精品解析：广东省广州市增城区应元学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

应元学校2024学年第一学期高二数学 一、单选题（本题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1 已知向量与共线，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 2. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知平行六面体的底面为矩形，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 4. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A 1 B. －1 C. D. 5. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 7. 在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 点关于点对称的点为 C. 点关于直线对称的点为 D. 点关于平面对称的点为 10. 关于空间向量，以下说法正确的是　　 A 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设，，是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底 D. 若，则，是钝角 11. 已知正方形的棱长为2，棱的中点分别为，点在底面上，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若存，使得，则 B. 若，则平面 C. 三棱锥体积的最大值为3 D. 二面角的余弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 向量在y轴上的投影向量为______. 13. 在空间直角坐标系中，已知点和点，若点在轴上且到两点的距离相等，则点的坐标为________． 14. 正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则______________． 四、解答题（本大题共2小题，共32分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在正方体中，，，，点分别是的中点． （1）试用表示； （2）若正方体的棱长为，求的面积； （3）保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 16. 如图，直三棱柱，底面中，，.，是的中点． （1）求证：； （2）为上动点（含端点），则是否存在使得面，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证为定值，并求该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 应元学校2024学年第一学期高二数学 一、单选题（本题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1. 已知向量与共线，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据两向量共线的坐标关系，列出方程求解即可. 【详解】因为向量与共线， 显然：,所以， 所以， 故． 故选：C. 2. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 3. 已知平行六面体的底面为矩形，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积计算即得. 【详解】由，得，， 而，则，又， 所以. 故选：A 4. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 5. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值等于 . 故选：B 6. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 7. 在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由向量数量积的坐标运算，以及向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，又，， 所以，， 根据向量点积公式，， ，， 已知直线与直线所成角的余弦值为， 则， 两边平方可得， 所以， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以点的坐标为. 故选：D 8. 设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，不妨假设A在平面中，设，，，和分别是点，在平面上的投影，利用向量不等式可得：，即可求解 【详解】将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点和点的连线是一条体对角线． 设，，， 和分别是点，在平面上的投影． 可得，，， 则 ， 因为， 当且仅当点C为的中点时，等号成立， 可得， 所以，当，，且时等号成立． 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题形式简洁，但动点很多，且几乎没有约束条件，这时就需要学生对于动点所在的位置进行分类讨论，讨论的顺序、对于对称性的使用都对学生提出了很高的要求．从几何角度来看，点，不会位于A所在面的一侧，故如果采用坐标形式计算数量积，一定会有一项是非负的，且可以取到0．找到这一突破口后，即可将问题转化为平面向量的问题，也就很容易得到结果了． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 点关于点对称的点为 C. 点关于直线对称的点为 D. 点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间点对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及其已知可得，点的坐标为 点关于点对称的点为 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为 点关于平面对称的点为 故选：ACD 10. 关于空间向量，以下说法正确的是　　 A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设，，是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底 D. 若，则，是钝角 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据共线向量的概念，可判定A是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B是正确的；根据空间基底的概念，可判定C正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D不正确. 【详解】对于A中，根据共线、共面向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的； 对于B中，若对空间中任意一点O，有，根据空间向量的共面定理的推论，可得P，A，B，C四点一定共面，所以是正确的； 对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量也不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D中，若，又由，所以，所以不正确， 故选∶ ABC 11. 已知正方形的棱长为2，棱的中点分别为，点在底面上，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若存在，使得，则 B. 若，则平面 C. 三棱锥体积的最大值为3 D. 二面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由平面平面，根据向量法得出点G的轨迹，由向量共线可判定A，根据线面平行的判定定理可判定B，根据棱锥体积公式可得C，由向量法求面面角可得D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，依题意，，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，所以，令，则，即， 设平面的一个法向量，则， 所以，令，则 即，因平面平面，所以，即，所以， 选项A：若存在λ使得，则点G在线段上，所以，即， 所以G为的中点，即，故A正确； 选项B：若，则，即，所以G为的中点， 因为E为的中点，所以，故四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面，故B正确； 选项C：因为，设平面DBC1的一个法向量为， 则，所以，令，则， 即，设G到平面DBC1的距离为， 又为等边三角形且边长为，则， 所以，又， 所以当时，三棱锥体积的最大值为2，故C错误； 选项D：因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面平面，平面的一个法向量为， 所以平面的一个法向量为， 则， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用空间向量解决立体几何中的动点问题及求角和距离是常用方法. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 向量在y轴上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量定义可得答案. 【详解】设y轴的方向向量为， 向量在y轴上的投影向量 为. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，已知点和点，若点在轴上且到两点的距离相等，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，根据及两点的距离公式即可求解. 【详解】设，由， 则， 解得，即． 故答案为：. 14. 正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦值求出的长 【详解】 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为棱柱为正四棱柱，设， 则， 其中平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 则， 得：，即 故答案为： 四、解答题（本大题共2小题，共32分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在正方体中，，，，点分别是的中点． （1）试用表示； （2）若正方体的棱长为，求的面积； （3）保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算即可； （2）以为原点建系，计算的坐标，再计算，即可通过即可计算面积； （3）设平面的法向量为，根据即可求出. 【小问1详解】 因点分别是的中点， 则，， 则. 【小问2详解】 以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 则，，， 得，则， 则， 故的面积为. 小问3详解】 设平面的法向量为 则，令，则， 平面的一个法向量为. 16. 如图，直三棱柱，底面中，，.，是的中点． （1）求证：； （2）为上动点（含端点），则是否存在使得面，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证为定值，并求该定值． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示可证得结论成立； （2）设，其中，求出点的坐标，根据面得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值，即可得出结论； （3）由为的重心结合已知条件得出，再利用空间向量共面的基本定理得出，结合空间向量的基本定理可证得结论成立. 【小问1详解】 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， ，，， 则、、、、， 是的中点，则，， ，，即. 【小问2详解】 设，其中，，则，，， 若面，则，解得，， 故存在点，当时，面. 【小问3详解】 因为为的重心，则， 即，可得， 因为为上一点，且，则， 因为、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以, 又因为，且、、不共面， 由空间向量的基本定理可得， 因此，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $