10.2 直线与直线间的位置关系（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦空间直线位置关系核心知识点，系统梳理平行直线（含平行公理、传递性）、异面直线（定义、判定）、异面直线所成角（定义、范围、平移法与向量法）及等角定理，构建从概念到定理再到应用的学习支架，衔接平面直线知识，深化空间几何认知。 资料以“数学眼光”“数学思维”为导向，设计等角定理应用、异面直线判定与夹角计算等分层题型，如正方体中异面直线识别、正四面体夹角计算，培养空间观念与逻辑推理能力。课中辅助教师系统教学，课后通过变式练习帮助学生查漏补缺，提升解题能力。

10.2 直线与直线间的位置关系 教学目标 1.掌握空间平行直线的平行公理.等角定理.判断空间直线平行关系 2.理解异面直线定义.区分空间三类直线位置关系 3.理解异面直线所成角定义.掌握平移法.向量法求角.熟记范围 教学重难点 重点 1.平行公理与等角定理 2.异面直线概念辨析 3.异面直线所成角计算 难点 1.异面直线空间识别 2.异面直线角度的转化构造 知识点01 平行直线 1．平行直线（1）定义：在同一平面内___不相交_____的两条直线称为平行直线；（2）空间平行线的传递性；（1）文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相__平行______；（2）符号表述：. 知识点02 异面直线 2．异面直线：:（1）定义：两条直线异面，实际上也就是这两条直线不能同在_任何一个平面内_______； （2）异面直线的画法：为了表示异面直线，不共面的特点，作图时，通常用一个或两个__平面______衬托，如图所示. （3）判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内__不经过交点______的直线异面. 知识点03 异面直线所成的角 3．异面直线所成的角：（1）定义：一般地，如果，是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与，___平行_____的直线，，则与所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小.（2）异面直线所成角的取值范围：________. 知识点04 等角定理 等角定理及其推论 （1）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角__相等____； （2）等角定理的推论 推论1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角__相等或者互补____； 推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）_相等_____． 题型01 等角定理 【典例1】（25-26高二上·上海静安·期中）空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）空间中，与的两边分别平行，若，则_________． 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，则的大小是______ 【变式3】空间中和两边分别平行，，则的大小是________. 题型02 异面直线的判定 【典例1】（25-26高一下·上海·期末）如图，在长方体的棱中，其所在直线与是异面直线的棱有________条． 【变式1】如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_______． 【变式2】（25-26高二上·上海·阶段检测）（1）已知是空间四边形，分别是的中点，求证：． （2）在正方体中，分别是正方形和的中心；求证：直线与为异面直线． 【变式3】（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型03 求异面直线所成夹角 【典例1】（25-26高二上·上海虹口·期中）如图，已知、分别是正方体的棱、的中点． (1)求证：、、、在同一个平面上； (2)求证：与是异面直线并求出异面直线与所成角的大小． 【变式1】（25-26高二上·上海·期中）已知是正四面体（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形），M为AB中点，则SM与BC所成角为____________. 【变式2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知三棱柱中，底面，，，则异面直线与所成角的大小为___________    【变式3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 (1)求证：直线和为异面直线. (2)求直线和所成角的大小. 题型04 由异面直线的夹角求其他量 【典例1】（25-26高二上·上海普陀·期末）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【变式1】（24-25高二上·上海·阶段检测）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 【变式3】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 题型05 异面直线的综合题型 【典例1】（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是___________. 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【变式2】（24-25高二上·上海·阶段检测）设、、为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，则与所成角的取值范围是________. 【变式3】（上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一下·四川绵阳·期中）空间四边形的两条对角线与相等，顺次连接这个四边形各边的中点，所组成的四边形是___________． 2．（25-26高二上·上海·阶段检测）正方体的各表面在一个平面上的展开图如图所示，则展开图中的面对角线与在正方体中的位置关系为______（选填“平行”、“相交”、“异面”）．    3．（25-26高二上·上海·期中）正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论： （1）直线AM与是相交直线；（2）直线AM与BN是平行直线； （3）直线BN与是异面直线；（4）直线AM与是异面直线. 其中正确的结论为____________.（把你认为正确结论的序号都写上） 4．（24-25高一下·上海·期末）如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      5．（25-26高二下·上海浦东新·期中）在正方体中，任意两条面对角线的夹角不可能为（    ） A．0 B． C． D． 6．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线、相交，夹角为，交点为.在空间中过点且与直线、成相同夹角的直线只有3条，则的大小是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)求证:点在直线上； 8．（24-25高一下·上海浦东新·期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 9．（24-25高二·上海·课堂例题）空间四边形ABCD中，AC与BD成30°角，，，E、F、G、H分别是四边的中点，那么四边形EFGH的面积等于________． 10．（23-24高二下·上海·阶段检测）四面体中，，，两两互相垂直，且，是的中点，异面直线与所成的角的大小为，求线段的长______. 11．（23-24高二上·上海·期末）如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，直线过点． ①存在唯一的直线与直线和直线都相交； ②存在唯一的直线与直线和直线所成的角都是； ③存在唯一的直线与直线和直线都垂直； 以上三个命题中，所有真命题的序号是______. 12．（23-24高二上·上海青浦·期末）在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为，则直线可能有条，则_____________. 15．（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 16．（21-22高二上·上海黄浦·期中）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．； B． C．； D．． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2 直线与直线间的位置关系 教学目标 1.掌握空间平行直线的平行公理.等角定理.判断空间直线平行关系 2.理解异面直线定义.区分空间三类直线位置关系 3.理解异面直线所成角定义.掌握平移法.向量法求角.熟记范围 教学重难点 重点 1.平行公理与等角定理 2.异面直线概念辨析 3.异面直线所成角计算 难点 1.异面直线空间识别 2.异面直线角度的转化构造 知识点01 平行直线 1．平行直线（1）定义：在同一平面内___不相交_____的两条直线称为平行直线；（2）空间平行线的传递性；（1）文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相__平行______；（2）符号表述：. 知识点02 异面直线 2．异面直线：:（1）定义：两条直线异面，实际上也就是这两条直线不能同在_任何一个平面内_______； （2）异面直线的画法：为了表示异面直线，不共面的特点，作图时，通常用一个或两个__平面______衬托，如图所示. （3）判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内__不经过交点______的直线异面. 知识点03 异面直线所成的角 3．异面直线所成的角：（1）定义：一般地，如果，是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与，___平行_____的直线，，则与所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小.（2）异面直线所成角的取值范围：________. 知识点04 等角定理 等角定理及其推论 （1）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角__相等____； （2）等角定理的推论 推论1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角__相等或者互补____； 推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）_相等_____． 题型01 等角定理 【典例1】（25-26高二上·上海静安·期中）空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 【答案】或 【分析】直接由等角定理求解即可. 【详解】根据等角定理可知与相等或互补，又， 所以或， 故答案为：或. 【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）空间中，与的两边分别平行，若，则_________． 【答案】或 【分析】由空间等角定理即可求解. 【详解】由空间等角定理可知 或， 故答案为：或 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，则的大小是______ 【答案】或 【分析】根据和相等或者互补即可求解. 【详解】因为， 所以和相等或者互补， 所以或. 故答案为:或. 【变式3】空间中和两边分别平行，，则的大小是________. 【答案】或 【分析】利用等角定理可得结果. 【详解】因为空间中和两边分别平行，则和相等或互补， 又因为，则或. 题型02 异面直线的判定 【典例1】（25-26高一下·上海·期末）如图，在长方体的棱中，其所在直线与是异面直线的棱有________条． 【答案】 4 【分析】逐类判断长方体的棱与直线 的位置关系：相交或平行的棱都不是异面直线，只需统计既不相交也不平行的棱． 【详解】在长方体 中，与 相交的棱有 ； 与 平行的棱有 ；棱 所在直线与自身重合． 剩下的棱 所在直线与既不相交,也不平行,故均与是异面直线． 所以所求棱共有 条． 【变式1】如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_______． 【答案】②④ 【分析】根据题意，结合异面直线的判定方法，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①，如图①所示，连接，因为分别是上下底面对应边的中点， 可得且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以①不符合题意； 对于②，如图②所示，由平面，平面，平面，且直线上， 所以与为异面直线，所以②符合题意； 对于③，如图③所示连接，因为分别各边的中点，可得且， 四边形是以和为腰的梯形，所以和必相交，所以③不符合题意； 对于④，如图④所示，由平面，平面，平面，且直线上， 所以与为异面直线，所以④符合题意. 【变式2】（25-26高二上·上海·阶段检测）（1）已知是空间四边形，分别是的中点，求证：． （2）在正方体中，分别是正方形和的中心；求证：直线与为异面直线． 【答案】 （1）取BC的中点为P，连接，如图所示， 由三角形的中线性质可知， 在中． （2）连接，如图所示， 因为平面，平面，，且平面， 所以与是异面直线． 【变式3】（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，利用异面直线的定义，依次分析4个命题是否正确，综合可得答案. 【详解】根据题意，依次分析4个命题： 因为直线平面，所以、、、不可能与直线异面， 当直线过底面两个顶点时， 若直线为底面边所在直线时，假设直线取，中只有四条直线、、、与直线异面，故②正确； 若直线为底面对角线时，假设直线取，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线只过底面的一个顶点时，假设直线过点，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线不过底面的任何一个顶点时，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 综上所述，中不可能有2条直线与异面，故①错误； 对于③，当直线取点与线段的中点连线时，中除了、、和之外有8条棱均与直线异面，故③正确； 对于④，当直线取线段中点与线段的中点连线时，中除了和之外的10条棱均与直线异面，故④正确. 故选：C. 题型03 求异面直线所成夹角 【典例1】（25-26高二上·上海虹口·期中）如图，已知、分别是正方体的棱、的中点． (1)求证：、、、在同一个平面上； (2)求证：与是异面直线并求出异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)连接、，因为是中点，所以是中位线，所以， 正方体中，，由平行传递性，得， 与是两条平行直线，两平行直线确定唯一平面，所以四点在同一个平面上； (2) 假设直线与不是异面直线，则直线与共面， 因为直线和这条直线外的一点能确定一个平面，即为平面， 因为与共面，所以点在平面上， 但是，在正方体中，点不在平面上，矛盾，故假设不成立， 因此与是异面直线； 异面直线与所成的角的大小为. 【详解】（1）略 （2） 设正方体的棱长为2,如图，取的中点，连接、, 因为是棱的中点，是棱的中点，所以 ，， 故就是异面直线与所成的角或其补角, 在中，，, , ，， 由余弦定理，得, 于是, 因此异面直线与所成的角的大小为. 【变式1】（25-26高二上·上海·期中）已知是正四面体（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形），M为AB中点，则SM与BC所成角为____________. 【答案】 【分析】取AC中点N，连接MN、NS，分析可知SM与BC所成角为（或其补角），利用余弦定理运算求解即可. 【详解】设正四面体棱长为2，取AC中点N，连接MN、NS， 因为M为AB中点，则且， 可知SM与BC所成角为（或其补角）， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以SM与BC所成角为. 【变式2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知三棱柱中，底面，，，则异面直线与所成角的大小为___________    【答案】 【分析】根据三棱柱的特征补全为正方体，则，为直线与所成角，连接，则为等边三角形即可得解. 【详解】根据直三棱柱的特征， 补全可得如图所示的正方体， 易知，为直线与所成角， 连接，则为等边三角形， 所以， 所以直线与所成角的大小为. 故答案为：.    【变式3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 (1)求证：直线和为异面直线. (2)求直线和所成角的大小. 【答案】(1) 由平面，故平面， 而平面，，又平面， 故平面，故直线和为异面直线； (2). 【分析】（1）根据异面直线的定义判断证明； （2）取中点，连接、，根据已知及异面直线所成角的定义找到其平面角，进而确定其大小. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接、，由于、分别为、的中点， 所以，且， 故直线和所成角，即或其补角， 因为，故，因为，故，故， 所以直线和所成角为. 题型04 由异面直线的夹角求其他量 【典例1】（25-26高二上·上海普陀·期末）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【分析】连接，由中位线定理可得为异面直线所成角或所成角补角，据此可得答案. 【详解】如图，连接，由题设及中位线定理可得， 则为异面直线所成角或所成角补角，则或. 故答案为：或. 【变式1】（24-25高二上·上海·阶段检测）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得. 【详解】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 【答案】 【分析】根据中位线可证得四边形为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积． 【详解】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【答案】 【分析】取中点，连接，，即可得到异面直线与所成的角，再由勾股定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 又因为异面直线与所成的角为，则为异面直线与所成的角（或补角）， 所以， 所以， 所以． 题型05 异面直线的综合题型 【典例1】（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】连接，证得，得到异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设，利用余弦定理求得，结合换元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为分别为棱的中点，可得 在正方体中，可得，所以， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即, 设，其中， 在中，由， 由余弦定理得， 设，则，可得， 再令，则，则， 设，可得函数在上为增函数， 又由，所以，所以， 所以异面直线与所成的角余弦值的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【分析】在上取一点，使得，可得为异面直线与所成角或其补角，设出边长可得，即可求解. 【详解】    如图，在上取一点，使得， 因为，，四边形为矩形， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 设，所以，， 因为和都是正三角形，所以， 由，所以， 所以，所以， 所以异面直线与所成角为. 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段检测）设、、为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，则与所成角的取值范围是________. 【答案】 【分析】不妨设、、相交于点，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得与所成角的最小值与最大值即可. 【详解】不妨设、、相交于点，如图，根据题意构造两个圆锥， 其中底面圆心为，轴所在直线为，小圆锥的母线所在直线为，轴截面 ； 大圆锥的母线所在直线为，轴截面，且在一条直线上. 由题意，， 由图可知，当移动到，移动到时，可得与所成角的最小， 最小值为. 当移动到，移动到时，可得与所成角的最大， 最大值为. 所以与所成角的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】（上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面上两条直线分别满足，则相交，且夹角为，讨论的取值范围，从而确定c的情况以及条数，即可得答案. 【详解】设平面上两条直线分别满足， 则相交，设交点为，且夹角为， 如图示：过空间中一点作直线，若直线与均异面，且所成角均为， 则直线与直线所成角均为， 当时，不存在这样的直线， 当时，这样的直线只有一条， 当时，这样的直线有两条， 当时，这样的直线有三条， 当时，这样的直线有四条， 当时，这样的直线只有一条. 所以的范围为. 故选：A. 1．（25-26高一下·四川绵阳·期中）空间四边形的两条对角线与相等，顺次连接这个四边形各边的中点，所组成的四边形是___________． 【答案】菱形 【详解】连接，分别为的中点， 所以且， 所以且，所以四边形是平行四边形. 又分别为的中点，所以， 又因为，所以四边形是菱形. 2．（25-26高二上·上海·阶段检测）正方体的各表面在一个平面上的展开图如图所示，则展开图中的面对角线与在正方体中的位置关系为______（选填“平行”、“相交”、“异面”）．    【答案】异面 【分析】根据平面图还原正方体，注意对应点的位置，结合异面直线的定义即可得. 【详解】由题设平面图，还原正方体如下，    由图知，为异面直线. 故答案为：异面 3．（25-26高二上·上海·期中）正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论： （1）直线AM与是相交直线；（2）直线AM与BN是平行直线； （3）直线BN与是异面直线；（4）直线AM与是异面直线. 其中正确的结论为____________.（把你认为正确结论的序号都写上） 【答案】（3）（4） 【详解】对于（1）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（1）错误； 对于（2）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（2）错误； 对于（3）：直线BN与是异面直线，故（3）正确； 对于（4）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（4）正确. 4．（24-25高一下·上海·期末）如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      【答案】3 【分析】根据异面直线的定义，即可判断. 【详解】和是异面直线， 和是异面直线， 和是相交直线，不是异面直线， 和是异面直线，所以有3条. 故答案为：3 5．（25-26高二下·上海浦东新·期中）在正方体中，任意两条面对角线的夹角不可能为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】正方体中，互相平行的面： 当对角线互相平行时，夹角为0；当对角线互相垂直时，夹角为； 互相垂直的面，对角线可构成等边三角形，则夹角为， 综上，任意两条面对角线的夹角不可能为． 6．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线、相交，夹角为，交点为.在空间中过点且与直线、成相同夹角的直线只有3条，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中过交点的直线与已知直线的夹角规律得到答案. 【详解】当时，无满足条件的直线； 当时，有一条直线（为、夹角的角平分线）； 当时，有两条直线； 当时，有三条直线（包含、夹角的补角平分线，及另外两条空间直线）； 当时，有四条直线； 当时，有一条直线（为、的公垂线）； 故选：A 7．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)求证:点在直线上； 【答案】(1) (2)证明:，平面 平面 平面 平面 平面平面 即 点在直线上 【分析】（1）判断出异面直线与所成角并计算出角的大小. （2）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. 【详解】（1）根据正方体的性质可知 是异面直线与所成的角或其补角 分别是的中点 是等腰直角三角形 即异面直线与所成角的大小为; （2）略. 8．（24-25高一下·上海浦东新·期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 【答案】或 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解. 【详解】如图，设是的中点，分别连接， 又因为、分别为和的中点， 所以， 所以是所成的角或是其补角． 因为，所以，所以， 因为异面直线与所成的角为，所以或， 当时，和所成角， 当时，和所成角， 综上所述：异面直线和所成角的大小是或. 故答案为：或. 9．（24-25高二·上海·课堂例题）空间四边形ABCD中，AC与BD成30°角，，，E、F、G、H分别是四边的中点，那么四边形EFGH的面积等于________． 【答案】3 【分析】根据三角形的中位线定理知，或其补角即为所成的角，且的长为其第三边的一半，根据平行四边形的面积公式即得． 【详解】如图，在平行四边形中，，， 或，    ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 10．（23-24高二下·上海·阶段检测）四面体中，，，两两互相垂直，且，是的中点，异面直线与所成的角的大小为，求线段的长______. 【答案】4 【分析】利用三角形的中位线定理及异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理的推论即可求解. 【详解】取的中点，连、，如图所示 是的中点， 故为异面直线与所成角， 设，则, 因为，异面直线与所成的角的大小为， 所以由余弦定理,得,解得， 所以线段的长为4． 故答案为：. 11．（23-24高二上·上海·期末）如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，直线过点． ①存在唯一的直线与直线和直线都相交； ②存在唯一的直线与直线和直线所成的角都是； ③存在唯一的直线与直线和直线都垂直； 以上三个命题中，所有真命题的序号是______. 【答案】①③ 【分析】根据异面直线的性质以及夹角即可结合选项求解. 【详解】对于①，若直线与直线相交，则直线在平面内，若直线与直线相交，则直线在平面内， 因此直线为平面与平面的交线，因此只有一条； 对于②，直线和直线所成角为，其补角为，，故应该是三条直线； 对于③，异面直线的公垂线有且只有一条，过点作与公垂线平行的直线即可； 故答案为：①③. 12．（23-24高二上·上海青浦·期末）在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意易知的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆，即可求扫过的面积. 【详解】由题意得：正方体中，易得， 要使直线与直线所成角的大小为， 只需与直线所成角的大小为， 所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 所以,即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 故线段扫过的面积的大小为. 故选：A. 13．（23-24高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. 14．（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为，则直线可能有条，则_____________. 【答案】 【分析】结合等角定理，分、、、、与进行讨论即可得. 【详解】过点作异面直线、的平行线、， 则直线、交成、两个角； 当时，直线不存在； 当时，直线只能是直线、所夹角的平分线，故有1条； 当时，过点在空间可作2条直线与直线、均成角； 当时，直线可以是120°角的平分线，再加上前一情况的2条，此时共有3条； 当时，过点在空间可以作4条直线与直线、均成角； 当时，存在唯一一条直线与、都垂直，故有1条. 故答案为：. 15．（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】将各个顶点分别与的连线与直线所成的角大于等于和小于两类；从而可知当点在上运动时都经历了从小于到大于的变化，从而得到结果. 【详解】如图，将正方体的各个顶点（除点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类，小于时为一类 显然与所成角的正切值为，故大于， 与所成角的为，大于， 与所成角的余弦值为，角大于， 与所成角的正切值为，小于， 当点从运动到时，角度从大于变化到小于，一定经过一个点满足； 依此类推，当点在上运动时， 都经历过角度从小于到大于的变化，故满足条件的点共有个. 故选： 【点睛】方法点睛： 利用类似于函数的零点存在性定理的方式，通过确定角度的变化规律，找到变化过程中的临界点，通过一上一下两点的角度变化特点得到是否存在满足要求的点. 16．（21-22高二上·上海黄浦·期中）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．； B． C．； D．． 【答案】D 【分析】利用异面直线的定义，从正方体的八个顶点两两连线中任取两条异面直线，可以分类讨论其夹角可能取值，进而得解. 【详解】利用异面直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条棱所在直线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 面对角线与棱所在直线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 两条面对角线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 体对角线与棱所在直线异面时，所成角的余弦值为； 体对角线与面对角线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $