第16讲 指数函数（3大知识点+10大题型）（讲义）-2026年新高一数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

第16讲 指数函数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、指数函数的概念： 3 知识点二、指数函数的图象及性质： 3 知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：指数函数定义 5 题型二：由指数函数定义求参数 6 题型三：表达式求解 7 题型四：定点问题 8 题型五：图象问题 9 题型六：定义域与值域综合 12 题型七：单调性及应用 16 题型八：数值比较 18 题型九：指数型不等式求解 20 题型十：函数性质综合应用 22 04 过关测试 28 知识点一、指数函数的概念： 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 知识点二、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大） 时， （2）特殊函数 ，，，的图像： 题型一：指数函数定义 例1．下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C 例2．下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】指数函数解析式为且， 对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误； 对于③，符合指数函数解析式特征，③正确. 故选：B. 例3．下列函数为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据指数函数的定义知， 可得函数不是指数函数；函数不是指数函数； 函数是指数函数；函数不是指数函数. 故选：C. 变式1．给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①，函数的自变量在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数； 对于②，函数的底数，故不是指数函数； 对于③，函数中的指数式的系数不为，故不是指数函数； 对于④，函数的底数满足，符合指数函数的定义，是指数函数. 故选：A. 变式2．（2026·高一·山东淄博·阶段检测）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,是幂函数， 对于B，系数不为1，不是指数函数， 对于C, 是底数为的指数函数， 对于D,底数不满足大于0且不为1，故不是指数函数， 故选：C 题型二：由指数函数定义求参数 例4．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【解析】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 例5．（2026·高一·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【解析】因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 例6．（2026·高一·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】B 【解析】由指数函数的概念，得且，解得． 故选：B 变式3．（2026·高一·广东湛江·阶段检测）如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 【答案】D 【解析】根据题意可得，，则. 故选：D 变式4．（2026·高三·山东·学业考试）函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得. 故选：C 题型三：表达式求解 例7．（2026·高一·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题意知， 当，时满足条件， 当，且时， 可得， 形如，或且均可. 故答案为：（答案不唯一） 例8．（2026·高一·四川遂宁·阶段检测）已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 【答案】 【解析】设指数函数为，且，将代入得， 解得，故函数解析式为. 故答案为： 例9．（2026·高一·天津东丽·阶段检测）已知指数函数的图象过点，则__________. 【答案】 【解析】因为是指数函数，可设， 将坐标代入得，所以. 故答案为：. 变式5．（2026·高一·云南红河·期末）函数且的图象经过点，则__________. 【答案】 【解析】因为函数且的图象经过点， 所以，解得，所以. 故答案为： 变式6．（2026·高一·新疆·阶段检测）若指数函数的图象过点，则的解析式为______. 【答案】 【解析】由题意设，且， ∵的图象过点，∴，解得， 则的解析式为. 故答案为：. 题型四：定点问题 例10．（2026·高一·福建厦门·期中）函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 【答案】 【解析】令，可得， 由且，则， 故函数 （且）的图象经过的定点的坐标是. 例11．（2026·高一·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 【答案】 【解析】令，解得， 将代入函数，得， 故函数恒过定点． 例12．（2026·高一·上海奉贤·期末）已知实数，，则函数的图象恒经过定点的坐标为______． 【答案】 【解析】易知函数的图象是由指数函数向下平移两个单位得到的， 又因为函数恒过定点， 所以函数的图象恒过定点. 变式7．（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 【答案】 【解析】因为且，， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 变式8．（2026·高一·河北衡水·开学考试）函数（，且）的图象恒过定点_______. 【答案】 【解析】因为时，，所以图象恒过定点. 题型五：图象问题 例13．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 例14．（2026·高一·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 例15．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：D 变式9．（2026·高一·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 变式10．（2026·高一·江苏盐城·期末）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：D 题型六：定义域与值域综合 例16．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数的定义域为，求函数的定义域． 【解析】（1）为奇函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 又 ， 即，所以为奇函数. （2）因为函数的定义域为， 即，则，即的定义域为， 对于函数，则，解得或或， 所以函数的定义域为. 例17．（2026·高一·河北·期末）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当 时，。 令 ，由 得 ， 则 ，， 为开口向上的二次函数，对称轴 ， ， ， 由，得， 所以 在上 的最大值为 . （2）不等式可化为， 令 ，则：，即， 因 ，两边同除以 ，得， 原不等式恒成立等价于 因为，由基本不等式，当且仅当 时取等， 所以，所以 可得 . 因此实数 的取值范围为 . 例18．（2026·高一·山西·阶段检测）已知函数． (1)当时，求在区间上的值域； (2)当时，解不等式． 【解析】（1）当时，， 令，因为，所以， 令，则函数在上单调递增， ∴当时，有最小值， 当时，有最大值， ∴函数在区间上的值域为. 故时，在区间上的值域为. （2）当时，． 由，得，即， 解得 或， 所以 或， 所以不等式的解集为或. 变式11．（2026·高一·北京·期中）函数，. (1)若过点，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求的最大值； (3)若图象恒在图象的上方，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意得，解得； （2），令，则，对称轴为， 因为，所以， 在上单调递增， 故当时，取得最大值，最大值为； （3）由题意得恒成立， 即在R上恒成立， 其中的取值范围是·，故， 所以的取值范围是. 变式12．（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【解析】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 变式13．（2026·高一·甘肃张掖·阶段检测）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域； (3)求函数在上的单调区间． 【解析】（1）因为函数（且）的图象过点， 则，解得，因此． （2），令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 其中，又因为， ，故， 故函数在上的值域为． （3）由（2）知，当时，函数单调递减，此时， 当时，函数单调递增，此时， 又因为函数单调递增， 所以在上的减区间为，增区间为． 题型七：单调性及应用 例19．（2026·高一·江苏南京·开学考试）“”是函数在R上单调递增的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由函数在R上单调递增， 可得，解得， 则“”是函数在R上单调递增的必要不充分条件. 例20．（2026·高一·重庆渝中·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 因在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递减，. ， 为使在上单调递减，则； 注意到均在上单调递减，则在上单调递减； . 综上可得：. 故选：D 例21．（2026·高一·广东·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，由于底数 ，所以指数函数 在上单调递减， 因此 的单调性与 的单调性相反， 要使 在 上单调递减，必须要求 在区间上单调递增. 二次函数 开口向上，对称轴为 ， 要使 在区间上单调递增，只需满足对称轴在区间的左侧， 即：. 故选： A 变式14．（2026·高一·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 变式15．（2026·高一·甘肃天水·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由题设及指数复合函数的单调性知，解得. 故选：C. 题型八：数值比较 例22．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 函数是减函数，所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 例23．（2026·高一·甘肃张掖·期末）下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为函数在上单调递减， 且，所以，故A错误； 对于B，因为函数在上单调递减， 且，所以，故B错误； 对于C，因为函数在上单调递增， 且，所以，故错误； 对于D，因为函数在上单调递增， 且，所以，故D正确． 故选：D． 例24．（2026·高一·河北廊坊·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为上的增函数，， ，， ，，，. 故选：C. 变式16．（2026·高一·北京海淀·阶段检测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将统一底数为，则： ， ， 因为指数函数在上为单调递增，又因为， 所以：，即. 故选： D. 变式17．（2026·高一·福建龙岩·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数单调性可知：在R上单调递减，故，而，所以. 故选：D 变式18．（2026·高一·重庆·期中）已知，，，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，（当且仅当时取等号）； ，，. 故选：B. 题型九：指数型不等式求解 例25．（2026·河南洛阳·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 当时函数单调递减，且， 当时函数单调递减，且， 所以函数在上是单调递减， 所以不等式等价于，解得． 即不等式的解集为； 故选：C 例26．（2026·高三·河南洛阳·阶段检测）若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为, 因为， 所以是奇函数， 所以不等式可化为， 因为在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以，解得， 故选：A. 例27．（2026·高一·河南·月考）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，， 故函数为偶函数；当时，， 易知，在上单调避减， 故在上单调递减， 故 . 故选：C. 变式19．（2026·高一·河南南阳·期中）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，为增函数， 又是定义在上的奇函数，当时，， 故在上为增函数. 故则， 故，即，解得. 故选；A 变式20．（2026·高三·河北·学业考试）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以在上是奇函数. 因为在上是增函数，又在上是减函数， 所以在上是增函数. 所以， 所以， 所以不等式的解集是. 故选：A 变式21．（2026·高二·广西南宁·期中）已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 由于是上的奇函数，故在上单调递增， 又，故， 则即，等价于，所以，解得. 故选：A 题型十：函数性质综合应用 例28．（2026·高一·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）当时，， 此时函数， 由函数的对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由在上单调递减，根据复合函数单调性得： 在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是. 例29．已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）为定义域为的奇函数， ，即， ，整理得，，解得， 故， 函数的定义域为，则，解得， 所以，； （2）函数在上单调递增，证明： 由（1）可知，， 任取，且， 则， ，又， 在上单调递增； （3）当时，，由可得， 即当时，，令， 则， 又，当且仅当时等号成立，所以， 则， 实数m的取值范围． 例30．（2026·高一·江西·阶段检测）已知函数 . (1)求关于 的不等式 的解集； (2)求 的值； (3)若对任意 ，且 ，不等式 恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，得， 即， 即， 所以不等式的解集为. （2），. （3）对任意的，且，不等式恒成立， 显然函数在上单调递增，，即， ， 由（2）可知， 即， 即，解得， 故实数的取值范围为. 变式22．（2026·高一·吉林长春·期中）已知定义在R上的函数满足：对任意都有，且当时，. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)证明：函数的单调性； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1） 令 ，得， 所以． 证明：令 ，得 ， 所以， 所以为奇函数； （2）设，所以. 由， 因为当时，，所以， ∴是增函数； （3）由题意知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， 又是定义在上的增函数， 所以对任意恒成立， 所以， 所以， 令，，则， 当时，， 所以． 变式23．（2026·高一·江苏南通·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)设函数，若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）是定义在上的奇函数， ，且， 当时， ， 综上，的解析式为：. （2）， 令，， 在上单调递增， ∴当时，取到最小值， ∴不等式恒成立，转化为：， （i）当时，恒成立， （ii）当时，恒成立， （iii）当时，，则， 综上可知：不等式恒成立的的取值范围是. 1．已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C．4e D．0 【答案】A 【解析】由题意可得，  所以， 故． 2．（2026·高一·湖北武汉·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数解析式可知，分母，解得，即函数的定义域为 ， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称， 观察选项，C选项图象关于原点对称，故C错误； 当时，，则，所以，又 ，所以，即当时，函数图象位于轴上方， 观察选项，A选项在 上图象位于 轴下方，故A错误； 当时，，则，所以，又，所以，即当时，函数图象位于轴下方， 观察选项，D选项在 上图象位于 轴上方，故D错误； 综上所述，只有B选项符合题意，故B正确. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 在上单调递减， 所以 ， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得. 4．（2026·高一·福建厦门·期中）已知都是上的奇函数，，且当时，，则（   ） A．2 B．4 C．－2 D．－4 【答案】C 【解析】已知是定义在上的奇函数，满足， 即，解得，经检验符合题意， 已知是上的奇函数，因此满足，即， 当时，，所以， 因此，即. 5．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 6．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 7．（2026·高一·贵州毕节·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递减， 则在上单调递减，故，解得； 在上单调递减，则在上单调递增，故； ，解得：恒成立， 综上，的取值范围为． 8．（2026·高一·北京·期中）已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】换元转化令，由指数函数性质得，原函数可转化为二次函数： 恒成立等价于对任意恒成立， 分离参数求范围对（）移项得：对任意恒成立， 因此只需， 对有： 当且仅当即时取等号，因此， 即，故的取值范围是. 9．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，得，则，不符合题意； 当时，，则， 解得或，则或， 综上，不等式的解集为. 10．（多选题）（2026·高二·湖南长沙·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 【答案】AB 【解析】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误， 11．（多选题）（2026·高三·江西抚州·阶段检测）若是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】是任意正实数，， 对于A，由，得，故A正确； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，因为，所以， 当时，在上单调递减， 又因为，所以， 当，则， 当时，在上单调递增， 又因为，所以，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递减， 又因为，所以，故D正确. 12．（多选题）（2026·高一·安徽淮北·期末）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域 【答案】ABD 【解析】A.由，得，所以的定义域为，故正确； B. 因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得，经检验，符合题意，正确； C. 当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 所以的单调递减区间为和，错误； D.由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，正确. 13．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．则函数的单调递增区间为______ 【答案】 【解析】由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，. 则，由，得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. 14．（2026·高一·上海徐汇·阶段检测）若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 【答案】4 【解析】由偶函数定义可知，对任意，均有成立， 因为正实数，整理得： 该式对任意恒成立，故 ，解得. 15．（2026·高一·贵州毕节·期中）已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】因为（且）在上单调递减， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 16．（2026·高二·北京·期末）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 【解析】（1）证明：因为函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①. 则，即②，故得证. 联立①②可得，. （2）函数为上的增函数，证明如下： 任取，由 ， 因，则，且，故得， 即函数为上的增函数. 由得， 所以，即，解得或， 故所求不等式的解集为. （3）因为，易得函数在上单调递增， 当时，，故； 又因为 ， 令，即有， 而函数， 故当时，，即. 因为对于，，使得. 故需使解得. 因此，实数的取值范围是. 17．（2026·高一·江西抚州·阶段检测）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数的定义域为，且为偶函数． 则，即，解得，此时，， 则，即函数为偶函数，故. （2）因为， 当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最大值为， 因为恒成立，则，即， 解得或，即实数的取值范围是. 18．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知为偶函数，为奇函数，且． (1)的值； (2)令． ①用函数单调性的定义判断的单调性． ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为①，所以， 又因为为偶函数，为奇函数，所以②， 由①②得：，， 所以. （2）①， 对任意的，，则函数的定义域为， 、，且， 有， 因为在上单调递增，且，所以，即， 又因为，所以，所以是上的增函数； ②因为，， 又，故为上的奇函数，所以， 故对任意的恒成立， 又因为为上增函数，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 故， 所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 函数在上单调递增，故，所以，即. 因此，实数的取值范围是. 19．（2026·高二·辽宁·学业考试）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数且，所以，即，解得； （2）令，因为，所以，则转化为， 此抛物线开口向上，且对称轴， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调的递减，在上单调递增， 则. 综上，； （3）由，得， 令，则， ，令， 则由得，当且仅当时等号成立， 所以， 由题意知恒成立，令，则， 显然在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 指数函数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、指数函数的概念： 3 知识点二、指数函数的图象及性质： 3 知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：指数函数定义 5 题型二：由指数函数定义求参数 5 题型三：表达式求解 6 题型四：定点问题 6 题型五：图象问题 6 题型六：定义域与值域综合 8 题型七：单调性及应用 10 题型八：数值比较 10 题型九：指数型不等式求解 11 题型十：函数性质综合应用 12 04 过关测试 14 知识点一、指数函数的概念： 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 知识点二、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大） 时， （2）特殊函数 ，，，的图像： 题型一：指数函数定义 例1．下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 例2．下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 例3．下列函数为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1．给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（2026·高一·山东淄博·阶段检测）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：由指数函数定义求参数 例4．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 例5．（2026·高一·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 例6．（2026·高一·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 变式3．（2026·高一·广东湛江·阶段检测）如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 变式4．（2026·高三·山东·学业考试）函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 题型三：表达式求解 例7．（2026·高一·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________. 例8．（2026·高一·四川遂宁·阶段检测）已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 例9．（2026·高一·天津东丽·阶段检测）已知指数函数的图象过点，则__________. 变式5．（2026·高一·云南红河·期末）函数且的图象经过点，则__________. 变式6．（2026·高一·新疆·阶段检测）若指数函数的图象过点，则的解析式为______. 题型四：定点问题 例10．（2026·高一·福建厦门·期中）函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 例11．（2026·高一·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 例12．（2026·高一·上海奉贤·期末）已知实数，，则函数的图象恒经过定点的坐标为______． 变式7．（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 变式8．（2026·高一·河北衡水·开学考试）函数（，且）的图象恒过定点_______. 题型五：图象问题 例13．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 例14．（2026·高一·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 例15．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 变式9．（2026·高一·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 变式10．（2026·高一·江苏盐城·期末）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 题型六：定义域与值域综合 例16．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数的定义域为，求函数的定义域． 例17．（2026·高一·河北·期末）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 例18．（2026·高一·山西·阶段检测）已知函数． (1)当时，求在区间上的值域； (2)当时，解不等式． 变式11．（2026·高一·北京·期中）函数，. (1)若过点，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求的最大值； (3)若图象恒在图象的上方，求实数的取值范围. 变式12．（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 变式13．（2026·高一·甘肃张掖·阶段检测）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域； (3)求函数在上的单调区间． 题型七：单调性及应用 例19．（2026·高一·江苏南京·开学考试）“”是函数在R上单调递增的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例20．（2026·高一·重庆渝中·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例21．（2026·高一·广东·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式14．（2026·高一·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 变式15．（2026·高一·甘肃天水·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八：数值比较 例22．已知，则（    ） A． B． C． D． 例23．（2026·高一·甘肃张掖·期末）下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 例24．（2026·高一·河北廊坊·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 变式16．（2026·高一·北京海淀·阶段检测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式17．（2026·高一·福建龙岩·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 变式18．（2026·高一·重庆·期中）已知，，，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 题型九：指数型不等式求解 例25．（2026·河南洛阳·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例26．（2026·高三·河南洛阳·阶段检测）若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例27．（2026·高一·河南·月考）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 变式19．（2026·高一·河南南阳·期中）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式20．（2026·高三·河北·学业考试）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式21．（2026·高二·广西南宁·期中）已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型十：函数性质综合应用 例28．（2026·高一·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 例29．已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 例30．（2026·高一·江西·阶段检测）已知函数 . (1)求关于 的不等式 的解集； (2)求 的值； (3)若对任意 ，且 ，不等式 恒成立，求实数的取值范围. 变式22．（2026·高一·吉林长春·期中）已知定义在R上的函数满足：对任意都有，且当时，. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)证明：函数的单调性； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 变式23．（2026·高一·江苏南通·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)设函数，若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1．已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C．4e D．0 2．（2026·高一·湖北武汉·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·福建厦门·期中）已知都是上的奇函数，，且当时，，则（   ） A．2 B．4 C．－2 D．－4 5．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·贵州毕节·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·北京·期中）已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高二·湖南长沙·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 11．（多选题）（2026·高三·江西抚州·阶段检测）若是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2026·高一·安徽淮北·期末）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域 13．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．则函数的单调递增区间为______ 14．（2026·高一·上海徐汇·阶段检测）若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 15．（2026·高一·贵州毕节·期中）已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为__________． 16．（2026·高二·北京·期末）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 17．（2026·高一·江西抚州·阶段检测）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 18．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知为偶函数，为奇函数，且． (1)的值； (2)令． ①用函数单调性的定义判断的单调性． ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19．（2026·高二·辽宁·学业考试）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $