14.3 实数课件 2026-2027学年冀教版数学八年级上册

该初中数学课件围绕“实数”展开，涵盖无理数与实数的概念、分类、数轴关系及大小比较，通过复习有理数分类，结合直角三角形剪拼正方形的操作，从面积问题引出√2，搭建从有理数到实数的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，通过图形操作和实例分析培养数学眼光与推理意识，如辨析√2是否为有理数。采用分类梳理和比较法总结知识，帮助学生形成抽象能力，教师可借助清晰流程提升教学效率。

14.3 实数 课时1 无理数与实数的概念 复习提问 引出问题 我们已经学习了有理数，如何给有理数分类呢？ 有理数 整数 分数 生活中的数一定是有理数吗？2的平方根是怎样的数呢？ 2 如图1，在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC，然后剪下这个三角形，再沿斜边上的高CD剪开后，拼成如图2所示的正方形. 图2 知识点1 有理数及其局限性 A D B C 图1 (1)这个三角形的面积和拼成的正方形的面积相等吗？面积是多少？ 因为S△ABC＝ ×2×2＝2 (cm2), 所以 =2 cm2 . S△ABC＝ (2)设正方形的边长为x cm，那么x与这个正方形的面积有怎样的关系？ 正方形的边长为x cm，那么x2 = 2. 因为正方形的边长是正数，所以x是2的算术平方根，即x＝ . 是一个什么样的数呢？ 如图1，在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC，然后剪下这个三角形，再沿斜边上的高CD剪开后，拼成如图2所示的正方形. 图2 A D B C 图1 =2 cm2 交流讨论 不是整数，－3，－2，－1，0，1，2，3的平方不等于2. 是整数吗？－3，－2，－1，0，1，2，3的平方等于2吗？你认为有平方后等于2的整数吗？ 是分数吗？ 的平方等于2吗？你认为有平方后等于2的分数吗？ 不是分数， 的平方不等于2. 借助计算机可以得到 =l. 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 …. 类似的，我们早就认识的圆周率π，也是一个无限不循环小数. 它是一个无限不循环小数. π =3. 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 1 …. 对于任意给定的一个整数，你能将它写成小数的形式吗？ (1)分数 可以写成小数的形式分别为 (2)分数可以写成有限小数或无限循环小数，如 任意给定一个分数，你能将它写成有限小数或无限循环小数的形式吗? 事实上，任意一个有理数总可以写成有限小数或无限循环小数的形式，任意一个有限小数或无限循环小数总可以写成有理数的形式，而 ，π是无限不循环小数. 我们知道，整数和分数统称为有理数. 整数可以看成分母为1的分数，如 . 我们把无限不循环小数叫作无理数. 无理数有无数个，它可以以不同的形式出现： 2. 以根号形式出现：例如： 等. 不管以什么形式出现，所有无理数的本质特征都是“无限不循环小数”. 3. 以π的形式出现：例如：π，-π，2π等. 1.以小数形式出现：例如：1.212 212 221⋯(每两个1之间依次多一个2) 判断一个数是不是无理数： 一是看它是不是无限小数； 二是看它是不是不循环小数. 满足“无限”和“不循环”这两个条件，才是无理数. C 1.下列各数：3.141 59，－ ，0.131 131 113…(每两个3之间依次多一个1)，－π， ，－ , 中，无理数有 (　　) A．1个　 　B．2个　　　C．3个　　D．4个 解析：∵3.141 59是有限小数，∴3.141 59是有理数；∵－ ＝－2，∴－ 是有理数；∵ ＝5，∴ 是有理数；∵－ =14285714…，∴－ 是有理数；∵0.131 131 113…(每两个3之间依次多一个1)，－π, 都是无限不循环小数，∴0.131 131 113…(每两个3之间依次多一个1)，－π, 是无理数. (1) 带根号的数不一定是无理数，如： 化简后不再带根号，分别是正数或分数，因此它们都是有理数. (2) 带分数线的数不一定是分数，如： ，因为 是无限不循环小数，它除以4后，仍是无限不循环小数，因此 是无理数，不是分数. 注意： 一般地，如果a是一个正无理数，那么-a是一个负无理数. 无理数 正无理数 负无理数 如： 等. 如： 等. 无理数包括正无理数和负无理数. 有理数与无理数统称为实数. 有理数：{ 　…}； 无理数：{ …}. 2.请将下列实数分别填入相应的括号内： 0， 2 015， 3.144，－ ，－ ，(－4)3，－ ， ， ，5.212 112 111 2…(每两个2之间依次多 一个1)． . 0， 2 015，3.144，－ ，(－4)3， . 5.212 112 111 2…(每两个2之间依次多一个1) 有理数：有限小数或无限循环小数 实数 无理数：无限不循环小数 负无理数 正无理数 1.有下列说法：① 带根号的数都是无理数；② 无理数是开方开不尽的数；③ 无理数是无限小数；④ 数轴上的所有点都表示实数.其中，错误的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B C 2.以下各正方形的边长不是有理数的是(　　) A．面积为25的正方形 B．面积为16的正方形 C．面积为8的正方形 D．面积为1.44的正方形 无理数： 有理数： 实数： 3.将下列各数分别填入下列相应的括号内： ， ， 0.5252252225….（相邻两个5之间依次增加一个2）. 0.5252252225…. ，π，- π ， - ， - ， 0 ， ，π，- 0.5252252225….（相邻两个5之间依次增加一个2） 课时2 数轴与实数的分类 在七年级，我们学习了有理数，在有理数中有几个重要概念: 什么是相反数？ 只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数. 什么是绝对值？ 数轴上表示数a的点到原点的距离叫作数a的绝对值，用︱a︱表示. 什么是倒数？ 如果两个数的积是1，则这两个数互为倒数 . 21 1.如图1所示，将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B. (1)线段OA，OB的长分别是多少？ (2)点A，B在数轴上对应的数分别是哪两个数? 小正方形的边长为 小正方形的面积为2 OA= 点A对应的数为 点B对应的数为 思考：在数轴上怎样表示，？ OB= ● ● ● ● ● ● ● 3 2 1 0 -2 -1 4 ● -3 O A B 图1 2.如图2所示，设一枚5角硬币的直径为1个单位长度，将这枚硬币放置在平面内一条数轴上，使硬币边缘上的一点P与原点O重合.让这枚硬币沿数轴的正方向无滑动滚动一周，这时点P转到数轴上点P′的位置. (1)线段OP′的长是多少？ (2)在数轴上与点P′对应的数是哪个数？ 线段OP′的长等于π 与点P′对应的数是π ● ● ● ● ● ● ● 3 2 1 0(O) -2 -1 4 ● -3 图2 ● P P′ ● 思考：在数轴上怎样表示？ 通过几个实例的学习，你从中感悟或发现了什么？说说你的看法. π和-π也可以在数轴上表示出来. 和 都可以在数轴上表示. 和 都可以在数轴上表示. 每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的点表示的数是有理数或无理数. 实数和数轴上的点一一对应 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示. 数轴上每一个点都表示唯一的一个实数. 1.下列说法正确的是(　　) A．正实数和负实数统称实数 B．正数、零和负数统称有理数 C．带根号的数和分数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 D 2.下列说法正确的是（ ） A.a一定是正实数 B. 是有理数 C.是有理数 D.数轴上任一点都对应一个有理数 B 实数： 实数的分类： 实数 有理数 正有理数 零 负有理数 正无理数 负无理数 无理数 你还有其他分类方法吗？ 数实 有理数和无理数统称为实数. 正实数 正有理数 零 正有理数 负无理数 负无理数 负实数 按定义分 按正负性分 下列各组实数与所对应的数轴上的点如图所示. (1) 4，-4; (2)，; (3) ，. 1.这些点到原点的距离分别是多少? 表示4和-4的点到原点的距离都是4个单位长度 表示和-的点到原点的距离都是个单位长度 表示和-的点到原点的距离都是个单位长度 |-|= ||= |-|= |4|= |-|= ||= 2.类比有理数的绝对值的定义，谈谈实数的绝对值的意义. 在数轴上，表示一个实数的点到原点的距离称为这个实数的绝对值.实数a的绝对值记为|a|. 思考：类比有理数的相反数、倒数的定义，谈谈实数的相反数、倒数的意义？ 相反数的概念 倒数的概念 对于符号不同而绝对值相等的两个实数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.a的相反数可以表示为一a. 如果两个实数的积为1，则这两个实数互为倒数 4和-4互为相反数 和-互为相反数 =1 的倒数是 互为倒数 和-互为相反数 0的相反数是0. 0没有倒数. 3.下列各组数中，互为相反数的是( ) A.－3与 B.|－3|与 C.|－3|与 D.－3与 D 4.计算 的结果是 ( ) A. B. C. D. 分析：因为 ，所以 .所以 ． A 1.如图，在数轴上，点 A 表示 ，点 B 与点 A 位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点 B 表示的数是 ⁠. － 　 2. 判断（正确的画“√”，错误的画“×”）。 （1）任何一个无理数的绝对值都是正数； （ ） （2）不带根号的数都是有理数； （ ） （3）实数可以分为正实数和负实数两类. （ ） √ × π × 0 3.如图，正方形的面积为13，则数轴上点A表示的实数是________.   　  -3π　 4.直径为1个单位长度的圆上有一点A，现将点A与数轴上表示的点重合，并将圆沿数轴无滑动地向左滚动三周，若点A到达数轴上的点B处，则点B表示的数是_________.  实数 实数及其分类 实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点一一对应 按定义分类 实数的性质 按正负性分类 绝对值 相反数 倒数 课时3 实数比较大小与估算 (2)法则比较法: (1)数轴比较法: 在数轴上右边的数总比左边的数大. 正数大于零;负数小于零;正数大于一切负数; 对于两个正数，绝对值大的那个数就大; 对于两个负数，绝对值大的反而小. 同学们还记得有理数怎么比比较大小吗？ 34 1.如图，将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B，由两个正方形的面积(3和2)的大小，能不能比较它们边长(和)的大小? 通过探究，在实数的大小比较方面，你能得到什么结论？ ● ● ● ● ● ● ● 3 2 1 0 -2 -1 4 ● -3 O B A 2.将面积分别为a和b(a>b)的两个正方形，按上图所示的方式摆放，它们的边长和的大小关系是怎样的? 一般地，已知两个正数a和b，如果a>b，那么 ; 反过来，如果 ，那么a>b. 3.请根据下图所示的数轴上点的位置，将下列各数用“<”按从小到大的顺序排列起来. 你发现还可以怎样比较实数的大小？ 数轴比较法: 在数轴上右边的数总比左边的数大. ● ● ● ● ● ● ● 0 ● ● ● ● ● ● ● ● ● 例1 比较下列各组数中两个数的大小： (1) 和 ； (2) 和－π. 解：(1)因为 即 所以 而 计算两数的平方 比较两数的平方 比较两数的算术平方根 得出两数的大小 (2)因为( )2＝10，π2＝(3.141 5…)2， 而10＞ 3.152＞π2， 所以 ＞π. 从而－ ＜－π. 当题目中直接比较大小较困难时，我们可以采用特殊值法，所取特殊值必须符合两个条件：(1)在字母取值范围内；(2)求值计算简单． 例1 比较下列各组数中两个数的大小： (1) 和 ； (2) 和－π. 计算两数绝对值的平方 比较两数绝对值的平方 比较两数绝对值的大小 两个负数绝对值大的反而小 想一想：为什么取3.15这个中间值？ 实数的大小比较方法 (1)数轴比较法: 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. (2)法则比较法: 正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数. 两个负数比较，绝对值大的反而小； (3)平方比较法（带有根号的数）: 计算两数的平方；比较两数的平方；比较两数的算术平方根；得出两数的大小. 1.在实数0， ，－π， 中，最小的数是 (A　) A. －π B. 0 A 2.如图，数轴上点 表示的实数可能是 ( ) B A. B. C. D. 例2 判断下列各实数在哪两个相邻的整数之间: (1); (2) 解：(1)因为 4＜5＜9， 所以 2＜＜3， 即 在2和3之间. (2)因为 9＜ ＜16， 所以 3＜ ＜4. 从而 －4＜－ ＜-3， 即 在－4和-3之间. 分别找到5和在哪两个整数的平方之间. 先估算平方范围 再估算平方根范围 先估算平方范围 再估算平方根范围 注意：负数先确定其绝对值的范围. 3.比较下列各组数中两个数的大小: (1)和2; (2)-1和1; (3)和. 解：(1)因为 ＝5，22＝4， 而5＞4， 所以 ＞2. (2)因为 所以 所以 ＞1. (3)因为 ， 所以 ， 所以 究竟有多大呢? 因为1²=1，22=4，1<2<4，所以1<<2; 取1与2之间的一个数，如1.5，1.52=2.25，而1<2<2.25，所以1<<1.5; 取1与1.5之间的一个数，如1.3，1.32=1.69，而1.69<2<2.25，所以1.3<<1.5; 取1.3与1.5之间的一个数，如1.4，1.42=1.96，而1.96<2<2.25，所以1.4<<1.5. 类比这种的方法，你能得到的近似值吗? 如果精确到0.1，取1.4与1.5之间的一个数，如1.45，1.45²=2.1025，而1.96<2<2.1025， 所以1.4<<1.45，那么≈1.4.这样进行下去，我们可以得到的更精确的近似值. 1. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是(　　) A．－a＜0＜－b B．0＜－a＜－b C．－b＜0＜－a D．0＜－b＜－a C 2. 已知a＝ ，b＝2，c＝ ，则 a ， b ， c的大小关系是(　C　) A. b＞a＞c B. a＞c＞b C. a＞b＞c D. b＞c＞a C 解析：∵3＜4＜5， ∴ ＜ ＜ ，即 ＜2＜ . ∴ a ＞ b ＞ c . 3. (1)写出大于－ 且小于 的所有整数； (2)写出小于 的所有正整数； (3)写出大于－ 的所有负整数． 解：(1)大于－ 且小于 的所有整数有－4，－3， －2，－1，0，1，2，3. (2)小于 的所有正整数有1，2，3，4，5，6. (3)大于－ 的所有负整数有－5，－4，－3， －2，－1. 实数的大小比较 实数的大小 实数的估算 先估算平方的范围，再估算开方的范围 数轴比较法 法则比较法 平方比较法（带有根号的数） $