专题04恒成立、有解问题专项训练- 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 该专项系统整合不等式恒成立与有解问题的四大核心方法，构建从概念到双变量综合的完整逻辑链，突出数学思维的严谨性与方法迁移的实用性。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |恒成立基础方法|4方法（含例1-6及变式）|函数性质法（二次函数根分布）、主参换位法（参数变量互换）、分离参数法（三步分离求最值）、数形结合法（函数图象关系）|从函数最值定义出发，经方法分类→问题转化→应用拓展，形成概念生成-原理推导-解题实践的递进链条| |双变量混合型|1类（例7及变式）|任意存在型转化公式（4种情形）|承接单变量问题，通过逻辑推理构建双变量关系转化模型，发展推理能力|

专题04 不等式恒成立、有解问题 【知识点归纳】 一、什么叫不等式的恒成立？ 这个概念起源于函数的最大值和最小值的定义。 关于的不等式对于在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。常见的有： 二、恒成立问题常用方法： ①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。 恒成立（若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）； 恒成立（若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）. 若不等式在区间D上恒成立在区间D上函数和图象在函数图象上方； 若不等式在区间D上恒成立在区间D上函数和图象在函数图象下方. 三、恒成立、能成立、恰成立、有解问题常见转化 1、恒成立问题的转化：恒成立； 2、能成立问题的转化：能成立； 3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M 另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值. 四、任意、存在双变量混合型 1、设函数、，，，使得，则 2、设函数、，，，使得，则 3、设函数、，，，使得，则 4、设函数、，，，使得，则 【经典例题】 1、 不等式恒成立问题 1.函数性质法 二次函数：①若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；②若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布求解。 例1．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末节选）已知函数． 若对，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】[-2,2] 【分析】利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. 【解析】，不等式恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围是[-2,2]. 变式1．（25-26高一上·湖南常德·期末节选）已知函数. 若对，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】要使恒成立，可将其转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求解的取值范围. 【解析】对，恒成立，即恒成立， 所以，整理得，解得， 所以实数的取值范围是. 例2.已知函数，在恒有，求实数的取值范围。 【分析】为了使在恒成立，构造一个新函数，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。 【解析】令，则对恒成立，而是开口向上的抛物线。 ①当图象与x轴无交点满足，即，解得。 ②当图象与x轴有交点，且在时，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得： 解得，故由①②知。 变式2.已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ) A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0) ( 图3 1 o x y 图1 1 x y 0 1 x y 0 图2 )【分析】与的函数类型，直接受参数的影响，所以首先要对参 数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。 【解析】当时，在上恒成立， 而在上恒成立，显然不满足题意；(如图1) 当时，在上递减且只在上恒成立， 而是一个开口向下且恒过定点（0，1）的二次函数， 显然不满足题意。 当时，在上递增且在上恒成立， 而是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数， 要使对任一实数，与的值至少有一个为正数则 只需在上恒成立。(如图3) 则有或解得或， 综上可得即。 故选B。 2.主参换位法 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数不容易或者容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑把主元与参数换个位置，再结合其它知识。 例3.对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。 【答案】 【解析】 不等式即,设，则在[-2,2]上恒大于0，故有： 或 变式3.已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数. (1)求的值；(2)若上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) （2） 【解析】 (1) 函数是实数集上的奇函数则所以 所以 (2) 在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。 由(1)知：， ， 在上单调递减， 在上恒成立， ， 只需，（其中）恒成立， 由上述②结论：可令,则， ，而恒成立， 3.分离参数法 利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的步骤: （1） 将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式； （2） 求在上的最大（或最小）值； （3） 解不等式(或) ，得的取值范围。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 例4.（25-26高一上·江西吉安·阶段检测节选）设二次函数. 若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】依题意可知需满足成立即可，由基本不等式计算可得. 【解析】存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为，所以（当且仅当时等号成立）， 则，所以， 综上得实数的取值范围是. 变式4.（25-26高一上·河北保定·期中节选）已知函数 若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】 【分析】参变分离可得存在使得成立，结合的范围求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【解析】不等式，即， 因为，所以， 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 例5.已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得出，再根据单调性求得，即可求解的范围． 【解析】，对称轴为，在上单调递增，故， 因为在上单调递增()，所以， 要使恒成立，只需，即的取值范围为． 变式5.若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将“函数在是增函数”转化为“在上恒成立”，分离参数，并利用基本不等式可得的取值范围. 【解析】函数的定义域为， . 因为在上是增函数，所以在上恒成立， 所以 ，即在恒成立. 当时，，当且仅当，即时等号成立. 因此，即. 故的取值范围是. 4.数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理） 若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。特别对于选择题、填空题。 ( O )例6. 若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】对,不等式恒成立 则由一次函数性质及图像知，即。 变式6.不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。 解：画出两个函数和在 由图象知当时， 当，时总有所以 二、任意、存在双变量混合型题 例7.（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【解析】（1）， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. （2）由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 故存在，使得成立. （3）记， 因为， 故为周期函数且周期为，故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 变式7.已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】先根据参数分类求出函数在上的最大值，再由在上单调递增，求出其最大值，结合题意，可得，分别求解不等式即得参数的范围. 【解析】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 【练习】 1.（单选题）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 【解析】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为.故选B 2.（单选题）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（ ） A. B.　 C. D. 【答案】B 【解析】由方程可得，对于任意的，可得，依题意得,故选B 3．（单选题）已知函数，存在，使得对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出，记，然后求出即可得解. 【解析】因为，所以在上单调递增， 所以，记， 因为存在使得对任意的，恒成立， 所以，又，所以,故选A 4.（填空题）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】 当时，由得.∴. 5.（填空题）已知两函数，，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 【答案】 【解析】对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴ 解答题（6-12） 6.（25-26高一上·广东深圳·期末节选）已知函数，若且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】求出的关系，再由表示并利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【解析】由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （1）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （2）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围. 7.已知函数.若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据恒成立可从开口方向和判别式得出限制条件，从而可求答案. 【解析】（1）因为的解集为， 所以， 解得，经检验知符合题意. （2）当时，显然不合题意； 当时，因为对一切实数恒成立， 所以， 解得. 8.（25-26高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过两种情况讨论即可； （2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解. 【解析】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 9．已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （2） 变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式. 【解析】（1） 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 10.（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测节选）已知函数.当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，转化为函数在上的最小值大于在上的最大值，结合二次函数与一次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【解析】当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 11.设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围． 【分析】方法1：化归最值，； 方法2：变量分离，或； 方法3：变更主元，， 【解析】方法1:对求导，， 由此可知，在上的最大值为与中的较大者． ，对于任意，得的取值范围是． 12.（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知不等式． (1)若，使不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，使不等式能成立，求的取值范围； (3)是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）讨论和两类情况即可； （2）将不等式化为，通过换元，借助基本不等式即可求解； （3）将不等式化为，借助一次函数单调性即可求解. 【解析】（1）当时，不等式为，可得，不符合题意； 将不等式化为：，由于，不等式恒成立， 所以解得：， 所以的取值范围是. （2）因为，使不等式能成立， 也即，使得成立， 令，则， 则 ， 当时取等号，所以 （3）可化为， 若不等式对恒成立，因为， 所以也即，无解 故不存在. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 不等式恒成立、有解问题 【知识点归纳】 一、什么叫不等式的恒成立？ 这个概念起源于函数的最大值和最小值的定义。 关于的不等式对于在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。常见的有： 二、恒成立问题常用方法： ①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。 恒成立（若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）； 恒成立（若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）. 若不等式在区间D上恒成立在区间D上函数和图象在函数图象上方； 若不等式在区间D上恒成立在区间D上函数和图象在函数图象下方. 三、恒成立、能成立、恰成立、有解问题常见转化 1、恒成立问题的转化：恒成立； 2、能成立问题的转化：能成立； 3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M 另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值. 四、任意、存在双变量混合型 1、设函数、，，，使得，则 2、设函数、，，，使得，则 3、设函数、，，，使得，则 4、设函数、，，，使得，则 【经典例题】 1、 不等式恒成立问题 1.函数性质法 二次函数：①若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；②若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布求解。 例1．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末节选）已知函数． 若对，恒成立，求实数的取值范围； 变式1．（25-26高一上·湖南常德·期末节选）已知函数. 若对，恒成立，求实数的取值范围； 例2.已知函数，在恒有，求实数的取值范围。 变式2.已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ) A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0) 2.主参换位法 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数不容易或者容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑把主元与参数换个位置，再结合其它知识。 例3.对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。 变式3.已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数. (1)求的值；(2)若上恒成立，求的取值范围. 3.分离参数法 利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的步骤: （1） 将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式； （2） 求在上的最大（或最小）值； （3） 解不等式(或) ，得的取值范围。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 例4.（25-26高一上·江西吉安·阶段检测节选）设二次函数. 若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 变式4.（25-26高一上·河北保定·期中节选）已知函数 若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 例5.已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 变式5.若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 4.数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理） 若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。特别对于选择题、填空题。 ( O )例6. 若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 变式6.不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。 二、任意、存在双变量混合型题 例7.（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值 变式7.已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【练习】 1.（单选题）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.（单选题）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（ ） A. B.　 C. D. 3．（单选题）已知函数，存在，使得对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.（填空题）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 5.（填空题）已知两函数，，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 解答题（6-12） 6.（25-26高一上·广东深圳·期末节选）已知函数，若且在上恒成立，求实数的取值范围. 7.已知函数.若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 8.（25-26高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 9．已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 10.（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测节选）已知函数.当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 11.设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围． 12.（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知不等式． (1)若，使不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，使不等式能成立，求的取值范围； (3)是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $