17.3 勾股定理 课件 2026-2027学年冀教版 数学八年级上册

该初中数学课件围绕勾股定理及逆定理展开，通过赵爽弦图历史背景导入，结合方格图面积关系引导猜想，再经证明得出定理，后续延伸至实际应用及逆定理判定，搭建从认知到应用的学习支架。 其亮点在于融合数学文化与实际问题，以赵爽弦图培养数学眼光，通过构造直角三角形模型发展数学思维，分层练习强化数学语言表达。如峡谷绳索问题转化为几何模型，帮助学生提升应用意识，教师可借助系统案例高效开展教学。

课时1 认识勾股定理 勾股定理 这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”.是为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的.经过设计变化成为含义丰富的2002年国际数学家大会的会标.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义. S1 S2 S3 1.如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，在所围成的△ABC中，∠ACB=90°，那么，图中以AC，BC，AB为边的三个正方形的面积S1，S2，S3分别是多少?这三个正方形的面积之间具有怎样的关系? 以AC为边的正方形面积S1为9； 以BC为边的正方形面积S2为16； 以AB为边的正方形面积S3为25； 易知，S1＋S2＝S3 2.如图，这是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图，∠ACB=90°，那么，分别以AC，BC，AB为边的三个正方形(红色框标出)的面积S1，S2，S3之间有怎样的关系? 由图可知，S1＋S2＝S3 S1 S2 S3 3.如图，∠ACB=90°，三个正方形的边长分别是AC， BC，AB.请依据问题1和问题2中得出的结论，猜想Rt△ABC 三边之间的关系，并表示出来. a2+b2=c2 如何证明？ “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的伟大成就.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，试根据图形的特征，寻找获得a2+b2=c2的思路，并完成推导过程. 证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2， ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 如图，我国古代把直角三角形较短的直角边叫作“勾”，较长的直角边叫作“股”，斜边叫作“弦”.因此，直角三角形三边之间的关系称为勾股定理 . A B C 勾 股 弦 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. 勾股定理也可叙述为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 知二推一 观察图(1)和(2)中的两个大正方形，说明a2 +b2 =c2. 做一做 ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab， S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形=4×ab+c2=c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 2.在 中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为( ) A.10 B.3 C.4 D.5 D 1.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　) A.b2＝c2－a2      B.a2＝c2－b2 C.b2＝a2－c2      D.c2＝a2＋b2 C 3.在△ABC中，∠C=90°. （1）若a=15，b=8，则c= . （2）若c=13，b=12，则a= . 17 5 4.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 8 cm 10 cm 36 cm² 5.在△ABC中，边AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是(　　) A.42 B.32 C.42或32 D.不能确定 C 注意：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形. 6.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图1， 4 3 C A B 图1 4 3 A C B 图2 注意：已知直角三角形的两边求第三边，关键是先明确所求的边是直角边还是斜边，再应用勾股定理. 当BC为斜边时，如图2， 通过本节课的学习，回答下列问题： 1.勾股定理是什么？用字母怎么表示. 2.运用勾股定理解决问题时，有哪些需要注意的问题？ 作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况. 已知两边，没有指明是直角边还是斜边时，一定要分类讨论. 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. 课时2 勾股定理的应用 探险队员来到一处峡谷，峡谷两侧是垂直峭壁，两侧峭壁顶端水平相距 12 米，左侧峭壁高度 9 米，右侧峭壁高度 4 米.队员想用绳索从左侧顶端荡到右侧顶端，至少需要准备多长的绳索？ 你知道如何计算吗？ 例1 如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B处设立了一根标杆，使∠ACB=90°，测得AB=200 m，BC=160 m. 根据测量结果，求点A和点C间的距离. 构建直角三角形 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来 实际问题 转化 数学问题 直角三角形 利用 勾股定理 构建 解决 解：在△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2(勾股定理). ∵AB=200 m，BC=160 m， 答：点A和点C间的距离是120 m. 例1 如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B处设立了一根标杆，使∠ACB=90°，测得AB=200 m，BC=160 m. 根据测量结果，求点A和点C间的距离. 如图所示的是某厂房屋顶的三脚架的示意图.已知AB=AC=17 m，AD⊥BC，垂足为D，AD=8 m，求BC的长. ∟ A B C D 做一做 三线合一 求BC 求BD Rt△ABD 分析： AD⊥BC 等腰三角形 解：在Rt△ABD中， ∵AB=17 m，AD=8 m， ∴BD2=AB2-AD2=172-82=225， ∴BD=15 m， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BC=2BD=30 m. 如图所示的是某厂房屋顶的三脚架的示意图.已知AB=AC=17 m，AD⊥BC，垂足为D，AD=8 m，求BC的长. ∟ A B C D 做一做 C A B 26 15 18 10 例2 如图，在长为50 mm，宽为40 mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离. 实际问题 转化 数学问题 直角三角形 利用 勾股定理 构建 解决 构建直角三角形ABC 解：∵△ABC是直角三角形， ∴ AB2=AC2+BC2(勾股定理). ∵AC=50－15－26=9(mm)， BC=40－18－10=12(mm)， 答：孔中心A和B间的距离是15 mm. C A B 26 15 18 10 例2 如图，在长为50 mm，宽为40 mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离. 应用勾股定理解决实际问题的一般思路： 在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题. 应用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm B 2.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距( ) A.25海里 B.30海里 C.40海里 D.50海里 C 3.如图，数轴上的点A所表示的数为 （    ） A. B. C. D. C 4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(　　) A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 C 5.如图，圆柱形玻璃杯，高为6 cm，底面周长为16 cm，在杯内离杯底2 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 （    ） A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm C 化曲面为平面 6.有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒长的范围是多少？ 解:设伸入油桶中的长度为x m，则最长时: 所以最长是2.5+0.5=3(m). 最短时，x=1.5 所以最短是1.5+0.5=2(m). 答:这根铁棒的长应在2～3 m之间. 解得 通过本节课的学习，说说如何利用勾股定理解决实际问题. 在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题. 一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 课时3 勾股定理的逆定理 勾股定理是什么？用字母怎么表示. 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. 思考：如果△ABC 的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么∠C是直角吗? 已知：如图，在△ABC 中，AB = c，BC = a，CA = b，且 a2 + b2 = c2. 求证：∠C=90°. ∠C是直角　　　 △ABC≌△A′B′C′ 分析：　　 构造两直角边分别为a，b的Rt△A′B′C′ A B C a b c 证明：如图，作△A′B′C′，使∠C′ = 90°，B′C′ = a，C′A′=b. 由勾股定理，可得A′B′2 =a2+b2. ∵a2+b2=c2， ∴ A′B′2= c2， 即A′B′=c. 在△ABC和△ A′B′C′中， ∵ BC= B′C′ = a，AC = A′C′= b，AB= A′B′=c， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C=∠C′ = 90°. A' B' C' a b A B C a b c 已知：如图，在△ABC 中，AB = c，BC = a，CA = b，且 a2 + b2 = c2. 求证：∠C=90°. 如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理 b c C a B A 几何语言 在△ABC中， ∵a2 + b2 = c2， ∴∠C=90°， 即△ABC是直角三角形. 例 下图是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标.现测得 AB=4 cm，BC= 3 cm，CD =12 cm，AD = 13 cm，∠ABC= 90°.根据这些条件，能否知道∠ACD =90°? A B D C 分析：　　　 AB=4 cm，BC=3 cm，∠ABC=90° 根据勾股定理求得AC=5 cm 已知CD=12 cm，AD=13 cm 根据勾股定理的逆定理， 可得∠ACD=90° 解：在△ABC中，∵∠ABC = 90°， ∴ AC2 =AB2 +BC2 (勾股定理). ∵AB=4，BC=3， ∴ AC2 = 32+42 = 52. ∴ AC=5. 在△ACD中， ∵ AC=5，CD = 12，AD= 13， 例 下图是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标.现测得 AB=4 cm，BC= 3 cm，CD =12 cm，AD = 13 cm，∠ABC= 90°.根据这些条件，能否知道∠ACD =90°? A B D C ∴ AC2+CD2 = 52 +122=169，AD2 =132 =169. ∴ AC2+CD2=AD2. ∴∠ACD=90°(勾股定理的逆定理). 判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，最长边所对的角是直角. 1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且 (a＋b)(a－b)＝c2，则 (　　) A.∠A为直角 　　　　B.∠B为直角 C.∠C为直角 　　　　D.△ABC不是直角三角形 A 2.以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是(　　) A.3，4，6 B.9，12，15 C.5，12，14 D.10，16，25 B 下面这几组数都满足a2+b2=c2吗？ (1)a=3，b=4，c=5； (2)a=5，b=12，c=13； (3)a=7，b=24，c=25； (4)a=9，b=40，c=41； (5)a=11，b=60，c=61. 满足 满足 满足 满足 满足 能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数. 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17是常见的勾股数. 3.下列各组数中，是勾股数的一组是( ) A.，， B.0.3，0.4，0.5 C.4，5，3 D.-3，-4，-5 C 勾股数要满足两个条件：①符合满足 a2 + b2 = c2；②是正整数. 1.在△ABC中，AB=12 cm，AC=9 cm，BC=15 cm，则S△ABC等于( ) A.54 cm2 B.108 cm2 C.180 cm2 D.90 cm2 A 2.若△ABC的两边长为8和15，则能使△ ABC为直角三角形的第三边的平方是（　　） A.161 　　 B.289 C.17 　 D.161或289 D 3.在三角形中，三边长a，b，c满足(a－b)2＋|b－2|＋(c2－8)2＝0，则此三角形为 (　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 C 4.已知△ABC的∠A，∠B和∠C的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件： ①∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3； ②a∶b∶c=3∶4∶5； ③2∠A=∠B+∠C； ④a=6，b=8，c=13. 其中能独立判定△ABC是直角三角形的条件的序号是　　　　.  ①② 解：连接AC. ∵ AB=3，BC=4，∠B=90°. ∴ . 在△ACD中，∵AC=5，CD=12，AD=13. ∴ AC2 + CD2=AD2， ∴ △ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， ∴ 四边形ABCD面积为. 5.大禹治水后测得一四边形田地相关数据如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求该四边形ABCD的面积. 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 $