第11讲 4.2指数函数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦指数函数核心知识点，系统梳理其定义（形如y=a^x，a>0且a≠1）、图象特征（过定点(0,1)，以x轴为渐近线）、性质（定义域R，值域(0,+∞)，单调性由底数a决定）及应用（比较大小、解指数不等式与方程），通过知识回顾衔接旧知，新知导图搭建知识框架，形成完整学习支架。 资料以“预习-精讲-训练-检测”递进设计，题型分类训练含例题及变式，巩固检测分基础与能力提升，易错清单和方法总结助力梳理。通过比较大小、解不等式等实例，培养学生数学思维的推理能力，新知导图与方法总结强化数学语言表达，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

第 11 讲 4.2 指数函数 ▶ 预习目标 ● 1．理解指数函数的概念：形如 。 ● 2．掌握指数函数的图象特征：都过定点 ，定义域 ，值域 。 ● 3．掌握单调性： 时递增， 时递减。 ● 4．会比较指数式大小，会解简单的指数不等式与指数方程。 ▶ 知识回顾 在 、 中，自变量 在指数位置、底数 是常数且 。这类函数叫指数函数，是实数范围研究增长与衰减的基本模型。 ▶ 新知导图 定义 图象 过 ； 上升， 下降 性质 定义域 、值域 、非奇非偶 应用 比较大小、解指数不等式、实际增长/衰减模型 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 指数函数的定义 函数 （ 且 ）叫指数函数。判别要点：系数为 、底数 是常数且 、自变量 在指数位置。注意 是幂函数而非指数函数。 ◆ 知识点 02 指数函数的图象与性质 指数函数 图象都过定点 ，定义域为 ，值域为 。当 时函数递增；当 时函数递减。两类图象关于 轴不对称，但都从左向右分别上升或下降，且以 轴为渐近线。 ◆ 知识点 03 指数式的大小比较 （1）同底不同指数：用单调性；（2）不同底同指数：用幂函数的单调性（底数 ）；（3）底、指数都不同：找中间值（常用 或 ）搭桥，或化为同底。 ◆ 理解提示 指数函数的值域恒为正，故 对任意实数 成立；这是解指数不等式时经常用到的隐含条件。比较大小时先判断底数是否大于 。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 下列函数中是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 若函数 是指数函数，则 的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 【变式 1-2】 指数函数 必过的定点是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-3】 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 【例 2】 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 【变式 2-1】 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 【变式 2-2】 若指数函数 的图象从左到右上升，则（ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 函数 与 的图象关系为（ ） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．重合 【例 3】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【变式 3-1】 比较 与 的大小（ ） A．前者大 B．后者大 C．相等 D．无法比较 【变式 3-2】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【变式 3-3】 比较 与 的大小（ ） A．前者大 B．后者大 C．相等 D．无法比较 【例 4】 解不等式 ，结果为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-1】 解不等式 ，结果为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-2】 方程 的解为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-3】 若 ，则 的范围是（ ） A． B． C． D． ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 下列函数是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 2． 指数函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 3． 函数 的单调性为（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 4． 与 的大小关系是（ ） A．前者大 B．后者大 C．相等 D．无法比较 5． 函数 的图象过定点（ ） A． B． C． D． 6． 不等式 的解为（ ） A． B． C． D．任意实数 7． 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 8． 比较 ，则（ ） A． B． C． D．无法比较 9． 方程 的解为（ ） A． B． C． D． 10． 函数 过定点（ ） A． B． C． D． ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 比较 的大小（ ） A． B． C． D． 12． 若 ，且 ，则（ ） A． B． C． D．无法判断 13． 函数 在 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 14． 若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 15． 函数 的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 ▶ 易错清单 ● 1．指数函数前提是底数 且 ，系数必须为 ； 是幂函数不是指数函数。 ● 2．比较大小先判底数与 的大小；底 递增，底 递减。 ● 3．解指数不等式注意底数是否大于 ，决定不等号方向。 ● 4．指数函数值域恒为 ，图象不过 轴。 ▶ 方法总结墙 （1）识别：系数 、底常数 、自变量在指数。（2）性质：过 ，定义域 ，值域 ，单调看底。（3）比较：同底用指数单调，同指数用幂单调，都不同取中间值 。（4）不等式：化同底后脱指数，注意底与 的关系。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 11 讲 4.2 指数函数 ▶ 预习目标 ● 1．理解指数函数的概念：形如 。 ● 2．掌握指数函数的图象特征：都过定点 ，定义域 ，值域 。 ● 3．掌握单调性： 时递增， 时递减。 ● 4．会比较指数式大小，会解简单的指数不等式与指数方程。 ▶ 知识回顾 在 、 中，自变量 在指数位置、底数 是常数且 。这类函数叫指数函数，是实数范围研究增长与衰减的基本模型。 ▶ 新知导图 定义 图象 过 ； 上升， 下降 性质 定义域 、值域 、非奇非偶 应用 比较大小、解指数不等式、实际增长/衰减模型 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 指数函数的定义 函数 （ 且 ）叫指数函数。判别要点：系数为 、底数 是常数且 、自变量 在指数位置。注意 是幂函数而非指数函数。 ◆ 知识点 02 指数函数的图象与性质 指数函数 图象都过定点 ，定义域为 ，值域为 。当 时函数递增；当 时函数递减。两类图象关于 轴不对称，但都从左向右分别上升或下降，且以 轴为渐近线。 ◆ 知识点 03 指数式的大小比较 （1）同底不同指数：用单调性；（2）不同底同指数：用幂函数的单调性（底数 ）；（3）底、指数都不同：找中间值（常用 或 ）搭桥，或化为同底。 ◆ 理解提示 指数函数的值域恒为正，故 对任意实数 成立；这是解指数不等式时经常用到的隐含条件。比较大小时先判断底数是否大于 。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 下列函数中是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 指数函数形如 且系数为 、底为常数。B 为 符合；A 是幂函数；C 系数为 ；D 底数含 。 【变式 1-1】 若函数 是指数函数，则 的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 【答案】 B 【详解】 指数函数要求底数 且 ，即 且 ；选项 B 正好表述此范围。 【变式 1-2】 指数函数 必过的定点是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 任意 有 ，故图象恒过 。 【变式 1-3】 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 指数函数值域恒为 。 【例 2】 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 【答案】 A 【详解】 底 ，指数函数递增。 【变式 2-1】 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 【答案】 B 【详解】 底 ，指数函数递减。 【变式 2-2】 若指数函数 的图象从左到右上升，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 图象上升即函数递增，故底数 。 【变式 2-3】 函数 与 的图象关系为（ ） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．重合 【答案】 B 【详解】 ，与 互为“底互为倒数”，图象关于 轴对称。 【例 3】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【答案】 A 【详解】 底 递增，，故 。 【变式 3-1】 比较 与 的大小（ ） A．前者大 B．后者大 C．相等 D．无法比较 【答案】 A 【详解】 底 递减，，故 ，即前者大。 【变式 3-2】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【答案】 A 【详解】 同指数 ，幂函数 在 递增，，故 。 【变式 3-3】 比较 与 的大小（ ） A．前者大 B．后者大 C．相等 D．无法比较 【答案】 A 【详解】 底 递减，，故 ，前者大。 【例 4】 解不等式 ，结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，因底 递增，。 【变式 4-1】 解不等式 ，结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ；底 递减，不等式 。 【变式 4-2】 方程 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，故 。 【变式 4-3】 若 ，则 的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 递增，。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 下列函数是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 仅 符合 （，系数 ）；B 幂；C 多常数；D 底为负不合定义。 2． 指数函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 指数函数定义域为全体实数。 3． 函数 的单调性为（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 【答案】 A 【详解】 底 ，递增。 4． 与 的大小关系是（ ） A．前者大 B．后者大 C．相等 D．无法比较 【答案】 B 【详解】 底 递增，，故 大。 5． 函数 的图象过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，过 。 6． 不等式 的解为（ ） A． B． C． D．任意实数 【答案】 A 【详解】 ，底 递增，。 7． 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 指数函数值域恒为 。 8． 比较 ，则（ ） A． B． C． D．无法比较 【答案】 A 【详解】 ；底 递增，，故 。 9． 方程 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 10． 函数 过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 令 ，此时 ，过 。 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 比较 的大小（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 同底 ：指数 ，底 递减，故 ，即 ；同指数 ：幂递增， 得 ，即 。综合 ，即 ，选 C。 12． 若 ，且 ，则（ ） A． B． C． D．无法判断 【答案】 A 【详解】 递增，。 13． 函数 在 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 底 递减，最大值在左端点 ：。 14． 若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，故 。 15． 函数 的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 【答案】 A 【详解】 ，是奇函数。 ▶ 易错清单 ● 1．指数函数前提是底数 且 ，系数必须为 ； 是幂函数不是指数函数。 ● 2．比较大小先判底数与 的大小；底 递增，底 递减。 ● 3．解指数不等式注意底数是否大于 ，决定不等号方向。 ● 4．指数函数值域恒为 ，图象不过 轴。 ▶ 方法总结墙 （1）识别：系数 、底常数 、自变量在指数。（2）性质：过 ，定义域 ，值域 ，单调看底。（3）比较：同底用指数单调，同指数用幂单调，都不同取中间值 。（4）不等式：化同底后脱指数，注意底与 的关系。 学科网（北京）股份有限公司 $