第13讲 对数函数(讲义) -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦对数函数核心知识点，前承指数函数（互为反函数，图象关于y=x对称），系统梳理定义（定义域(0,+∞)）、图象（过定点(1,0)，渐近线y轴）、性质（a>1递增，0<a<1递减）及应用（比较大小、解对数不等式），构建完整学习支架。 资料以“预习-回顾-精讲-训练-检测-总结”闭环设计为亮点，含4个例题及12个变式题，巩固检测分基础与能力提升，易错清单与方法总结墙助力精准掌握。通过判断函数类型、求定义域培养抽象能力（数学眼光），比较大小和解不等式训练推理能力（数学思维），课中辅助分层教学，课后帮助查漏补缺。

第 13 讲 4.4 对数函数 ▶ 预习目标 ● 1．理解对数函数 的概念，认识它与指数函数互为反函数。 ● 2．掌握对数函数的图象特征：都过定点 ，定义域 ，值域 。 ● 3．掌握单调性： 时递增， 时递减。 ● 4．会比较对数式大小，会解简单的对数不等式。 ▶ 知识回顾 指数函数 的反函数是把 互换得 ，即 。对数函数的图象与指数函数关于直线 对称，从而把指数增长的“反过程”（对数增长）直观呈现。 ▶ 新知导图 定义 反函数 与 关于 对称 性质 过 ；定义域 、值域 应用 比较大小、解对数不等式、实际对数模型 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 对数函数的定义 函数 （）叫对数函数，定义域 。它与指数函数 互为反函数，图象关于直线 对称。注意真数 是对数函数存在的前提。 ◆ 知识点 02 对数函数的图象与性质 对数函数 图象都过定点 ，定义域 ，值域 。当 时递增；当 时递减。两类图象分别上升或下降，且以 轴为渐近线。 ◆ 知识点 03 比较大小与解对数不等式 比较同底对数大小用单调性；不同底时可借助中间值（ 或 ）比较。解对数不等式须先保证真数大于 ，再根据底数与 的关系决定不等号方向。 ◆ 理解提示 对数函数的定义域是 ，故函数值可正可负（不同于指数函数恒正）；图象在 处过 ，真数大于 时对数与底数同侧为正。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 下列函数是对数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 对数函数形如 （，系数为 ，自变量在真数位置）。A 符合；B 系数非 ；C 底数为变量；D 真数含 。 【变式 1-1】 对数函数 必过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 任意底 ，故图象过 。 【变式 1-2】 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 对数函数要求真数 ，定义域 。 【变式 1-3】 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 对数函数值域为全体实数 。 【例 2】 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 【答案】 A 【详解】 底 ，对数函数递增。 【变式 2-1】 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 【答案】 B 【详解】 底 ，对数函数递减。 【变式 2-2】 若 图象上升，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 图象上升即递增，故底数 。 【变式 2-3】 函数 与 的图象关系是（ ） A．关于 轴对称 B．关于 对称 C．关于原点对称 D．重合 【答案】 B 【详解】 对数函数与指数函数互为反函数，图象关于直线 对称。 【例 3】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【答案】 B 【详解】 底 递增，真数 ，故 。 【变式 3-1】 比较 与 的大小（ ） A．前者大 B．后者大 C．相等 D．无法比较 【答案】 A 【详解】 底 递减，真数 ，故 ，前者大。 【变式 3-2】 与 的大小关系是（ ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 【答案】 B 【详解】 。 【变式 3-3】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【答案】 B 【详解】 （因 ），而 （因 ），故 。 【例 4】 解不等式 ，结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ；底 递增且真数 ，得 。 【变式 4-1】 解不等式 ，结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ；底 递减且 ，得 。 【变式 4-2】 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 真数 ，定义域 。 【变式 4-3】 若 ，则 的范围（ ） A． B． C． D．任意正数 【答案】 A 【详解】 真数 ，对数反而更大，说明函数递增，故底数 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 函数 的图象过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，过 。 2． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 真数 ，定义域 。 3． 与 的单调性（ ） A．都递增 B．都递减 C．前者递增后者递减 D．前者递减后者递增 【答案】 C 【详解】 底 递增；底 递减。 4． 与 的大小关系是（ ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 【答案】 C 【详解】 。 5． 比较 与 （ ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 【答案】 B 【详解】 ，底 递增，。 6． 不等式 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ；底 递增且 ，得 。 7． 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 值域为 。 8． 比较 与 （ ） A．前者大 B．后者大 C．相等 D．无法比较 【答案】 A 【详解】 底 递减，真数 ，故 ，即后者小、前者大。 9． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 真数 。 10． 与 的关系是（ ） A．相等 B．大于 C．小于 D．无法比较 【答案】 A 【详解】 恒等式 ，得 。 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 比较 的大小（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 （因 ，底 ）；（ 同号相除为正），且 ；。故 ，即 。 12． 若 且 ，则（ ） A． 矛盾，题设不可能 B． 递增 C．底应满足 D．由递减知 时确有可能 【答案】 D 【详解】 时 递减，因 必有 ，题设成立。 13． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 真数 ，定义域 。 14． 不等式 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ；底 递增且 ，得 。 15． 函数 的最小值为（ ） A． B． C． D．不存在 【答案】 A 【详解】 令 ，则 ，故 （均值不等式，当 即 取等）。 ▶ 易错清单 ● 1．对数函数定义域 ，真数必须为正，求值域时注意可为任意实数。 ● 2．比较同底对数大小用单调性；不同底可借 或 作中间值。 ● 3．解对数不等式先保证真数 ，再按底与 的关系定号。 ● 4．对数与指数互为反函数，图象关于 对称，可互相转化。 ▶ 方法总结墙 （1）识别：系数为 、底常数 、自变量在真数。（2）性质：过 ，定义域 ，值域 ，单调看底。（3）比较：同底用单调，不同底用中间值 或 。（4）不等式：保真数正，化同底脱对数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 13 讲 4.4 对数函数 ▶ 预习目标 ● 1．理解对数函数 的概念，认识它与指数函数互为反函数。 ● 2．掌握对数函数的图象特征：都过定点 ，定义域 ，值域 。 ● 3．掌握单调性： 时递增， 时递减。 ● 4．会比较对数式大小，会解简单的对数不等式。 ▶ 知识回顾 指数函数 的反函数是把 互换得 ，即 。对数函数的图象与指数函数关于直线 对称，从而把指数增长的“反过程”（对数增长）直观呈现。 ▶ 新知导图 定义 反函数 与 关于 对称 性质 过 ；定义域 、值域 应用 比较大小、解对数不等式、实际对数模型 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 对数函数的定义 函数 （）叫对数函数，定义域 。它与指数函数 互为反函数，图象关于直线 对称。注意真数 是对数函数存在的前提。 ◆ 知识点 02 对数函数的图象与性质 对数函数 图象都过定点 ，定义域 ，值域 。当 时递增；当 时递减。两类图象分别上升或下降，且以 轴为渐近线。 ◆ 知识点 03 比较大小与解对数不等式 比较同底对数大小用单调性；不同底时可借助中间值（ 或 ）比较。解对数不等式须先保证真数大于 ，再根据底数与 的关系决定不等号方向。 ◆ 理解提示 对数函数的定义域是 ，故函数值可正可负（不同于指数函数恒正）；图象在 处过 ，真数大于 时对数与底数同侧为正。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 下列函数是对数函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 对数函数 必过定点（ ） A． B． C． D． 【变式 1-2】 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-3】 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 【例 2】 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 【变式 2-1】 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 【变式 2-2】 若 图象上升，则（ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 函数 与 的图象关系是（ ） A．关于 轴对称 B．关于 对称 C．关于原点对称 D．重合 【例 3】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【变式 3-1】 比较 与 的大小（ ） A．前者大 B．后者大 C．相等 D．无法比较 【变式 3-2】 与 的大小关系是（ ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 【变式 3-3】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【例 4】 解不等式 ，结果为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-1】 解不等式 ，结果为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-2】 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式 4-3】 若 ，则 的范围（ ） A． B． C． D．任意正数 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 函数 的图象过定点（ ） A． B． C． D． 2． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 3． 与 的单调性（ ） A．都递增 B．都递减 C．前者递增后者递减 D．前者递减后者递增 4． 与 的大小关系是（ ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 5． 比较 与 （ ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 6． 不等式 的解为（ ） A． B． C． D． 7． 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 8． 比较 与 （ ） A．前者大 B．后者大 C．相等 D．无法比较 9． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 10． 与 的关系是（ ） A．相等 B．大于 C．小于 D．无法比较 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 比较 的大小（ ） A． B． C． D． 12． 若 且 ，则（ ） A． 矛盾，题设不可能 B． 递增 C．底应满足 D．由递减知 时确有可能 13． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 14． 不等式 的解为（ ） A． B． C． D． 15． 函数 的最小值为（ ） A． B． C． D．不存在 ▶ 易错清单 ● 1．对数函数定义域 ，真数必须为正，求值域时注意可为任意实数。 ● 2．比较同底对数大小用单调性；不同底可借 或 作中间值。 ● 3．解对数不等式先保证真数 ，再按底与 的关系定号。 ● 4．对数与指数互为反函数，图象关于 对称，可互相转化。 ▶ 方法总结墙 （1）识别：系数为 、底常数 、自变量在真数。（2）性质：过 ，定义域 ，值域 ，单调看底。（3）比较：同底用单调，不同底用中间值 或 。（4）不等式：保真数正，化同底脱对数。 学科网（北京）股份有限公司 $