第2章实数的初步认识分层特训-2026-2027学年数学八年级上册

**基本信息** 《实数的初步认识分层特训》通过“基础达标”“思维达标”双层设计，实现从概念理解到综合探究的知识巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|无理数识别、平方根运算、估算等单一知识点|选择/填空/解方程，强化概念辨析与基本运算，如无理数判断、平方根性质应用| |思维达标|分类讨论、图形剪拼、近似值探究等综合应用|阅读理解题（绝对值化简）、操作探究题（正方形剪拼），发展推理能力与创新意识|

第2章实数的初步认识分层特训01 基础达标 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．地球的半径约为，精确到（    ）位 A．千 B．百 C．十 D．个 3．9的算术平方根是（   ） A． B．3 C． D．81 4．估算的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 5．一个正数b的平方根为和，则（ ） A．2 B．3 C．9 D． 6．下列说法正确的是（   ） A．算术平方根为本身的数是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的立方根为 7．如图，点，在数轴上，其表示的实数分别为，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（   ） A． B． C． D． 8．已知，则等于（   ） A． B．1 C．2025 D． 9．用四舍五入法，把31415926精确到千位，取得的近似数是______． 10．的值为___________． 11．一个正数的两个不同的平方根分别是和，则________． 12．将图1中的5个边长为1的小正方形，剪拼成图2中的大正方形．在数轴上，以原点O为圆心，为半径作弧，交数轴于点E，则点E表示的数为________． 13．观察下表规律，利用规律解答，若，，则________． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 14．定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 15．解方程： (1) (2) 16．已知某正数的平方根分别是和， 的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 17．下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 01 思维达标 18．【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 19．【问题】两个正方形的边长分别是1，2，剪一剪，并拼成一个大的正方形． 【理解问题、拟定计划】 （1）拼成的大正方形的边长为 ． （2）借助方格纸，在方格纸中进行剪拼． 【实施计划】 （1）摆：如图1，在方格纸中，画出边长分别是1，2的两个正方形． （2）剪：如图2，沿线段，线段剪开． （3）拼：如图3，将直角三角形平移到直角三角形的位置，将直角三角形平移到直角三角形的位置，则得到要求的正方形． 【反思】请仿照以上方法，解决以下问题： （1）借助方格纸，把边长为2和3的两个小正方形，剪拼成一个大正方形． （2）把边长为a和b的两个正方形，剪拼成一个大正方形，则剪拼成的大正方形的边长为 ． 20．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为13的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，如图所示： ∴， 又∵，∴， 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值（结果精确到）．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章实数的初步认识分层特训-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A C B B A 1．C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数．根据无理数的定义依次判断即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数； B、是有限小数，属于有理数； C、，其中是无理数，故为无理数； D、是整数，属于有理数； 故选：C． 2．C 【分析】科学记数法 的精确度由系数 的小数位数决定， 有 位小数，则数字精确到 位． 本题考查了科学记数法的精确度判断，熟练掌握科学记数法是解题关键． 【详解】解：∵ 的系数 有两位小数， ∴ 精确到 位， 即十位． 故选 C． 3．B 【分析】本题考查了算术平方根定义． 算术平方根定义为非负数的非负平方根，因此9的算术平方根应为正数3． 【详解】解：，且， 的算术平方根是． 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查学生对无理数估算的能力，需要结合平方运算与平方根的关系进行判断． 估算的范围，再计算的值． 【详解】解：，， ， ， ， 的值在3和4之间． 故答案选：A． 5．C 【分析】本题考查了平方根的定义，利用正数的平方根互为相反数的性质，先求出 a 的值，再代入计算 b 的值，即可求解． 【详解】解：∵ 正数 b 的平方根为和， ∴， 解得， ∴ ， 或 ， ∴． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的概念，解题的关键是明确负数无平方根、立方根的唯一性及算术平方根的非负性．根据平方根、立方根、算术平方根的定义，依次分析各选项的正误． 【详解】解：A、和的算术平方根都是本身，故此选项错误不符合题意； B、的算术平方根是，故此选项正确符合题意； C、，的平方根是，不是，故此选项错误不符合题意； D、，的立方根是，不是，故此选项错误不符合题意． 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查勾股定理，无理数与数轴，掌握勾股定理，数轴上的点与实数一一对应是关键． 根据勾股定理得到，结合数轴上的点与实数一一对应即可求解． 【详解】解：点，在数轴上，其表示的实数分别为， ∴， ∵过点作，且， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故选：B． 8．A 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据绝对值和算术平方根的非负性，求出，．由绝对值和算术平方根的非负性，可知两个表达式都为零，从而得到关于x和y的方程组，解方程组，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：A． 9．31416000 【分析】本题考查了求近似数，精确到千位，需看百位数字，百位数字为9，大于等于5，故向千位进位，由此即可得解． 【详解】解：31415926精确到千位，千位是5，百位是9，， 因此千位加1变为6，百位及以后各位均变为0，故近似数为31416000， 故答案为：31416000． 10． 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，根据算术平方根的性质可知，（其中 ）．一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身． 【详解】解：． 故答案为：． 11．16 【分析】本题考查了解一元一次方程，平方根，掌握解平方根的性质是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解，再求． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ，即，解得． 则，． 故答案为：16． 12．或 【分析】本题考查了算术平方根的计算以及数轴的应用，解题的关键是先求出大正方形的边长，再确定点表示的数．先根据小正方形个数求出大正方形面积，进而得出边长，再结合圆的半径与数轴的关系，确定点表示的数． 【详解】解：大正方形的面积就是， 设大正方形的边长为，根据正方形面积公式， 由，可得（边长不能为负，舍去），即， 以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则． 因为数轴上原点两侧到原点距离为的点有两个，分别在原点右侧和左侧，所以点表示的数为或， 故答案为：或． 13． 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，被开立方的数的小数点每向左移动三位，则开立方的结果的小数点向左移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．141 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握“开方对称数对”的定义以及立方根、算术平方根的运算规则是解题的关键． 根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出、的值，最后计算． 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 15．(1)或 (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将方程变形为，直接开方即可； （2）将方程变形为，直接开立方即可． 【详解】（1）解： 或； （2）解： ． 16．(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，注意：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作． （1）根据平方根与立方根的定义列出方程进行解答即可； （2）先求出的值，再根据算术平方根进行计算即可． 【详解】（1）解：∵某正数的平方根是和， ∴， 解得：， ∵的立方根为， ∴， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：∵，且， ∴的算术平方根为． 17．(1) (2)27 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 18．(1)4 (2)或4 (3) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、解绝对值方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）先计算算术平方根，再根据a的取值范围去绝对值即可求解． （2）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． （3）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）∵， ∴， 当时，， 解得， 当时，，此时方程无解； 当时，， 解得； 综上所述，的值为或4． （3）解：∵， ， 当时，原式， 解得， 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式， 解得（舍去）， 综上所述：a的取值范围为． 19．理解问题、拟定计划：（1）；反思： （1）摆：如图4，在方格纸中，画出边长分别是2，3的两个正方形 剪：如图5，沿线段，线段剪开． 拼：如图6，将直角三角形平移到直角三角形的位置，将直角三角形平移到直角三角形的位置，则得到要求的正方形． （2） 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，正方形的面积计算公式，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键． 理解问题、拟定计划：（1）根据拼成的大正方形面积等于两个小正方形的面积之和求出拼成的大正方形面积，再根据正方形面积公式可得答案； 反思：（1）类似题干的拼接方法求解即可； （2）根据拼成的大正方形面积等于两个小正方形的面积之和求出拼成的大正方形面积，再根据正方形面积公式可得答案． 【详解】解：理解问题、拟定计划：（1）拼成的大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，即为， ∴拼成的大正方形的边长为； 反思：（1）略． （2）拼成的大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，即为， ∴拼成的大正方形的边长为． 20．(1)4 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算和数形结合的思想，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据估算出的整数部分； （2）类比题目提供的“面积法”，将表示为“整数部分+小数部分”的形式，通过构造正方形面积方程并忽略小数量值来求解近似值． 【详解】（1）解：， 即， 的整数部分的值为4， 故答案为：4； （2）解：设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，如图所示： 图中正方形的面积， ． 当时，可忽略，得， 解得， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $