17.3 勾股定理（第3课时勾股定理的逆定理）（教学课件）数学新教材冀教版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，课堂导入先回顾勾股定理内容，通过提问其逆命题是否为真命题，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到逆定理的探究。 其亮点在于以“探究—证明—应用”为主线，通过构造直角三角形证明全等推导逆定理，培养推理能力。应用环节结合机器零件检验、窗框直角判定等实例，设置基础巩固与能力提升题，融入勾股数归纳，体现模型意识与应用意识。课堂小结系统梳理知识，助力学生提升数学思维，便于教师高效教学。

17.3 勾股定理 第3课时 勾股定理的逆定理 第十七章 特殊三角形 冀教版2024 八年级上册 导入●新课 勾股定理: 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c². 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 c a b 我们知道每个命题都有逆命题。勾股定理的逆命题是怎样的？ 如果三角形的三条边a，b，c满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形. 是真命题吗? 1 2 3 掌握直角三角形的勾股定理的逆定理.（重点） 能够运用勾股定理的逆定理解决问题（难点） 勾股数的记忆与应用 学习●目标 新知●探究 一起探究 如果△ABC的三边a，b，c满足a²+b²=c²，那么∠C是直角吗? 已知:如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a²+b²=c². 求证:∠C=90°. ∠C是直角　　　 由边的关系a2+b2=c2，推导出∠C为直角很难做到 构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′ △ABC≌ △ A′B′C′ 　　 分析：　　　 A' B' C' a b A B C a b c 新知●探究 证明:如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b. 由勾股定理，可得A'B'²=a²+b². ∵ a²+b²=c²， ∴A'B'²=c² ∴ A'B'=c. 在△ABC 和△A'B'C'中， BC=B'C'=a，AC=A'C'=b，AB=A'B'=c， ∴△ABC≌△A'B'C' ∴∠C=∠C'=90°. A' B' C' a b A B C a b c 新知●探究 总结归纳 A B C a b c 符号语言 在△ABC中 勾股定理的逆定理 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c². 典例●精析 例3 图17.3-9是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标.现测得AB=4 cm，BC=3cm，CD=12 cm，AD=13 cm，∠ABC=90°.根据这些条件，能否知道∠ACD=90°? A B D C 4 3 12 13 分析：　　　 AB=4 cm，BC=3cm，∠ABC=90° 根据勾股定理求得AC=5cm 已知CD=12 cm，AD=13 cm 根据勾股定理的逆定理， 可得，∠ACD=90° 典例●精析 解:在△ABC中，∠ABC=90°， ∴AC²=AB²+BC²(勾股定理). AB=4，BC=3， ∴AC²=3²+4²=5² ∴AC=5. 在△ACD 中，AC=5，CD=12，AD=13，. ∴AC²+CD²=5²+12²=169， AD²=13²=169.: ∴AC²+CD²=AD². ∴∠ACD=90°(勾股定理的逆定理). A B D C 基础巩固题 新知●应用 1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且 (a＋b)(a－b)＝c2，则(　　) A．∠A为直角 　　　　B．∠B为直角 C．∠C为直角 　　　　D．△ABC不是直角三角形 A 2.以下列各组数为边长的三角形中,是直角三角形的是(　　) A.3,4,6 B.9,12,15 C.5,12,14 D.10,16,25 B 判断一个三角形是不是直角三角形， 1.从边的角度：只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 2.从角的角度：看有没有一个角是直角或两个角互余。 基础巩固题 新知●应用 3.下面这几组数都满足a2+b2=c2吗？ (1)a=3,b=4,c=5; (2)a=5,b=12,c=13; (3)a=7,b=24,c=25; (4)a=9,b=40,c=41; (5)a=11,b=60,c=61. 满足 满足 满足 满足 满足 定义：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数. 3，4，5 6，8，10 5，12，13 8，15，17 基础巩固题 新知●应用 4.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 A 5.在△ABC中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm,则S△ABC等于( ) A.54cm2 B.108cm2 C.180cm2 D.90cm2 A 基础巩固题 新知●应用 6.已知△ABC的∠A,∠B和∠C的对边分别是a,b和c,下面给出了五组条件: ①∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3; ②a∶b∶c=3∶4∶5; ③2∠A=∠B+∠C; ④a=6,b=8,c=13. 其中能独立判定△ ABC是直角三角形的条件的序号是　　　　.  ①② 判断一个三角形是不是直角三角形， 1.从边的角度：只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 2.从角的角度：看有没有一个角是直角或两个角互余。 基础巩固题 新知●应用 7.下列每组数分别是一个三角形三条边的长，请判断哪一组数对应的三角形是直角三角形，并说明理由. (1)0.5，1.2，1.3 (2) 8，12，4 (3) 4，5，6. 判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 是. 是. 不是. 基础巩固题 新知●应用 8.工人师傅在安装长方形铝合金窗框时，为检验窗框的四个角都是直角，可采用哪些方法?以图中的∠B为例，请说明判断∠B是直角的方法和依据. 判断一个三角形是不是直角三角形， 1.从边的角度：只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 2.从角的角度：看有没有一个角是直角或两个角互余。 测量AB，BC，AC的长度 基础巩固题 新知●应用 9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，且EC=BC.求证:△AEF是直角三角形. A B C D E F 解：依题意得：AB=AD=4,DF=CF=2,CE=1,BE=3 数的关系 形的关系 判定形状 新知●应用 能力提升题 10．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ ABC为直 角三角形的第三边的平方是（　　） A．161；　　 B．289；　　 C．17；　　 D．161或289． D 11.在三角形中，三边长a，b，c满足 (a－b)2＋|b－2|＋(c2－8)2＝0，则此三角形为(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 C 新知●应用 能力提升题 解：连接AC. ∵ AB=3,BC=4,∠B=90°. ∴ . 在△ACD中，∵AC=5，CD=12,AD=13. ∴ AC2 + CD2=AD2， ∴ △ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， ∴ 四边形ABCD面积为. 12.大禹治水后测得一四边形田地相关数据如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°， 求该四边形ABCD的面积. 新知●应用 能力提升题 13.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD． (1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数； 解：如图①，连接DP. 由题意可知CD＝CP，∠PCD＝60°， ∴△DCP是等边三角形． ∴DP＝DC＝PC＝8，∠POC＝60°. 易得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝6. ∴AD2＋DP2＝AP2. ∴∠ADP＝90°. ∴∠ADC＝150°. ∴∠BPC＝150°. 新知●应用 能力提升题 (2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数． 解：如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形，∴∠CDP＝45°. 易得△CPB≌△CDA， ∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝1. ∴AD2＋DP2＝AD2＋(CD2＋CP2)＝9. ∵AP2＝9，∴AD2＋DP2＝AP2. ∴∠ADP＝90°. ∴∠ADC＝135°. ∴∠BPC＝135°. 课堂●小结 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 勾股定理逆定理的应用 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 建模思想，即将实际问题转化为数学问题 $