专题05函数单调性、奇偶性、对称性和周期性训练- 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以函数单调性、奇偶性、周期性为核心，构建"定义-判定-性质-综合应用"的方法体系，通过分层典例实现知识逻辑与解题能力的协同提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性|例1-5（含变式）|定义法五步流程、复合函数"同增异减"、导数法判定|从定义推导等价形式，通过具体函数、参数问题、抽象函数逐步深化应用| |奇偶性与单调性综合|例1-6（含变式）|奇偶性定义判断、运算性质、图像对称性应用|结合单调性考查函数性质判断、不等式求解、最值问题，体现性质融合| |周期性与性质综合|例1-3（含变式）|周期结论推导（同号周期等）、奇偶性与周期性协同|以周期性为纽带，整合奇偶性、对称性，提升复杂函数问题的推理能力|

专题05 函数综合性质 【知识点归纳】 一、函数的单调性 1.定义：设函数 的定义域为 ，区间 ，对属于区间的任意两个自变量 如果对于任意 ，当 时，都有 ，则称 在区间 上单调递增。 如果对于任意 ，当 时，都有 ，则称 在区间 上单调递减。 等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么 (x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2) [f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 2.判断函数单调性的方法 （1）定义法：①取值：设、（定义域）且. ②作差：计算或. ③变形：因式分解，配方，有理化的方法对计算或进行分解. ④定号：确定或的正负性，当不能确定时，需要分类讨论. ⑤判断：根据定义做出判断. （2）函数y=f(x) x∈ D ①增函数（减）+ 增函数（减）=增函数（减） ②奇函数对称的两个区间有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。 （3）复合函数 ，内层 ，外层 。 同增异减：内外层单调性相同，则复合为增；内外层单调性相反，则复合为减 （4）导数法若 f′(x)>0 在区间 D 上恒成立，则 f(x) 在 D 上单调递增。 若 f′(x)<0 在区间 D 上恒成立，则 f(x) 在 D 上单调递减。 若 f′(x)=0 在区间 D 上恒成立，则 f(x) 在 D 上为常数函数。 二、函数的奇偶性 1、定义：对于函数y= f(x) 的定义域内的任一个x 若 f(-x) = -f(x)恒成立，则f(x) 是奇函数 奇函数 图像关于原点中心对称若 若f(-x) = f(x)恒成立，则f(x) 是偶函数 偶函数 图像关于y 轴对称 注: y= 为偶函数 2、函数的奇偶性的性质 （1）在定义域的公共部分内： 奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶（分母不为0） 奇偶=奇 （2）定义域必须关于原点对称 （3）x是定义域内任一个值，不能用特殊值代替 （4）若定义域关于原点对称且在原点有意义，这样的奇函数一定有 f(x)=0 （图像过原点） 3、判断奇偶性 （1）考查定义域是否关于原点对称，注意先化简。 （2）由定义域决定f(-x) 和f(x) 的关系，也可用 f(-x) + f(x)=0奇函数; f(-x) - f(x)=0偶函数 (偶) (奇) (f(x)=0) （3）既是奇函数又是偶函数的函数存在。如：f(x)=0 非奇非偶函数存在。 如： y=x+1等 3、 函数的周期性的常用结论与技巧（同号周期） 设函数，. （1）若，则函数的周期； （2）若，则函数的周期； （3）若，则函数的周期； （4）若，则函数的周期； （5），则函数的周期 函数综合性质----第一节 函数的单调性 一、求具体函数的单调区间 【例1】函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 变式1-1.函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 变式1-2函数的单调递增区间是 . 二、已知函数单调性求参数 【例2】已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 变式2-1函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2-2．已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、分段函数求参数 【例3】已知分段函数在上是增函数，求实数的取值范围。 变式3-1已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-2已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 四、利用单调性比大小 【例4】若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 变式4已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 五、抽象函数单调性 【例5】已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 变式5．函数满足对一切x，有，且；当时，有． (1)求，，的值; (2)证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 函数综合性质--第二节 函数的奇偶性和单调性 【例1】下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 变式1.下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】若定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式2已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（    ） A．0 B． C．2 D．4 例3．已知函数在区间上的最大值是2，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式3．已知函数，若，则___________. 【例4】已知函数是偶函数，则常数的值为__． 变式4-1．若是奇函数，则实数___________. 【例5】设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 变式5-2．已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例6．设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（    ） A．16 B．4 C．2 D．1 变式6．已知函数的定义域为，，当时，.若，，（），则的取值范围为________. 【练习】 1．设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 2．设为奇函数，且当时，，则当时，（       ） A． B． C． D． 3．函数为上的奇函数，时，，则（       ） A． B．2 C． D．6 4．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（       ） A． B． C． D． 5．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 6．已知函数是奇函数，则_______． 7．已知函数是奇函数，则___________. 8．若幂函数为偶函数，则 ________ . 9．定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为___________. 10．函数是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在的解析式； （2）当时，若，求实数m的值． 函数综合性质—第三节 周期性、奇偶性和对称性 【例1】已知函数是周期为4的偶函数，且当时，，则（   ） A． B．2 C． D．4 变式1-1设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】已知函数是定义在上的奇函数，且，则的值是（    ） A． B．1 C．2025 D．2026 变式2．已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（    ） A． B．0 C．2 D．50 【例3】已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 变式3.已知奇函数对任意，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【练习】 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性） 单选题（1-14单选题） 1．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 5．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则（    ） A．图象关于原点对称，且在上是增函数B．图象关于原点对称，且在上是减函数 C．图象关于轴对称，且在上是增函数D．图象关于轴对称，且在上是减函数 7．函数和的定义域均为R，“，都是奇函数”是“与的积是偶函数”的（    ） A．必要条件但非充分条件 B．充分条件但非必要条件 C．充分必要条件 D．非充分条件也非必要条件 8．设函数，则是（    ） A．奇函数，且在（0,1）上是增函数 B．奇函数，且在（0,1）上是减函数 C．偶函数，且在（0,1）上是增函数 D．偶函数，且在（0,1）上是减函数 9．设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（    ） A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数 C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数 10．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（    ） A． B． C． D． 13．已知定义在上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②.则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 15.（多选题）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．是周期为2的函数 C． D． 16．（填空题）已知函数，若实数满足，则的取值范围是______． 17.（2026·安徽安庆·二模节选）已知函数 ． 证明：函数 的图象为轴对称图形； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数综合性质 【知识点归纳】 一、函数的单调性 1.定义：设函数 的定义域为 ，区间 ，对属于区间的任意两个自变量 如果对于任意 ，当 时，都有 ，则称 在区间 上单调递增。 如果对于任意 ，当 时，都有 ，则称 在区间 上单调递减。 等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么 (x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2) [f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 2.判断函数单调性的方法 （1）定义法：①取值：设、（定义域）且. ②作差：计算或. ③变形：因式分解，配方，有理化的方法对计算或进行分解. ④定号：确定或的正负性，当不能确定时，需要分类讨论. ⑤判断：根据定义做出判断. （2）函数y=f(x) x∈ D ①增函数（减）+ 增函数（减）=增函数（减） ②奇函数对称的两个区间有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。 （3）复合函数 ，内层 ，外层 。 同增异减：内外层单调性相同，则复合为增；内外层单调性相反，则复合为减 （4）导数法若 f′(x)>0 在区间 D 上恒成立，则 f(x) 在 D 上单调递增。 若 f′(x)<0 在区间 D 上恒成立，则 f(x) 在 D 上单调递减。 若 f′(x)=0 在区间 D 上恒成立，则 f(x) 在 D 上为常数函数。 二、函数的奇偶性 1、定义：对于函数y= f(x) 的定义域内的任一个x 若 f(-x) = -f(x)恒成立，则f(x) 是奇函数 奇函数 图像关于原点中心对称若 若f(-x) = f(x)恒成立，则f(x) 是偶函数 偶函数 图像关于y 轴对称 注: y= 为偶函数 2、函数的奇偶性的性质 （1）在定义域的公共部分内： 奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶（分母不为0） 奇偶=奇 （2）定义域必须关于原点对称 （3）x是定义域内任一个值，不能用特殊值代替 （4）若定义域关于原点对称且在原点有意义，这样的奇函数一定有 f(x)=0 （图像过原点） 3、判断奇偶性 （1）考查定义域是否关于原点对称，注意先化简。 （2）由定义域决定f(-x) 和f(x) 的关系，也可用 f(-x) + f(x)=0奇函数; f(-x) - f(x)=0偶函数 (偶) (奇) (f(x)=0) （3）既是奇函数又是偶函数的函数存在。如：f(x)=0 非奇非偶函数存在。 如： y=x+1等 3、 函数的周期性的常用结论与技巧（同号周期） 设函数，. （1）若，则函数的周期； （2）若，则函数的周期； （3）若，则函数的周期； （4）若，则函数的周期； （5），则函数的周期 函数综合性质----第一节 函数的单调性 一、求具体函数的单调区间 【例1】函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【解析】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 变式1-1.函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【解析】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 变式1-2函数的单调递增区间是 . 【答案】 【解析】由作图：  可得函数的单调递增区间是，故答案为： 二、已知函数单调性求参数 【例2】已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以在上严格增函数，所以，．故答案为： 变式2-1函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】复合函数单调性计算即可得. 【解析】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 变式2-2．已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为都有成立，所以函数在区间上单调递增，所以，解得，则.故选：B. 三、分段函数求参数 【例3】已知分段函数在上是增函数，求实数的取值范围。 【分析】 1.整体增函数 定义域分段：、； 左段 一次函数（含参数），右段 一次函数（含参数）； 2.判断每段的单调性： 左段（一次函数）：需即；检验边界. 右段（一次函数）：需即。 3.验证分段点： 需满足：即。 【解析】 满足不等式组 ，解得，得k的范围。 变式3-1已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【解析】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 变式3-2已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意可得，，解得，即， 所以实数的取值范围为.故选A 四、利用单调性比大小 【例4】若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可． 【解析】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 变式4已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导得到的单调性，再利用单调性结合定义域可得结果. 【解析】因为， 所以在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为．故选A 五、抽象函数单调性 【例5】已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由已知条件，结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）所得函数单调性解不等式. 【解析】（1）设，且，则，即， ∴， ∴， ∴是上的增函数； （2）∵， 取，则， 于是等价于，即， 由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为. 变式5．函数满足对一切x，有，且；当时，有． (1)求，，的值; (2)证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）由函数满足对一切，且， 令，可得，令，可得， 再令，   所以，可得. 再令， 所以，可得. （2）为上的单调递减函数. 证明如下： 设且，   令，则， 因为当时，有，所以，     所以， 由 ， 即，所以为上的单调递减函数. （3）由，原不等式化为， 令，可得，解得，即， 又由，所以， 因为为上的单调递减函数，所以， 即，解得，所以不等式的解集为. 函数综合性质--第二节 函数的奇偶性和单调性 【例1】下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C函数在上单调递增，是偶函数，故A不符合题意； 函数是非奇非偶函数，故B不符题意； 是奇函数且在上单调递增，故C符合题意； 在上单调递增，是偶函数，故D不符题意.故选：. 变式1.下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，设，则， 故在定义域内不是减函数，故A错误. 对于B，设，其定义域为且， 故为奇函数，而为上的增函数， 故为上的减函数，故B正确. 对于C，设，因为，故在定义域内不是减函数，故C错误. 对于D， 的定义域为，故该函数不是奇函数，故D错误.故选B 【例2】若定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为奇函数，，可得且在对称区间和上的单调性一致，即可求出的解集. 【解析】由为奇函数，，可得且在对称区间和上的单调性一致， 所以在上单调递增，且， 由可得：且,或且, 所以或时， 故不等式的解集为.故选C 变式2已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（    ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以.故选A 例3．已知函数在区间上的最大值是2，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 设，则， 故是奇函数，则在区间上，， ， 可得，故C正确.故选：C 变式3．已知函数，若，则___________. 根据题意，函数，则， 则，故有，又由，则，故答案为： 【例4】已知函数是偶函数，则常数的值为__． 【答案】##-0.5 【解析】函数定义域为，取特值f(-1)=f(1) 函数是偶函数 对定义域内每一个都成立 ， ， 对定义域内每一个都成立，即 . 变式4-1．若是奇函数，则实数___________. 定义域为，且为奇函数，，解得：； 当时，，， 为上的奇函数，满足题意；综上所述：.故答案2 【例5】设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数， 由可得，∴，解得.故选：B. 变式5-1．定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为奇函数在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以，所以，解得．故选C 变式5-2．已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对，其定义域为，且，故为上的奇函数；又当时，，其在单调递减；当时，，其在单调递减；又是连续函数，故在上都是单调减函数；则，即，则，解得.故选D 例6．设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（    ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【解析】因为，则当时，， 因为当时，，又因为当时，， 则， 当时，的最大值是.故选：D. 变式6．已知函数的定义域为，，当时，.若，，（），则的取值范围为________. 【答案】 【解析】因为的定义域为，，则当时，， 所以当时，，， 当时，，， 当时，，， ，的部分图象如图所示， 又当时，， 所以时，，则当时，， 又，，（），则，， 又，结合的图象可得， 则的取值范围是.故答案 【练习】 1．设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选B 2．设为奇函数，且当时，，则当时，（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，因为函数为奇函数，且当时，， ，即：.故选D 3．函数为上的奇函数，时，，则（       ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【解析】时，，故，又函数为上的奇函数，故. 4．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：， 而，故.故选C 5．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为偶函数在区间上单调递增，所以在上单调递减，则等价于，解得，所以原不等式的解集为故选A： 6．已知函数是奇函数，则_______． 【答案】1 【解析】解：函数是奇函数， ，即恒成立，即恒成立， 所以 故答案为：1 7．已知函数是奇函数，则___________. 【答案】1 【解析】由题知，的定义域为R，因为是奇函数，所以， 所以， 所以，所以恒成立所以.故答案为：1 8．若幂函数为偶函数，则 ________ . 【答案】 【解析】∵函数为幂函数，∴，解得或， 又∵为偶函数，∴，故答案为：. 9．定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】解：是定义在上的奇函数，且在上是减函数 在定义域上是减函数，且 ，即 故可知，即可解得实数的取值范围为.故答案为： 10．函数是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在的解析式； （2）当时，若，求实数m的值． 【答案】（1）（2）或 【解析】（1）令，则，由，此时； （2） 由，，所以，解得或或（舍）. 故答案为：或 函数综合性质—第三节 周期性、奇偶性和对称性 【例1】已知函数是周期为4的偶函数，且当时，，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据偶函数以及周期性可得，代入求解即可. 【解析】因为函数是周期为4的偶函数，且当时，， 所以. 故选：B. 变式1.设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【解析】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 【例2】已知函数是定义在上的奇函数，且，则的值是（    ） A． B．1 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】根据已知等式，确定函数的周期，利用周期性进行求解即可. 【解析】，所以函数的周期为， ， ， 因为函数是奇函数，所以. . 故选：A. 变式2．已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（    ） A． B．0 C．2 D．50 【答案】C 【解析】由函数是定义域为的奇函数，则， ，， ，所以函数是周期函数，且周期为4， ，，则， ，， 【例3】已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，即. 所以是周期为4的周期函数. 所以. 在中，令，则，所以. 因此. 故选：D. 变式3.已知奇函数对任意，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为定义在上的奇函数，所以， 因为任意，都有，即，所以， 所以，即是以为周期的周期函数， 因为所以，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误. 故选：B 【练习】 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性） 单选题（1-14单选题） 1．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，定义域为，故是非奇非偶函数，A错， 对于B，当时，在上为减函数，∴B不对， 对于C，∵定义域为，且为偶函数， 设，∵在上为增函数，在上为增函数， ∴在上为增函数，∴C对. 对于D，∵为奇函数，∴D不对. 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得或，即的定义域为， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性得，的单调递减区间为， 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，设,则为增函数， 求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间， 函数的对称轴为，则函数在上是增函数， 则的单调递增区间是， 4．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】．D 【解析】要满足，解得：或，又是增函数，所以只需求出的单调递增区间，的对称轴为，且开口向上，结合函数的定义域可得：的单调递增区间为 5．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在函数中，由得或，则的定义域为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 于是得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 6．已知函数，则（    ） A．图象关于原点对称，且在上是增函数B．图象关于原点对称，且在上是减函数 C．图象关于轴对称，且在上是增函数D．图象关于轴对称，且在上是减函数 【答案】B 【解析】由且定义域为R， 所以为奇函数，即关于原点对称， 又在R上递减，故在上是减函数. 故选：B 7．函数和的定义域均为R，“，都是奇函数”是“与的积是偶函数”的（    ） A．必要条件但非充分条件 B．充分条件但非必要条件 C．充分必要条件 D．非充分条件也非必要条件 【答案】B 【解析】因为函数和的定义域均为R，若，都是奇函数， 则， 所以与的积是偶函数， 反过来，若与的积是偶函数，推不出，都是奇函数， 如， ，两个函数既不是奇函数，也不是偶函数， 所以“，都是奇函数”是“与的积是偶函数”的充分条件但非必要条件. 8．设函数，则是（    ） A．奇函数，且在（0,1）上是增函数 B．奇函数，且在（0,1）上是减函数 C．偶函数，且在（0,1）上是增函数 D．偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得， 又，所以函数的奇函数， 由，令，又由，则 ，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，故选A. 9．设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（    ） A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数 C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数 【答案】A 【解析】由题设知:于是有 ， ， ， . 10．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上单调递增，，，解得：， 实数的取值范围为. 11．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】偶函数在上单调递减，则在单调递增， 因为， 则当时，，即， 故或，解得：或， 或与取交集得：， 则当时，，即 故，解得：， 与取交集，解集为空集， 综上：不等式的解集为． 故选：D． 12．已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】奇函数在上为增函数，且， 函数在上为增函数，且，则函数的大致图像如图所示： 由，得 或， 则 或 ， 所以或,即的解集为, 故选:A． 13．已知定义在上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②.则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由对任意的，且，都有成立可得， 函数在上单调递减， 又是定义在上的偶函数，根据偶函数性质可知， 在上单调递增，且； 由不等式可知， 当时，，根据在上单调递减可得； 当时，，根据在上单调递增可得； 综上可知，不等式的解集为. 14．已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可. 【解析】因为，所以，所以. 由，得，两式相加得，所以， 所以，所以是以6为周期的周期函数. 当时，，又，所以，所以，所以； 当时，，所以，因为， 所以， 所以. （或者.） 故选：D 15.（多选题）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．是周期为2的函数 C． D． 【答案】AC 【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可. 【解析】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称， 又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ， 又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误； 对于 C，由，令，得，则， ，故C正确； 对于D，由，则，又，是周期为4的函数， 则， 而的值无法确定，故D错误. 故选：AC. 16．（填空题）已知函数，若实数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】的定义域为，， 为定义在上的偶函数， ； 当时，单调递增，在上单调递增； 又在上单调递减，在上单调递增， 图象关于轴对称，在上单调递减； 则由得：，即，解得：， 即实数的取值范围为. 17.（2026·安徽安庆·二模节选）已知函数 ．证明：函数 的图象为轴对称图形； 【答案】证明见解析； 【思路】通过对称轴 验证 ； 【解析】证明：由于 的定义域关于 对称，因此函数 的图象关于 对称. 证明如下： 设点 为函数 的图象上任意一点， 则 关于 对称的点为 ， 由于 ， 故 也在函数 的图象上， 故函数 的图象为关于 对称的轴对称图形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $