1.3　等式的性质与不等式的性质、基本不等式课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“等式与不等式性质、基本不等式”核心考点，依据高考评价体系梳理了比较大小、性质应用、证明不等式、求最值及实际应用五大考查要求，通过课标要求与备考指导明确基本不等式为高频考点，归纳比较大小、性质判断、最值计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“知识筛查+能力形成+素养提升”的系统设计，如基本不等式求最值专题中，通过“1”的代换、消元法等技巧解析实例，培养学生数学思维与运算能力，特设易错点分析与解题心得，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准开展复习教学，提升备考效率。

1.3　等式的性质与不等式的性质、基本不等式 第一章 2027 课标要求 1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 2.掌握基本不等式 (a>0,b>0). 3.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 备考指导 不等式的性质贯穿于整个高中数学,是解不等式、研究不等式问题的根本.复习时要理清各条性质的应用条件,准确使用.以提升逻辑推理和数学运算素养.基本不等式是高考的重点,有时单独考查,有时与其他知识综合求最值.应用时要注意检验等号成立的条件,根据已知条件适当变形. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 1.两个实数比较大小的法则 2.等式的基本性质 3.不等式的基本性质 问题思考 若a>b,且a与b都不为0,则 的大小关系确定吗? 温馨提示1.不等式还有以下几条常用性质 (1)移项法则:a+b>c⇔a>c-b.即不等式的任何一项移到不等号的另一边时一定要改变符号. 2.两个重要不等式 4.基本不等式 注意:(1)基本不等式应用的条件是“一正二定三相等”.一正:一般要求a,b同为正数;二定:a+b或ab为定值;三相等:当且仅当a=b时,不等式取得等号. (2)基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 5.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0,则 【知识巩固】 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.(　　) (2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数,不等号方向不变.(　　) (3)一个非零实数越大,其倒数就越小.(　　) √ × × × × × 2.已知a,b∈R,下列说法正确的是(　　) A.若a>b,则|a|>|b| B.若a>b,则 C.若|a|>b,则a2>b2 D.若a>|b|,则a2>b2 D 当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2. 故选D. 3.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是(　　) D 对于A,∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab, 故A错误. 对于B,C,当a<0,b<0时,明显错误. 对于D,∵ab>0, 4.若x>0,y>0,且2(x+y)=36,则 的最大值为(　　) A.9 B.18 C.36 D.81 A 由2(x+y)=36,得x+y=18,所以 ,当且仅当x=y=9时,等号成立. 5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　　.  30 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 比较两个数(式)的大小 例1　(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是 (　　) A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 B M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1). ∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c B 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 解题心得比较两个数(式)大小的常用方法 作差法 步骤:作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论 常用配方、因式分解、有理化等变形 作商法 步骤:作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论 适用于分式、指数式、对数式 构造函 数法 构造函数,利用函数的单调性比较大小 将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值 赋值法 可以多次取特殊值,根据特殊值比较大小,从而得出结论 适用于选择题或填空题 提示:当两个代数式正负不确定且为多项式形式时,常用作差法比较大小;当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作商法比较大小. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 对点训练1 (1)若x∈R,y∈R,则(　　) A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1 C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1 A 因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0, 所以x2+y2>2xy-1,故选A. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 (2)已知a>0,b>0,试比较aabb与abba的大小. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点2 不等式的性质及应用 例2　(1)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是(　　) A.a2>a>-a2>-a B.a2>-a>a>-a2 C.-a>a2>a>-a2 D.-a>a2>-a2>a D 由a2+a<0,即a(a+1)<0,解得-1<a<0. 由不等式的性质,可知-a>a2>0, 而a<-a2<0,所以a<-a2<0<a2<-a.故选D. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 D (方法一)由c<d<0,得cd>0. (方法二)依题意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代入验证知A,B,C错误,只有D正确. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 解题心得判断多个不等式是否成立,常用以下两种方法: 方法一,直接运用不等式性质逐一验证. 方法二,采用特殊值法(即举反例排除). 构建反例可从以下角度考虑:(1)不等式两边都乘某一代数式时,需关注该代数式为正、为负或为0的情况.(2)当不等式左边为正数、右边为负数时,两边同时平方后,不等号方向未必保持不变.(3)当不等式左边为正数、右边为负数时,两边同时取倒数后,不等号方向不变. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 对点训练2 (1)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是(　　) A 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 (2)下列说法正确的是(　　) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ac>bc,则a>b D.若a>b,c>d,则a-c>b-d C 取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c<0时,ac>bc⇒a<b,故B错误; 因为 ,且c≠0,所以c2>0,即a<b,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点3 利用基本不等式证明不等式 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 解题心得利用基本不等式证明不等式是证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点4 利用基本不等式求最值 命题角度1 求不含等式条件的函数最值 例4　下列说法正确的是(　　) C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 命题角度2 求含有等式条件的代数式的最值 A 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 10 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 命题角度3 已知不等式恒成立求参数取值范围 A.[-2,0)∪(0,4] B.[-4,0)∪(0,2] C.[-4,2] D.[-2,4] D 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 解题心得1.利用基本不等式求解不含等式条件的函数最值的关注点: (1)依据:利用基本不等式求最值的依据是“积定和小”与“和定积大”. (2)定值:即和(或积)为定值,必要时需配凑、拆分出定值.如果求乘积的最值,那么就提出合适的系数,使两项之和为定值;如果求和的最值,那么就添加相同的常数,使两项之积是定值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键. (3)验证:即验证等号成立时的自变量的值是否在所给范围内. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 2.求解条件最值问题的两种方法 (1)常数代换法求最值,其基本步骤为: ①定“值”:即根据已知条件或其变形确定定值(常数); ②变“1”:即把确定的定值(常数)变形为1; ③“1”代:即把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式; ④求最:即利用基本不等式求解最值. (2)消元法求最值 消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 3.已知不等式恒成立时,求参数取值范围的常用方法为:先分离常数,再利用基本不等式求最值;若无法运用基本不等式,则可考虑借助函数的单调性求解. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 B 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 4 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点5 基本不等式的实际应用 例7　某车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一面高为3 m,底面积为12 m2,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此,甲工程队给出的报价如下:屋子前面新建墙体的报价为400元每平方米,左右两面新建墙体的报价为150元每平方米,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元,设屋子的左右两面墙的长度均为x m(2≤x≤6). (1)当左右两面墙的长度为多少米时,甲工程队的整体报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为 元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,求a的取值范围. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 解题心得利用基本不等式解决实际问题时,需先仔细审题,明确数量关系并引入变量,再根据题意列出函数解析式,最后运用基本不等式求解. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 对点训练5 某单位进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,那么求出最大利润;如果不获利,那么需要国家每月至少补贴多少元才能使该单位不亏损? 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 解 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为 因为x∈[400,600], 所以该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低平均处理成本为200元. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 (2)不获利.设该单位每月获利为S元, 因为x∈[400,600],所以S∈[-80 000,-40 000]. 故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能使该单位不亏损. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 第三环节　学科素养提升 应用不等式的性质求代数式的取值范围 典例　设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. 思路分析f(-1)=a-b,f(1)=a+b. 思路1:由条件知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,因此可确定字母a,b的取值范围,进而求出f(-2)的取值范围; 思路2:由f(-1),f(1)可求出 ,进而用f(-1),f(1)表示出f(-2),可以求出f(-2)的范围. 两种思路所求结果是否相同呢?如果不同,那么哪方面出现了问题?下面,我们来具体研究一下. 解题心得已知条件是多个字母相关联(如和、差、积、商等)的取值范围,求解与此类字母有关的代数式的取值范围时,通常采用整体思想:将待求取值范围的代数式用已知代数式整体表示,再通过“一次性”不等关系的运算,得出其取值范围. 变式训练 已知-1<2a+b<2,3<a-b<4,则5a+b的取值范围是　　　　　.  (1,8) 令5a+b=λ(2a+b)+μ(a-b)=(2λ+μ)a+(λ-μ)b, 即5a+b=2(2a+b)+(a-b). ∵-1<2a+b<2,∴-2<2(2a+b)<4.又3<a-b<4, ∴1<2(2a+b)+(a-b)<8. 故5a+b的取值范围为(1,8). 本 课 结 束 关系 法则 作差法则 作商法则 a>b a-b>0 >1(a,b>0)或<1(a,b<0) a=b a-b=0 =1(a,b≠0) a<b a-b<0 <1(a,b>0)或>1(a,b<0) 性质 别名 性质内容 性质1 对称性 如果a=b,那么b=a 性质2 传递性 如果a=b,b=c,那么a=c 性质3 加减性 如果a=b,那么a±c=b±c 性质4 乘法法则 如果a=b,那么ac=bc 性质5 除法法则 如果a=b,c≠0,那么 性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b,b>c⇒a>c 同向 性质3 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 性质4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 性质5 同向可加性 ⇒a+c>b+d 同向 性质6 同向同正可 乘性 ⇒ac>bd 同向、 正项 性质7 乘方法则 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 同正 不确定.若a>b,ab>0,则,即若a与b同号, 则分子相同,分母大的反而小;若a>0>b,则,即正数大于负数. (2)可开方性:a>b>0⇒(n∈N*,n≥2). 若a>b>0,m>0,则(1)(b-m>0); (2)(b-m>0). 对于任意的正实数a,b,,当且仅当a=b时,等号成立. 叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数. (1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值2(简记:积定和最小). (2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值(简记:和定积最大). 几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R); (2)≥2(a,b同号); (3)ab≤(a,b∈R); (4)(a,b∈R); (5)(a>0,b>0). (4)两个不等式a2+b2≥2ab与成立的条件是相同的.(　　) (5)x>0,且y>0是≥2的充要条件.(　　) (6)函数f(x)=cos x+,x∈的最小值为4.(　　) A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C. D.≥2 2=2(当且仅当a=b时,等号成立). =9 一年的总运费与总存储费用之和为 4x+6=44×2=240, 当且仅当x=,即x=30时,等号成立. (2)若a=,b=,c=,则(　　) (方法一)由题意可知a,b,c都是正数. 由=log8164<1,可知a>b; 由=log6251 024>1,可知b>c.故c<b<a. (方法二)令f(x)=,可得f'(x)= 当x>e时,f'(x)<0,即f(x)单调递减. ∵e<3<4<5,∴f(3)>f(4)>f(5),即c<b<a. 解 因为a>0,b>0,所以aabb与abba均为正. 因为=aa-bbb-a=当a>b时,>1,a-b>0, 所以=1,所以>1. 又因为abba>0,所以aabb>abba. 当a=b时,=10=1,所以=1. 又因为abba>0,所以aabb=abba. 当a<b时,0<<1,a-b<0,所以=1,所以>1. 又因为abba>0,所以aabb>abba.综上,aabb≥abba. (2)若a>b>0,c<d<0,则一定有(　　) A. B. C. D. 又c<d<0,所以<0,故<0,>0. 又a>b>0,所以 A.a>b2 B. C. D.a2>2b 对于A,由于-1<b<1,即0≤b2<1. 因为a>1,所以a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但,故B错误;对于C,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但,故C错误;对于D,若a=,b=,此时满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错误. C.若,则a<b 例3　(1)设a,b,c都是正数,求证:≥a+b+c. (2)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≥8. 证明 (1)∵a,b,c都是正数,都是正数. 2c,当且仅当a=b时,等号成立,2a, 当且仅当b=c时,等号成立,2b, 当且仅当a=c时,等号成立. 三式相加,得2()≥2(a+b+c), 即a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立. (2)∵a+b=1,=2 ∵a+b=1,a>0,b>0, =2+2+2=4 (当且仅当a=b=时,等号成立) 8(当且仅当a=b=时,等号成立). 对点训练3 已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+)·≥9. 证明 (方法一)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+=1+=2+ 同理,1+=2+ =5+2≥5+4=9, 当且仅当,即a=b=时,等号成立. 9, 当且仅当a=b=时,等号成立. (方法二)=1+=1+=1+ ∵a,b为正数,a+b=1,∴ab, 当且仅当a=b=时,等号成立. 于是4,当且仅当a=b=时,等号成立. 1+8=9,当且仅当a=b=时,等号成立. A.函数y=x+的最小值为2 B.函数y=的最小值为2 C.函数y=2-x-(x>0)的最大值为-2 D.函数y=2-x-(x>0)的最小值为-2 当x<0时,函数y=x+无最小值,故A错误; 函数y=2, 当且仅当x2=-1时,取等号,显然不成立,故B错误; 当x>0时,y=2-x-=2-2-2=-2, 当且仅当x=2时,取等号,故最大值为-2,故C正确,D错误.故选C. 例5　(1)若正数x,y满足x2+6xy-1=0,则x+2y的最小值是(　　) A. B. C. D. 因为正数x,y满足x2+6xy-1=0, 所以y= 由 解得0<x<1. 所以x+2y=x+2, 当且仅当,即x=时,取等号.故x+2y的最小值为 (2)已知正实数a,b满足a+b=1,则的最小值为　　　　　.  =a++b+, ∵正实数a,b满足a+b=1, (a+b)=4++1≥5+2=9, 当且仅当,即a=,b=时取等号, =a+b+=1+1+9=10. 例6　设0<m<,若≥k2-2k恒成立,则k的取值范围为(　　) 由0<m<,得1-2m>0,2m+(1-2m)=1. 由基本不等式,可得2m+(1-2m)≥2, 所以2m·(1-2m), 所以=8. 当且仅当2m=1-2m,即m=时取等号. 由已知不等式恒成立可知k2-2k=8, 即k2-2k≤8,故-2≤k≤4,故选D. 对点训练4 (1)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(　　) A.9 B.12 C.18 D.24 由a>0,b>0,,得m≤(a+3b)+6. 又+6≥2+6=12,当且仅当,即a=3b时等号成立, 所以m≤12.故m的最大值为12. (2)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为　　　　　.  ∵a,b∈R,且ab>0, =4ab+4, 当且仅当时取等号. 故的最小值为4. (3)若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线y=1+sin πx(0<x<2)的对称中心,则的最小值为　　　　　.  3+2 由正弦函数的图象与性质可知, 曲线y=1+sin πx(0<x<2)的对称中心为(1,1),故a+b=1. 又a>0,b>0,则(a+b)=3+3+2=3+2, 当且仅当,即a=-1,b=2-时,等号成立, 故的最小值为3+2 解 (1)设甲工程队的整体报价为y元, 依题意,得左右两面墙的长度均为x m(2≤x≤6), 则屋子前面新建墙体长为 m, y=3+7 200=900+7 200(2≤x≤6). 因为900+7 200≥900×2+7 200=14 400, 当且仅当x=,即x=4时,等号成立, 所以当x=4时,ymin=14 400. 故当左右两面墙的长度为4 m时,甲工程队的整体报价最低为14 400元. (2)由题意可得,900+7 200>对x∈[2,6]恒成立, 即,从而>a,即x+1++6>a对x∈[2,6]恒成立, 又x+1++6≥2+6=12, 当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立, 所以0<a<12. x+-200≥2-200=200, 当且仅当x=,即x=400时,等号成立. 则S=100x-y=100x- =-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000. a=,b= 解法一:1≤f(-1)=a-b≤2,2≤f(1)=a+b≤4. 两式相加,得3≤2a≤6, 即≤a≤3. 因为-2≤b-a≤-1,2≤b+a≤4, 所以0≤2b≤3,得0≤b≤. 所以6≤4a≤12,-3≤-2b≤0, 所以3≤f(-2)=4a-2b≤12. 解法二:由f(-1)=a-b,f(1)=a+b, 得a=[f(-1)+f(1)],b=[f(1)-f(-1)], 所以f(-2)=4a-2b=f(1)+3f(-1), 因为1≤f(-1)≤2,所以3≤3f(-1)≤6, 又2≤f(1)≤4,所以5≤f(-2)≤10. 比较上述两种解法,所得结果分别为3≤f(-2)≤12与 5≤f(-2)≤10.显然结果不同,为什么呢? 考虑条件1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,得到的是1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,显然a,b两字母是相互联系的整体而并不独立存在着,如果确定出a,b各自的范围≤a≤3,0≤b≤,那么0≤a-b≤3,≤a+b≤,即0≤f(-1)≤3,≤f(1)≤,这与条件矛盾了!因此解法一错了,本题的答案应该是5≤f(-2)≤10. 得解得 $