九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷（新教材浙教版，举一反三，测试范围：第1章 二次函数～第2章 随机事件的概率）

**基本信息** 聚焦二次函数与概率，以女足训练、励志观影等真实情境为载体，通过基础巩固（如抛物线性质）、能力提升（如概率计算）、创新应用（如足球运动轨迹建模）三级梯度设计，实现知识掌握与核心素养（抽象能力、数据观念、推理意识）的量化评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数开口方向、随机事件判断、概率计算|结合生活实例（如掷硬币判断随机事件），考查数学眼光| |填空题|6/18|抛物线平移、频率估计概率、二次函数对称性|用摸球实验数据估计红球数，体现数据观念| |解答题|9/72|二次函数应用（足球轨迹）、概率计算（观影选择）、几何与函数综合|足球抛物线建模问题，融合运动情境考查模型意识与推理能力|

九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）下面所给的事件，是随机事件的是（     ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．任意画一个三角形，其内角和为 C．用三根木条钉成的三角形框架，它的形状和大小就固定不变了 D．刻舟求剑 【答案】A 【分析】先明确随机事件的定义：随机事件是指在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，根据定义即可选出答案． 【详解】解：A选项，掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件，符合题意． B选项中任意三角形内角和为,是必然事件，不符合题意． C选项中三角形具有稳定性，因此该事件为必然事件，不符合题意． D选项中刻舟求剑是不可能事件，不符合题意． 3．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 【答案】B 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 4．（25-26七年级下·山西太原·期末）如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】随着试验总次数不断增加，点落在不规则图案内的频率逐渐稳定在0.3附近，用稳定的频率估计概率，再结合长方形总面积，即可求出不规则图案的估计面积． 【详解】解：由频率折线图可知，随着试验次数增多，点落在不规则图案内的频率稳定在0.3左右，因此可估计点落在阴影不规则图案内的概率． 已知长方形总面积为，设不规则图案面积为，根据几何概型： ， 计算得： ． 5．（2026·福建泉州·模拟预测）抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到与的关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）学校开展艺术体育节活动，甲、乙两人报名参加比赛，预赛分A，B，C三组进行，运动员通过抽签决定分组．则甲、乙分到同一组的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算所有等可能的分组结果数，再找出甲、乙同组的结果数，代入概率公式即可求解 【详解】解：甲、乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：、、、、、、、、，共9种，它们出现的可能性相同， 其中，甲、乙恰好分到同一组的结果有3种，即、、， 概率为 7．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知点在抛物线（m为常数）上，则抛物线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先求出的值，再逐一判断各点是否在抛物线上． 先将点代入抛物线解析式求出，得到抛物线解析式，再将选项中的点代入解析式进行验证． 【详解】解：因为点在抛物线上， 所以把代入可得： ，即， 解得． 所以抛物线的解析式为． A、当时，，所以点在抛物线上； B、当时，，所以点不在抛物线上； C、当时，，所以点不在抛物线上； D、当时，，所以点不在抛物线上． 故选：A． 8．（2024·内蒙古包头·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况， ∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是， 球回到乙手中的概率是， 球回到丙手中的概率是， 球回到丁手中的概率是， ∵， ∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲． 故选：A． 9．（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 10．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 12．（25-26七年级下·四川成都·期末）一个不透明的袋中装有红、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如下表： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸到红球的频数 28 58 121 183 238 301 摸到红球的频率 0.280 0.290 0.303 0.305 0.298 0.301 请估计袋中红球的个数是_____． 【答案】15 【详解】解：由表格数据可知，随着摸球次数增大，摸到红球的频率逐渐稳定在． 因此估计摸到红球的概率为． 则估计袋中红球的个数为． 13．（2026·四川南充·二模）抛物线的对称轴在轴右侧，点，，都在抛物线上，若，则的取值范围是________． 【答案】或 【分析】先利用点和点纵坐标相等，求出抛物线对称轴，再结合开口向上的二次函数性质，函数值越大对应点到对称轴距离越大，列出不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∵对称轴在轴右侧， ∴， 即， 点和纵坐标相等， 关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为 ， ， 即， ，， 点到对称轴的距离为 ，点到对称轴的距离为， ，开口向上，函数值越大，点到对称轴的距离越大， ， 即或 ， 解得或， 当时， ， 点在抛物线上， ，即 ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 即 ， 两边平方得：， 展开得： ， 整理得： ， 解得， ∵对称轴在轴右侧 ∴， 即， 综上，的取值范围是或． 14．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？_____（填“公平”或“不公平”）．    【答案】不公平 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与拼成房子的情况，再利用概率公式求解即可求得小李赢与小王赢的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平． 【详解】解：设三张纸片分别用A，B，C表示 画树状图得：    共有6种等可能的结果，能拼成房子的有4种情况 ， 这个游戏不公平 故答案为：不公平 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，解题关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 15．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 16．（2022·吉林长春·三模）在平面直角坐标系中，点和是抛物线上的两点，过点B作x轴的垂线交x轴于点C．当的面积小于4时，a的值可以是______________．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出、，从而可得，且，表示出，根据三角形面积公式列出不等式，结合求出的取值范围，任选范围内一个值即可． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，即， ∴， ∴，且， ∵轴， ∴点坐标为， ∴， ∴， ∵的面积小于4， ∴，即， 解得：， ∵， ∴的取值范围是， ∵当时，，此时与点重合，无法构成三角形，故不符合题意， ∴的取值范围是且， 故a的值可以是（答案不唯一）． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 18．（6分）（2026·江苏徐州·模拟预测）为深入践行社会主义核心价值观，厚植家国情怀、砥砺奋斗精神，学校特开展“青春当燃，不负韶华”主题观影活动，号召同学们利用周末自主观看励志影片．现有《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》3部励志电影，甲、乙2位同学从这3部电影中任意选择1部观看． (1)甲同学选择《志愿军：雄兵出击》的概率为________； (2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【答案】(1) (2)， 理由：分别用A、B、C表示《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》三部电影，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， ∴（选不同电影）． 【分析】（1）根据概率公式进行解答即可； （2）分别用A、B、C表示《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》三部电影，画出树状图，找到所有等可能的情况数和符合题意的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：∵现有《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》共3部电影， ∴甲同学选择《志愿军：雄兵出击》电影的概率为． （2）略． 19．（6分）（2025·河北衡水·模拟预测）中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 【答案】(1) (2)足球第二次落地点到点的距离为米 (3) 【分析】（1）当时，依题意得，设抛物线解析式为，代入，即可求解； （2），得出足球第一次落地点距点的距离为米，过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点，则，令，进而求得，进而求得的长； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为，代入，得出，根据题意可得点，点，分别代入解析式，求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：当时，依题意得， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴足球第一次落地点距点的距离为米， 如图， ∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点， ， ∴令，则， 解得， 则， ， ∴足球第二次落地点到点的距离为米； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线开口向下， ，即， ． 若球落在区域内（含点）， ，， 点，点， 当时，，解得， 当时，，解得， ． 20．（8分）（25-26七年级下·陕西汉中·期末）小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率    (1)向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少？（保留两位小数） (2)小亮获胜的机会约为多大？ (3)若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，即可求解； （2）根据概率的意义，即可求解； （3）设阴影区域面积为S，设整个图案面积为，先求出内圆面积为，由（1）得：，再由，即可求解． 【详解】（1）解：观察表格中落在阴影区域的频率数据，随着试验次数增加，频率稳定在左右， 所以向图案内任意掷小石子，小石子落在阴影区域的概率约为； （2）解：因为掷中阴影区域小明赢，而小石子落在阴影区域的概率约为， 所以小亮获胜的机会约为； （3）解：设阴影区域面积为S，设整个图案面积为， ∵内圆半径， ∴内圆面积为， 由（1）得：小石子落在阴影区域的概率，则， 又因为，即， 解得， 所以阴影区域面积约为． 21．（8分）（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据、坐标得出、长度，利用旋转前后三角形全等得、长度，直接写出、坐标即可； （2）已知抛物线与轴两个交点、，设交点式抛物线方程，代入点坐标求出参数，展开化为一般式，再配方成顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵将绕点按顺时针旋转，得到， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵抛物线过点，， ∴可设抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； 22．（9分）（24-25九年级上·福建三明·阶段检测）如图，大小相同的A，B两个转盘都被分成红、蓝两色区域，A盘红色扇形区域与B盘蓝色扇形区域的圆心角都是．转动两个转盘各一次进行“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色，指针指向区域分界线时重新转动．    (1)A盘转出红色的概率为___________，B盘转出红色的概率为___________； (2)小颖认为：两个转盘的红色区域可以拼成一个圆形，蓝色区域也可以拼成一个圆形，转动两个转盘出现的所有可能结果为（红，红），（红，蓝），（蓝，红），（蓝，蓝），可求出配成紫色的概率为．判断小颖的想法是否正确．若正确，说明理由；若不正确，给出正确解答． 【答案】(1)；； (2) 小颖的想法是错误的． 理由如下：先把转盘A蓝色区域等分成2份，分别记为“蓝1”“蓝2”；转盘B红色区域等分成2份，分别记为“红1”“红2”，然后列表如下： B盘 A盘 红1 红2 蓝 红 （红，红1） （红，红2） （红，蓝） 蓝1 （蓝1，红1） （蓝1，红2） （蓝，蓝） 蓝2 （蓝2，红1） （蓝2，红2） （蓝2，蓝） 共有9种结果，每种结果出现的可能性相同， 转动两个转盘，能够配成紫色的结果有5种：（蓝1，红1）（蓝2，红1）（蓝1，红2）（蓝2，红2）（红，蓝）， 所以，P（能配成紫色）． 所以，小颖的想法是错误的 【分析】此题考查了概率公式和列表法求概率． （1）根据相应区域的圆心角度数即可求出答案； （2）先把转盘A蓝色区域等分成2份，分别记为“蓝1”“蓝2”；转盘B红色区域等分成2份，分别记为“红1”“红2”，列表求出所有可能情况数，符合要求的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：A盘转出红色的概率为， B盘转出红色的概率为， 故答案为：，； （2）略． 23．（9分）（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于，两点，直线经过点，与抛物线交于点，且与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在直线上方的抛物线上，且点到直线的距离与点到直线的距离相等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或． 【分析】（1）先求得，点A的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）设过点且平行于直线的直线与轴交于点，利用待定系数法求得直线的解析式，得到，设过点且平行于直线的直线与轴交于点，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线， 得：， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴点A的坐标为， 将点和点代入抛物线， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，得， 解得，， ∴点D的坐标为， ∵点到直线的距离与点到直线的距离相等，且点P在直线上方， ∴点P所在的直线与直线平行，且该直线与直线的距离等于点D到直线的距离， ∵直线为， 设过点且平行于直线的直线与轴交于点， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴， 设过点且平行于直线的直线与轴交于点， ∴，则， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得，即， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 24．（10分）（2022·浙江温州·三模）如图，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将上述抛物线向右平移个单位，此时点平移到点，点平移到点，连接，若四边形是菱形，求平移后抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点和点代入，解方程组即可； （2）根据四边形ABCD是菱形，得出AD=AB=5，从而得出a=5，然后利用抛物线的平移规律即可得出答案． 【详解】（1）解∶ ∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴． （2）解∶如图， ∵、， ∴OA=4，OB=3， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=5， ∴a=5， ∵， ∴向右平移5个单位后，函数解析式为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线上点的坐标的特征，菱形的性质，抛物线平移的规律等知识，求出a的值是解题的关键． 25．（10分）（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 【答案】(1)， (2) (3)证明：设直线的解析式为，点的横坐标为，则， 轴， ，， 设，， 联立直线与抛物线得， 整理得：， ，是直线与的交点， ，是该方程的两根， ， 同理，联立直线与抛物线得， 整理得， ，也在抛物线上， ，也是该方程的两根， ， ， 过点作于点，则是和的公共高， ，，且， ， 同理，过点作于点，可得， ，， ． 【分析】（1）求出时对应点的坐标并结合点在点左侧即可求解； （2）先利用外心在边上推出是中点，得到点坐标；再根据列方程求解，结合取舍即可； （3）先设直线解析式与各点横坐标，联立直线与两条抛物线，借助一元二次方程根与因式分解证出；再利用等底同高三角形面积相等进行推导，即可证明两三角形面积相等． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，． （2）解：如图，连接， 的外心在上， ， 为线段的中点， 设，，则，是方程的两根， 整理得， 由韦达定理得， 点的横坐标为，即， ， 由勾股定理得， 又， 由求根公式，方程的根为， ， ， ，即， ， ， 整理得， 解得或， ， ． （3）略． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 二次函数~第2章 随机事件的概率 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）下面所给的事件，是随机事件的是（     ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．任意画一个三角形，其内角和为 C．用三根木条钉成的三角形框架，它的形状和大小就固定不变了 D．刻舟求剑 3．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 4．（25-26七年级下·山西太原·期末）如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A． B． C． D． 5．（2026·福建泉州·模拟预测）抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）学校开展艺术体育节活动，甲、乙两人报名参加比赛，预赛分A，B，C三组进行，运动员通过抽签决定分组．则甲、乙分到同一组的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知点在抛物线（m为常数）上，则抛物线一定经过点（    ） A． B． C． D． 8．（2024·内蒙古包头·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 10．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 12．（25-26七年级下·四川成都·期末）一个不透明的袋中装有红、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如下表： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸到红球的频数 28 58 121 183 238 301 摸到红球的频率 0.280 0.290 0.303 0.305 0.298 0.301 请估计袋中红球的个数是_____． 13．（2026·四川南充·二模）抛物线的对称轴在轴右侧，点，，都在抛物线上，若，则的取值范围是________． 14．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？_____（填“公平”或“不公平”）．    15．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 16．（2022·吉林长春·三模）在平面直角坐标系中，点和是抛物线上的两点，过点B作x轴的垂线交x轴于点C．当的面积小于4时，a的值可以是______________．（写出一个值即可） 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 18．（6分）（2026·江苏徐州·模拟预测）为深入践行社会主义核心价值观，厚植家国情怀、砥砺奋斗精神，学校特开展“青春当燃，不负韶华”主题观影活动，号召同学们利用周末自主观看励志影片．现有《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》3部励志电影，甲、乙2位同学从这3部电影中任意选择1部观看． (1)甲同学选择《志愿军：雄兵出击》的概率为________； (2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 19．（6分）（2025·河北衡水·模拟预测）中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 20．（8分）（25-26七年级下·陕西汉中·期末）小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率    (1)向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少？（保留两位小数） (2)小亮获胜的机会约为多大？ (3)若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 21．（8分）（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 22．（9分）（24-25九年级上·福建三明·阶段检测）如图，大小相同的A，B两个转盘都被分成红、蓝两色区域，A盘红色扇形区域与B盘蓝色扇形区域的圆心角都是．转动两个转盘各一次进行“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色，指针指向区域分界线时重新转动．    (1)A盘转出红色的概率为___________，B盘转出红色的概率为___________； (2)小颖认为：两个转盘的红色区域可以拼成一个圆形，蓝色区域也可以拼成一个圆形，转动两个转盘出现的所有可能结果为（红，红），（红，蓝），（蓝，红），（蓝，蓝），可求出配成紫色的概率为．判断小颖的想法是否正确．若正确，说明理由；若不正确，给出正确解答． 23．（9分）（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于，两点，直线经过点，与抛物线交于点，且与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在直线上方的抛物线上，且点到直线的距离与点到直线的距离相等，请直接写出点的坐标． 24．（10分）（2022·浙江温州·三模）如图，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将上述抛物线向右平移个单位，此时点平移到点，点平移到点，连接，若四边形是菱形，求平移后抛物线的解析式． 25．（10分）（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $