第4章 4.3.1 对数的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学对数的概念这一核心知识点，从指数方程求解困难的现实问题切入，系统梳理对数的定义、与指数式的互化方法、基本性质及简单对数值计算，构建“问题引入—概念建立—性质应用—技能训练”的学习支架。 资料以历史情境（对数发明背景）培养数学眼光，通过问题驱动（如2^x=3的求解）引导数学思维，结合例题与延伸探究（如对数式有意义的范围讨论）强化逻辑推理，课中辅助教师构建概念联系，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升数学语言表达与应用意识。

4.3.1　对数的概念 学习目标　1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.(重点)3.会求简单的对数值. 导语 大家阅读课本128页的“阅读与思考”，可以发现，对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源出于指数”，而对数的发明却先于指数，对数是用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！ 一、对数的概念 问题1　我们知道若2x=4，则x=2；若3x=81，则x=4；若=128，则x=-7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x=3，1.11x=2，10x=5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？ 提示　用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解. 知识梳理　 对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 注意点： (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变化. (2)logaN的读法：以a为底N的对数. 例1　若对数式log(t-2)3有意义，则实数t的取值范围是(　　) A.[2，+∞) B.(2，3)∪(3，+∞) C.(-∞，2) D.(2，+∞) 答案　B 解析　要使对数式log(t-2)3有意义， 需 解得t>2，且t≠3. 所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，+∞). 延伸探究1　将例1的对数式改为“log(t-2)(t-3)”，求实数t的取值范围. 解　由题意可得 解得t>3.所以实数t的取值范围是(3，+∞). 反思感悟　关于对数式的范围 利用式子logab⇒求字母的范围. 二、对数与指数的互相转化 问题2　现在你能解指数方程2x=3，1.11x=2，10x=5了吗？ 提示　x=log23；x=log1.112；x=log105. 知识梳理　两类特殊对数 (1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.  (2)以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.  例2　(课本例1)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)54=625； (2)2-6=； (3)16=-4； (5)lg 0.01=-2； (6)ln 10=n. 解　(1)log5625=4； (2)log2=-6； (3)lo=16； (5)10-2=0.01； (6)en=10. 例2　将下列指数式与对数式互化： (1)log216=4；　(2)lo=2； (3)ln 10=n；　(4)43=64； (5)3-2=；　(6)10-3=0.001. 解　(1)24=16. (2. (3)en=10. (4)log464=3. (5)log3=-2. (6)lg 0.001=-3. 反思感悟　指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 跟踪训练1　下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A.100=1与lg 1=0 B.2与log27=- C.log39==3 D.log55=1与51=5 答案　C 解析　因为=3化为对数式应为log93=故C不正确. 三、利用对数的定义计算 例3　(课本例2)求下列各式中x的值： (1)log64x=-； (2)logx8=6； (3)lg 100=x； (4)-ln e2=x. 解　(1)因为log64x=-，所以 x=6 (2)因为logx8=6，所以x6=8.又x>0，所以 x= (3)因为lg 100=x，所以10x=100，10x=102， 于是x=2. (4)因为-ln e2=x，所以ln e2=-x，e2=e-x， 于是x=-2. 例3　求下列各式中x的值： (1)-lg x=2； (2)logx=-3； (3)x=lo27； (4)ln=x. 解　(1)由-lg x=2得lg x=-2， ∴x=10-2=. (2)由logx=-3得x-3==4-3，∴x=4. (3)由x=lo27得=27，即3-x=33， ∴-x=3，即x=-3. (4)由ln=x得ex=即ex=e-2，∴x=-2. 反思感悟　求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤 (1)设logaN=m. (2)将logaN=m写成指数式am=N. (3)将N写成以a为底的指数幂N=ab，则m=b，即logaN=b. 跟踪训练2　求下列各式中x的值. (1)log3x=-3；(2)logx49=4； (3)lg 0.000 01=x；(4)ln =-x. 解　(1)由题意得x=3-3=. (2)由x4=49，x>0且x≠1，得x=. (3)由10x=0.000 01=10-5，得x=-5. (4)由e-x=得x=-. 四、对数的相关性质 对数的性质 (1)loga1=0(a>0，且a≠1). (2)logaa=1(a>0，且a≠1). (3)负数和0没有对数. (4)对数恒等式：=N；logaax=x(a>0，且a≠1，N>0). 例4　(1)求下列各式的值. ①log981=　　　　.  ②log0.41=　　　　.  ③ln e2=　　　　.  答案　①2　②0　③2 解析　方法一　①设log981=x， 所以9x=81=92， 故x=2，即log981=2. ②设log0.41=x，所以0.4x=1=0.40， 故x=0，即log0.41=0. ③设ln e2=x，所以ex=e2，故x=2，即ln e2=2. 方法二　①log981=log992=2. ②log0.41=0. ③ln e2=2. (2)求下列各式中x的值. ①log2(log2x)=0；②log3(lg x)=1. 解　①∵log2(log2x)=0， ∴log2x=20=1，∴x=21=2. ②∵log3(lg x)=1，∴lg x=31=3， ∴x=103=1 000. 延伸探究2　若把例4(2)中①改为“log8[log7(log2x)]=0”，求x的值. 解　由题可知log7(log2x)=1， ∴log2x=7，∴x=27=128. 反思感悟　利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算. (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解. 1.知识清单： (1)对数的概念. (2)对数式与指数式的互化. (3)对数的性质. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围. 1.(多选)下列选项中，可以作为真数求对数的是(　　) A.1 B.0 C.π D.-x2 答案　AC 2.2-3=化为对数式为(　　) A.lo2=-3 B.lo-3)=2 C.log2=-3 D.log2(-3)= 答案　C 解析　根据对数的定义知选C. 3.已知lob=c，则有(　　) A.a2b=c B.a2c=b C.bc=2a D.c2a=b 答案　B 解析　由题意得(a2)c=b，即a2c=b. 4.计算：3log22+2log31-3log77+3ln 1=　　　　.  答案　0 解析　原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.设log45=2m，则4m等于(　　) A.± B. C. D.25 答案　B 解析　由log45=2m，可得42m=5， 所以4m=. 2.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为(　　) A.a>且a≠1 B.0<a< C.a>0，且a≠1 D.a< 答案　B 解析　由题意知解得0<a<. 3.已知lo81=x，则x等于(　　) A.-8 B.8 C.4 D.-4 答案　B 解析　由题意得x=81，即=34，则x=8. 4.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A.54=625与log4625=5 B.10-2=0.01与lg 0.01=-2 C.=16与log-416= D.=m与ln m= 答案　BD 解析　54=625可化为log5625=4，故A不正确； 10-2=0.01可化为lg 0.01=-2，故B正确； =16可化为lo16=-4，故C不正确； =m可化为ln m=故D正确. 5.化简-2-lg 0.01+ln e3等于(　　) A.14 B.0 C.1 D.6 答案　B 解析　原式=4-(33-lg 10-2+3=4-32-(-2)+3=0. 6.(多选)下列等式正确的有(　　) A.lg(lg 10)=0 B.lg(ln e)=0 C.若lg x=10，则x=10 D.若ln x=e，则x=e2 答案　AB 解析　A项，lg(lg 10)=lg 1=0，故A正确； B项，lg(ln e)=lg 1=0，故B正确； C项，若lg x=10，则x=1010，故C错误； D项，若ln x=e，则x=ee，故D错误. 7.已知a>0且a≠1，则下列说法正确的是(　　) A.若M=N，则logaM=logaN B.若logaM=logaN，则M=N C.若logaM2=logaN2，则M=N D.若M=N，则logaM2=logaN2 答案　B 解析　A中，当M，N小于或等于0时，logaM=logaN不成立；B正确；C中，M与N也可能互为相反数；D中，当M=N=0时无意义. 8.(5分)若a=log23，则2a+2-a=　　　　.  答案　 解析　∵a=log23，∴2a==3， ∴2a+2-a=2a+=3+. 9.(5分)方程的解是　　　　.  答案　 解析　∵=3-3，∴log2x=-3， 故x=2-3=. 10.(10分)将下列指数式、对数式互化： (1)35=243；(2分)(2)2-5=；(2分) (3)lo81=-4；(3分)(4)log2128=7.(3分) 解　(1)log3243=5. (2)log2=-5. (3=81. (4)27=128. 11.(多选)下列命题正确的是(　　) A.若lox=3，则x=2 B.若logx=-则x=64 C.若则x=4 D.若lob2=1，则a=b 答案　AB 解析　由lox=3，得x=3=2则A正确；由logx=-得=2-4，又=x，所以x=(2-4=26=64，则B正确； 由3-2=得log3=-2，所以x-2=即x=2或x=-2，则C不正确； D中，a，b可能互为相反数. 12.已知正实数a，b满足ba=4，且a+log2b=3，则a+2b的值可以为(　　) A.6或9 B.7或8 C.6 D.8 答案　A 解析　因为a+log2b=3，所以log2b=3-a， 所以b=23-a， 所以ba=(23-a)a==4=22， 所以-a2+3a=2，即a2-3a+2=0，解得a=1或a=2， 当a=1时，b=4，则a+2b=9；当a=2时，b=2，则a+2b=6. 13.(5分)若a=lg 2，b=lg 3，则10的值为　　　　.  答案　 解析　∵a=lg 2，∴10a=2.∵b=lg 3， ∴10b=3.∴10. 14.(10分)若lox=m，loy=m+2，求的值. 解　∵lox=m， ∴=x，x2=. ∵loy=m+2，∴=y，y=. ∴=16. 15.若a>0则loa等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　B 解析　因为a>0， 所以a= 设loa=x，所以=a，所以x=3. 16.(12分)若log2[lolog2x)]=log3[lolog3y)]=log5[lolog5z)]=0，试确定x，y，z的大小关系. 解　由log2[lolog2x)]=0， 得lolog2x)=1，log2x=即x=. 同理y=z=. ∵y=x= ∴y>x. 又x==3z==2 ∴x>z，∴y>x>z. 学科网（北京）股份有限公司 $