14.1全等三角形及其性质 同步讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形及其性质核心知识点，从全等形概念切入，逐步延伸至全等三角形定义、对应边与对应角的确定方法、性质（对应边和角相等），以及图形变换（平移、翻折、旋转）与全等的关系，构建从基础概念到应用的学习支架。 该资料通过题型分类（图形全等、概念辨析、性质应用）和解题思路指导，结合典例与变式训练，培养学生几何直观和推理意识。课中辅助教师系统授课，课后通过易错提醒和综合练习帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升应用能力。

14.1全等三角形及其性质 目录 知识点1 全等形的概念 1 知识点2 全等三角形的概念 2 知识点3 找对应边和对应角的常用方法 2 知识点4 全等三角形的性质 2 知识点5 三角形的变换与全等 3 题型1 图形的全等 3 题型2 全等三角形的概念 6 题型3 全等三角形的性质 9 1. 理解全等形的概念，能识别生活中的全等图形，知道全等形的特征。 2. 理解全等三角形的概念，能正确找出全等三角形的对应顶点、对应边和对应角。 3. 掌握全等三角形的性质——对应边相等、对应角相等，能运用性质进行简单的计算和推理。 4. 会用符号"≌"表示两个三角形全等，掌握全等三角形的记法规则（对应顶点写在对应位置）。 5. 能在平移、翻折、旋转等图形变换中识别全等三角形，确定对应关系。 知识点1 全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 全等形的特征： （1）形状相同； （2）大小相等； （3）能够完全重合。 注意：全等形与位置无关，只与形状和大小有关。一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点2 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 全等三角形的记法： （1）全等用符号"≌"表示，读作"全等于"。 （2）记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 例如：若△ABC与△DEF全等，且A与D对应、B与E对应、C与F对应，则记作△ABC≌△DEF。 （3）根据记法可以直接确定对应关系：△ABC≌△DEF中，A↔D，B↔E，C↔F；AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF；∠A↔∠D，∠B↔∠E，∠C↔∠F。 知识点3 找对应边和对应角的常用方法 方法1：根据记法找对应——对应顶点字母在对应位置，对应顶点所对的边是对应边，对应顶点所在的角是对应角。 方法2：根据图形特征找对应： （1）公共边一定是对应边； （2）公共角一定是对应角； （3）对顶角一定是对应角； （4）最长边与最长边对应，最短边与最短边对应； （5）最大角与最大角对应，最小角与最小角对应。 方法3：根据变换方式找对应——平移、翻折、旋转前后，重合的边是对应边，重合的角是对应角。 知识点4 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 几何语言： ∵ △ABC≌△DEF， ∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的对应边相等）， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 拓展性质： （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等、对应边上的高相等、对应角的平分线相等。 注意：周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等，这些是全等的必要条件而非充分条件。 知识点5 三角形的变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，得到的新三角形与原三角形全等。 （1）平移：将三角形沿某一方向移动一定距离，形状和大小不变。 （2）翻折（轴对称）：将三角形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 （3）旋转：将三角形绕某一点转动一定角度，形状和大小不变。 这三种变换是初中几何中最常见的全等变换，是后续学习全等三角形判定的基础。 题型1 图形的全等 【解题思路】 这类题目主要考查全等形的概念和识别，包括判断两个图形是否全等、找出全等图形、利用全等形的特征解决问题等。 【考法1：判断两个图形是否全等】 第一步：回忆全等形的定义——能够完全重合的两个图形叫做全等形。 第二步：判断两个图形是否同时满足"形状相同"和"大小相等"两个条件。 第三步：两个条件都满足则全等，有一个不满足则不全等。 判断技巧： （1）形状相同但大小不同→不全等（如大小不同的两个正方形）； （2）大小相等但形状不同→不全等（如面积相等的正方形和圆）； （3）形状和大小都相同→全等（与位置、方向无关）。 【考法2：从一组图形中找出全等图形】 第一步：观察每组图形的形状特征（边数、曲直、角度等）。 第二步：在形状相同的图形中，比较大小是否相等。 第三步：形状和大小都相同的即为全等图形。 注意：图形经过旋转或翻转后，虽然方向变了，但形状和大小不变，仍然是全等形。 【考法3：利用全等形的特征解决实际问题】 第一步：确定题目中的全等图形。 第二步：利用全等形"对应部分相等"的特征，将未知量转化为已知量。 第三步：进行计算或推理。 常见应用：拼图问题、网格中的全等图形、图案设计中的全等变换等。 【考法4：判断变换前后的图形是否全等】 第一步：判断图形经过了什么变换（平移、翻折、旋转）。 第二步：回忆——平移、翻折、旋转都只改变图形的位置，不改变形状和大小。 第三步：因此变换前后的两个图形一定全等。 注意：放大或缩小（位似变换）会改变大小，变换前后的图形不全等（只是相似）。 【易错提醒】 （1）全等形必须"完全重合"，不是"看起来差不多"，必须形状和大小都完全相同。 （2）全等形与位置和方向无关，旋转、翻转后的图形仍然与原图形全等。 （3）"面积相等"或"周长相等"只是全等的必要条件，不是充分条件，不能仅凭面积或周长相等就判断全等。 （4）注意区分"全等形"和"相似形"——全等形是特殊的相似形（相似比为1），相似形不一定全等。 【典例1】．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下面4组图形中，是全等图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 4．如图（1）~（12）中全等的图形是_____和______；_____和______；_____和______；_____和______；_____和______；_____和______；(填图形的序号) 题型2 全等三角形的概念 【解题思路】 这类题目主要考查全等三角形的定义、记法以及对应顶点、对应边、对应角的确定。 【考法1：全等三角形的识别与表示】 第一步：判断两个三角形是否能够完全重合（即是否全等）。 第二步：若全等，确定对应顶点——重合的顶点即为对应顶点。 第三步：用"≌"符号表示，注意对应顶点的字母必须写在对应位置上。 例如：若A与D重合、B与E重合、C与F重合，则记作△ABC≌△DEF，不能写成△ABC≌△DFE。 【考法2：根据全等记法确定对应关系】 第一步：看清全等的记法，如△ABC≌△DEF。 第二步：按位置确定对应顶点——第1个字母对应第1个字母，第2个对应第2个，第3个对应第3个。 即 A↔D，B↔E，C↔F。 第三步：确定对应边——对应顶点所夹的边是对应边。 AB（A、B夹）↔ DE（D、E夹），BC↔EF，AC↔DF。 第四步：确定对应角——对应顶点处的角是对应角。 ∠A（顶点A）↔ ∠D（顶点D），∠B↔∠E，∠C↔∠F。 记忆口诀："位置对位置，顶点对顶点，夹边对夹边，顶角对顶角"。 【考法3：根据图形确定对应顶点、对应边、对应角】 第一步：观察图形，确定两个全等三角形是经过哪种变换得到的（平移、翻折、旋转）。 第二步：利用变换特征找对应： （1）平移：方向相同、位置对应的点是对应点； （2）翻折：关于对称轴对称的点是对应点； （3）旋转：绕旋转中心旋转相同角度的点是对应点。 第三步：也可以用"公共边、公共角、对顶角"来快速确定对应关系。 第四步：确定对应顶点后，对应边和对应角就容易确定了。 【考法4：全等三角形的对数问题】 第一步：仔细观察图形，找出所有能够完全重合的三角形对。 第二步：按一定顺序枚举，避免重复和遗漏（如从小到大、从左到右）。 第三步：注意不要遗漏由多个小三角形组成的大三角形之间的全等关系。 第四步：统计全等三角形的总对数。 【易错提醒】 （1）记全等时对应顶点必须写在对应位置，这是最常见的考点和易错点。写错位就会导致对应边、对应角全部错误。 （2）"≌"符号不能写成"="或"∽"，"="表示数量相等，"∽"表示相似，"≌"表示全等。 （3）对应边和对应角是针对两个三角形而言的，"对边"和"对角"是针对同一个三角形而言的，不要混淆。 （4）找对应关系时，不要仅凭直观感觉，要结合变换方式和公共部分来确定。 （5）一个三角形的顶点字母顺序可以换，但全等记法中两个三角形的对应关系必须保持一致。如△ABC≌△DEF也可以写成△BAC≌△EDF，但不能写成△ABC≌△EDF。 【典例2】．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【变式2】．如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【变式3】．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．    题型3 全等三角形的性质 【解题思路】 这类题目主要考查全等三角形"对应边相等、对应角相等"性质的应用，包括求边长、求角度、证明线段相等、证明角相等等。 【考法1：利用全等性质求边长】 第一步：根据全等三角形的记法或图形，确定对应边。 第二步：利用"全等三角形对应边相等"，将未知边转化为已知边。 第三步：代入已知数值计算，求出未知边长。 第四步：若题目中涉及周长，可利用"全等三角形周长相等"简化计算。 典型示例：已知△ABC≌△DEF，AB=5，BC=7，AC=4，求DE、EF、DF的长。 解：∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB=5，EF=BC=7，DF=AC=4。 【考法2：利用全等性质求角度】 第一步：确定对应角。 第二步：利用"全等三角形对应角相等"，将未知角转化为已知角。 第三步：若不能直接求出，可结合三角形内角和（180°）、外角性质等进行计算。 第四步：注意全等三角形中，对应角相等意味着三个角分别对应相等，因此第三个角也相等。 典型示例：已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，求∠F的度数。 解：∵△ABC≌△DEF，∴∠C=∠F。在△ABC中，∠C=180°-50°-70°=60°，∴∠F=60°。 【考法3：利用全等性质证明线段相等】 第一步：分析要证明相等的两条线段分别在哪两个三角形中。 第二步：证明这两个三角形全等（目前阶段题目通常直接给出全等，或通过变换说明全等）。 第三步：利用"全等三角形对应边相等"得出结论。 第四步：书写规范的证明过程，注意每一步都要有依据。 【考法4：利用全等性质证明角相等】 第一步：分析要证明相等的两个角分别是哪两个三角形的角。 第二步：证明这两个三角形全等。 第三步：利用"全等三角形对应角相等"得出结论。 第四步：若需要证明平行或垂直，可进一步利用角的关系（如内错角相等两直线平行）推导。 【考法5：全等性质的综合应用】 第一步：仔细读题，明确已知条件和要求的结论。 第二步：从已知的全等三角形出发，写出所有对应边相等和对应角相等的关系。 第三步：结合图形中的公共边、公共角、对顶角、邻补角等关系，进行推理。 第四步：逐步推导，求出未知量或证明结论。 第五步：检验结果是否合理，书写完整的解答过程。 【易错提醒】 （1）利用全等性质时，必须先确定对应关系，不能随意说"因为全等所以边相等"——只有对应边才相等，非对应边不一定相等。 （2）求角度时，不要忘记三角形内角和为180°这个隐含条件，全等三角形中三个角分别对应相等。 （3）证明题中，"全等"和"对应边/角相等"之间的因果关系要写清楚，不能跳步。 （4）注意区分"对应边相等"和"对边相等"——对应边是两个三角形之间的关系，对边是同一个三角形中角对边的关系。 （5）全等三角形的周长相等、面积相等，但反过来周长相等或面积相等的三角形不一定全等，不能逆向使用。 （6）在复杂图形中，要善于从多个全等关系中选择有用的对应边和对应角，不要被无关信息干扰。 【典例3】．图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】．与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 【变式3】．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 3．如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 4．如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知，点与点，点与点分别是对应顶点，若，，，则的度数及的长分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 7．在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，若，，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．6 9．如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（   ） A．3或 B．2或3 C．2或 D．或 10．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 11．如图，，，，则______________． 12．已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 13．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为_______． 14．如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 15．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等． 16．如图，，点在边上，与交于点．已知，，求的度数． 17．如图，，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 18．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，只用无刻度的直尺并保留作图痕迹． (1)在图中，作出与全等的格点三角形； (2)在图中，找出的重心点． 19．如图所示，已知，其中． (1)求证：． (2)求的长． 20．如下图，在中，已知，，，直线，动点D从点C出发沿射线CB以3cm/s的速度运动，同时动点E从点C出发在直线CM上以2cm/s的速度运动，连接AD，AE，设运动时间为ts．当时，求t的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.1全等三角形及其性质 目录 知识点1 全等形的概念 1 知识点2 全等三角形的概念 2 知识点3 找对应边和对应角的常用方法 2 知识点4 全等三角形的性质 2 知识点5 三角形的变换与全等 3 题型1 图形的全等 3 题型2 全等三角形的概念 6 题型3 全等三角形的性质 9 1. 理解全等形的概念，能识别生活中的全等图形，知道全等形的特征。 2. 理解全等三角形的概念，能正确找出全等三角形的对应顶点、对应边和对应角。 3. 掌握全等三角形的性质——对应边相等、对应角相等，能运用性质进行简单的计算和推理。 4. 会用符号"≌"表示两个三角形全等，掌握全等三角形的记法规则（对应顶点写在对应位置）。 5. 能在平移、翻折、旋转等图形变换中识别全等三角形，确定对应关系。 知识点1 全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 全等形的特征： （1）形状相同； （2）大小相等； （3）能够完全重合。 注意：全等形与位置无关，只与形状和大小有关。一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点2 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 全等三角形的记法： （1）全等用符号"≌"表示，读作"全等于"。 （2）记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 例如：若△ABC与△DEF全等，且A与D对应、B与E对应、C与F对应，则记作△ABC≌△DEF。 （3）根据记法可以直接确定对应关系：△ABC≌△DEF中，A↔D，B↔E，C↔F；AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF；∠A↔∠D，∠B↔∠E，∠C↔∠F。 知识点3 找对应边和对应角的常用方法 方法1：根据记法找对应——对应顶点字母在对应位置，对应顶点所对的边是对应边，对应顶点所在的角是对应角。 方法2：根据图形特征找对应： （1）公共边一定是对应边； （2）公共角一定是对应角； （3）对顶角一定是对应角； （4）最长边与最长边对应，最短边与最短边对应； （5）最大角与最大角对应，最小角与最小角对应。 方法3：根据变换方式找对应——平移、翻折、旋转前后，重合的边是对应边，重合的角是对应角。 知识点4 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 几何语言： ∵ △ABC≌△DEF， ∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的对应边相等）， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 拓展性质： （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等、对应边上的高相等、对应角的平分线相等。 注意：周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等，这些是全等的必要条件而非充分条件。 知识点5 三角形的变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，得到的新三角形与原三角形全等。 （1）平移：将三角形沿某一方向移动一定距离，形状和大小不变。 （2）翻折（轴对称）：将三角形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 （3）旋转：将三角形绕某一点转动一定角度，形状和大小不变。 这三种变换是初中几何中最常见的全等变换，是后续学习全等三角形判定的基础。 题型1 图形的全等 【解题思路】 这类题目主要考查全等形的概念和识别，包括判断两个图形是否全等、找出全等图形、利用全等形的特征解决问题等。 【考法1：判断两个图形是否全等】 第一步：回忆全等形的定义——能够完全重合的两个图形叫做全等形。 第二步：判断两个图形是否同时满足"形状相同"和"大小相等"两个条件。 第三步：两个条件都满足则全等，有一个不满足则不全等。 判断技巧： （1）形状相同但大小不同→不全等（如大小不同的两个正方形）； （2）大小相等但形状不同→不全等（如面积相等的正方形和圆）； （3）形状和大小都相同→全等（与位置、方向无关）。 【考法2：从一组图形中找出全等图形】 第一步：观察每组图形的形状特征（边数、曲直、角度等）。 第二步：在形状相同的图形中，比较大小是否相等。 第三步：形状和大小都相同的即为全等图形。 注意：图形经过旋转或翻转后，虽然方向变了，但形状和大小不变，仍然是全等形。 【考法3：利用全等形的特征解决实际问题】 第一步：确定题目中的全等图形。 第二步：利用全等形"对应部分相等"的特征，将未知量转化为已知量。 第三步：进行计算或推理。 常见应用：拼图问题、网格中的全等图形、图案设计中的全等变换等。 【考法4：判断变换前后的图形是否全等】 第一步：判断图形经过了什么变换（平移、翻折、旋转）。 第二步：回忆——平移、翻折、旋转都只改变图形的位置，不改变形状和大小。 第三步：因此变换前后的两个图形一定全等。 注意：放大或缩小（位似变换）会改变大小，变换前后的图形不全等（只是相似）。 【易错提醒】 （1）全等形必须"完全重合"，不是"看起来差不多"，必须形状和大小都完全相同。 （2）全等形与位置和方向无关，旋转、翻转后的图形仍然与原图形全等。 （3）"面积相等"或"周长相等"只是全等的必要条件，不是充分条件，不能仅凭面积或周长相等就判断全等。 （4）注意区分"全等形"和"相似形"——全等形是特殊的相似形（相似比为1），相似形不一定全等。 【典例1】．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 【变式1】．下面4组图形中，是全等图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的概念，熟记全等图形的形状和大小都相同是解题的关键． 根据全等图形的概念，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形的形状、大小都相同，是全等图形，符合题意； C、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：B． 【变式2】．（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 4．如图（1）~（12）中全等的图形是_____和______；_____和______；_____和______；_____和______；_____和______；_____和______；(填图形的序号) 【答案】 （1） （11） （2） （10） （3） （6） （4） （7） （5） （8） （9） （12） 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图（1）~（12）中全等的图形是（1）和（11），（2）和（10），（3）和（6），（4）和（7），（5）和（8），（9）和（12）， 故答案为：（1），（11），（2），（10），（3），（6），（4），（7），（5），（8），（9），（12）， 题型2 全等三角形的概念 【解题思路】 这类题目主要考查全等三角形的定义、记法以及对应顶点、对应边、对应角的确定。 【考法1：全等三角形的识别与表示】 第一步：判断两个三角形是否能够完全重合（即是否全等）。 第二步：若全等，确定对应顶点——重合的顶点即为对应顶点。 第三步：用"≌"符号表示，注意对应顶点的字母必须写在对应位置上。 例如：若A与D重合、B与E重合、C与F重合，则记作△ABC≌△DEF，不能写成△ABC≌△DFE。 【考法2：根据全等记法确定对应关系】 第一步：看清全等的记法，如△ABC≌△DEF。 第二步：按位置确定对应顶点——第1个字母对应第1个字母，第2个对应第2个，第3个对应第3个。 即 A↔D，B↔E，C↔F。 第三步：确定对应边——对应顶点所夹的边是对应边。 AB（A、B夹）↔ DE（D、E夹），BC↔EF，AC↔DF。 第四步：确定对应角——对应顶点处的角是对应角。 ∠A（顶点A）↔ ∠D（顶点D），∠B↔∠E，∠C↔∠F。 记忆口诀："位置对位置，顶点对顶点，夹边对夹边，顶角对顶角"。 【考法3：根据图形确定对应顶点、对应边、对应角】 第一步：观察图形，确定两个全等三角形是经过哪种变换得到的（平移、翻折、旋转）。 第二步：利用变换特征找对应： （1）平移：方向相同、位置对应的点是对应点； （2）翻折：关于对称轴对称的点是对应点； （3）旋转：绕旋转中心旋转相同角度的点是对应点。 第三步：也可以用"公共边、公共角、对顶角"来快速确定对应关系。 第四步：确定对应顶点后，对应边和对应角就容易确定了。 【考法4：全等三角形的对数问题】 第一步：仔细观察图形，找出所有能够完全重合的三角形对。 第二步：按一定顺序枚举，避免重复和遗漏（如从小到大、从左到右）。 第三步：注意不要遗漏由多个小三角形组成的大三角形之间的全等关系。 第四步：统计全等三角形的总对数。 【易错提醒】 （1）记全等时对应顶点必须写在对应位置，这是最常见的考点和易错点。写错位就会导致对应边、对应角全部错误。 （2）"≌"符号不能写成"="或"∽"，"="表示数量相等，"∽"表示相似，"≌"表示全等。 （3）对应边和对应角是针对两个三角形而言的，"对边"和"对角"是针对同一个三角形而言的，不要混淆。 （4）找对应关系时，不要仅凭直观感觉，要结合变换方式和公共部分来确定。 （5）一个三角形的顶点字母顺序可以换，但全等记法中两个三角形的对应关系必须保持一致。如△ABC≌△DEF也可以写成△BAC≌△EDF，但不能写成△ABC≌△EDF。 【典例2】．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 【变式1】．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】D 【详解】本题考查全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形要求形状和大小完全相同是解题的关键． 根据全等三角形的定义和性质逐项判断即可． 【分析】解：A．形状相同的三角形大小可能不相等，不不一定全等，该选项错误，不符合题意； B．面积相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； C．周长相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； D．全等三角形的对应边相等，故该选项正确，符合题意． 故选D． 【变式2】．如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 【变式3】．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的对应边是，的对应角是． 故答案为：，． 题型3 全等三角形的性质 【解题思路】 这类题目主要考查全等三角形"对应边相等、对应角相等"性质的应用，包括求边长、求角度、证明线段相等、证明角相等等。 【考法1：利用全等性质求边长】 第一步：根据全等三角形的记法或图形，确定对应边。 第二步：利用"全等三角形对应边相等"，将未知边转化为已知边。 第三步：代入已知数值计算，求出未知边长。 第四步：若题目中涉及周长，可利用"全等三角形周长相等"简化计算。 典型示例：已知△ABC≌△DEF，AB=5，BC=7，AC=4，求DE、EF、DF的长。 解：∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB=5，EF=BC=7，DF=AC=4。 【考法2：利用全等性质求角度】 第一步：确定对应角。 第二步：利用"全等三角形对应角相等"，将未知角转化为已知角。 第三步：若不能直接求出，可结合三角形内角和（180°）、外角性质等进行计算。 第四步：注意全等三角形中，对应角相等意味着三个角分别对应相等，因此第三个角也相等。 典型示例：已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，求∠F的度数。 解：∵△ABC≌△DEF，∴∠C=∠F。在△ABC中，∠C=180°-50°-70°=60°，∴∠F=60°。 【考法3：利用全等性质证明线段相等】 第一步：分析要证明相等的两条线段分别在哪两个三角形中。 第二步：证明这两个三角形全等（目前阶段题目通常直接给出全等，或通过变换说明全等）。 第三步：利用"全等三角形对应边相等"得出结论。 第四步：书写规范的证明过程，注意每一步都要有依据。 【考法4：利用全等性质证明角相等】 第一步：分析要证明相等的两个角分别是哪两个三角形的角。 第二步：证明这两个三角形全等。 第三步：利用"全等三角形对应角相等"得出结论。 第四步：若需要证明平行或垂直，可进一步利用角的关系（如内错角相等两直线平行）推导。 【考法5：全等性质的综合应用】 第一步：仔细读题，明确已知条件和要求的结论。 第二步：从已知的全等三角形出发，写出所有对应边相等和对应角相等的关系。 第三步：结合图形中的公共边、公共角、对顶角、邻补角等关系，进行推理。 第四步：逐步推导，求出未知量或证明结论。 第五步：检验结果是否合理，书写完整的解答过程。 【易错提醒】 （1）利用全等性质时，必须先确定对应关系，不能随意说"因为全等所以边相等"——只有对应边才相等，非对应边不一定相等。 （2）求角度时，不要忘记三角形内角和为180°这个隐含条件，全等三角形中三个角分别对应相等。 （3）证明题中，"全等"和"对应边/角相等"之间的因果关系要写清楚，不能跳步。 （4）注意区分"对应边相等"和"对边相等"——对应边是两个三角形之间的关系，对边是同一个三角形中角对边的关系。 （5）全等三角形的周长相等、面积相等，但反过来周长相等或面积相等的三角形不一定全等，不能逆向使用。 （6）在复杂图形中，要善于从多个全等关系中选择有用的对应边和对应角，不要被无关信息干扰。 【典例3】．图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 【变式1】．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质可得，，进而根据三角形的内角和定理求出，最后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， 平分， ． 【变式3】．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质得到、，再利用进行求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】先得出，进而可得，再求出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】C 【分析】根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 4．如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据可得出，，再根据线段的和差关系求出的长，即可得出的长，即可求解． 【详解】解：， ，， 点，，在同一条直线上， ， ， ， ， 故选：B． 5．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 6．如图，已知，点与点，点与点分别是对应顶点，若，，，则的度数及的长分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由三角形内角和定理得出，由全等三角形的性质得出，． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，． 7．在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全等三角形的性质得出对应边相等，结合点A坐标求出线段、的长，进而求出、的长及点C的坐标． 【详解】解：由图可知轴，轴， ∵点的坐标是， ，， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴，点在轴负半轴， ∴， ∴点的坐标是， ∵轴，，点在第二象限， ∴点的坐标是． 8．如图，，若，，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的和差求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 9．如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（   ） A．3或 B．2或3 C．2或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2或． 10．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 【答案】A 【分析】设点运动秒时，与全等，则，，分两种情况：①当，时，②当，时，分别求出和，即可求解． 【详解】解：设点运动秒时，则， ， ， ，， ， ． 与全等， 分两种情况讨论： ①当，时，， ， ， 点的运动速度为（厘米秒）； ②当，时，， ，， ， ， 点的运动速度为厘米秒； 综上所述：点的运动速度为或厘米秒时，与全等． 11．如图，，，，则______________． 【答案】20 【分析】先由三角形内角和为求解，再由，可得，由此求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴ ． 12．已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质可得和的周长相等，再根据三角形的周长公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，且的周长为16， ∴的周长为16， ∵的三边长为3，，6， ∴， 解得：， 当时，三角形三边长为3，7，6， ∵，满足任意两边之和大于第三边， ∴符合题意． 13．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为_______． 【答案】 【分析】根据平移的性质得出，，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，平移距离为，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 14．如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ． 15．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等． 【答案】2或4 【分析】根据题意和这两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴运动时间为； 当时，则， ∴运动时间为； 综上所述，当运动或时，与全等． 16．如图，，点在边上，与交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】利用全等三角形等角减去公共角得到两角相等，结合已知总角与中间角求出两角之和，平分后算出目标角度． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 由图可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 17．如图，，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）首先由全等三角形的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解； （2）首先求出，然后由全等三角形的性质得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，只用无刻度的直尺并保留作图痕迹． (1)在图中，作出与全等的格点三角形； (2)在图中，找出的重心点． 【答案】(1)解：如图，三角形即为所求（答案不唯一）， (2)解：如图，点即为所求， 【分析】（1）在网格图中，作出，通过即可得三角形与全等； （2）根据三角形的重心为三条中线的交点，先取的中点与点连接，再取的中点与点连接，两条线段的交点即可为重心． 【详解】（1）略 （2）略 19．如图所示，已知，其中． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)证明：， ， ． (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，进而可得，结合已知，求得，进而可得的长． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ， ， ， ． ． 20．如下图，在中，已知，，，直线，动点D从点C出发沿射线CB以3cm/s的速度运动，同时动点E从点C出发在直线CM上以2cm/s的速度运动，连接AD，AE，设运动时间为ts．当时，求t的值． 【答案】2或10 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类讨论是重点也是难点，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 分两种情况讨论，如图，当点在射线上时，当点在的反向延长线上时，由全等三角形的性质得到，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：当时，． 分下列两种情况讨论： ①当点在射线上时． 由题意可知，， 所以， 所以； ②当点在的反向延长线上时，如图． 由题意可知，， 所以，所以． 综上所述，当时，的值为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $