2026-2027学年北师大版九年级数学上册第一二章月考试题 基础卷

**基本信息** 融合《九章算术》《周髀算经》等传统文化素材与桃子销售、矩形鸡场等现实情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查运算能力、推理意识及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程解法、菱形性质、勾股定理|结合几何折叠（第10题）考查方程思想| |填空题|5/15|方胜纹面积计算、组合问题方程建模|以传统纹样（第12题）渗透几何直观| |解答题|8/75|矩形证明、利润问题、赵爽弦图应用|通过阅读材料（第20题）强化推理与文化理解|

保密★启用前 九年级数学第一学期第一二章 月考试题 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 2已知菱形的周长是，则最短对角线的长度为（　　） A．1 B． C．2 D． 3．若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2028 B．2027 C．-2026 D．2026 4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（    ） A． B． C．8 D．4 5.对于实数a，b，c，d，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则x的值为（   ） A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 6.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7. 《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲走了（ ）步？ A．20 B．26 C．36 D．45 8.如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 9．在实数范围内定义一种运算“”，使，则方程的解为（　　） A． B．， C． D． 10.欧几里得在《几何原本》中记载了一种通过几何图形解方程的方法．因此，我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为4的正方形纸片，先折出的中点，再折出线段，然后沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置点，并连接，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．关于y的方程的解是 ． 12方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为 ． 13．某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 14如图（1）以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图（2）的方式放入较大的正方形内（、分别是它们的顶点），若已知图（2）中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，则可知图（1）中的正方形的面积为 第14题 第15题 15．如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，，把沿折叠，点A恰好落在边上的点G处，连接，，延长交的延长线于点H，若，则的长为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： (1)； (2)． 17.本小题分如图，菱形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 18.本小题8分 桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子箱，每箱盈利元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每箱桃子降价元，那么平均每天就可多售出箱． (1)要使平均每天销售桃子盈利元，那么每箱桃子应降价多少元？ (2)平均每天销售桃子盈利能达到元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由． 19.本小题8分如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． 20本小题10分阅读材料，并完成下列问题． （中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整． 证明：，， ． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴，整理得，即 ． (1)请将材料中证明过程空缺部分补充完整． (2)根据材料的结论解决问题：如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 21.本小题10分已知关于x的一元二次方程． (1)求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根． (2)若平行四边形的两边的长是关于该方程的两个实数根． ①当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； ②若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ 22本小题12分阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 23本小题12分）在平面直角坐标系中，对于直线和图形W给出如下定义：若直线l与图形W有且只有一个交点，则称直线l是图形W的“独立关联直线”． (1)如图1，矩形的其中三个顶点的坐标为． ①若，在一次函数，，中， 是矩形的“独立关联直线”； ②若点A，B不与原点重合，一次函数的图象是矩形的“独立关联直线”，求k的值（用含t的式子表示）； (2)平面直角坐标系中，点，，，，顺次连接的图形称为图形M，若直线是图形M的“独立关联直线”，请求出a的取值范围． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学第一学期第一二章 月考试题 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 2已知菱形的周长是，则最短对角线的长度为（　　） A．1 B． C．2 D． 3．若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2028 B．2027 C．-2026 D．2026 4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（    ） A． B． C．8 D．4 5.对于实数a，b，c，d，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则x的值为（   ） A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 6.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7. 《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲走了（ ）步？ A．20 B．26 C．36 D．45 8.如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 9．在实数范围内定义一种运算“”，使，则方程的解为（　　） A． B．， C． D． 10.欧几里得在《几何原本》中记载了一种通过几何图形解方程的方法．因此，我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为4的正方形纸片，先折出的中点，再折出线段，然后沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置点，并连接，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．关于y的方程的解是 ． 12方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为 ． 13．某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 14如图（1）以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图（2）的方式放入较大的正方形内（、分别是它们的顶点），若已知图（2）中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，则可知图（1）中的正方形的面积为 第14题 第15题 15．如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，，把沿折叠，点A恰好落在边上的点G处，连接，，延长交的延长线于点H，若，则的长为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： (1)； (2)． 17.本小题分如图，菱形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 18.本小题8分 桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子箱，每箱盈利元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每箱桃子降价元，那么平均每天就可多售出箱． (1)要使平均每天销售桃子盈利元，那么每箱桃子应降价多少元？ (2)平均每天销售桃子盈利能达到元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由． 19.本小题8分如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． 20本小题10分阅读材料，并完成下列问题． （中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整． 证明：，， ． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴，整理得，即 ． (1)请将材料中证明过程空缺部分补充完整． (2)根据材料的结论解决问题：如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 21.本小题10分已知关于x的一元二次方程． (1)求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根． (2)若平行四边形的两边的长是关于该方程的两个实数根． ①当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； ②若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ 22本小题12分阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 23本小题12分）在平面直角坐标系中，对于直线和图形W给出如下定义：若直线l与图形W有且只有一个交点，则称直线l是图形W的“独立关联直线”． (1)如图1，矩形的其中三个顶点的坐标为． ①若，在一次函数，，中， 是矩形的“独立关联直线”； ②若点A，B不与原点重合，一次函数的图象是矩形的“独立关联直线”，求k的值（用含t的式子表示）； (2)平面直角坐标系中，点，，，，顺次连接的图形称为图形M，若直线是图形M的“独立关联直线”，请求出a的取值范围． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一学期第一二章 月考试题 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D A A C B B D 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． ，． 12. 13． 14． 169 15． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 （1）解：原方程可化为： 即， 即， ，；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：方程整理得：， ，，， ， ， ，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 17.本小题分) （1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得：四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得：．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 18.本小题8分解：（1）设每箱桃子应降价元，则销售量为箱，每件的利润为元， 故， 解得，， ∵要尽量减少库存， 故选择降价更多的，即每箱桃子应降价元，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：平均每天销售桃子盈利不能达到元；理由如下： 设每箱桃子降价元时，销售桃子的盈利为元， 故， 整理得， ∵， 故方程无实数根，即平均每天销售桃子盈利不能达到元┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 19.本小题8分)（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：如图，在延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 20.本小题10分）解：（1）∵，，． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴， 整理得， 即． 故答案为：；．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）设，则， 在矩形中， 由折叠的性质可知，． 在Rt△ABE中，， 则， 解得， 即的长为3．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分 21.本小题10分）（1）证明：∵ ， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：①∵平行四边形是菱形， ∴， ∴，即，解得， 方程化为，解得， ∴菱形的边长为2．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 ②设， ∵且AB，AD的长是方程的两个实数根． ∴，， ∴消去，得，即， ∴平行四边形的周长为┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 22.本小题12分解：（1）①当时，， ∴， 当时，， ∴一次函数经过第一、三、四象限，且过点A， ∴一次函数不是矩形的“独立关联直线”； 当时，， ∴一次函数经过第一、二、四象限，且过点A，与矩形只有一个交点， ∴一次函数是矩形的“独立关联直线”； 当时，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，与矩形没有交点， ∴一次函数不是矩形的“独立关联直线”； 故答案为：；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 ②∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴经过定点， 如图，当经过点 时，   ， ； 当经过点 时，   ， ； 综上可得：或┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）如图所示： ∵点，，，，直线是图形M的“独立关联直线”， ∴当直线经过点F时， 将点F坐标代入，得， 故； 当直线经过点E时， 将点E坐标代入，得， 故； 当直线经过点H时， 将点H坐标代入，得， 故， ∴当或时，直线是图形M的“独立关联直线”．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学第一学期第一二章 月考试题 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：将常数项移到等式右边，得到． 取一次项系数4的一半，平方后得4， 将4加到等式两边：． 由此可得：． 因此，方程配方后为选项D． 故选：D ． 2已知菱形的周长是，则最短对角线的长度为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 解：如图， ∵菱形的周长为8， ∴菱形的边长， ∵，， ∴等边三角形， ∴， ∴， ∴菱形的较短的对角线长为：； 故选C． 3．若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2028 B．2027 C．-2026 D．2026 【答案】D 解：∵ 是方程的根， ∴ ，即， 代入所求式： ， 由根与系数的关系，方程两根之和为， ∴ ． 故选：D． 4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】D 解∶∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：D． 5.对于实数a，b，c，d，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则x的值为（   ） A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 【答案】A 解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， 故选：A． 6.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴对角线交点的坐标为． 故选：A． 7. 《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲走了（ ）步？ A．20 B．26 C．36 D．45 【答案】C 解：如图，表示正东方向，表示正南方向， 设甲、乙的时间都是步，则步，步， 又步． 步 由勾股定理得：， ， （舍去）， 甲走的路程为（步， 故选：C 8.如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 9．在实数范围内定义一种运算“”，使，则方程的解为（　　） A． B．， C． D． 【答案】B 解：∵， ∴， ∴， 解得，， 故选：B． 10.欧几里得在《几何原本》中记载了一种通过几何图形解方程的方法．因此，我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为4的正方形纸片，先折出的中点，再折出线段，然后沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置点，并连接，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 解：， ， ， ， ， 则方程的一个正根为， ∵正方形的边长为4， ∴，， 由折叠的性质可知，，则选项B不符合题意； ∴， 设，则， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴在中，，即， 解得， ∴，则选项D符合题意； ，则选项C不符合题意； 又∵在中，， ∴，则选项A不符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．关于y的方程的解是 ． 【答案】，， 解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 12方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为 ． 【答案】 解：在菱形中，，， ， ， 为的中点， ， 菱形的面积， 故答案为：． 13．某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 14如图（1）以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图（2）的方式放入较大的正方形内（、分别是它们的顶点），若已知图（2）中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，则可知图（1）中的正方形的面积为 【答案】169 解：设， 由题意及对称性知，图（2）中两部分阴影全等， ∴由两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，知 ∴ 设，则， 则，即 又由完全平方式知， ∴由知，， ∴， 解得，即， 则① 又在中，② 将①代入②，得， 解得（舍） ∴正方形的面积为：． 故答案169． 15．如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，，把沿折叠，点A恰好落在边上的点G处，连接，，延长交的延长线于点H，若，则的长为 ． 【答案】 解：延长交的延长线于点，过点作于， 则，如图： ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠可得， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： (1)； (2)． （1）解：原方程可化为： 即， 即， ，； （2）解：方程整理得：， ，，， ， ， ， 17.本小题分如图，菱形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． （1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得：四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得：． 18.本小题8分 桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子箱，每箱盈利元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每箱桃子降价元，那么平均每天就可多售出箱． (1)要使平均每天销售桃子盈利元，那么每箱桃子应降价多少元？ (2)平均每天销售桃子盈利能达到元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由． 解：（1）设每箱桃子应降价元，则销售量为箱，每件的利润为元， 故， 解得，， ∵要尽量减少库存， 故选择降价更多的，即每箱桃子应降价元， （2）解：平均每天销售桃子盈利不能达到元；理由如下： 设每箱桃子降价元时，销售桃子的盈利为元， 故， 整理得， ∵， 故方程无实数根，即平均每天销售桃子盈利不能达到元． 19.本小题8分如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． （1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：如图，在延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 20本小题10分阅读材料，并完成下列问题． （中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整． 证明：，， ． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴，整理得，即 ． (1)请将材料中证明过程空缺部分补充完整． (2)根据材料的结论解决问题：如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 解：（1）∵，，． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴， 整理得， 即． 故答案为：；． （2）设，则， 在矩形中， 由折叠的性质可知，． 在Rt△ABE中，， 则， 解得， 即的长为3． 21.本小题10分已知关于x的一元二次方程． (1)求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根． (2)若平行四边形的两边的长是关于该方程的两个实数根． ①当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； ②若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ （1）证明：∵ ， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：①∵平行四边形是菱形， ∴， ∴，即，解得， 方程化为，解得， ∴菱形的边长为2． ②设， ∵且AB，AD的长是方程的两个实数根． ∴，， ∴消去，得，即， ∴平行四边形的周长为 22本小题12分阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）， ， ， 当时，代数式有最小值1． （2）①由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：． ②， ∵， ∴， 当时，围成的矩形鸡场的面积最大．最大面积是． ∵，， ∴最大面积是符合题意． 23本小题12分）在平面直角坐标系中，对于直线和图形W给出如下定义：若直线l与图形W有且只有一个交点，则称直线l是图形W的“独立关联直线”． (1)如图1，矩形的其中三个顶点的坐标为． ①若，在一次函数，，中， 是矩形的“独立关联直线”； ②若点A，B不与原点重合，一次函数的图象是矩形的“独立关联直线”，求k的值（用含t的式子表示）； (2)平面直角坐标系中，点，，，，顺次连接的图形称为图形M，若直线是图形M的“独立关联直线”，请求出a的取值范围． 解：（1）①当时，， ∴， 当时，， ∴一次函数经过第一、三、四象限，且过点A， ∴一次函数不是矩形的“独立关联直线”； 当时，， ∴一次函数经过第一、二、四象限，且过点A，与矩形只有一个交点， ∴一次函数是矩形的“独立关联直线”； 当时，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，与矩形没有交点， ∴一次函数不是矩形的“独立关联直线”； 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴经过定点， 如图，当经过点 时，   ， ； 当经过点 时，   ， ； 综上可得：或 （2）如图所示： ∵点，，，，直线是图形M的“独立关联直线”， ∴当直线经过点F时， 将点F坐标代入，得， 故； 当直线经过点E时， 将点E坐标代入，得， 故； 当直线经过点H时， 将点H坐标代入，得， 故， ∴当或时，直线是图形M的“独立关联直线”． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $