16.3 角的平分线课件 2026-2027学年冀教版数学八年级上册
2026-08-26
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普通
摘要：
该初中数学课件围绕角平分线展开，涵盖概念、性质定理、逆定理及尺规作图。通过折纸操作导入，先对折角发现轴对称性，再折叠探究折痕上点到两边距离关系，搭建从直观到抽象的学习支架。
其亮点是以动手探究为核心，折纸活动发展几何直观（数学眼光），证明过程强化推理能力（数学思维），符号语言规范表达性质与逆定理（数学语言）。如折纸发现PD=PE引导猜想，用AAS全等证明性质，助力学生主动探究，教师可高效落实知识与素养。
内容正文：
16.3 角的平分线
1.说说角平分线的概念.
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.
O
B
C
A
1
2
2.角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
1.在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合，从中你能得出什么结论?
角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
A
B
O
B(A)
O
C
2.按图所示的过程，将你画出的∠AOB依上述办法对折后，设折痕为直线OC；再折纸，设折痕为直线n，直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于点P；将纸展开铺平后，猜想线段PD与线段PE，线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由.
A
B
O
E
P
C
D
B(A)
O
C
PD= PE
O
P
C
E(D)
n
B(A)
OD= OE
3.当折痕n与OB垂直时，它的展开图是怎样的呢？此时线段PD与线段 PE还相等吗？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
A
B
O
E
P
C
D
PD= PE
通过折叠和分析，你能得到什么结论？
如何证明？
在△PDO 和△PEO中，
∠1=∠2(已证)，
∠PDO=∠PEO=90°(已证)，
OP=OP(公共边)，
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
1
2
A
B
O
E
P
C
D
证明：∵OC是∠AOB的平分线(已知)，
∴∠1=∠2(角平分线的概念).
∵PD⊥OA，PE⊥OB，(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的概念).
∴△PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE(全等三角形对应边相等).
定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
符号语言
∵∠1= ∠2，PD⊥OA，PE ⊥OB，
∴PD=PE.
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理：
1
2
A
B
O
E
P
C
D
(1)写出角平分线的性质定理的逆命题.
(2)根据这个逆命题的内容，画出图形.
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
是正确的
(3)结合图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜想.
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
A
B
O
…
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线性质定理的逆定理：
符号语言
∵PD=PE，PD⊥OA，PE ⊥OB，
∴∠1= ∠2，
即点P在∠AOB的平分线OC上.
1
2
A
B
O
E
P
C
D
例 如图，已知∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E.
(2)分别以点D，E为圆心，适当长为半径，两在∠AOB的内部画弧，两弧相交于点C.
(3)画射线OC. 射线OC即为所求.
A
B
O
D
E
C
你能证明 OC 是∠AOB 的平分线吗?请试试看.
作角平分线的理论依据是三角形全等的判定方法“SSS”．
A
B
O
D
E
C
连接CD，CE.
∵以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E，
∴OD=OE.
∵分别以点D，E为圆心，适当长为半径，两在∠AOB的内部画弧，两弧相交于点C，
∴CD=CE.
∵OC=OC，
∴△CDO ≌△CEO(SSS).
∴∠COD=∠COE(全等三角形对应角相等)，
即OC是∠AOB的平分线.
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AD＝3DC，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( )
A.4 B.3
C.2 D.1
C
1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )
A.PC＝PD B.∠CPO＝∠DOP
C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝OD
B
3.如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，则DE的长为 ．
3.5
4.如图，O是△ABC内一点，且点O到边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE.若∠BAC＝70°，则∠BOC＝________．
125°
5.如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F. 求证：BP为∠MBN的平分线．
证明：过P作PE⊥AC于点E，如图所示．
∵AP平分∠MAC，PD⊥AM，PE⊥AC，
∴PD＝PE，
∵CP平分∠ACN，PF⊥CN，PE⊥AC，
∴PE＝PF，∴PD＝PF，
∴P在∠MBN的平分线上，
即BP为∠MBN的平分线．
角平分线
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
性质定理
逆定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
尺规作图
作出一个已知角的平分线
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