3.2.1 函数的基本性质-单调性与最大（小）值（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数单调性与最值核心知识点，系统梳理增（减）函数定义、判断证明方法（定义法、常见函数单调性、复合函数“同增异减”），以及应用（求单调区间、参数、最值、解不等式），构建从概念到应用的完整学习支架，衔接函数概念与后续性质学习。 资料特色为分层设计，知识点配随学随练，题型分类含解题贴士，培养数学抽象（如单调性定义的任意性理解）、逻辑推理（证明步骤的严谨性）、模型意识（分式函数最值的分离常数法）。课中助教师系统授课，课后学生可通过实例巩固，查漏补缺。

第 三 章 函数的概念与性质 3.1 函数的基本性质-单调性与最大（小）值 课标要点 1、理解增函数、减函数的定义及函数单调性的含义。 2、掌握用定义法证明函数在给定区间上的单调性（取值、作差、定号、下结论）。 3、会利用函数的单调性比较函数值的大小。 4、理解函数最大值与最小值的定义，能借助单调性求闭区间上的最值。 5、掌握常见函数的单调性（一次函数、二次函数、反比例函数等）。 学习重难点 重点： 1、增函数与减函数的定义（任意两个自变量，大小关系与函数值大小关系一致或不一致）； 2、用定义法证明单调性的规范步骤； 3、单调性与最值的关系（在闭区间上单调则端点取最值）； 4、常见函数的单调区间以及复合函数的单调性 难点： 1、含参函数的单调性与最值的讨论 2、分段函数的单调性及最值的讨论。 3、抽象函数构造单调性的证明 4、构造新函数再根据单调性来求解不等式 知识点 函数的单调性 1、函数的单调性 设函数的定义域为，区间,对,,则 当时都有．在区间上单调递增，区间I称为的单调递增区间； 当时都有．在区间上单调递减，区间I称为的单调递减区间； (1)根据函数的单调性的定义， 若已知是增函数且则能推出． 若已知是减函数且则能推出． (2)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量、， 若或，则函数是增函数; 若或，则函数为减函数． 2、单调区间 如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的）单调性，这一区间叫做的单调递增（递减）区间． 特别提醒 1、函数单调性定义中的、有三个特征，一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间． 2、两个单调区间之间不能用“∪”来合并，可以用“和”来表示； 3、函数在定义域的区间上分别单调，但是在整个定义域上不一定单调，反比例函数就是典型的例子。 随学随练 1．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 又的单调递增区间为， 在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故选：B. 知识点 函数单调性的判断与证明 1．函数单调性的证明方法 利用定义证明函数在给定的区间上的单调性的一般步骤： ①任取，且； ②作差，化简变形（通常是因式分解和配方）； ③定号（即判断差的正负）； ④下结论（即指出函数在给定的区间上的单调性）． 2、常见初等函数的单调性 (1)一次函数： 当 时，在 上单调递增；当 时，在 上单调递减. (2)反比例函数 ： 当 时在 和 上单调递减；当 时，在 和 上单调递增. 注：一次/一次函数可以通过分离常数后，得到 这时当 时在 和 上单调递减； 当 时，在 和 上单调递增. (3)二次函数 当 时，在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时，在 上单调递增，在 上单调递减. 3、函数单调性的运算： ①增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数； ②函数与函数的单调性相反； ③时，函数与的单调性相反；时，函数与的单调性相同. 4、复合函数的单调性 讨论复合函数的单调性时要注意： 1、先求定义域 2、再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下: 若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数; 若，在所讨论的区间上一增一减，则为减函数． 特别提醒 复合函数的单调性规律可总结为：“同增异减”． 随学随练 1．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）函数的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域和单调性求解即可. 【详解】由，解得， 所以的定义域为， 令，， 因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为： 知识点 函数的最大（小）值 1、函数的最大（小）值 设函数  的定义域为 ，如果存在实数  满足：，都有 ；，使得 。那么，称  是函数  的最大（小）值。 2、利用函数的单调性求最值的常用结论 (1) 若函数 在区间 上单调递增，则最小值为 ，最大值为 ，值域为 ； (2) 若函数 在区间 上单调递减，则最小值为 ，最大值为 ，值域为 ； 特别提醒 函数的最值与值域最大的区别在于：函数的值域是一定存在的，当值域是开区间时，即函数的最值不能取到．对函数而言，最值不一定存在。 随学随练 1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 拓展 分式函数求最值方法 分式函数常见的形式有： 一次分式： 二次分式： 或或 分式函数的值域常通过分离常数、配凑成对勾函数或判别式法来求解。 1、分离常数法:通过恒等变形，将分式函数化为“常数 + 简单分式”的形式，利用反比例函数（或更一般的有理函数）的性质求值域。对于一次分式，即可以通过分离常数法来处理。 2、配凑成对勾函数 对于二次比一次型，可以将式子分离后再配凑成对勾函数的形式，注意定义域问题。 而对于一次比二次型，可以先按照二次比一次型来处理，然后再取倒数。 对于二次比二次型，则先分离常数。（1）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了“常数+常数/二次”，则直接对分母的二次进行配方，找其最值，从而可以求得分式型函数的最值。（2）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了“常数+一次/二次”，则可以将其中的“一次/二次”的倒数进行分离配凑成对勾函数求最值。 3、判别式法求解 对于形如 （分子分母至少有一个为二次的）的函数，则可以将其化为关于的二次方程 关于方程有实数解，则它的判别式且满足分母不为零的条件，从而得到关于的不等式，解出的范围即为值域。 判别式法求值域，要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②定义域是否属于；③闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；④分子、分母必须是既约分式（不可约分）． 活学活用 1．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 【答案】 【详解】当时，；当时，， 因为在为减函数，上为增函数，且时，， 故的值域为，故的值域为， 综上，的值域为. 题型 求函数的单调区间 角度1：求具体函数的单调区间 ▌例1（25-26高一上·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再分析内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 令，则在单调递增，在单调递减， 且在单调递减， 在单调递减，在单调递增. 故答案为：. 解题贴士 求具体函数的单调区间，先确定定义域，再根据常见初等函数的单调性，以及其分式、根式、复合形式来判断短调心，需注意“同增异减”原则（外层和内层单调性相同则复合递增，相反则递减）。最终结果用区间表示，并注意多个单调区间用逗号隔开，不能用并集符号。 ▌对点练1-1 （2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. ▌对点练1-2 （25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 【答案】 6 【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． 角度2：求抽象函数的单调区间 ▌例1（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 解题贴士 1、需利用“同增异减”规则：内层函数  的单调区间与外层函数  的已知单调区间结合，推导出复合函数的单调区间。 2、其次内层函数 必须满足外层函数的作用域区间范围。 ▌对点练1-1 （25-26高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数是定义在上的增函数，则的单调递减区间是______. 【答案】 【分析】先求函数的定义域，令，再利用复合函数求单调性即可. 【详解】∵的定义域为，∴，即，解得或， 故函数的定义域为， 令，则， 当时，单调递增，则单调递增； 当时，单调递减，则单调递减， 故的单调递减区间为. 故答案为：. ▌对点练1-2 （25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为__________． 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 函数是定义在上的单调递减函数， 故要求的单调递增区间，即求在上的单调递减区间， 而在上单调递减， 故在上的单调递减区间为， 则的单调递增区间为， 故答案为： 题型 根据单调区间求参 ▌例1 （25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 ▌例2 （25-26高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】结合函数定义域与二次函数单调性计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 解题贴士 1、对于二次函数 （），其单调区间以对称轴  为界，要求参数使对称轴与给定区间满足“增区间包含区间”或“区间完全在对称轴一侧”。 2、对于分式或含参函数，需结合图象或定义法（取 ，判断差值与参数符号关系）列不等式求解。 ▌对点练2-1（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将函数进行变形，然后根据函数的单调增区间来确定实数a的取值范围. 【详解】因为， 结合复合函数的增减性，再根据在区间上为增函数， 可得在区间上为增函数， 那么，即. 故答案为：. ▌对点练2-2（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）（多选）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】先将分离常数得，结合在区间上单调递减，则有，进而可解得的取值范围. 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 题型 根据单调性求函数最值 ▌例1 （25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． ▌例2 （25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定义域，利用换元法，原函数转化为，分析可得的单调性，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 解题贴士 若函数在给定区间上单调，则最值在端点处取得——增函数最小在左端点、最大在右端点，减函数相反。若函数整体不单调，则先求单调区间，分别在各区间内找极值和端点值，比较后得最值。注意定义域开闭对最值存在性的影响（开区间可能无最值）。 ▌对点练3-1 （25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A ▌对点练3-2 （25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知函数．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】用换元法将转化为，则只需分析最小值即可求得最小值，从而得的最小值. 【详解】 ， 令，因为，则，所以原函数可化为， 令，对称轴，开口向上，所以时，单调递减，时，单调递增， 所以时，，即的最小值为. 题型 根据函数最值求参 ▌例1 （25-26高一·全国·寒假作业）（多选）（多选）已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】由一元二次函数的单调性和最值即可求解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增，最小值在处取得且为2. 令或， 所以若函数在区间上有最大值3、最小值2时，则. 故选：AB ▌例2 （2025高一上·北京海淀·专题练习）已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 【答案】 【分析】对二次项系数分类讨论并结合二次函数的性质建立方程，进而求解参数即可. 【详解】对于二次函数，先讨论的正负， 当时，对于，对称轴为，此时最大值在端点处取得， 当时，， 当时，， 因为，所以，即最大值为， 而函数有最大值，则，解得， 当时，最大值在对称轴处取得， 当时，， 可得，解得，不符合题意，排除， 综上，的值为. 故答案为： 解题贴士 根据函数最值求参，先确定函数在定义域内的单调性（或利用配方法、基本不等式等），根据图像或者讨论来确定由参数导致最值的取值情况。 ▌对点练4-1 （25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A ▌对点练4-2 （25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 【答案】 【分析】分，，，四种情况讨论，结合条件，利用的单调性，即可求解. 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 题型 根据函数单调性解不等式 ▌例1 （25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. ▌例2 （2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 解题贴士 根据题意去判断函数的单调性或者构造新的函数，再根据函数单调性的定义来判断单调性，然后由单调性或者函数图像来解不等式。注意满足定义域。 ▌对点练5-1 （25-26高一下·浙江·期中）（多选）若定义在上的函数满足，对，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题设条件：对任意，有， 构造函数，则是严格递增函数， （因差商）， 由，得，利用，逐一分析选项： 选项A：，代入得：，即， 因，；又，严格递增，故 ， 取（严格递增，），，则 ， 满足，对应，A可能成立． 选项B：，代入得：，即， 取（严格递增，），，则 ， 满足，对应，B可能成立． 选项C：，代入得：， 即 ，但（），严格递增， 故 ，矛盾，C不可能成立． 选项D：，代入得：，即 ， 取（严格递增，），，则， 对应，D可能成立． ▌对点练5-2 （25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据其单调性，可得，解不等式即可. 【详解】因为对任意的，都有， 即对任意的，都有， 令，所以对任意的，都有， 所以为上的减函数， 又，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集是． 题型 根据分段函数的单调性与最值求参 ▌例1 （25-26高二下·北京昌平·期末）设函数，若，则的最小值为________；若有最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】第一空，分段分别求值域，对比两段取值得到全局最小；第二空，利用指数函数下界，约束二次函数最小值小于等于该下界，解参数范围. 【详解】第一空，当时，，，函数在区间单调递增，则值域为；，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，则值域为，则函数在定义域内最小值为； 第二空，当时，函数右段最小值，不满足要求； 当时，函数右段最小值，则， 综上所述，. ▌例2 （2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】B 【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减， 因为函数在上单调递减，在上单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为2. 解题贴士 根据单调性求参：各段分别单调，且分界点处满足整体增减趋势（增函数左段最大值 ≤ 右段最小值；减函数相反）。 根据有无最值求参：若函数有最大值或最小值，则需满足单调性趋势使极值出现在某段端点；若无最值，则需函数单调递增/减趋向无穷或分界处值无法取到。 根据值域为  求参：需各段函数值域并集覆盖全体实数，通常要求一次项系数不为0且分段区间端点处函数值能连续过渡或覆盖所有缺口。若含参数，需讨论参数使各段值域合并为R。 ▌对点练6-1 （25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. ▌对点练6-2 （25-26高二下·山东日照·期末）已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 即， 当时，在上单调递减，此时， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 题型 证明函数单调性及解不等式 ▌例1（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； (3) 【分析】（1）由赋值法求解； （2）由函数单调性的定义求解； （3）由二次不等式恒成立求解． 【详解】（1）令，可得，结合知； （2）略 （3）令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． ▌例2（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）略 （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 ▌对点练7-1（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，．解题贴士 利用已知单调性“脱去” 符号——增函数函数值大对应自变量大，减函数则相反。必须严格验证定义域，且作差时需恒等变形（因式分解、配方）以便判定符号。 (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. ▌对点练7-2（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明； (2)解不等式：． 【答案】(1)单调递减，证明如下： 令，，，且， 则， 因为，所以，，即，， 所以在上单调递减． (2)． 【分析】（1）利用赋值法结合单调性的定义判断和证明即可； （2）由转化为，然后根据单调性求解. 【详解】（1）在上单调递减，证明略； （2），即， 即为，即为， 即为. 因为在上单调递减， 所以，即， 则，解得， 所以不等式的解集为． 基础通关 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 【点睛】 2．（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 3．（25-26高一上·江西南昌·期中）函数的单调递增区间是________. 【答案】 【分析】利用数形结合，作出分段二次函数的图象，即可写出单调增区间. 【详解】由作图：    可得函数的单调递增区间是， 故答案为： 4．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 5．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 6．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，则的单调递减区间是__________． 【答案】 【分析】先求出的定义域；再由复合函数的单调性可求出的单调递减区间. 【详解】∵的定义域为，∴，即，解得． 故函数的定义域为． 令，则． 当时，单调递减，则单调递增； 当时，单调递增，则单调递减． 故的单调递减区间为． 故答案为： . 7．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【答案】B 【分析】先根据的定义域求出的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性. 【详解】因为的定义域为，所以的定义域为， 令，则， 是一次函数，在定义域上是减函数； 已知是定义域为的减函数，所以在定义域上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数，为减函数，两者单调性相同，因此在定义域上是增函数. 故选：B. 8．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】显然， 若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得. 综上，. 9．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 10．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 素养提升 1．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的结构构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由题意，不妨设， 则由，可得， 则，所以， 令，则，所以函数在上单调递减， 由，得，由，得， 因为函数的定义域为，所以，所以，即， 所以，解得，所以不等式的解集为． 故选：A. 3．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题可知该函数在上的值域包含，对实数的取值进行分类讨论，利用集合的包含关系可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】设， 当时，，即函数在上的值域为， 要使得函数的值域为，则该函数在上的值域包含， 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，， 所以函数在上的值域为， 由题意可得，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 4．（26-27高三上·山西·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先由给定不等式，判断出是整个实数域上的单调递减函数.分别让段的二次函数满足对称轴在区间右侧、段的反比例函数满足系数为正，保证两段各自单调递减.再验证分段点处左侧函数值不小于右侧极限值，衔接两段单调性，联立条件解得的取值范围. 【详解】题干中条件对任意不等实数恒成立，则函数在R上是严格单调递减函数， 故是开口向上的抛物线，其对称轴为，即： ; 在上递减的充要条件是系数， 且 整理得, 综合三个条件，得的取值范围是. 5．（25-26高一上·河南·期末）已知函数的定义域为，对任意的正实数，都有，且当时，，. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 设，，且，则， 由题意得，则， 所以，即， 所以在上单调递增． (3) 【分析】（1）通过分别令和，即可求解； （2）由单调性的定义即可求解； （3）由，将不等式转换成，再结合单调性，得到，进而可求解. 【详解】（1）令，得，解得． 令，得， 所以， 所以． （2）略 （3）由，， 可得． 因为在上单调递增，且， 所以，即． 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 其值域为，所以实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 三 章 函数的概念与性质 3.1 函数的基本性质-单调性与最大（小）值 课标要点 1、理解增函数、减函数的定义及函数单调性的含义。 2、掌握用定义法证明函数在给定区间上的单调性（取值、作差、定号、下结论）。 3、会利用函数的单调性比较函数值的大小。 4、理解函数最大值与最小值的定义，能借助单调性求闭区间上的最值。 5、掌握常见函数的单调性（一次函数、二次函数、反比例函数等）。 学习重难点 重点： 1、增函数与减函数的定义（任意两个自变量，大小关系与函数值大小关系一致或不一致）； 2、用定义法证明单调性的规范步骤； 3、单调性与最值的关系（在闭区间上单调则端点取最值）； 4、常见函数的单调区间以及复合函数的单调性 难点： 1、含参函数的单调性与最值的讨论 2、分段函数的单调性及最值的讨论。 3、抽象函数构造单调性的证明 4、构造新函数再根据单调性来求解不等式 知识点 函数的单调性 1、函数的单调性 设函数的定义域为，区间,对,,则 当时都有．在区间上单调递增，区间I称为的单调递增区间； 当时都有．在区间上单调递减，区间I称为的单调递减区间； (1)根据函数的单调性的定义， 若已知是增函数且则能推出． 若已知是减函数且则能推出． (2)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量、， 若或，则函数是增函数; 若或，则函数为减函数． 2、单调区间 如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的）单调性，这一区间叫做的单调递增（递减）区间． 特别提醒 1、函数单调性定义中的、有三个特征，一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间． 2、两个单调区间之间不能用“∪”来合并，可以用“和”来表示； 3、函数在定义域的区间上分别单调，但是在整个定义域上不一定单调，反比例函数就是典型的例子。 随学随练 1．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 知识点 函数单调性的判断与证明 1．函数单调性的证明方法 利用定义证明函数在给定的区间上的单调性的一般步骤： ①任取，且； ②作差，化简变形（通常是因式分解和配方）； ③定号（即判断差的正负）； ④下结论（即指出函数在给定的区间上的单调性）． 2、常见初等函数的单调性 (1)一次函数： 当 时，在 上单调递增；当 时，在 上单调递减. (2)反比例函数 ： 当 时在 和 上单调递减；当 时，在 和 上单调递增. 注：一次/一次函数可以通过分离常数后，得到 这时当 时在 和 上单调递减； 当 时，在 和 上单调递增. (3)二次函数 当 时，在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时，在 上单调递增，在 上单调递减. 3、函数单调性的运算： ①增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数； ②函数与函数的单调性相反； ③时，函数与的单调性相反；时，函数与的单调性相同. 4、复合函数的单调性 讨论复合函数的单调性时要注意： 1、先求定义域 2、再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下: 若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数; 若，在所讨论的区间上一增一减，则为减函数． 特别提醒 复合函数的单调性规律可总结为：“同增异减”． 随学随练 1．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）函数的单调递减区间为______． 知识点 函数的最大（小）值 1、函数的最大（小）值 设函数  的定义域为 ，如果存在实数  满足：，都有 ；，使得 。那么，称  是函数  的最大（小）值。 2、利用函数的单调性求最值的常用结论 (1) 若函数 在区间 上单调递增，则最小值为 ，最大值为 ，值域为 ； (2) 若函数 在区间 上单调递减，则最小值为 ，最大值为 ，值域为 ； 特别提醒 函数的最值与值域最大的区别在于：函数的值域是一定存在的，当值域是开区间时，即函数的最值不能取到．对函数而言，最值不一定存在。 随学随练 1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 拓展 分式函数求最值方法 分式函数常见的形式有： 一次分式： 二次分式： 或或 分式函数的值域常通过分离常数、配凑成对勾函数或判别式法来求解。 1、分离常数法:通过恒等变形，将分式函数化为“常数 + 简单分式”的形式，利用反比例函数（或更一般的有理函数）的性质求值域。对于一次分式，即可以通过分离常数法来处理。 2、配凑成对勾函数 对于二次比一次型，可以将式子分离后再配凑成对勾函数的形式，注意定义域问题。 而对于一次比二次型，可以先按照二次比一次型来处理，然后再取倒数。 对于二次比二次型，则先分离常数。（1）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了“常数+常数/二次”，则直接对分母的二次进行配方，找其最值，从而可以求得分式型函数的最值。（2）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了“常数+一次/二次”，则可以将其中的“一次/二次”的倒数进行分离配凑成对勾函数求最值。 3、判别式法求解 对于形如 （分子分母至少有一个为二次的）的函数，则可以将其化为关于的二次方程 关于方程有实数解，则它的判别式且满足分母不为零的条件，从而得到关于的不等式，解出的范围即为值域。 判别式法求值域，要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②定义域是否属于；③闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；④分子、分母必须是既约分式（不可约分）． 活学活用 1．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 题型 求函数的单调区间 角度1：求具体函数的单调区间 ▌例1（25-26高一上·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. 解题贴士 求具体函数的单调区间，先确定定义域，再根据常见初等函数的单调性，以及其分式、根式、复合形式来判断短调心，需注意“同增异减”原则（外层和内层单调性相同则复合递增，相反则递减）。最终结果用区间表示，并注意多个单调区间用逗号隔开，不能用并集符号。 ▌对点练1-1 （2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-2 （25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 角度2：求抽象函数的单调区间 ▌例1（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 1、需利用“同增异减”规则：内层函数  的单调区间与外层函数  的已知单调区间结合，推导出复合函数的单调区间。 2、其次内层函数 必须满足外层函数的作用域区间范围。 ▌对点练1-1 （25-26高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数是定义在上的增函数，则的单调递减区间是______. ▌对点练1-2 （25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为__________． 题型 根据单调区间求参 ▌例1 （25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ ▌例2 （25-26高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 解题贴士 1、对于二次函数 （），其单调区间以对称轴  为界，要求参数使对称轴与给定区间满足“增区间包含区间”或“区间完全在对称轴一侧”。 2、对于分式或含参函数，需结合图象或定义法（取 ，判断差值与参数符号关系）列不等式求解。 ▌对点练2-1（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是______． ▌对点练2-2（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）（多选）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 题型 根据单调性求函数最值 ▌例1 （25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． ▌例2 （25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 解题贴士 若函数在给定区间上单调，则最值在端点处取得——增函数最小在左端点、最大在右端点，减函数相反。若函数整体不单调，则先求单调区间，分别在各区间内找极值和端点值，比较后得最值。注意定义域开闭对最值存在性的影响（开区间可能无最值）。 ▌对点练3-1 （25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2 （25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知函数．则的最小值为___________． 题型 根据函数最值求参 ▌例1 （25-26高一·全国·寒假作业）（多选）（多选）已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌例2 （2025高一上·北京海淀·专题练习）已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 解题贴士 根据函数最值求参，先确定函数在定义域内的单调性（或利用配方法、基本不等式等），根据图像或者讨论来确定由参数导致最值的取值情况。 ▌对点练4-1 （25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 ▌对点练4-2 （25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 题型 根据函数单调性解不等式 ▌例1 （25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ▌例2 （2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 解题贴士 根据题意去判断函数的单调性或者构造新的函数，再根据函数单调性的定义来判断单调性，然后由单调性或者函数图像来解不等式。注意满足定义域。 ▌对点练5-1 （25-26高一下·浙江·期中）（多选）若定义在上的函数满足，对，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-2 （25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型 根据分段函数的单调性与最值求参 ▌例1 （25-26高二下·北京昌平·期末）设函数，若，则的最小值为________；若有最小值，则的取值范围是________． ▌例2 （2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 解题贴士 根据单调性求参：各段分别单调，且分界点处满足整体增减趋势（增函数左段最大值 ≤ 右段最小值；减函数相反）。 根据有无最值求参：若函数有最大值或最小值，则需满足单调性趋势使极值出现在某段端点；若无最值，则需函数单调递增/减趋向无穷或分界处值无法取到。 根据值域为  求参：需各段函数值域并集覆盖全体实数，通常要求一次项系数不为0且分段区间端点处函数值能连续过渡或覆盖所有缺口。若含参数，需讨论参数使各段值域合并为R。 ▌对点练6-1 （25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. ▌对点练6-2 （25-26高二下·山东日照·期末）已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 题型 证明函数单调性及解不等式 ▌例1（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． ▌例2（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. ▌对点练7-1（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，．解题贴士 利用已知单调性“脱去” 符号——增函数函数值大对应自变量大，减函数则相反。必须严格验证定义域，且作差时需恒等变形（因式分解、配方）以便判定符号。 (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． ▌对点练7-2（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明； (2)解不等式：． 基础通关 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 2．（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西南昌·期中）函数的单调递增区间是________. 4．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 5．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，则的单调递减区间是__________． 7．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 8．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 素养提升 1．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 4．（26-27高三上·山西·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是_____. 5．（25-26高一上·河南·期末）已知函数的定义域为，对任意的正实数，都有，且当时，，. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $