重难点专训05 函数零点与方程根的分布问题拓展（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“等价转化为核心，导数与数形结合为工具”构建函数零点与方程根问题的系统性方法体系，覆盖概念理解、题型突破到分层训练的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|4类核心策略|零点存在性定理、导数法、数形结合、参变分离|从概念等价转化（方程根→函数零点→图象交点）到含参问题处理，形成“判断→求解→应用”逻辑链条| |题型通法及变式提升|4题型（典例4+变式8）|直接解方程、对称配对求和、单调性+存性定理、临界相切法|按“求零点→判个数→方程根→参数范围”递进，每种题型匹配专属通法与易错警示| |重难专题分层过关练|巩固10题+创新5题|综合应用前述方法，结合分段函数、周期性等复杂情境|从基础应用到创新拓展，训练数学抽象、几何直观与逻辑推理能力|

重难点专训05 函数零点与方程的根拓展 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 求函数零点及零点的和 2 题型2 求函数零点个数 3 题型3 方程根的个数 5 题型4 零点及方程根的个数求参数范围 6 重难专题分层过关练 7 巩固过关 7 创新提升 8 解题方法及技巧提炼 1、函数零点与方程根分布问题的基本思路是： （1）将方程 的根等价转化为函数 的零点，或将方程 转化为两函数图象交点问题； （2）利用零点存在性定理判断零点所在区间，结合函数的单调性确定零点唯一性； （3）对于含参问题，通过分离参数构造新函数，将参数取值范围转化为函数值域或图象交点个数问题； （4）综合运用导数研究函数极值、最值及变化趋势，结合图象特征完成零点个数及分布范围的精确判断。 2、判断零点个数与分布的核心策略： （1）零点存在性定理：若函数在区间 上连续且 ，则至少存在一个零点，再结合单调性可判定唯一性； （2）导数法：求出函数极值点及极值符号，划分单调区间，根据每个单调区间端点函数值符号判断零点个数； （3）数形结合法：将方程变形为两个函数相等，分别画出图象，交点个数即为零点个数，交点的横坐标范围即为根的分布； （4）二次方程根的分布：针对二次型函数，利用判别式、对称轴位置、端点函数值符号列出条件组。 3、含参零点问题与不等式结合的转化技巧： （1）分离参数：将参数分离到等式一侧，转化为直线 与函数 的交点问题，通过研究 的值域及单调性确定参数范围； （2）存在性与恒成立问题：“存在零点”转化为值域包含0；“在给定区间有零点”转化为区间端点符号或极值条件；“无零点”转化为函数值恒正或恒负； （3）隐零点处理：若零点无法直接求出，可设零点为 ，利用 进行整体代换，消去超越项，转化为关于 的代数式求值或范围。 4、易错点与作图关键提醒： （1）定义域优先：务必先确定函数定义域，零点只能在定义域内讨论，作图和区间选择均不能越界； （2）零点存在性定理的局限性：只能判定有零点，不能判定无零点，也不保证唯一性，唯一性需结合单调性或导数符号判断； （3）图象作图的准确性：关注特殊点（与坐标轴交点）、渐近线（无穷趋势及垂直渐近线）、极值点位置及极值符号，确保图象走势正确，避免因草图失真导致交点个数误判； （4）二次根分布的条件完整性：除判别式外，还需考虑对称轴与区间的位置关系，以及端点函数值的符号，缺一不可。 题型通法及变式提升 题型1 求函数零点及零点的和 【典例1-1】（2026·北京·三模）设函数，若，则的零点为________；若的值域为，则a的取值范围是________． 核心口诀：直接解方程，对称配成对，韦达帮求和，图象看交点。 高分技巧： 直接解方程法：对于基本初等函数及其简单组合，直接将 转化为代数方程求解。具体函数用对应方法：一次函数令 ；二次函数用求根公式或十字相乘；指数型 取对数；对数型 化为指数；三角型在给定区间内解三角方程； 零点存在性定理定区间：若要求判断零点所在区间，利用 确定存在性，结合单调性确定唯一性，从而缩小范围或锁定区间； 对称配对求和法（核心技巧）： 若函数图象关于直线 对称（即 ），则零点成对出现，每对零点的和为 ，所有零点之和 = 零点对数（若 本身为零点则需单独计入）； 若函数图象关于点 中心对称（即 ），零点（即 的点）也成对出现，每对零点的和为 （与 无关）； 偶函数（关于 轴对称）：零点关于原点成对，每对和为0； 奇函数（关于原点中心对称）：零点关于原点成对，每对和为0，且若0在定义域内则 ； 韦达定理求和：对于多项式函数（特别是二次函数 ），若有两个零点 ，直接由韦达定理得 ； 图象交点法：将 化为 ，画出两函数图象，各交点的横坐标即为零点，通过图象对称性或直接读数求和； 利用周期性与对称性转换：若函数同时具有周期和对称性，先利用周期性将零点平移至一个周期内，再利用对称性配对求和； 特殊值代入排除：选填中要求具体零点时，将选项中的特殊值代入 检验是否为0，快速排除错误选项。 易错警示：零点存在性定理只能判断存在性，不能判断唯一性——需结合单调性判定；若 ，不能断言区间内无零点（可能有偶数个零点）；奇函数的零点若含0，0需单独计入零点和，不可配对遗漏；利用对称性求和时需确认对称轴（或对称中心）本身是否为零点。 【典例1-2】（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数，则函数所有零点之和为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【变式1-1】（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数若，则的零点为___________．记的零点个数为，则函数的值域为___________． 【变式1-2】（2026·北京朝阳·一模）已知函数（），则的所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 题型2 求函数零点个数 【典例2-1】（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为两两不相等的正数，设函数，则（   ） A．没有零点 B．有唯一零点 C．至多有一个零点 D．至少有一个零点 核心口诀：单调+存性定唯一，图象交点看清晰，导数帮忙判极值，穿针引线画到底。 高分技巧： 单调性+零点存在性定理法：先判断函数在区间上的单调性，再找两个端点函数值异号，即可推出“有且只有一个零点”。这是判定唯一零点最可靠的方法； 图象法（首选）：将方程 转化为 ，在同一坐标系中画出 和 的图象，数出交点个数。选填中最快捷的方法； 导数法研究极值：对复杂函数 ，求导分析单调区间和极值，结合各极值的正负号及端点趋势，利用零点存在性定理逐段判断零点个数。极大值 > 0、极小值 < 0且函数在对应区间连续，则该区间内有3个零点； 数轴穿针引线法（穿根法）：对含多个因式的函数 ，在数轴上标出各因式的零点，从右上角开始“穿根”，判断各区间函数值符号，快速确定零点分布和个数； 换元法降次：对于复杂复合型方程（如 ），令 先解出 的个数，再反解 的个数。注意新变量 的取值范围对解的影响； 利用周期性与对称性：若函数具有周期 ，则零点在每个周期内按相同规律分布，先求一个周期内的零点个数，再乘以周期个数（注意端点重复）即可得总个数； 分段函数逐段分析：分段函数的零点个数需在各段分别求解，最后合并统计，特别注意分段点处是否为零点（需单独验证）； 含绝对值函数去绝对值：将含绝对值的函数按绝对值内部正负分段讨论，化为分段函数后再求零点； 选填特殊技巧：特殊值排除法：将选项中的个数作为检验依据，取特殊自变量代入判断零点是否存在，快速排除错误个数。 易错警示：利用 判断零点时，需确保函数在 上连续；若函数不连续（如分式、带间断点），需在各连续区间内分别判断；换元后必须注意新变量的取值范围，可能导致增根或漏根；分段函数的零点必须检查分段点处是否为零点（最容易遗漏）；图象法需注意函数定义域和渐近线，避免画图不准确。 【典例2-2】（2026·北京昌平·二模）设函数，给出下列四个结论： ①当时，恰有2个零点； ②存在正数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有2个零点； ④存在负数，使得恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是_________________ . 【变式2-1】（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 【变式2-2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数，给出下列四个结论： ①，使得为偶函数； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3 方程根的个数 【典例3-1】（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 核心口诀：等价转化同零点，换元降次化简单，图象交点数清晰，两函数相切是关键。 高分技巧： 方程与函数零点的等价转化：方程 的根即函数 的零点，题型2中求零点个数的方法全部适用于求方程根的个数； 图象交点法（核心方法）：将方程变形为 ，方程根的个数等于函数 与 图象交点的个数。关键在于选择便于画图的变形方式——通常将两边化为一个简单函数和一个含参函数； 相切临界法：对于含参方程（如 ），根的个数对应于水平直线 与 图象的交点个数。相切处（即 的极值点处）为临界状态，交点个数在相切前后发生改变，是确定参数范围的关键； 换元法：对复杂方程（如 、），令 或 ，先求关于 的方程根的个数，再反推 的个数——需注意每个 值对应多少个 值； 偶次方程与对称性：若方程中只含 的偶次幂（如 ），令 化为一元二次方程，每个正 对应两个 根， 对应一个根； 指对方程互化：对 型，两边取对数化为 ，转化为普通方程求根； 利用周期性求根个数：若方程为周期函数与普通函数的组合，先在一个周期内数根，再乘周期数（注意端点重复）； 分段方程逐段求解：含绝对值或分段定义的方程，按各段分别解方程后合并统计。 易错警示：等价变形时需注意定义域的变化——如两边同乘、同除、取对数、去分母等操作可能导致增根或漏根，变形后必须检查定义域是否一致；图象法画图时需注意渐近线和间断点；换元后每个 对应多少 是高频失分点，必须单独分析；相切时根的重数不计入个数（如相切只算1个根，不是2个）。 【典例3-2】（2026·北京顺义·二模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 【变式3-1】（2026·云南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程的解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-2】已知是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，，则方程在区间上解的个数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 题型4 零点及方程根的个数求参数范围 【典例4-1】（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 核心口诀：参变分离变交点，水平直线看截距；单调极值画图象，临界相切定范围。 高分技巧： 参变分离法（首选）：将含参方程 变形为 的形式（即把参数 单独分离到等式一侧），则原方程根的个数等于水平直线 与曲线 图象交点的个数。通过研究 的值域、单调性和极值，即可确定 的取值范围； 函数图象截线法：作出 的草图（标出单调区间、极值、渐近线、定义域），用水平直线 上下平移“截”图象，数交点个数随 的变化，直接读出符合条件的参数范围； 导数研究 的图象特征：求 ，确定单调区间和极值点，计算极值、端点值和渐近线，这是画准图象的关键步骤； 临界值法（相切与过端点）：交点个数发生变化的临界点包括：直线过极值点（相切）、直线过曲线端点（若定义域为闭区间）、直线过间断点或渐近线。将所有临界值标在数轴上，分段讨论即可； 根的分布条件转化为不等式：对于二次方程根的分布问题（如两个正根、一正一负、在区间内有根等），转化为判别式、韦达定理、对称轴位置的不等式组求解； 分段讨论法（含绝对值或分段函数的参数问题）：按参数的不同取值或按自变量的分段区间分类讨论，分别分析各段的零点情况，最后合并取并集； 分离为两个含参函数：若参数难以完全分离，可变形为 的形式，讨论 时 是否为0，再研究两个函数图象的交点随 的变化； 选填特殊技巧：端点/特殊值排除法：取选项中参数区间的端点或特殊值代入原方程，快速判断零点个数是否符合题意，一次性排除多个错误选项。 易错警示：参变分离时需确保分母不为0，分离过程中可能缩小或扩大定义域，必须单独讨论分母为零的情况；画 图象时注意定义域的间断点和渐近线，水平直线在渐近线附近可能产生交点变化；相切与相交的区别需仔细辨析——相切时算1个交点（二重根），不是2个；参数范围最终需写成区间形式，注意端点是否能取到（等号成立条件）。 【典例4-2】（2026·北京石景山·二模）已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数．若关于的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个的值是_____． 【变式4-2】（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 17．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，其中且.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为_____，且的取值范围为_______. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线与的交点的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）函数的所有零点的和是（    ） A．5 B．4 C． D． 3．（2026·山西忻州·模拟预测）设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西安康·三模）若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程在区间内恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 创新提升 11．（2026·江西南昌·模拟预测）已知表示不超过的最大整数，，若函数在区间上恰好有个零点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·湖南长沙·二模）已知，设函数的零点个数为，则（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 13．（2026·北京海淀·二模）已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·陕西西安·三模）已知函数有三个互不相等的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训05 函数零点与方程的根拓展 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 求函数零点及零点的和 2 题型2 求函数零点个数 5 题型3 方程根的个数 10 题型4 零点及方程根的个数求参数范围 15 重难专题分层过关练 20 巩固过关 20 创新提升 26 解题方法及技巧提炼 1、函数零点与方程根分布问题的基本思路是： （1）将方程 的根等价转化为函数 的零点，或将方程 转化为两函数图象交点问题； （2）利用零点存在性定理判断零点所在区间，结合函数的单调性确定零点唯一性； （3）对于含参问题，通过分离参数构造新函数，将参数取值范围转化为函数值域或图象交点个数问题； （4）综合运用导数研究函数极值、最值及变化趋势，结合图象特征完成零点个数及分布范围的精确判断。 2、判断零点个数与分布的核心策略： （1）零点存在性定理：若函数在区间 上连续且 ，则至少存在一个零点，再结合单调性可判定唯一性； （2）导数法：求出函数极值点及极值符号，划分单调区间，根据每个单调区间端点函数值符号判断零点个数； （3）数形结合法：将方程变形为两个函数相等，分别画出图象，交点个数即为零点个数，交点的横坐标范围即为根的分布； （4）二次方程根的分布：针对二次型函数，利用判别式、对称轴位置、端点函数值符号列出条件组。 3、含参零点问题与不等式结合的转化技巧： （1）分离参数：将参数分离到等式一侧，转化为直线 与函数 的交点问题，通过研究 的值域及单调性确定参数范围； （2）存在性与恒成立问题：“存在零点”转化为值域包含0；“在给定区间有零点”转化为区间端点符号或极值条件；“无零点”转化为函数值恒正或恒负； （3）隐零点处理：若零点无法直接求出，可设零点为 ，利用 进行整体代换，消去超越项，转化为关于 的代数式求值或范围。 4、易错点与作图关键提醒： （1）定义域优先：务必先确定函数定义域，零点只能在定义域内讨论，作图和区间选择均不能越界； （2）零点存在性定理的局限性：只能判定有零点，不能判定无零点，也不保证唯一性，唯一性需结合单调性或导数符号判断； （3）图象作图的准确性：关注特殊点（与坐标轴交点）、渐近线（无穷趋势及垂直渐近线）、极值点位置及极值符号，确保图象走势正确，避免因草图失真导致交点个数误判； （4）二次根分布的条件完整性：除判别式外，还需考虑对称轴与区间的位置关系，以及端点函数值的符号，缺一不可。 题型通法及变式提升 题型1 求函数零点及零点的和 【典例1-1】（2026·北京·三模）设函数，若，则的零点为________；若的值域为，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】第一空，根据分段函数的解析式，分段求解，即可得答案；第二空，确定每段函数的函数值域情况，结合题意，即的值域为，即可确定参数的取值范围. 【详解】时，， 当时，，令， 解得，符合题意； 当时，，此时函数无零点， 故的零点为； 当时，，在上单调递减， 则，即， 要使整个函数值域为，则时的函数值域必须覆盖， 当时，， 若，此时，函数值域无法覆盖，不合题意； 若，此时，函数值域无法覆盖，不合题意； 当时，，要使函数值域覆盖，只需， 综合上述可知a的取值范围是. 核心口诀：直接解方程，对称配成对，韦达帮求和，图象看交点。 高分技巧： 直接解方程法：对于基本初等函数及其简单组合，直接将 转化为代数方程求解。具体函数用对应方法：一次函数令 ；二次函数用求根公式或十字相乘；指数型 取对数；对数型 化为指数；三角型在给定区间内解三角方程； 零点存在性定理定区间：若要求判断零点所在区间，利用 确定存在性，结合单调性确定唯一性，从而缩小范围或锁定区间； 对称配对求和法（核心技巧）： 若函数图象关于直线 对称（即 ），则零点成对出现，每对零点的和为 ，所有零点之和 = 零点对数（若 本身为零点则需单独计入）； 若函数图象关于点 中心对称（即 ），零点（即 的点）也成对出现，每对零点的和为 （与 无关）； 偶函数（关于 轴对称）：零点关于原点成对，每对和为0； 奇函数（关于原点中心对称）：零点关于原点成对，每对和为0，且若0在定义域内则 ； 韦达定理求和：对于多项式函数（特别是二次函数 ），若有两个零点 ，直接由韦达定理得 ； 图象交点法：将 化为 ，画出两函数图象，各交点的横坐标即为零点，通过图象对称性或直接读数求和； 利用周期性与对称性转换：若函数同时具有周期和对称性，先利用周期性将零点平移至一个周期内，再利用对称性配对求和； 特殊值代入排除：选填中要求具体零点时，将选项中的特殊值代入 检验是否为0，快速排除错误选项。 易错警示：零点存在性定理只能判断存在性，不能判断唯一性——需结合单调性判定；若 ，不能断言区间内无零点（可能有偶数个零点）；奇函数的零点若含0，0需单独计入零点和，不可配对遗漏；利用对称性求和时需确认对称轴（或对称中心）本身是否为零点。 【典例1-2】（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数，则函数所有零点之和为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用导数证明函数的单调性，然后利用零点存在定理说明零点的存在性，最后证明函数为奇函数，根据奇函数图象的对称性即可得出结论. 【详解】由题意知，， 所以在和上单调递增， 又因为，当时，，所以在上必存在唯一的零点， 因为， 所以为奇函数，则在上必存在唯一的零点， 根据奇函数图象的对称性，可知的所有零点之和为. 故选：B 【变式1-1】（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数若，则的零点为___________．记的零点个数为，则函数的值域为___________． 【答案】 【分析】把代入函数，令可得； 分类讨论的情况即可得; 【详解】当时，, 令，解，得,不满足，故舍去； 解，得或，符合题意， 故答案为0，2； 最多一个零点，最多两个零点； 当时，若，由，得，函数有两个零点， 时，若，则存在一个零点，若，则不存在零点； 所以时，的零点个数为或者个，所以或； 当时，，此时只有一个零点，即，； 当时，此时在时，无零点；，也无零点，； 综上，函数的值域为. 【变式1-2】（2026·北京朝阳·一模）已知函数（），则的所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则， 所以的所有零点之和为. 题型2 求函数零点个数 【典例2-1】（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为两两不相等的正数，设函数，则（   ） A．没有零点 B．有唯一零点 C．至多有一个零点 D．至少有一个零点 【答案】C 【分析】整理可得，令，，可得，分类讨论与1的大小，结合函数图象分析判断. 【详解】因为，，为两两不相等的正数， 令，可得， 令，，则，，且均不为1，可得， 若，，分别作出，， 可知与只有一个交点，即有唯一零点； 若一个大于1，一个小于1，不妨设，，分别作出，， 可知与没有交点，即没有零点； 若，，分别作出，， 可知与只有一个交点，即有唯一零点； 综上所述：可能没有零点，至多有1个零点，故C正确. 核心口诀：单调+存性定唯一，图象交点看清晰，导数帮忙判极值，穿针引线画到底。 高分技巧： 单调性+零点存在性定理法：先判断函数在区间上的单调性，再找两个端点函数值异号，即可推出“有且只有一个零点”。这是判定唯一零点最可靠的方法； 图象法（首选）：将方程 转化为 ，在同一坐标系中画出 和 的图象，数出交点个数。选填中最快捷的方法； 导数法研究极值：对复杂函数 ，求导分析单调区间和极值，结合各极值的正负号及端点趋势，利用零点存在性定理逐段判断零点个数。极大值 > 0、极小值 < 0且函数在对应区间连续，则该区间内有3个零点； 数轴穿针引线法（穿根法）：对含多个因式的函数 ，在数轴上标出各因式的零点，从右上角开始“穿根”，判断各区间函数值符号，快速确定零点分布和个数； 换元法降次：对于复杂复合型方程（如 ），令 先解出 的个数，再反解 的个数。注意新变量 的取值范围对解的影响； 利用周期性与对称性：若函数具有周期 ，则零点在每个周期内按相同规律分布，先求一个周期内的零点个数，再乘以周期个数（注意端点重复）即可得总个数； 分段函数逐段分析：分段函数的零点个数需在各段分别求解，最后合并统计，特别注意分段点处是否为零点（需单独验证）； 含绝对值函数去绝对值：将含绝对值的函数按绝对值内部正负分段讨论，化为分段函数后再求零点； 选填特殊技巧：特殊值排除法：将选项中的个数作为检验依据，取特殊自变量代入判断零点是否存在，快速排除错误个数。 易错警示：利用 判断零点时，需确保函数在 上连续；若函数不连续（如分式、带间断点），需在各连续区间内分别判断；换元后必须注意新变量的取值范围，可能导致增根或漏根；分段函数的零点必须检查分段点处是否为零点（最容易遗漏）；图象法需注意函数定义域和渐近线，避免画图不准确。 【典例2-2】（2026·北京昌平·二模）设函数，给出下列四个结论： ①当时，恰有2个零点； ②存在正数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有2个零点； ④存在负数，使得恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是_________________ . 【答案】①③④ 【分析】对于①，将代入，求解即可；对于②，当时，令，当时，令，求导，根据零点存在定理即可求解；对于③，④，求零点转化为两个函数的交点问题求解即可. 【详解】对于①，当时，，当时，即， 解得或，即或，所以恰有2个零点，故①正确； 对于②，当时，，令，则， 由于，所以若，则，函数单调递增，若，则函数先减后增，但只有一个极小值点，， 当时，，因此在上必有且仅有一个零点，当时，， 则，而，所以在内至少还有一个零点，故当为正数时，至少有两个零点，故②错误； 对于③，当为负数时，，令，， 可转化为与，且恒过定点， 两个函数图象的交点问题，如图所示， 所以，存在负数，使得恰有2个零点，故③正确； 对于④，如图所示， 所以，存在负数，使得恰有3个零点，故④正确. 【变式2-1】（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 【答案】C 【分析】整理可得，换元令，结合二次函数性质可得，令求得，进而分析得零点. 【详解】因为，， 令，可得的图象开口向下，对称轴， 当，即时，则的最大值为，解得； 当，即时，则的最大值为，解得（舍去）； 综上所述：，则， 令，解得或（舍去）， 又因为在有2个解， 所以有2个零点. 【变式2-2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数，给出下列四个结论： ①，使得为偶函数； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用赋值法，结合奇偶性的定义可判断①；当时，分和两种情况讨论可得的单调性可判断②③；函数的零点个数即为函数与函数的交点个数可判断④. 【详解】对于①，当时，，又， 所以是偶函数，故，使得为偶函数，故①正确； 对于②③，当时， 若，， 当时，可得，所以，则， 又，则，又，则， 所以函数在上单调递减， 当时，，所以，则， 所以函数在上单调递减， 综上所述：函数在上单调递减， 又当时，， 又，，所以不存在最小值，故②错误，③正确； 对于④，函数的零点即为方程的根， 即方程的根，即函数与函数的交点， 画出函数与的图像，如图所示： 由函数图像可知和至多有两个交点， 所以至多有两个零点，故④错误. 所以，正确命题的个数为2个. 故选：B. 题型3 方程根的个数 【典例3-1】（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，当时，分且，，，四种情况；当时，分，，三种情况，当时，设，利用导数求出，对最大值的符号进行讨论分，，三种情况. 【详解】（i）当时，，代入方程整理得： ，两根为和， 因此，当且时，则有2个不同根； 当时，则有1个根；当时，仅存在根； 当时，，故恒有1个根. （ii）当时，，代入方程整理得： ， 设， 求导得， 当时，，得，有1个根， 若，，在单调递增， 时，时，故恒有1个根； 当时，，，单调递增；，单调递减， 时，时，故恒有1个根； 故在取最大值， 令，单调递减且. 当时，，方程有2个根； 当时，，方程有1个根； 当时，，方程无实根； 综上所述： ，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 其余均不满足条件，共3个符合的. 核心口诀：等价转化同零点，换元降次化简单，图象交点数清晰，两函数相切是关键。 高分技巧： 方程与函数零点的等价转化：方程 的根即函数 的零点，题型2中求零点个数的方法全部适用于求方程根的个数； 图象交点法（核心方法）：将方程变形为 ，方程根的个数等于函数 与 图象交点的个数。关键在于选择便于画图的变形方式——通常将两边化为一个简单函数和一个含参函数； 相切临界法：对于含参方程（如 ），根的个数对应于水平直线 与 图象的交点个数。相切处（即 的极值点处）为临界状态，交点个数在相切前后发生改变，是确定参数范围的关键； 换元法：对复杂方程（如 、），令 或 ，先求关于 的方程根的个数，再反推 的个数——需注意每个 值对应多少个 值； 偶次方程与对称性：若方程中只含 的偶次幂（如 ），令 化为一元二次方程，每个正 对应两个 根， 对应一个根； 指对方程互化：对 型，两边取对数化为 ，转化为普通方程求根； 利用周期性求根个数：若方程为周期函数与普通函数的组合，先在一个周期内数根，再乘周期数（注意端点重复）； 分段方程逐段求解：含绝对值或分段定义的方程，按各段分别解方程后合并统计。 易错警示：等价变形时需注意定义域的变化——如两边同乘、同除、取对数、去分母等操作可能导致增根或漏根，变形后必须检查定义域是否一致；图象法画图时需注意渐近线和间断点；换元后每个 对应多少 是高频失分点，必须单独分析；相切时根的重数不计入个数（如相切只算1个根，不是2个）。 【典例3-2】（2026·北京顺义·二模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【分析】将方程有无实数根的问题，转化为函数零点问题，进而转化为两个基本初等函数图象交点的问题，结合函数的单调性及数形结合的方法，对参数和分别取满足条件的不同值，即可对四个命题作出判断. 【详解】令，得，易知恒过点. ①当，则，恒过，图象如下， 对任意负实数，；两个函数图象都有一个交点，即方程恰有一个实数解，①正确； ②易知时，与轴的交点位于轴正半轴，因此， 当时，与在上一定有交点，如图所示， 即方程一定有实数解，所以②错误； ③当，时，当时，方程为，即， 令，则，令，则， 所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增， 又因为，，， 所以函数在内必有一个零点，在上也必有一个零点， 所以与，在内必有一个交点，在上也必有一个交点， 又因为当时，在上，与无交点， 与的图象如下， 所以，当，时，与有两个交点， 即方程恰有2个实数解，所以③正确； ④方程时，有，此时恒过点， 当，时，与有个不同交点， 即方程恰有3个实数解，所以④正确. 【变式3-1】（2026·云南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程的解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】原题意等价于函数与函数图象的交点个数，作出函数图象即可得解. 【详解】因为方程的解的个数，等价于函数与函数图象的交点个数， 因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 在同一直角坐标系中，分别作出它们的图象， 由图象可知，交点个数为3. 故选：B. 【变式3-2】已知是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，，则方程在区间上解的个数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据对称性（点对称、轴对称）可得到的周期，进而可得在上的图象，由函数与方程知识可知方程的解的个数即对应的两个函数图象的交点个数. 【详解】方程在区间上解的个数，等价于函数在区间上的图象的交点个数. 因为是定义在上的奇函数， 所以的图象关于原点对称，且. 又的图象关于直线对称，所以，所以， 所以，所以，所以的周期为4. 当时，，所以， 当时，，所以在上单调递减， 根据的对称性、周期性、单调性可知当时，， 在上的图象，如图： 对于，最小正周期为，结合正弦曲线可得在区间上的图象， 由图可知在区间上的图象的交点个数为11（与x轴有4个交点，与曲线有7个交点）， 即方程在区间上解的个数为11. 题型4 零点及方程根的个数求参数范围 【典例4-1】（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，按分段，结合一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】方程， 当时，方程为，则，即，当时，方程有且只有一个实根； 当时，方程为，显然是此方程的一个实根， 当时，方程化为，要使方程有4个不同的实数解， 当且仅当方程有两个不同的正根，则，解得， 所以的取值范围是. 核心口诀：参变分离变交点，水平直线看截距；单调极值画图象，临界相切定范围。 高分技巧： 参变分离法（首选）：将含参方程 变形为 的形式（即把参数 单独分离到等式一侧），则原方程根的个数等于水平直线 与曲线 图象交点的个数。通过研究 的值域、单调性和极值，即可确定 的取值范围； 函数图象截线法：作出 的草图（标出单调区间、极值、渐近线、定义域），用水平直线 上下平移“截”图象，数交点个数随 的变化，直接读出符合条件的参数范围； 导数研究 的图象特征：求 ，确定单调区间和极值点，计算极值、端点值和渐近线，这是画准图象的关键步骤； 临界值法（相切与过端点）：交点个数发生变化的临界点包括：直线过极值点（相切）、直线过曲线端点（若定义域为闭区间）、直线过间断点或渐近线。将所有临界值标在数轴上，分段讨论即可； 根的分布条件转化为不等式：对于二次方程根的分布问题（如两个正根、一正一负、在区间内有根等），转化为判别式、韦达定理、对称轴位置的不等式组求解； 分段讨论法（含绝对值或分段函数的参数问题）：按参数的不同取值或按自变量的分段区间分类讨论，分别分析各段的零点情况，最后合并取并集； 分离为两个含参函数：若参数难以完全分离，可变形为 的形式，讨论 时 是否为0，再研究两个函数图象的交点随 的变化； 选填特殊技巧：端点/特殊值排除法：取选项中参数区间的端点或特殊值代入原方程，快速判断零点个数是否符合题意，一次性排除多个错误选项。 易错警示：参变分离时需确保分母不为0，分离过程中可能缩小或扩大定义域，必须单独讨论分母为零的情况；画 图象时注意定义域的间断点和渐近线，水平直线在渐近线附近可能产生交点变化；相切与相交的区别需仔细辨析——相切时算1个交点（二重根），不是2个；参数范围最终需写成区间形式，注意端点是否能取到（等号成立条件）。 【典例4-2】（2026·北京石景山·二模）已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将存在个零点转化为函数与的图象有2个交点，先讨论与相切的情况，再将平移讨论的范围，数形结合即可求解. 【详解】若存在2个零点，则有2个解，即有2个解， 即函数与的图象有2个交点. 当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 先求与相切的情况： 设切点为，因为，所以，所以，所以切点为， 代入切线方程，得. 当时，直线与相切于点， 同时与有个交点，此时共2个交点； 当时，直线与有个交点， 与有个交点，共2个交点； 当时，直线与无交点，与有个交点，共个交点； 当时，直线与无交点，与无交点，共个交点； 综上，存在2个零点时，的取值范围是. 【变式4-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数．若关于的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个的值是_____． 【答案】（满足即可） 【分析】通过分类讨论去掉绝对值，将方程转化为二次方程，分析不同区间内根的个数，结合恒为解，得到的取值范围，然后任选一个值即可. 【详解】函数定义域为， 对于方程，当时恒成立，因此是一个解. 再考虑的情况， 当时，方程化为，即， 对于方程， 当，方程无解； 当，，，即方程在仅有一解； 当时，，方程无解； 当时，即，此时，， 即方程有两个负根（时，两负根相等），此时方程在无解． 当且时，方程化为，即． 对于方程， 当，方程无解； 当，，，即方程在仅有一解； 当时，，方程无解； 当时，，此时，方程有两个负根（时，两负根相等）； 综上所述，当，方程在无解，在仅有一解，由于是一个解，符合题意； 当方程在仅有一解，在无解，由于是一个解，符合题意，所以，所以满足条件的可以是． 【变式4-2】（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 【答案】 140 【分析】将方程根的个数转换成函数图象的交点个数，再结合指对数转换和二次函数性质即可求解. 【详解】方程根的个数，可转换成函数图象的交点个数， 如下图： 由函数图象可知，当时，函数图象共有3个交点， 故若集合M中共有3个元素，则的取值范围是， 若集合M中共有4个元素，由图象可知的取值范围是， 设4个元素由小到大为， 则，即，得， ，即，得， ，即，得， ，即，得， 所以， 故当时，取得最小值140. 17．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，其中且.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为_____，且的取值范围为_______. 【答案】 【分析】根据给定条件，按分类作出函数的图象，数形结合求出的范围；再利用方程根的意义，结合基本不等式求出范围. 【详解】当时，函数的图象及直线如图： 当时，函数的图象及直线如图： 当时，函数的图象及直线如图： 当时，函数的图象及直线如图： 观察图象知，当且仅当且，即时，函数的图象及直线有3个交点， 即方程有三个不相等的实数根，不妨令， 则，由，得，即， 因此，则，所以. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线与的交点的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，可得答案. 【详解】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图所示： 所以曲线与的交点的个数为个. 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）函数的所有零点的和是（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】将函数的所有零点转化成函数与图象上所有交点的横坐标，数形结合作出与的图象，借助函数图象求得两函数所有交点的横坐标之和即可得解. 【详解】令，则 则函数的所有零点即函数与图象上所有交点的横坐标. 作出与图象如图所示： 由图可知，与共有5个交点， 因为当时，，所以点是图象的一个对称中心， 又点在直线上，所以点也是图象的对称中心， 所以两函数除点外的其余4个交点都关于点对称， 所以所有零点的和是. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导，根据导函数确定函数的单调性即可求解. 【详解】已知，函数，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以在处取到最小值， 因为函数在上恰有一个零点，则必有，解得. 4．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系可得的解析式，将问题转化为函数与直线交点个数问题，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】，，，，， ，； 函数的零点个数等价于函数与直线的交点个数； 作出与的图象如下图所示， 结合图象可知：当时，与在每个区间上有且仅有一个交点，则当时，与共有个交点； 当时，与没有交点，即当时，与没有交点； 当时，与有且仅有一个交点，即当时，与有且仅有个交点； 当时，，，二者没有交点，即当时，与没有交点； 综上所述：当时，函数的零点个数为个. 5．（2026·陕西安康·三模）若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解，结合有且只有一个零点，即无解或有等根，分类计算后即可参数的取值范围． 【详解】， 因为有且只有一个零点，即无解，或有两个等根为 所以，或，解得． 6．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再按分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为R，求导得 ，而， 当时，，函数在R上单调递减，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，，当时，， 函数有两个零点，当且仅当，令函数， 而函数在上都单调递增，则函数在都单调递增， 又，因此不等式的解集为. 所以实数m的取值范围是. 7．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 8．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，确定分段函数每一段的单调性，再结合图像求解即可． 【详解】解：在上单调递减， 在单调递增， 则的图像如下： 方程只有一个实数解，则的取值范围为． 9．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程在区间内恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可知， 方程等价于． 所以或． 要使方程在内恰有两个不同实数根，需要，，且． 由，得．结合，得． 又两个根不同，所以．因此． 10．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分段函数分段考虑各段上的零点情况，将问题转化为在上必须有2个零点的情况，结合数形结合思想列出不等式求解即得. 【详解】①当时，，则，所以在上单调递增， 因为，而， 由零点存在定理得，函数在上有且只有一个零点； ②时，，该二次函数的图象开口向上，对称轴为， 要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使在上要有2个零点， 即需使在上有两个不相等的实数根， 即，解得， 综上可得. 创新提升 11．（2026·江西南昌·模拟预测）已知表示不超过的最大整数，，若函数在区间上恰好有个零点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合的性质，可得零点为，结合条件求的范围即可. 【详解】令，则，则， 令，可得，故的零点为， 因为函数在区间上恰好有个零点， 所以， 所以的最大值是. 12．（2026·湖南长沙·二模）已知，设函数的零点个数为，则（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 【答案】C 【分析】先利用图象的交点求出当时，的零点个数，再根据函数的周期得出数列为等差数列，求出数列的通项公式，即可求出. 【详解】的零点个数即为方程的解的个数， 即为函数与函数 的图象的交点个数. 函数的最小正周期为.所以. 又，所以只分析当时，两个函数图象的交点即可. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有一个交点，所以. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有3个交点，所以. 每增加1个单位，增加个单位，相应的的图象也增加一个周期的图象，则交点增加2个， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以. 所以. 13．（2026·北京海淀·二模）已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知当时，，当时，，进而分，，三种情况，数形结合求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以，当，即，作出函数的图象，如图， 显然，当，都有，且， 所以, 当，即时，作出函数的图象，如图， 当，都有，且 所以， 当，即时，作出函数的图象，如图， 当时，则需满足，即，解得， 所以， 综上，，即的取值范围为. 14．（2026·陕西西安·三模）已知函数有三个互不相等的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一，设，，作出函数图象数形结合求解，法二，对分类讨论求解即可. 【详解】法一：， 设，，令，得．作出，的大致图象，如图， 因为有三个互不相等的零点，所以要有两个大于的相异零点，记为，， 由根与系数的关系得，解得或， 所以的取值范围是． 法二：． ①若，只有一个零点，舍去； ②若，当或时，， 则，令， 得； 当时，， 则， 要使有三个互不相等的零点，方程需在内有两个不相等的实数根， 则，解得． ③若，当或时，，则， 令，得． 要使有三个互不相等的零点，要满足，得； 当时，0，则， 要使有三个互不相等的零点，方程需在内有两个不相等的实数根， 则，解得. 综上所述，的取值范围是． 15．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质以及利用导数确定函数单调性，继而得到的图象，结合图象得出的取值范围． 【详解】为二次函数，对称轴为， 所以时，单调递减， 令，， 所以在单调递增， 则函数的图象如下： 函数仅有一个零点，即只有一个交点， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $