期末复习讲义专题05 幂函数与函数的应用（5知识点+9题型）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义通过“览内容导图”构建幂函数与函数应用的知识体系，以表格对比五个幂函数的定义域、值域、单调性等性质，系统梳理函数模型分类及应用要点，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，从幂函数判断、单调性分析到实际应用问题（如利润最大化、车流量计算），培养数学思维与应用意识。基础题巩固概念，综合题提升推理能力，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供有效支持。

期末复习专题05 幂函数与函数的应用 览内容导图 巩知识要点 知识点1 幂函数的概念 幂函数的概念 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 注意点： (1)底数是自变量x. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数. (4)函数的定义域与α有关. 知识点2 幂函数的图象与性质 五个幂函数的图象与性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数也不是偶函数 奇函数 单调性 在(-∞，+∞)上单调递增 在(-∞，0]上单调递减，在(0，+∞)上单调递增 在(-∞，+∞)上单调递增 在[0，+∞)上单调递增 在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递减 定点 (1，1) 注意点： (1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增； (3)如果α<0，那么幂函数的图象在区间(0，+∞)上单调递减，在第一象限内，当x趋向于0时，图象在y轴右侧无限接近y轴，当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，+∞)上，由下往上，幂指数逐渐增大；在(0，1)上，由下往上，幂指数逐渐减小. 知识点3 函数的应用 1.函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 f(x)= 幂函数模型 f(x)=axα+b(a，b，α为常数，a≠0) 2.一次函数模型的应用 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线，解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解. (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数. 3.二次函数模型的应用 (1)方法：根据实际问题建立二次函数模型解析式后，可结合实际问题确定定义域，利用配方法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)注意点：取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 4.分段函数模型的应用 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 破重难题型 一、题型一 幂函数的判断 1．下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 3．下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 二、题型二 根据定义求参数 4．“”是“函数是幂函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知幂函数在上单调递减，则（       ） A．－1 B．1 C． D．2 6．若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 7．若幂函数在上单调递增，则 ． 8．已知幂函数的图像不经过原点，则实数 ． 三、题型三 幂函数的解析式 9．下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 10．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 11．已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．定义域为 B．是增函数 C．是偶函数 D．过点 12．已知幂函数过点，则 ． 13．已知幂函数的图象过点，则 ． 四、题型四 过定点问题 14．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 15．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 17．函数的图象恒过点 . 五、题型五幂函数的单调性 18．函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 19．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 20．已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．函数的单调递减区间为 . 六、题型六 幂函数解不等式 22．已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 23．幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 24．已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 25．已知函数，则满足的实数的取值范围是 . 26．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 27．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)若,求满足不等式的的取值范围． 七、题型八 比较大小 28．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 29．已知，则（    ） A． B． C． D． 30．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 31．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 32．已知，是函数的图象上任意两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 八、题型九 幂函数的综合（小题） 33．已知函数在区间上的最大值为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 34．关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 35．已知函数是幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．若在处有意义，则 B．对任意非零实数，有 C．若是增函数，则 D．若的定义域不为，点在函数的图象上，则 36．已知幂函数，则（    ） A．的图象可能经过第四象限 B．两个幂函数的图象最多有3个交点 C．若的图象经过点，则对任意， D．若，则为奇函数 37．（多选）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 九、题型十函数的应用 38．某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 39．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米时）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当时，求车流速度v关于车流密度x的函数的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？最大值是多少（精确到1辆/时）？ 40．某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 41．某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 42．某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m.    (1)试用表示矩形花坛的面积； (2)若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ (3)若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 43．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题05 幂函数与函数的应用 览内容导图 巩知识要点 知识点1 幂函数的概念 幂函数的概念 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 注意点： (1)底数是自变量x. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数. (4)函数的定义域与α有关. 知识点2 幂函数的图象与性质 五个幂函数的图象与性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数也不是偶函数 奇函数 单调性 在(-∞，+∞)上单调递增 在(-∞，0]上单调递减，在(0，+∞)上单调递增 在(-∞，+∞)上单调递增 在[0，+∞)上单调递增 在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递减 定点 (1，1) 注意点： (1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增； (3)如果α<0，那么幂函数的图象在区间(0，+∞)上单调递减，在第一象限内，当x趋向于0时，图象在y轴右侧无限接近y轴，当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，+∞)上，由下往上，幂指数逐渐增大；在(0，1)上，由下往上，幂指数逐渐减小. 知识点3 函数的应用 1.函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 f(x)= 幂函数模型 f(x)=axα+b(a，b，α为常数，a≠0) 2.一次函数模型的应用 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线，解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解. (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数. 3.二次函数模型的应用 (1)方法：根据实际问题建立二次函数模型解析式后，可结合实际问题确定定义域，利用配方法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)注意点：取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 4.分段函数模型的应用 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 破重难题型 一、题型一 幂函数的判断 1．下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 2．下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】的系数是而不是1，故①不是幂函数； 是指数函数，故②不是幂函数； 的底数是而不是，故④不是幂函数； 是两个幂函数和的形式，故⑥也不是幂函数； 而和具有幂函数的形式，故③ ⑤是幂函数. 故选：C. 3．下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 二、题型二 根据定义求参数 4．“”是“函数是幂函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义以及充分、必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若函数是幂函数，则，解得或， 所以“”是“函数是幂函数”的充分不必要条件. 故选：B 5．已知幂函数在上单调递减，则（       ） A．－1 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】首先根据幂函数的定义确定的值，再结合幂函数的单调性进一步确定的值，最后代入，求出的值. 【详解】因为是幂函数，所以，解得. 又幂函数在上单调递减，所以，所以， 所以，所以. 故选：C 6．若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义，得到，求得或，再根据幂函数的性质，即可求得实数的值； 【详解】根据幂函数定义可知，，解得或， 当时，，当时，， 由图可知不合题意，所以. 故选：A. 7．若幂函数在上单调递增，则 ． 【答案】3 【分析】根据幂函数的定义求出值，利用函数单调性验证确定值 【详解】由幂函数定义可得：，解得或， 又因为在上单调递增，则，所以. 故答案为：3 8．已知幂函数的图像不经过原点，则实数 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及其性质求解. 【详解】由幂函数的定义及其性质可得，解得， 故答案为：. 三、题型三 幂函数的解析式 9．下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数为的形式，每个选项都是幂函数，再求出每个函数的定义域，判断奇偶性可排除A、D，再根据函数过点排除C，得到满足条件的幂函数为. 【详解】函数 定义域为 ，所以不是偶函数，选项A错误； 函数是幂函数，且 图像过点 ，，定义域为, 且 ，所以为偶函数，选项B正确； 函数定义域为 ，所以函数图像不过点，选项C不对； 函数的定义域为，所以不是偶函数，选项D错误； 故选：B 10．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出幂函数解析式，由待定系数法可得. 【详解】因为为幂函数，， 又因为图象过，所以，即，得. 故选：C. 11．已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．定义域为 B．是增函数 C．是偶函数 D．过点 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义及函数图象经过的点求得函数解析式，由幂函数的性质判断各个选项. 【详解】设幂函数，因为函数的图象过点， ∴，∴，即幂函数. 所以函数的定义域是，A选项错误，C选项错误， ∵，∴函数在定义域上单调递增，B选项正确， ∵，∴函数的图象过点，D选项正确. 故选：BD. 12．已知幂函数过点，则 ． 【答案】16 【分析】将点代入幂函数解析式求出，从而确定幂函数的解析式，然后再求函数值即可． 【详解】∵幂函数过点， ∴，故， ∴， ∴， 故答案为：16． 13．已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，将代入即可求出答案. 【详解】设幂函数为，又幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 四、题型四 过定点问题 14．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 15．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 16．已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 17．函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 五、题型五幂函数的单调性 18．函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法单调性可求出函数的递增区间. 【详解】令， 则， 所以的定义域为 而抛物线，的开口向下， 故在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增, 的单调递增区间为. 故选：C. 19．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得的定义域，利用复合函数的单调性可求得的单调递减区间. 【详解】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 20．已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数， ∵函数区间上单调递减， ∴，解得， ∴a的取值范围是. 故选：D. 21．函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得定义域，根据复合函数单调性的求法，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 令，可得，解得， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以的减区间为， 因为在上单调递增， 由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得的减区间为. 故答案为： 六、题型六 幂函数解不等式 22．已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是上的奇函数且在上递减，即可将原不等式等价转化为，求解即可. 【详解】由于的定义域为，且，故是奇函数， 又因为均为在上的减函数， 则在上单调递减. 从而不等式等价于，即. 此即，即，解得. 故选：B. 23．幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C. 24．已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【详解】由为幂函数可知： 或3， 又，故在单调递减，故， 所以， 则或或， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 25．已知函数，则满足的实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性列不等式求参数范围. 【详解】由在上单调递增，而，所以. 故答案为： 26．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由幂函数的单调性和图象的对称性确定指数取值范围即可求解； （2）直接根据函数解析式解不等式即可. 【详解】（1）由题意，幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，故可知其指数为正偶数， 故有，解得或. 若，则，此时为偶函数，符合题意； 若，则，此时为偶函数，符合题意. 综上所述，或，. （2）由，可得，整理得， 解得，即. 27．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)若,求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1),. (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数可得，求得，结合幂函数的性质即可求得的值； （2）根据（1）的结论，可得，解不等式可得答案. 【详解】（1）解：∵是幂函数， ∴，解得. 由在上单调递增得，解得. ∵， ∴或. 当时，函数，图象关于轴对称，符合题意. 当时，函数，图象关于原点对称，不合题意. 综上，，. （2）解：由（1）得，， ∴. 即，可化为， 解此分式不等式，得或， 故的取值范围是. 七、题型八 比较大小 28．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出的值，然后根据幂函数的单调性可知的大小. 【详解】由题意，均为正数， 因为，且， 所以，由在上单调递增可知． 故选：B． 29．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合已知数据，即可比较大小. 【详解】∵， ∴，∴； 又， ∴，又均为正数， ∴，∴， ∴. 故选：A. 30．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合幂函数单调性的分析判断即可. 【详解】因为，且在内单调递增， 则，即. 故选：D. 31．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【详解】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果． 【分析】∵函数是幂函数，，解得或， 或， ∵对任意的且，满足， 在上为增函数，则， ，为上单调递增的奇函数， ，， ，故． 故选：B 32．已知，是函数的图象上任意两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用幂函数的单调性即可结合选项求解AB，利用作差法即可求解CD. 【详解】令，故在单调递减， 当时，此时，即，故， 当，此时，故，故B错误， 令，则为上的增函数，故，有，故A正确， 由于，，故，C错误，D正确， 故选：AD 八、题型九 幂函数的综合（小题） 33．已知函数在区间上的最大值为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用基本不等式求得最值，列式求解即可. 【详解】因为， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，故，解得， 故选：C 34．关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】先由是幂函数得到的值，从而可得的解析式，然后根据幂函数的图象性质依次判断各选项即可. 【详解】由题意，，所以，所以，即． 对于A，的定义域为，故的图象不经过原点，A错误； 对于B，因为的定义域为，且，故为偶函数，B正确； 对于C，由于，故值域为，C正确； 对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误． 故选：BC． 35．已知函数是幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．若在处有意义，则 B．对任意非零实数，有 C．若是增函数，则 D．若的定义域不为，点在函数的图象上，则 【答案】ABD 【分析】利用幂函数概念可求得参数，或，再结合选项中的定义域和单调性条件可确定幂函数，从而可利用幂函数计算检验，结合基本不等式，对各选项逐一判断即可. 【详解】由幂函数的定义可知可得，或. 对于A，由在处有意义，即存在，则，此时，，故A正确； 对于B，由幂函数，可知，故B正确； 对于C，由是增函数，可知，此时，，故C错误； 对于D，若的定义域不为，此时，即， 依题意可得，即，于是，故D正确. 故选：ABD. 36．已知幂函数，则（    ） A．的图象可能经过第四象限 B．两个幂函数的图象最多有3个交点 C．若的图象经过点，则对任意， D．若，则为奇函数 【答案】BC 【分析】对于A：根据幂指数的性质分析判断；对于B：令，解方程即可判断；对于C：解得，结合幂函数单调性分析判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：当时，， 所以的图象不可能经过第四象限，故A错误； 对于选项B：对于幂函数，，且， 令，可得， 则是方程的根，至多有2个根，可知两个幂函数的图象最多有3个交点， 例如的交点为，有3个，故B正确； 对于选项C：若的图象经过点，则， 可得，即，解得，即， 则在内单调递增， 所以对任意，，故C正确； 对于选项D：令，则， 所以不为奇函数，故D错误； 故选：BC. 37．（多选）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】BD 【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 因为，都有成立， 所以该函数在是减函数， 所以，故A错误，B正确； 因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D正确，C错误. 故选：BD 九、题型十函数的应用 38．某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)300台，最大利润为20000元 【分析】（1）根据固定成本、生产一台机器需投入的费用，结合利润的计算方式进行求解即可； （2）利用二次函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题可知， 化简，得 （2）当时，， 所以当时，取最大值10000； 当时，在上单调递减， 所以， 故当时，取最大值20000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为20000元． 39．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米时）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当时，求车流速度v关于车流密度x的函数的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？最大值是多少（精确到1辆/时）？ 【答案】(1)； (2)，最大值为3333. 【分析】（1）分两段进行讨论，当时，容易得到答案，当时，设出函数解析式，再将点和代入解出即可； （2）由（1）写出函数解析式，分两段分别求出函数的最大值，进而得到答案. 【详解】（1）当时，，当时，设， 而当时，，则，解得， 所以函数的表达式为. （2）由（1）及已知得， 当时，为增函数，则当时，其最大值为； 当时，， 则当时，在区间上取得最大值， 又3333＞1200，所以当车流密度为100辆/千米时，车流量达到最大，最大值约为3333辆/小时. 40．某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 【答案】(1) (2)（i）万元；（ii）万元 【分析】（1）由条件可知，代入的表示可得结果； （2）（i）令，根据对勾函数的单调性分析出的取值范围，则结果可求；（ii）根据的值以及设备的剩余价值可计算出总获利. 【详解】（1）由条件可知，，， 所以， 所以. （2）（i）因为，令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在时取得最大值，所以， 所以且，解得， 所以购买该设备的最低价为万元； （ii）当时，， 使用年后设备的剩余价值为万元， 所以使用年后的总获利为万元. 41．某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【答案】(1)，从第3年开始盈利 (2)7 【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求出，再解一元二次不等式可得答案； （2）先求出前年的总盈利再求出，结合双勾函数的性质即可得结果. 【详解】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 42．某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m.    (1)试用表示矩形花坛的面积； (2)若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ (3)若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 【答案】(1) (2)最长为25米，最短为米 (3)的长为米时，总费用最少，最少为元 【分析】（1）根据给定图形，借助相似求出，进而求出矩形面积. （2）由（1）列出不等式，求解不等式即可得解. （3）求出总费用的函数关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由的长为m，得m， 而与相似，则，于是， 所以矩形花坛的面积. （2）依题意，，则，而，整理得，解得， 函数在上随增大而减小，于是， 所以最长为25米，最短为米. （3）矩形花坛的装饰费用， 新扩建部分的修建费用， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的长为米时，总费用最少，最少为元. 43．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1)； (2)，且时元. 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，再利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $