为 3 倍； 面积扩大倍。 答：周长扩大到原来的 3 倍，面积扩大到原来的 9 倍。 易错提醒 混淆周长和面积的扩大倍数，误以为面积也随边长扩大倍。 仅一条边变化时，错误套用 “长宽同时扩大” 的倍数规律。 知识点 6：图形裁剪中的周长变化规律 1. 裁剪的基本规律 将一个大长方形 / 正方形裁剪成若干个小图形： 总面积不变：所有小图形面积之和 = 原大图形面积 总周长增加：每裁剪 1 次，新增 2 条裁剪边，总周长增加 2 条裁剪边的长度 2. 裁剪的两种方向 将一个长方形剪成两个完全相同的小长方形： 沿长裁剪（平行于宽剪）：增加 2 条宽的长度，总周长增加较少； 沿宽裁剪（平行于长剪）：增加 2 条长的长度，总周长增加较多。 典型示例 题目：把一个长 10 厘米、宽 6 厘米的长方形剪成两个完全一样的小长方形，周长最多增加多少厘米？ 解：沿宽裁剪（平行于长剪）增加的长度更多。 增加的长度：（厘米） 答：周长最多增加 20 厘米。 易错提醒 误以为裁剪后总面积和总周长都不变，忽略裁剪会增加周长。 计算增加的周长时只算 1 条边，遗漏裁剪一次新增 2 条边。 忽略裁剪方向不同，周长增加量不同。 知识点 7：最短周长的实际应用 1. 一面靠墙围篱笆（最省材料问题） 题型特征：用固定长度的篱笆一面靠墙围菜地，求最大面积；或围固定面积的菜地，求最少篱笆长度。 核心规律（长边靠墙）：当长是宽的 2 倍且长边靠墙时，相同篱笆长度围出的面积最大；围固定面积时所需篱笆最短。 原理：相当于用篱笆围 2 条宽 + 1 条长，总长度平均分成 4 份，宽占 1 份，长占 2 份。 典型示例 题目：用 24 米长的篱笆一面靠墙围一个长方形菜地，怎样围最节省材料且面积最大？最大面积是多少？ 解：长边靠墙时面积最大，长 = 2× 宽。 宽：（米） 长：（米） 面积：（平方米） 答：长 12 米、宽 6 米且长边靠墙时面积最大，最大面积是 72 平方米。 2. 拼组桌面 / 展板问题 用固定数量的小木板、小瓷砖拼大图形，求周长最短的拼法，本质是面积固定求最短周长，按 “长和宽最接近” 的原则选择方案即可。 易错提醒 不区分 “四面都围” 和 “一面靠墙”，直接套用正方形最优的结论。 计算靠墙问题时，仍按四条边算周长，忽略靠墙的一边无需篱笆。 常考易错 题型1：求最短周长（长方形和正方形） 【典例精讲1】一个长方形花圃，长16米，宽9米。 （1）在花圃四周围上栅栏，栅栏长多少米？ （2）如果花圃一面靠墙，栅栏至少长多少米？ 【答案】（1）50米；（2）34米 【分析】（1）根据长方形周长＝（长＋宽）×2，把长16米，宽9米代入公式计算； （2）如果花圃一面靠墙，可以是一边长靠墙，栅栏总长是1条长加2条宽的和，也可以是一边宽靠墙，栅栏总长是1条宽加2条长的和，再比较哪种情况最短。 【详解】（1）（16＋9）×2 ＝25×2 ＝50（米） 答：栅栏长50米。 （2）16＋2×9 ＝16＋18 ＝34（米） 9＋16×2 ＝9＋32 ＝41（米） 34＜41 答：栅栏至少长34米。 专项精练 1．一个长方形花坛，长8米，宽6米，花坛的一边靠墙，要给花坛其它几条边围上围栏，至少需要（    ）米长的围栏。 A．48 B．28 C．20 【答案】C 【分析】要使围栏长度最短，应将长方形较长的边靠墙，只需计算剩余3条边的长度和即可。 【详解】 （米） 2．用4张长5厘米、宽2厘米的长方形纸摆成下面的图形。周长最短的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】单个长方形的长5厘米、宽2厘米，观察选项中的图形，分别计算选项中的组合长方形的长和宽并计算周长，找出周长最短的选项。 【详解】A．长是5×2＝10（厘米），宽是2×2＝4（厘米），周长为10×2＋4×2＝20＋8＝28（厘米）； B．长是2×4＝8（厘米），宽是5（厘米），周长为8×2＋5×2＝16＋10＝26（厘米）； C．长是5×4＝20（厘米），宽是2（厘米），周长为20×2＋2×2＝40＋4＝44（厘米）。 综上所述，周长最短的是B中的图形，周长为26厘米。 3．王奶奶在菜园用篱笆围了一个长12米、宽8米的长方形区域用于种瓜苗，其中有一面靠墙。至少需要用（    ）米的篱笆。 A．40 B．30 C．28 【答案】C 【分析】12＞8，根据题意，为节省篱笆应使较长边靠墙。将长方形菜地的长靠墙，篱笆的长度为长方形的两个宽＋一个长，据此解答即可。 【详解】8＋8＋12 ＝16＋12 ＝28（米） 4．道路维修，为了保障安全，某施工队要围一个长35m，宽6m的长方形安全区，安全区一面靠墙，其他3面用围栏围起来，至少要用（    ）m长的围栏。 A．41 B．47 C．76 【答案】B 【分析】要让围栏总长度最短，需要让较长的边（长）靠墙，只需要围条长和条宽，计算篱笆长度即可。 【详解】 （m） 至少要用m长的围栏。 5．把18幅绘画作品贴在一起，做一个“绘画园地”。要在“绘画园地”的四周贴上花边，最少需要贴（    ）分米的花边。 A．18 B．36 C．44 【答案】B 【分析】绘画园地要将18幅绘画作品排满整行，那么越接近正方形，它的周长就越小，所以将18分成3行，每行6幅，能使花边最少。 【详解】根据对题目的分析，可知，排成3排，每排6个贴的花边最少。 （6＋3）×2×2 ＝9×2×2 ＝18×2 ＝36（分米） 所以排成3排，每排6个贴的花边最少，周长为36分米。 故答案为：B 6．一块长方形菜地，其中一边靠墙，长和宽分别是8米和5米，如果用篱笆围，那么至少要围（    ）米的篱笆。 A．18 B．21 C．26 【答案】A 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，根据题意，长方形的菜地，有一面靠墙，可以是长靠墙，也可以是宽靠墙。算出两种靠墙时篱笆的长度，看哪一种最少即可。 【详解】当一条长靠墙时，5×2＝10（米），10＋8＝18（米）。 当一条宽靠墙时，8×2＝16（米）16＋5＝21（米） 18＜21 所以，至少要围18米的篱笆。 故答案为：A 7．下面是由边长为1厘米的正方形摆成的图形，周长最大的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】封闭图形一周的长度叫作该图形的周长，已知小正方形的变成为1厘米，根据正方形周长＝边长×4，长方形周长＝（长＋宽）×2，计算出每个选项图形的周长，选出最大的即可。 【详解】A．正方形边长为2厘米，周长：2×4＝8（厘米）； B．长方形长为4厘米宽为1厘米，周长：（4＋1）×2＝5×2＝10（厘米）； C．将缺口处横着和竖着的线段向外扩得到一个边长为3厘米的正方形，周长：3×4＝12（厘米）。 8＜10＜12 周长最大的是。 故答案为：C 8．用12个边长1厘米的正方形拼成长方形，周长最短是（    ）。 A．16厘米 B．14厘米 C．12厘米 【答案】B 【分析】用12个边长1厘米的正方形拼成不同的长方形，有三种不同的拼法：①是12个正方形拼成1行12列的长方形，此时的长方形的长为12厘米、宽为1厘米；②是12个正方形拼成2行6列的长方形，此时的长方形长为6厘米、宽为2厘米；③是12个正方形拼成3行4列的长方形，此时的长方形长为4厘米、宽为3厘米。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，由此求出三种情况的长方形的周长，就可以得到结论。 【详解】①（1＋12）×2＝13×2＝26（厘米） ②（2＋6）×2＝8×2＝16（厘米） ③（3＋4）×2＝7×2＝14（厘米） 26＞16＞14，所以用12个正方形拼成3行4列的长方形的周长最短，最短为14厘米。 故答案为：B 9．一个长方形花坛，长7米，宽5米，花坛的一边靠墙，要给花坛其他几条边围上围栏，至少要( )米长的围栏。 【答案】17 【分析】要使围栏长度最短，应将长方形较长的边靠墙，只需计算剩余3条边的长度和即可。 【详解】7＋5×2 ＝7＋10 ＝17（米） 因此至少要17米长的围栏。 10．如图，一块长方形菜地，长8米，宽3米。四周围上篱笆，篱笆要( )米。如果一面靠墙，篱笆至少是( )米。 【答案】 22 14 【分析】求四周围篱笆的长度，因为是求长方形的周长，所以用长方形周长＝（长＋宽）×2计算即可。 求一面靠墙时篱笆的最小长度，要让篱笆最短，就需要把最长的边靠墙，所以只需计算剩下的三条边的长度和。 【详解】四周围上篱笆，篱笆的长度为： （8＋3）×2 ＝11×2 ＝22（米） 如果一面靠墙，把最长的边靠墙，篱笆最短为： 3×2＋8 ＝6＋8 ＝14（米） 11．李大叔用18根1米长的木条能围成( )种不同的长方形（取整米数），在长为( )米，宽为( )米的情况下，面积最大。 【答案】 4 5 4 【分析】先根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”计算出长与宽的和；然后结合长和宽取整米数的条件找出所有长和宽的组合；再根据“长方形的面积＝长×宽”计算出每种组合的面积；最后找出面积最大的组合。 【详解】长和宽的和为：18÷2＝9（米） 因为长和宽取整米数，且长大于宽，所以可能的组合有： 当宽为1米时，长为9－1＝8（米），此时面积为1×8＝8（平方米）； 当宽为2米时，长为9－2＝7（米），此时面积为2×7＝14（平方米）； 当宽为3米时，长为9－3＝6（米），此时面积为3×6＝18（平方米）； 当宽为4米时，长为9－4＝5（米），此时面积为4×5＝20（平方米）； 所以，能围成4种不同的长方形；因为8＜14＜18＜20，所以在长为5米，宽为4米时，面积最大。 12．用18张边长是1分米的正方形纸拼成的长方形中，周长最短的长方形长( )分米，宽( )分米。 【答案】 6 3 【分析】用18张边长是1分米的正方形纸拼成的长方形，可以拼成一行，此时长18分米，宽1分米；还可以拼成两行，一行9个，此时长9分米，宽2分米；还可以拼成三行，一行6个，此时长6分米，宽3分米；长方形周长＝（长＋宽）×2，求出最短周长，此时看长宽各是多少，据此解题。 【详解】 （18＋1）×2 ＝19×2 ＝38（分米） （9＋2）×2 ＝11×2 ＝22（分米） （6＋3）×2 ＝9×2 ＝18（分米） 38＞22＞18，所以用18张边长是1分米的正方形纸拼成的长方形中，周长最短的长方形长6分米，宽3分米。 13．爷爷用篱笆围一个长8米，宽6米的长方形鸡舍（一面靠墙），篱笆至少长( )米。 【答案】20 【分析】根据题意，要使用的篱笆长度最短，则长方形鸡舍的长靠墙，此时需要的篱笆长度为1条长和2条宽，据此代入数字即可计算出篱笆至少长多少米。 【详解】8＋6＋6 ＝14＋6 ＝20（米） 爷爷用篱笆围一个长8米，宽6米的长方形鸡舍（一面靠墙），篱笆至少长20米。 14．用30个边长1厘米的小正方形拼大长方形，一共有( )种不同的拼法，周长最小是( )厘米。 【答案】 4 22 【分析】用30个边长1厘米的小正方形拼大长方形，则拼成的长方形面积等于30平方厘米，又因长方形的面积＝长×宽，所以可以用列举法找出组成30的全部乘法算式，即可得出拼成长方形的长和宽，再根据长和宽的值计算出最短的周长。 【详解】因为30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6，所以可以有以下4种拼法：宽1厘米，长30厘米；宽2厘米，长15厘米；宽3厘米，长10厘米；宽5厘米，长6厘米。它们的周长分别是（30＋1）×2＝31×2＝62（厘米），（15＋2）×2＝17×2＝34（厘米），（10＋3）×2＝13×2＝26（厘米），（6＋5）×2＝11×2＝22（厘米），所以周长最小是22厘米。 所以，用30个边长为1厘米的小正方形拼大长方形，一共有4种不同的拼法，周长最小是22厘米。 15．用26根1分米长的小棒围成一个长方形，一共有( )种不同的围法，围成的长方形面积最大是( )平方分米。 【答案】 6 42 【分析】根据题意可知，长方形的周长是26分米，长方形的周长＝（长＋宽）×2，由此可知长方形长与宽的和是26÷2＝13（厘米），求一共有多少种围法，也就是求和是13的两个数（整数）有多少对；长方形的长与宽越接近，其面积越大。 【详解】26÷2＝13（厘米） 13＝1＋12＝2＋11＝3＋10＝4＋9＝5＋8＝6＋7，所以一共有6种不同的围法。 当长、宽分别是7分米、6分米时面积最大，6×7＝42（平方分米），面积最大是42平方分米。 【点睛】此题考查了长方形周长和面积的综合应用，明确长方形的长、宽都是整数，先确定长、宽分别是多少是解题关键。 16．李伯伯用篱笆围了个一边靠墙的长方形养鸡场，这个养鸡场长12.2米，宽7.8米。围这个养鸡场至少要用( )米长的篱笆（接头处和损耗不算）。 【答案】 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，要使篱笆最短，则养鸡场长边靠墙。此时篱笆长度为一条长＋两条宽，代入数据计算即可。 【详解】12.2＋7.8＋7.8 ＝20＋7.8 ＝27.8（米） 17．我的结论：用相同个数的小正方形拼长方形（或正方形），长与宽越接近，周长越( )。 【答案】短 【分析】在小正方形数量固定的前提下，长方形的长与宽差距越小，其周长就越短。当长与宽相等时（即拼成正方形），周长达到最小值。 【详解】例如16个边长1cm的小正方形拼成长方形， 可以拼成宽1cm，长16cm，周长为 （cm） 拼成宽2cm，长8cm，周长为 （cm） 拼成边长4cm正方形，周长为（cm） 所以，用相同个数的小正方形拼成长方形（或正方形），长与宽越接近，周长越短。 18．李伯伯准备用篱笆围一个苗圃，如图，李伯伯的儿子认为这么围浪费篱笆，决定帮父亲改一改，长和宽都不变，还是将一面靠墙，改围后一共用去篱笆( )米，比原来节约了( )米。 【答案】 28 4 【分析】李伯伯的儿子将长方形的长那边靠墙，减少一些篱笆，改围后此时的篱笆长度为一个长加上两个宽，改之前篱笆长度是两个长加一个宽，用原来的篱笆长度减去现在的篱笆长度。 【详解】12＋8＋8＝28（米） 12＋12＋8＝32（米） 32－28＝4（米） 因此，改围后一共用去篱笆28米，比原来节约了4米。 19．王奶奶想在院子里用篱笆围一块长方形的菜地，长15米，宽10米。菜地其中一面靠墙（墙足够长），其余三面围上篱笆。王奶奶想尽量节省篱笆材料，请你帮她算一算，这块菜地最少需要围多少米长的篱笆？ 【答案】35米 【分析】篱笆仅围三面，要节省材料，需让靠墙的边尽可能长，这样省去的篱笆最多。可分别计算长靠墙和宽靠墙时的篱笆长度，比较后得出最小值。 【详解】第一种：长的一边靠墙，篱笆长为2条宽加1条长。 ＝20 ＋ 15 （米） 第二种：宽的一边靠墙，篱笆长为2条长加1条宽。 ＝30 ＋ 10 （米） 因为，所以最少需要围35米长的篱笆。 20．校园农场准备用篱笆围一块长方形菜地，菜地长16米，宽9米，菜地一面靠墙。围这块菜地至少需要多少米长的篱笆？这块菜地的面积是多少平方米？ 【答案】34米；144平方米 【分析】长方形一面靠墙，想要篱笆长度最短，需要让较长的长边靠墙。长方形面积＝长×宽。 （1）求最少篱笆长度：长边靠墙，篱笆长度＝长＋宽×2。 （2）求菜地面积：直接利用长方形面积公式计算。 【详解】16＋9×2 ＝16＋18 ＝34（米） 16×9＝144（平方米） 答：围这块菜地至少需要34米长的篱笆，这块菜地的面积是144平方米。 21．奶奶想靠墙围一个长方形的蔬菜园（靠墙的一面不需要围栏），长是7米，宽是5米。需要多长的围栏？（先画一画，再列式计算） 【答案】 有两种围法：1. 长靠墙时，需要17米长的围栏；2. 宽靠墙时，需要19米长的围栏。 【分析】墙长10米，长方形的长7米、宽5米，长或宽都可以靠墙。长靠墙时围栏长度＝长＋2×宽；宽靠墙时围栏长度＝宽＋2×长。 【详解】长靠墙： 7＋5×2 ＝7＋10 ＝17（米） 宽靠墙： 5＋7×2 ＝5＋14 ＝19（米） 答：长靠墙需要17米围栏，宽靠墙需要19米围栏。图略。 22．如图，王奶奶靠墙用铁丝网围一个长方形鸡舍，鸡舍长13米，宽8米，一边借助墙面不用铁丝网，围这个鸡舍最少要用多长的铁丝网？ 【答案】29米 【分析】靠墙用铁丝网围一个长方形鸡舍，最少要用多长的铁丝网，选择长边靠墙时用的铁丝网最少，此时三条边分别是13米、8米、8米，把三条边相加即可。 【详解】 （米） 答：围这个鸡舍最少要用29米长的铁丝网。 23．福清一都镇被誉为“中国枇杷之乡”。果农王伯伯打算围一块长6米，宽4米的长方形作为枇杷育苗地，其中一边靠着院墙（靠墙的一边不用围篱笆），围上这块地，至少需要多少米篱笆？（先画出示意图，再列式计算） 【答案】 14米 【分析】由题意可知，果农王伯伯打算围一块长6米，宽4米的长方形作为枇杷育苗地，其中一边靠着院墙（靠墙的一边不用围篱笆），要想所用篱笆最少，则长靠墙，因此画图时长靠墙即可。周长为1条长加2条宽。 【详解】图略 （米） 答：至少需要14米篱笆。 24．给一个长13米，宽8米的长方形鸡舍围篱笆。如果鸡舍的一面靠墙，那么至少需要多少米长的篱笆？（墙足够长） 【答案】29米 【分析】要使所用篱笆最少，那么就要长方形的长靠墙，再根据长方形周长＝（长＋宽）×2，那么篱笆至少长＝宽＋宽＋长，即可解答。 【详解】8＋8＋13 ＝16＋13 ＝29（米） 答：至少需要29米长的篱笆。 25．小明家想要新建一个长方形花圃（如下图），计划一面靠墙、其它三面用篱笆围起来，你能算出最少要准备多少米的篱笆吗？ 【答案】12米 【分析】要使篱笆最少，应将长方形花圃的长边靠墙，篱笆的长度是长方形的1个长边长度加上2个宽边长度；据此解答即可。 【详解】6＋3＋3＝12（米） 答：最少要准备12米的篱笆。 26．王爷爷有一面靠墙的长方形菜地（如图），长23米，宽15米，现在要给其他三面围上篱笆，至少要围多少米的篱笆？ 【答案】53米 【分析】要想围的篱笆最少，需要将长的那条边靠墙，也就是将23米靠墙，篱笆的长度＝长＋宽×2，据此解题。 【详解】23＋15×2 ＝23＋30 ＝53（米） 答：至少要围53米的篱笆。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《周长与面积的变化》 典例易错讲义 知识点 1：基础公式回顾 1. 核心计算公式 长方形周长：（ 为长， 为宽） 长方形面积： 正方形周长：（ 为边长） 正方形面积： 2. 研究前提 本单元所有最值规律，均以 “图形为长方形或正方形” 为前提，重点研究一个量固定不变，调整形状时另一个量的变化趋势，核心是找到周长的最小值或面积的最大值。 知识点 2：面积固定，求最短周长（核心专项） 1. 核心规律 当长方形的面积保持不变时，长和宽的长度越接近，图形的周长越短；当长和宽相等（成为正方形）时，周长达到最小值。 反之，长和宽的差距越大，图形的周长越长。 2. 枚举验证（面积为 16 平方厘米） 用面积为 1 平方厘米的小正方形摆长方形，总面积固定为 16 平方厘米，长、宽均取整厘米数： 长（厘米） 宽（厘米） 面积（平方厘米） 周长（厘米） 16 1 16 34 8 2 16 20 4 4 16 16 结论：面积相等的长方形和正方形，正方形的周长最短。 3. 常考题型一：已知面积，直接求最短周长 解题方法： 先对面积值分解因数，找出所有可能的长和宽的组合； 计算每组对应的周长，对比找到最小值； 快速结论：能拼成正方形时，正方形周长就是最短周长。 典型示例 题目：一个长方形的面积是 36 平方分米，长和宽都是整分米数，它的周长最短是多少分米？ 解：面积 36 平方分米的长方形，长和宽的组合有：36×1、18×2、12×3、9×4、6×6。 当长 = 宽 = 6 分米时，为正方形，周长最短。 最短周长：（分米） 答：周长最短是 24 分米。 4. 常考题型二：固定数量小正方形拼图形，求最短周长 解题方法： 小正方形总数固定，即总面积固定； 将总个数分解成两个整数相乘（行数 × 列数），两个因数越接近，拼成的图形周长越短； 当总个数是完全平方数时，拼成正方形周长最短。 典型示例 题目：用 12 个边长 1 厘米的小正方形拼成长方形，拼成的图形周长最短是多少厘米？ 解：12 个小正方形总面积固定，拼法有：1×12、2×6、3×4。 长和宽最接近的是 3 厘米和 4 厘米。 最短周长：（厘米） 答：周长最短是 14 厘米。 易错提醒 误以为面积大的长方形周长一定更长，忽略形状差异对周长的影响。 分解因数时遗漏组合，导致找不到最短周长的长和宽。 计算周长时漏乘 2，直接用长加宽作为周长结果。 知识点 3：周长固定，求最大面积 1. 核心规律 当长方形的周长保持不变时，长和宽的长度越接近，图形的面积越大；当长和宽相等（成为正方形）时，面积达到最大值。 反之，长和宽的差距越大，图形的面积越小。 2. 枚举验证（周长为 20 厘米） 用一根长 20 厘米的铁丝围长方形，长、宽均取整厘米数，则长 + 宽 = 10 厘米： 长（厘米） 宽（厘米） 周长（厘米） 面积（平方厘米） 9 1 20 9 8 2 20 16 7 3 20 21 6 4 20 24 5 5 20 25 结论：周长相等的长方形和正方形，正方形的面积最大。 典型示例 题目：用一根长 48 厘米的铁丝围一个长方形，围成的图形面积最大是多少平方厘米？ 解：周长固定时，围成正方形面积最大。 正方形边长：（厘米） 最大面积：（平方厘米） 答：面积最大是 144 平方厘米。 易错提醒 混淆两条核心规律，记反 “面积定正方形周长最短” 和 “周长定正方形面积最大”。 解决 “一面靠墙” 问题时，直接套用正方形最大的结论，忽略前提是 “四面都围”。 知识点 4：图形拼接中的周长变化与最短周长方案 1. 拼接的基本规律 将若干个相同的小长方形 / 正方形拼接成一个大图形： 总面积不变：大图形面积 = 所有小图形面积之和 总周长减少：每拼接 1 次，有 2 条边重合隐藏，总周长减少 2 条重合边的长度 2. 拼接求最短周长的核心原则 要让拼成的大图形周长最短，就要让重合的边总长度最长，即尽可能让更多的长边重合，或让拼接后图形的长和宽最接近。 拼接正方形：优先选择能拼成正方形的方案，周长最短； 拼接长方形：长和宽越接近，周长越短； 小长方形拼接：让长边重合的拼接方式，比拼短边的周长更短。 典型示例 题目：用两个长 8 厘米、宽 3 厘米的小长方形拼大长方形，怎样拼周长最短？最短周长是多少？ 解：有两种拼法： ① 宽边重合：长 16 厘米，宽 3 厘米，周长 =厘米 ② 长边重合：长 8 厘米，宽 6 厘米，周长 =厘米 ，长边重合时周长更短。 答：将长边重合拼接周长最短，最短周长是 28 厘米。 易错提醒 误以为拼接后周长和面积都不变，忽略重合边会让总周长减少。 计算减少的周长时只算 1 条边，遗漏每次拼接重合 2 条边。 多个图形拼接时，只考虑一种拼法，找不到最优方案。 知识点 5：边长缩放引起的周长与面积变化 1. 正方形的缩放规律 正方形的边长扩大到原来的倍： 周长扩大到原来的倍； 面积扩大到原来的（的平方）倍。 反之，边长缩小到原来的，周长缩小到原来的，面积缩小到原来的。 2. 长方形的缩放规律 长和宽同时扩大到原来的倍：周长扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍； 仅一条边扩大、另一条边不变：面积扩大倍数与边长扩大倍数相同，周长无固定整倍数关系。 典型示例 题目：正方形的边长扩大到原来的 3 倍，周长扩大到原来的几倍？面积扩大到原来的几倍？ 解：周长扩大倍数与边长一致，为 3 倍； 面积扩大倍。 答：周长扩大到原来的 3 倍，面积扩大到原来的 9 倍。 易错提醒 混淆周长和面积的扩大倍数，误以为面积也随边长扩大倍。 仅一条边变化时，错误套用 “长宽同时扩大” 的倍数规律。 知识点 6：图形裁剪中的周长变化规律 1. 裁剪的基本规律 将一个大长方形 / 正方形裁剪成若干个小图形： 总面积不变：所有小图形面积之和 = 原大图形面积 总周长增加：每裁剪 1 次，新增 2 条裁剪边，总周长增加 2 条裁剪边的长度 2. 裁剪的两种方向 将一个长方形剪成两个完全相同的小长方形： 沿长裁剪（平行于宽剪）：增加 2 条宽的长度，总周长增加较少； 沿宽裁剪（平行于长剪）：增加 2 条长的长度，总周长增加较多。 典型示例 题目：把一个长 10 厘米、宽 6 厘米的长方形剪成两个完全一样的小长方形，周长最多增加多少厘米？ 解：沿宽裁剪（平行于长剪）增加的长度更多。 增加的长度：（厘米） 答：周长最多增加 20 厘米。 易错提醒 误以为裁剪后总面积和总周长都不变，忽略裁剪会增加周长。 计算增加的周长时只算 1 条边，遗漏裁剪一次新增 2 条边。 忽略裁剪方向不同，周长增加量不同。 知识点 7：最短周长的实际应用 1. 一面靠墙围篱笆（最省材料问题） 题型特征：用固定长度的篱笆一面靠墙围菜地，求最大面积；或围固定面积的菜地，求最少篱笆长度。 核心规律（长边靠墙）：当长是宽的 2 倍且长边靠墙时，相同篱笆长度围出的面积最大；围固定面积时所需篱笆最短。 原理：相当于用篱笆围 2 条宽 + 1 条长，总长度平均分成 4 份，宽占 1 份，长占 2 份。 典型示例 题目：用 24 米长的篱笆一面靠墙围一个长方形菜地，怎样围最节省材料且面积最大？最大面积是多少？ 解：长边靠墙时面积最大，长 = 2× 宽。 宽：（米） 长：（米） 面积：（平方米） 答：长 12 米、宽 6 米且长边靠墙时面积最大，最大面积是 72 平方米。 2. 拼组桌面 / 展板问题 用固定数量的小木板、小瓷砖拼大图形，求周长最短的拼法，本质是面积固定求最短周长，按 “长和宽最接近” 的原则选择方案即可。 易错提醒 不区分 “四面都围” 和 “一面靠墙”，直接套用正方形最优的结论。 计算靠墙问题时，仍按四条边算周长，忽略靠墙的一边无需篱笆。 常考易错 题型1：求最短周长（长方形和正方形） 【典例精讲1】一个长方形花圃，长16米，宽9米。 （1）在花圃四周围上栅栏，栅栏长多少米？ （2）如果花圃一面靠墙，栅栏至少长多少米？ 专项精练 1．一个长方形花坛，长8米，宽6米，花坛的一边靠墙，要给花坛其它几条边围上围栏，至少需要（    ）米长的围栏。 A．48 B．28 C．20 2．用4张长5厘米、宽2厘米的长方形纸摆成下面的图形。周长最短的是（    ）。 A． B． C． 3．王奶奶在菜园用篱笆围了一个长12米、宽8米的长方形区域用于种瓜苗，其中有一面靠墙。至少需要用（    ）米的篱笆。 A．40 B．30 C．28 4．道路维修，为了保障安全，某施工队要围一个长35m，宽6m的长方形安全区，安全区一面靠墙，其他3面用围栏围起来，至少要用（    ）m长的围栏。 A．41 B．47 C．76 5．把18幅绘画作品贴在一起，做一个“绘画园地”。要在“绘画园地”的四周贴上花边，最少需要贴（    ）分米的花边。 A．18 B．36 C．44 6．一块长方形菜地，其中一边靠墙，长和宽分别是8米和5米，如果用篱笆围，那么至少要围（    ）米的篱笆。 A．18 B．21 C．26 7．下面是由边长为1厘米的正方形摆成的图形，周长最大的是（    ）。 A． B． C． 8．用12个边长1厘米的正方形拼成长方形，周长最短是（    ）。 A．16厘米 B．14厘米 C．12厘米 9．一个长方形花坛，长7米，宽5米，花坛的一边靠墙，要给花坛其他几条边围上围栏，至少要( )米长的围栏。 10．如图，一块长方形菜地，长8米，宽3米。四周围上篱笆，篱笆要( )米。如果一面靠墙，篱笆至少是( )米。 11．李大叔用18根1米长的木条能围成( )种不同的长方形（取整米数），在长为( )米，宽为( )米的情况下，面积最大。 12．用18张边长是1分米的正方形纸拼成的长方形中，周长最短的长方形长( )分米，宽( )分米。 13．爷爷用篱笆围一个长8米，宽6米的长方形鸡舍（一面靠墙），篱笆至少长( )米。 14．用30个边长1厘米的小正方形拼大长方形，一共有( )种不同的拼法，周长最小是( )厘米。 15．用26根1分米长的小棒围成一个长方形，一共有( )种不同的围法，围成的长方形面积最大是( )平方分米。 16．李伯伯用篱笆围了个一边靠墙的长方形养鸡场，这个养鸡场长12.2米，宽7.8米。围这个养鸡场至少要用( )米长的篱笆（接头处和损耗不算）。 17．我的结论：用相同个数的小正方形拼长方形（或正方形），长与宽越接近，周长越( )。 18．李伯伯准备用篱笆围一个苗圃，如图，李伯伯的儿子认为这么围浪费篱笆，决定帮父亲改一改，长和宽都不变，还是将一面靠墙，改围后一共用去篱笆( )米，比原来节约了( )米。 19．王奶奶想在院子里用篱笆围一块长方形的菜地，长15米，宽10米。菜地其中一面靠墙（墙足够长），其余三面围上篱笆。王奶奶想尽量节省篱笆材料，请你帮她算一算，这块菜地最少需要围多少米长的篱笆？ 20．校园农场准备用篱笆围一块长方形菜地，菜地长16米，宽9米，菜地一面靠墙。围这块菜地至少需要多少米长的篱笆？这块菜地的面积是多少平方米？ 21．奶奶想靠墙围一个长方形的蔬菜园（靠墙的一面不需要围栏），长是7米，宽是5米。需要多长的围栏？（先画一画，再列式计算） 22．如图，王奶奶靠墙用铁丝网围一个长方形鸡舍，鸡舍长13米，宽8米，一边借助墙面不用铁丝网，围这个鸡舍最少要用多长的铁丝网？ 23．福清一都镇被誉为“中国枇杷之乡”。果农王伯伯打算围一块长6米，宽4米的长方形作为枇杷育苗地，其中一边靠着院墙（靠墙的一边不用围篱笆），围上这块地，至少需要多少米篱笆？（先画出示意图，再列式计算） 24．给一个长13米，宽8米的长方形鸡舍围篱笆。如果鸡舍的一面靠墙，那么至少需要多少米长的篱笆？（墙足够长） 25．小明家想要新建一个长方形花圃（如下图），计划一面靠墙、其它三面用篱笆围起来，你能算出最少要准备多少米的篱笆吗？ 26．王爷爷有一面靠墙的长方形菜地（如图），长23米，宽15米，现在要给其他三面围上篱笆，至少要围多少米的篱笆？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $