课时规范练10　幂函数、二次函数-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以幂函数、二次函数为核心，通过基础巩固、综合提升、创新应用三级训练，系统整合定义应用、性质分析、综合转化等解题方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|8题|定义法（幂函数系数）、待定系数法（求解析式）、数形结合（图象分析单调性）|幂函数定义→解析式→性质（奇偶性、单调性）；二次函数图象→对称轴→单调性| |综合提升练|5题|分类讨论（二次函数最值）、恒成立转化（分离参数）、性质应用（幂函数单调性）|二次函数最值与区间关系；幂函数与二次函数综合；恒成立问题转化| |创新应用练|1题|函数性质综合（对称中心）、转化思想（对称点关系）|幂函数与导数结合；函数对称性应用|

课时规范练10　幂函数、二次函数 (分值:82分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础 巩固练 1.(2025·黑龙江大庆一模)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则f(3)的值为(　　) A. B. C.3 D.9 2.(2025·河南驻马店模拟)已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm的图象与坐标轴无公共点,则m=(　　) A.-2 B.1 C.-2或1 D.-1或2 3.(2025·湖南怀化期末)函数f(x)=x2+(a+3)x+1在区间(-∞,3]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.(3,+∞) B.(-∞,3] C.(-∞,-9] D.(-9,+∞) 4.已知幂函数y=(p∈Z)的图象关于y轴对称,如图所示,则(　　) A.p为奇数,且p>0 B.p为奇数,且p<0 C.p为偶数,且p>0 D.p为偶数,且p<0 5.(多选题)(2025·山东聊城模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　) A.a>0 B.c>0 C.b2-4ac>0 D.-<0 6.(多选题)(2025·山东青岛模拟)函数f(x)=ax2+2x+1与g(x)=xa在同一直角坐标系中的图象可能为(　　) A. B. C. D. 7.(2025·上海徐汇二模)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则该幂函数的值域是　　　　　.  8.(13分)(2025·广东潮州模拟)已知函数f(x)=x2-2ax-3. (1)已知f(x)在[3,+∞)内单调递增,求a的取值范围; (2)求f(x)在[-1,2]上的最小值. 综 合 提升练 9.(2025·贵州遵义模拟)对任意x∈[-1,1],不等式2x2-2x+1-2m≥0恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 10.(2025·广东汕头期末)已知幂函数f(x)=(m2-3m+1)xm-1是R上的偶函数,且函数g(x)=f(x)+(4-2n)x在区间[1,5]上单调,则实数n的取值范围为(　　) A.(-∞,3] B.[7,+∞) C.[3,7] D.(-∞,3]∪[7,+∞) 11.(多选题)(2026·广东中山模拟)已知函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0.若a,b∈R,且f(a)+f(b)的值为负数,则下列结论可能成立的是 (　　) A.a+b<0,ab=0 B.a+b<0,ab>0 C.a+b<0,ab<0 D.a+b>0,ab>0 12.(多选题)(2025·黑龙江牡丹江模拟)下列说法正确的是(　　) A.若函数f(x)=(m2+m-1)是幂函数,则实数m的值是1或-2 B.幂函数y=xα(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1) C.若函数f(x)=,则f(x)在区间(-∞,0)内单调递减 D.若函数f(x)=,则对于任意的x1,x2∈[0,+∞),有≤f 13.(2025·广东深圳模拟)已知幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有|BM|=|MN|=|NA|,那么αβ=　　　　　.  创 新 应用练 14.(2025·云南丽江模拟)已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,记曲线C:g(x)=f(x)-f'(x).设函数h(x)=-3,曲线C的对称中心为点M,曲线C上两个不重合的动点A(a1,b1),B(a2,b2)关于点M对称,则的取值范围和h+h+…+h的值分别是(　　) A.(2,+∞),-8 098 B.[2,+∞),8 098 C.(-∞,-2),-4 049 D.(-∞,-2],4 049 参考答案 1.B　解析 设f(x)=xα,则2=4α,则α=,即f(x)=,所以f(3)=故选B. 2.A　解析 因为f(x)为幂函数,所以m2+m-1=1, 即m2+m-2=0,解得m=-2或m=1. 当m=-2时,f(x)=x-2=,其定义域为{x|x≠0},图象与坐标轴无公共点,符合题意; 当m=1时,f(x)=x,其图象与坐标轴有公共点,不符合题意. 综上,m=-2.故选A. 3.C　解析 由题意,f(x)=x2+(a+3)x+1的图象开口向上,对称轴为直线x=-,因为f(x)在区间(-∞,3]上单调递减,所以-3, 解得a≤-9,即实数a的取值范围是(-∞,-9].故选C. 4.D　解析 因为函数y=的图象关于y轴对称,所以函数y=为偶函数,即p为偶数. 又函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减, 则有<0,所以p<0.故选D. 5.AC　解析 因为抛物线开口向上,所以a>0,A正确; 因为抛物线与y轴的交点在y轴负半轴,所以c<0,B错误; 因为抛物线与x轴有两个交点,所以Δ=b2-4ac>0,C正确; 因为抛物线的对称轴在y轴右侧,所以->0,D错误.故选AC. 6.ACD　解析 对于A,抛物线开口向下,所以a<0,此时g(x)=xa的图象符合题意; 对于B,抛物线开口向上,所以a>0,此时g(x)=xa应该在(0,+∞)内单调递增,不符合题意; 对于C,抛物线开口向上,所以a>0,此时g(x)=xa在(0,+∞)内单调递增,符合题意; 对于D,抛物线开口向上,所以a>0,此时g(x)=xa在(0,+∞)内单调递增,符合题意.故选ACD. 7.(0,+∞)　解析 设幂函数f(x)=xα,α∈R,代入点,可得3α=,即α=-,可得f(x)=因为>0,可得f(x)=>0,所以该幂函数的值域是(0,+∞). 8.解 (1)由函数f(x)=x2-2ax-3,可得f(x)的图象开口向上,且对称轴为直线x=a,要使得f(x)在[3,+∞)内单调递增,则满足a≤3,所以a的取值范围为(-∞,3]. (2)由函数f(x)=x2-2ax-3,可得f(x)的图象开口向上,且对称轴为直线x=a,当a≤-1时,函数f(x)在[-1,2]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(-1)=2a-2; 当-1<a<2时,函数f(x)在[-1,a]上单调递减,在[a,2]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(a)=-a2-3; 当a≥2时,函数f(x)在[-1,2]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(2)=1-4a. 综上,f(x)在[-1,2]上的最小值为f(x)min= 9.A　解析 因为对任意x∈[-1,1],不等式2x2-2x+1-2m≥0恒成立,所以m,其中x∈[-1,1]. 设y=x2-x+,x∈[-1,1],因为y=x2-x+, 所以当x=时,函数y=x2-x+,x∈[-1,1]取最小值,最小值为, 所以m故选A. 10.D　解析 由幂函数的定义知,m2-3m+1=1,解得m=0或m=3,当m=0时,f(x)=x-1,为奇函数,不符合题意; 当m=3时,f(x)=x2,为偶函数,符合题意,故f(x)=x2. 所以g(x)=x2+(4-2n)x,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为直线x=n-2,又g(x)在[1,5]上单调,则n-2≤1或5≤n-2, 解得n≤3或n≥7,即实数n的取值范围为(-∞,3]∪[7,+∞).故选D. 11.ABC　解析 ∵函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数, ∴m2-m-5=1,解得m=3,或m=-2. ∵对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0, ∴f(x)在(0,+∞)内单调递增.当m=3时,f(x)=x3满足题意, 当m=-2时,f(x)=x-7不符合题意, ∴f(x)=x3,∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. ∵f(a)+f(b)的值为负数,∴f(a)+f(b)=a3+b3<0,即a3<(-b)3,即a<-b,即a+b<0. 当a=0,b<0时,ab=0,故A可能成立; 当a<0,b<0时,ab>0,故B可能成立; 当a>0,b<0,|b|>|a|时,ab<0,故C可能成立. 故选ABC. 12.ABD　解析 因为函数f(x)=(m2+m-1)是幂函数,所以m2+m-1=1,解得m=1或m=-2,经检验符合题意,故A正确; 幂函数y=xα(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),故B正确; 函数f(x)=(x≠0),f(-x)==f(x),则f(x)为偶函数,且在(0,+∞)内单调递减,所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,故C错误; 对于任意的x1,x2∈[0,+∞), 要证f, 即证, 即, 即()2≥0, 则f成立,故D正确.故选ABD. 13.1　解析 因为A(1,0),B(0,1),|BM|=|MN|=|NA|, 所以M,N,不妨设点M在曲线y=xα上,点N在曲线y=xβ上,分别代入y=xα,y=xβ,有,则,所以αβ=1. 14.A　解析 因为函数f(x)为幂函数,所以m2-m-1=1,即m2-m-2=0, 解得m=-1或m=2.当m=-1时,f(x)=;当m=2时,f(x)=x3. 因为函数f(x)对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以f(x)=x3,所以曲线C:g(x)=x3-3x2.因为g(x)+g(2-x)=x3-3x2+(2-x)3-3(2-x)2=-4,得曲线g(x)的对称中心为M(1,-2),所以a1+a2=2,即a2=2-a1,则+(2-a1)2=2-4a1+4=2(a1-1)2+2,又A,B两点不重合,所以a1≠a2=2-a1,得a1≠1,所以(2,+∞). 因为h(x)+h(2-x)=-3+-3=-6=-4, 所以曲线h(x)关于点(1,-2)对称. 设S=h+h+…+h, S=h+h+…+h, 两式相加得2S=-4×4 049,解得S=-8 098.故选A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $