专题03二次函数与一元二次方程根分布专项训练- 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“定义-性质-应用”为逻辑主线，整合闭区间最值“三值比较法”、根分布“四步骤法”等方法体系，实现概念生成与解题技巧的系统融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识要点归纳|4大模块|闭区间最值“三值比较法”、根分布“四步骤法”、恒成立“最值转化法”|从定义式、图象性质（概念生成）到闭区间最值、不等式恒成立、根分布（应用拓展），形成完整逻辑链| |典型例题|含5例及变式|以题载法，覆盖区间动定最值、根分布多情境|通过变式训练强化方法迁移，培养推理能力与模型意识| |练习与作业|题量丰富|分层设计，聚焦高频考点|巩固知识应用，提升用数学语言表达问题的能力|

专题03 二次函数 【知识要点归纳】 一、二次函数的定义式、图象、性质 一般式 两点式 顶点式 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递增；　　 在上单调递减　　 在上单调递增；　　 在上单调递减　　 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 特殊点 与x轴交点 ，与y轴交点(0,c) ，顶点 （） 简图 画法 五点法 、 、 (0,c）关于对称轴对称的两点即顶点、交点、对称点 二、二次函数在闭区间[m,n]上的最大,最小值问题 设，求在上的最大值与最小值。 轴与区间关系 图 象 略 最 大 值 最 小 值 当时， 的最小值为， 的最大值为与中的较大值； 若，由在上是增函数，则的最小值为，最大值为； 若，由在上是减函数，则的最小值为，最大值为； 方法归 纳 最值在顶点纵坐标或区间端点这三个值中产生，与a值正负和轴与区间相对位置有关. 三、与二次函数有关的不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 (3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 四、设一元二次方程的两实根为，且，根的分布情况： 四步骤： （1）开口方向； （2）根的判别式； （3）对称轴的位置；（4）端点处的函数值的符号。 1. 方程有两个正根： 代数法 2. 有两个负根： 代数方法 3. 有一个正根和一个负根： 4.方程两根都小于m： 代数方法 几何方法 5.方程两根都大于m： 代数方法 几何方法 6. 方程一根大于m另一根小于m： 代数方法 几何方法 7.方程两根都大于m且都小于n： 8. 【典型例题】 【变式1-1 】 【变式1-2】 【变式1-3 】 【变式1-4 】 【变式2】本题若修改为求函数的最大值，过程如何？ 例3：函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)，求g(t)的解析式. 例4：函数在区间上的最小值为，求的表达式. 例5.为何值时，关于的方程的两根： (1)都为正数根； (2)异号且负根绝对值大于正根； (3)一根大于2，一根小于2； (4)两根都在区间上. 【练 习】 1. 求下列函数的最值 (1)函数______，最小值是_____. (2). (3) 的值域. 4.已知关于的方程． (1)当为何值时，方程的两根都大于0？ (2)当为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (3)当为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ 【作 业】 1.函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ） A． B． C． D．最小值是，无最大值 2.函数的值域为（ ） A． B． C． D． 3.函数在上的值域为（ ） A． B． C． D． 4.若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 5.已知函数，则函数的值域为__________. 6.设，则函数的最大值为______. 7.函数在上的最大值是______________． 8.（1）函数的值域为_______． （2）函数的值域是__________. 9.函数的值域是_________. 10.已知函数．求在上的最大值与最小值． 11.若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数 【知识要点归纳】 一、二次函数的定义式、图象、性质 一般式 两点式 顶点式 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递增；　　 在上单调递减　　 在上单调递增；　　 在上单调递减　　 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 特殊点 与x轴交点 ，与y轴交点(0,c) ，顶点 （） 简图 画法 五点法 、 、 (0,c）关于对称轴对称的两点即顶点、交点、对称点 二、二次函数在闭区间[m,n]上的最大,最小值问题 设，求在上的最大值与最小值。 轴与区间关系 图 象 略 最 大 值 最 小 值 当时， 的最小值为， 的最大值为与中的较大值； 若，由在上是增函数，则的最小值为，最大值为； 若，由在上是减函数，则的最小值为，最大值为； 方法归 纳 最值在顶点纵坐标或区间端点这三个值中产生，与a值正负和轴与区间相对位置有关. 三、与二次函数有关的不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 (3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 四、设一元二次方程的两实根为，且，根的分布情况： 四步骤： （1）开口方向； （2）根的判别式； （3）对称轴的位置；（4）端点处的函数值的符号。 1. 方程有两个正根： 代数法 2. 有两个负根： 代数方法 3. 有一个正根和一个负根： 4.方程两根都小于m： 代数方法 几何方法 5.方程两根都大于m： 代数方法 几何方法 6. 方程一根大于m另一根小于m： 代数方法 几何方法 7.方程两根都大于m且都小于n： 8. 【典型例题】 【变式1-1 】 【变式1-2 】 【变式1-3】 【变式1-4】 【变式2】本题若修改为求函数的最大值，过程如何？ 例3：函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)，求g(t)的解析式. 【答案】g(t)＝ 【解析】（1）f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3. 由题意可知，二次函数的开口向下，其对称轴为x=2 当，即时，f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数， ∴g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2； 当，即时，g(t)＝f（2）＝3； 当时，f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，∴g(t)＝f(t)＝－t2＋4t－1. 综上所述，g(t)＝ 例4：函数在区间上的最小值为，求的表达式. 【答案】 【解析】由题意可知，二次函数的开口向下，对称轴方程为 ∵， ∴，即 例5.为何值时，关于的方程的两根： (1)都为正数根； (2)异号且负根绝对值大于正根； (3)一根大于2，一根小于2； (4)两根都在区间上. 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】根据判别式的符号确定方程根的个数，再根据根的分布情况对每一小问进行分析即可： （1）满足判别式大于等于零，且两根之和、两根之积都大于零； （2）满足判别式大于零，且两根之和、两根之积都小于零； （3）满足判别式大于零，处的函数值小于零； （4）满足判别式大于等于零，0和2处的函数值都大于零，且对称轴在之间； 【解析】（1）设函数， 方程有两根设为，对称轴.，由. 解得或； 由题意可得， 解得或. （2）由题意可得，解得. （3）由题意可得，即，解得. （4）由题意可得，即，解得或. 【练 习】 1. （填空题）已知二次函数． (1)当时，求的最值______； (2)当时，求的最值______； 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据二次函数对称轴情况求最值； （2）根据二次函数对称轴情况求最值； 【解析】（1）解：二次函数图象如图所示， 函数的对称轴为， 所以当时，取最小值为， 当时，取最大值为； （2）解：由（1）得当时，取最小值为， 当时，取最大值为； 【答案】 【答案】 4.已知关于的方程． (1)当为何值时，方程的两根都大于0？ (2)当为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (3)当为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图象与轴交点的位置讨论方程根的情况． 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为． 两根都大于0，如图1所示，则，解得． （2）一个根大于1，另一个根小于1，如图2所示，则，解得． （3）一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，如图3所示，则，解得． 【作 业】 1.函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ） A． B． C． D．最小值是，无最大值 【答案】C 【解析】，抛物线的开口向上，对称轴为，在区间上，当时，有最小值；时，有最大值42，函数在区间上的最大值、最小值分别是：42，． 2.函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【解析】解：令，因为函数开口向下，对称轴方程x=1 当时，，又，所以，，即 所以，故选：D． 3.函数在上的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，则，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 故函数值域为，故选：C. 4.若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 又当时，，当时，，当时，， 所以函数的值域为，故选：B． 5.已知函数，则函数的值域为__________. 【答案】 【解析】由题意得：，为开口向下，对称轴为x=2的抛物线，因为，所以当x=2时，y有最大值，且为3， 当时，，所以函数的值域为.故答案为： 6.设，则函数的最大值为______. 【答案】 【解析】二次函数是开口向下的，对称轴为 ， ∴当 时， 7.函数在上的最大值是______________． 【答案】6 【解析】二次函数对称轴为， 故原函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性知在时取最大值， 8.（1）函数的值域为_______． 【答案】 【解析】因为 所以，所以值域为故答案为： （2）函数的值域是__________. 【答案】 【解析】因为， 所以当时，，当时，，所以函数的值域为. 9.函数的值域是_________. 【答案】 【解析】由题意：函数，开口向上，对称轴， 画出函数如下， 函数在区间上的值域为. 10.已知函数．求在上的最大值与最小值． 【答案】当时，函数的最大值为，最小值为， 当时，函数的最大值为，最小值为， 当时，函数的最大值为，最小值为， 当时，函数的最大值为，最小值为 【解析】函数 的对称轴为， ①当，即时，函数在上是增函数， 当时，函数y取得最小值为； 当时，函数取得最大值为． ②当，即时， 当时，函数取得最小值为； 当时，函数取得最大值为． ③当，即时， 当a时，函数取得最小值为； 当时，函数取得最大值为． ④当，即时，函数在上是减函数， 故当时，函数取得最大值为； 当时，函数取得最小值为． 综上，当时，函数的最大值为，最小值为， 当时，函数的最大值为，最小值为， 当时，函数的最大值为，最小值为， 当时，函数的最大值为，最小值为 11.若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】（1）根据判别式符号以及韦达定理列不等式求解； （2）利用求解； （3）函数在的函数值的符号列不等式求解； （4）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解； （5）利用求解； （6）根据判别式符号以及区间端点处函数值符号列不等式求解； （7）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解. 【解析】（1）设 两根都大于0，应满足解得 （2）一根大于，另一根小于，应满足 , 即 , 解得 或 （3）一根在内,另一根在内,应满足 即 解得 （4）一根在内，另一根不在内， 应满足或或 可得 或 ，又． ∴m的取值范围为． （5）一根小于1，另一根大于2，应满足 即，解得． （6）两根都在内，应满足 解得． （7）在内有解，应满足 或或或解得． 学科网（北京）股份有限公司 $