4.5 函数的应用（二）12题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦高中数学“函数的应用（二）”核心内容，系统梳理函数零点的概念、方程与零点的关系、零点存在定理，延伸至二分法的原理及步骤，最终落脚于一次、二次、指数、对数等函数模型的实际应用，构建从基础概念到定理方法再到实践应用的完整学习支架。 该资料以12题型分类为特色，每个题型配套方法总结与模拟例题，如通过疫苗保存时间、人口增长等实例渗透指数型、对数型模型应用，培养学生用数学眼光观察现实问题的抽象能力，用数学思维分析零点存在性的推理能力，用数学语言表达模型构建的应用意识。课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性查漏补缺，强化知识应用与解题能力。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 4.5函数的应用（二）12题型分类 1、函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标. 2、方程的解与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. 3、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． (1)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝来理解，易知f(－1)f(1)＝－1×1<0，但显然y＝在(－1,1)内没有零点． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解c. (3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． (4)函数零点存在定理是不可逆的，由f(a)f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)f(b)>0. (5)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解． 4、二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5、用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 注：（1）用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法． （2）用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量． （3）二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值． （4）由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，常取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间为[1.25,1.34]，若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34. （5）在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)f(b)<0. （6）由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解． 6、函数模型的应用 几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 7．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． 8．有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据求出的值回答其实际意义． 9．数据拟合 (1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． (2)数据拟合的步骤 ①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； ②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式； ③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； ④做必要的检验． （一） 求函数的零点 求函数零点的方法 函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常用以下两种方法： (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　　　 题型1：求函数的零点 1．（2026高三·全国·一轮复习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即，解方程得， 由函数零点的定义可知，函数的零点是，故C正确. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义即可求解. 【详解】令，得，则． 故选：A 3．（2026高一·辽宁铁岭·期末）已知函数，则函数的零点为__________. 【答案】和 【分析】分和两种情况讨论，通过解方程或结合函数单调性处理零点问题. 【详解】当时，令，解得； 当时，则在上单调递增，且， 故在内有且仅有一个零点2； 综上所述：函数的零点为和. 故答案为：和. 4．（2026高一·江苏盐城·期末）已知为函数的一个零点，则_________． 【答案】 【分析】利用零点的定义即可. 【详解】由已知可得，所以. （二） 判断函数零点的个数 判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法 (1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数． (2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断． (3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．　 题型2：判断函数零点的个数 5．（2026高二·内蒙古呼和浩特·期末）设是定义在上的函数且满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数在区间上的零点，再利用周期性求解在区间的零点. 【详解】当时，， 在区间内的零点为和，共个零点. 由得，则函数在区间上的零点为共6个. 6．（2026高一·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以仅有1个零点. 7．（2026高三·全国·一轮复习）函数的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，令，即，即. 在同一直角坐标系中作出两函数与（）的图象，如图， 由图可知两图象只有一个交点. 综上可知，函数的零点个数为. 8．（2026高一·四川成都·期末）函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数性质，分别求两段之内的零点即可。 【详解】当时，由，无零点. 当时，， 由以及均在上单调递增，可知在上单调递增. 又， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点. 综上所述，的零点个数为. 9．（2026高一·全国·专题练习）方程的解的个数为__. 【答案】2 【分析】方程的解的个数，即函数和函数的图象的交点个数，画出两函数图象即可得. 【详解】方程的解的个数， 即函数和函数的图象的交点个数， 如图所示，数形结合可得， 函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2. （三） 判断零点所在的区间 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过观察函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 注：函数零点存在定理是不可逆的，f(a)f(b)<0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0. 题型3：判断零点所在的区间 10．（2026高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 11．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 12．（2026高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】∵，，，， ∴函数存在零点的区间有共4个. 13．（2026高三·全国·专题练习）若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用指数函数及幂函数图象数形结合函数值得出范围. 【详解】令，， ，． ，， ∴结合图象得． ∴由图象关系可得． 14．（2026高一·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 15．（2026高二·天津宝坻·期末）已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理即可判断. 【详解】由题意，根据幂函数的单调性，可知在内为增函数， 根据指数函数的单调性，可知在内为减函数， 所以函数在内为增函数， 因为，， ，，， 又指数函数为减函数，所以，，， 根据函数的零点存在定理，可得函数的零点在内. （四） 函数零点性质的应用 1、已知函数有零点(方程有根)，求参数值常用的方法和思路 (1)直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数取值范围; (2)分离参数法:将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后观察求解. 2、一元二次方程根的分布问题关注三个方面：①判别式；②对称轴的范围；③区间端点的函数值的正负.　 题型4：已知零点个数求参数的取值范围 16．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 解法2：当时，． 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项． 当时，， 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A． 17．（2026高三·贵州黔西南·阶段检测）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分段函数图象，即可得到判断. 【详解】作出函数图象： 因为 方程化为，方程恰有三个不同的实数解， 等价于的图象有三个不同的交点， 所以由图可得，当，即时符合题意， 故选：C 18．（2026高一·甘肃兰州·阶段检测）已知函数若方程有三个不等实根，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】画出函数的图象，利用转化法、数形结合思想进行求解即可. 【详解】， 问题转化为直线与函数的图象有三个交点， 在同一直角坐标系中，直线与函数的图象如下图所示： 显然当时，， 利用数形结合可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 即方程有三个不等实根. 故答案为： 19．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分类讨论，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围. 【详解】当时，，对称轴为，所以在上单调递增，函数图象如下： 令，解得或， 即或，根据图象有2个解， 有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下： 令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又至少有7个零点，所以至少有2个解， 即，解得． 故选:D． 20．（2026高一·甘肃酒泉·期末）已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用数形结合法，把方程的根的个数转化为图象与直线的交点个数，即可求得参数的取值范围. 【详解】作出函数图象：    因为，，所以在处是连续的， 根据方程有四个不等实数解，则直线与函数的图象有四个交点， 即a的取值范围是. 故答案为： 题型5：已知零点所在区间求参数的取值范围 21．（2026高一·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 22．（2026高一·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，进而可得结果. 【详解】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 23．（2026高一·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，由条件结合零点的性质列不等式求的范围. 【详解】因为函数和在都单调递增， 所以函数在都单调递增， 又函数在区间上存在零点， 所以，故， 所以, 所以的取值范围是. 故选：D. 24．（2026高三·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数在上单调递增，由求解. 【详解】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 25．（2026高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 26．（2026高一·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 题型6：比较零点的大小 27．（2026高一·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为函数，，与的图象的交点的横坐标，在同一坐标系下，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 28．（2026高一·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 29．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断的范围. 【详解】是上的增函数，，， 因此零点，即. 令，得零点. 是上的增函数，，，因此零点，即， 综上可得大小关系：. 30．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果. 【详解】由及得， 由及得， 由及得， 由函数的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一坐标系中分别作出函数，，，的图象如图， 由图知 题型7：求零点之和 31．（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数的零点定义，可得即函数图象与直线的交点的横坐标，结合函数图象的对称性即可求得答案. 【详解】由可得，由，， 依题意，如图所示，即函数图象与直线的交点的横坐标. 由图知，因函数是一对反函数，图象关于直线对称，则点也关于直线对称， 由解得，则点关于点对称，故. 32．（2026高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________． 【答案】13 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为． 33．（2026高一·贵州安顺·期末）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，结合同底的对数函数和指数函数互为反函数，根据反函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为是实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为是正实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为函数和互为反函数， 所以它们的图象关于直线对称，且直线与直线互相垂直， 所以点关于直线对称， 所以，所以. 故选：C 34．【多选】（2026高二·广西崇左·期末）已知函数若（），则（   ） A． B．的值可能为25 C． D．的值可能为32 【答案】ABD 【分析】根据解析式及对数函数性质画出函数大致图象并确定函数的相关性质，进而得且，，进而判断各项的正误. 【详解】由解析式，在，上单调递减，在，上单调递增， ，，可得函数大致图象如下， 由，且，则， 所以，易知，且， 所以，， 综上，. 故选：ABD 35．（2026高一·贵州安顺·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______，函数的所有零点之和为_______. 【答案】 1 【分析】结合奇函数的性质分段代入计算得解；按分段求出方程的解，进而求出所有根的和. 【详解】依题意，，因此； ，当时，，则，解得或； 当时，若，则，， 由，得，解得； 若，则，， 由，得，解得或， 所以函数的所有零点之和为. 故答案为：1； 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： ①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． ②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． ③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． （五） 二分法的概念 1、二分法的概念 判断一个函数能用二分法求其零点近似值的依据：其图象在零点附近是连续不断的且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 2、二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．　 题型8：二分法的概念的应用 36．（2026高三·全国·专题练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点的两侧函数值异号能用二分法判断. 【详解】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C 37．（2026高一·福建福州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】易知函数的零点为，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，不是异号的，故不能用二分法求函数的零点； 而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点； 故选：C 38．（2026高一·全国·课后作业）观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】先由图象观察有无零点，再根据零点左右两侧，函数值符号不同，可以选出答案. 【详解】由图象可知，BD选项中函数无零点，AC选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点. 故选：A 39．（2026高一·浙江·期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理计算求解. 【详解】设，显然函数图象是连续的， 则有，，，，， 所以，，，， 故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误. 故选：B. 40．（2026高一·湖南长沙·期末）用二分法求方程 在 上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（    ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】借助二分法定义计算即可． 【详解】设，则， ，第一次取，有， 故第二次取，有， 故此时可确定近似解所在区间为． 故选：B． 41．（2026高一·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求误差不超过0.01时，计算中点函数值的次数最少为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据二分法分析运算. 【详解】根据题意，原来区间的长度等于2，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 则经过n次操作后，区间的长度为， 令，即，计算中点函数值的次数最少为8. 故选：C． （六） 用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 1、利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 2、用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．　 题型9：用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 42．（2026高一·福建泉州·期末）某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据： x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5 0.0567 0.1460 0.3284 则下列说法正确的是（    ） A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值 C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值 【答案】D 【分析】根据二分法基本原理判断即可. 【详解】因为， 且，故AB错误； 因为，，且，故D正确； 因为，且故C错误； 故选:D 43．（2026高一·江西吉安·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值在用二分法逐次计算时，可参考数据如下表:那么方程的一个近似解精确到为________． 【答案】 【分析】通过二分法逐步缩小函数正零点所在的区间，计算区间中点的函数值，直至区间长度小于精度 0.1，进而得到方程的近似解. 【详解】显然是定义域在R上的连续函数，根据函数零点(或方程的解)的二分法近似求法原理， 第1次操作：，有零点的区间长度为； 第2次操作：， 有零点的区间长度为； 第3次操作：， 有零点的区间长度为； 第4次操作：， ，有零点的区间长度为， 此时区间的长度小于精确度；则方程满足要求的近似解. 故答案为： （七） 指数型模型的应用 指数函数模型的应用 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 注；函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数． 题型10：指数型模型的应用 44．（2026高一·江苏南通·期中）某灭活疫苗的有效保存时间单位：小时与储藏的温度单位：满足的函数关系为为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在时的有效保存时间是1080h，在时的有效保存时间是120h，则该疫苗在时的有效保存时间为（    ） A．15h B．30h C．40h D．60h 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解． 【详解】， 当时，， 当时，，解得， 当时， 故选：C 45．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量（）满足函数模型（），其中为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（    ）（参考数据：，） A．14次 B．15次 C．16次 D．17次 【答案】C 【分析】依题意列出不等式，利用指数函数性质及对数运算解不等式即可求得答案. 【详解】，由，得，即， 得，又，所以， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次. 故选：C （八） 对数函数模型的应用 (1)形如y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)，其特点为当a>1，m>0时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越慢． (2)对于对数型函数模型问题，关键在于熟练掌握对数函数的性质，在认真审题的基础上，分析清楚底数a与1的大小关系，要关注自变量的取值范围． 借助于数学模型解决数学问题的同时，实际问题也得以顺利解决，这就是函数模型的作用． 注：对数函数应用题的基本类型和求解策略： (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解； (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．　　　 题型11：对数函数模型的应用 46．（2026高一·陕西榆林·阶段检测）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（参考数据）（   ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1.2 【答案】A 【分析】根据题意，得到，求得，结合对数的运算法则，即可求解. 【详解】由题意知，五分记录法的数据L和小数记录法的数据满足， 因为某同学视力的五分记录法的数据为，可得，解得， 结合对数的运算法则，可得. 47．（2026高一·河南郑州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D 【分析】由题意列出方程，根据对数的运算性质，计算即可得答案. 【详解】设甲的速度为，耗氧量的单位数为，乙的速度为，耗氧量的单位数为， 由题意得，则， 所以，解得. 故选：D （九） 建立拟合函数模型解决实际问题 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤如下： (1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点数大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 题型12：建立拟合函数模型解决实际问题 48．（2026高一·河北保定·期末）数据显示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 月收入（万元） 1.4 2.56 5.31 11 21.3 根据上述数据，在建立该公司2023年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择. (1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； (2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：，） 【答案】(1)用函数这一模型较好，理由如下： 对已知数据进行描点： 由图可知点，，，，基本上是落在函数的图像的附近， 因此用函数这一模型较好 (2)大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元 【分析】（1）由题意，描点并和函数图象比较，可得答案； （2）解法一：根据题意建立不等式，利用对数运算即可；解法二：指数函数的单调性试根. 【详解】（1）用函数这一模型较好，理由略； （2）解法一：当时，即，∴，即， ∴， 故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元. 解法二：当时，即，∵，， 故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元 49．（2026高一·江苏·阶段检测）年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： 万个 若该变异毒株的数量单位：万个与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择． 参考数据：，，， (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于亿个． 【答案】(1)选择函数更合适，解析式为 (2)11个 【分析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判断； （2）设至少需要x个单位时间，则，再结合对数函数的公式，即可求解． 【详解】（1）若选， 将，和，代入可得，，解得， 故， 将代入，，不符合题意； 若选， 将，和，代入可得，，解得， 故， 将代入可得，，符合题意； 综上所述，选择函数更合适，解析式为 （2）设至少需要x个单位时间， 则，即，两边同时取对数可得，， 则， ， 的最小值为11， 故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个． 1．（2026高一·辽宁·期中）已知函数则的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】分和直接解方程即可. 【详解】当时，令，得； 当时，令，得. 所以的零点之和为. 故选：A 2．（2026高一·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二分法可得答案. 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间 内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 3．（2026高一·福建福州·阶段检测）设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数单调性以及零点存在定理即可得解. 【详解】因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 因为， 所以由零点存在定理可知函数的零点. 4．（2026高一·山东菏泽·阶段检测）方程的实数解个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】直接将方程的根转化为函数的零点问题，再结合函数单调性及零点存在性定理判断可得. 【详解】令，因为与在R上都是单调递增函数， 所以函数在R上单调递增，所以函数在R上最多有1个零点， 又因为，且在上连续且单调递增， 所以函数在上有且仅有1个零点. 故选：B 5．（2026高一·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由零点存在定理及二分法求解即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且， 结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C． 6．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 7．（2026高一·全国·课后作业）下列图象表示的函数中没有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点定义，数形结合即可容易判断. 【详解】函数y=f(x)的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标. A项中函数图象与x轴没有交点，所以该函数没有零点； B项中函数图象与x轴有一个交点，所以该函数有一个零点； C，D两项中的函数图象与x轴有两个交点，所以该函数有两个零点. 故选：A. 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，涉及数形结合，属简单题. 8．（2026高一·辽宁·阶段检测）下列区间中，包含函数零点的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在性定理求解. 【详解】函数在定义域内递增， ，， 根据零点存在性定理可知，在内一定存在的零点． 故选：D. 9．（2026高一·云南红河·阶段检测）已知，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由解析式及指对数的性质分析分段函数的性质，求函数时对应值，应用数形结合法判断零点个数. 【详解】由题设，当时且递减，当时且递减， 令，则，可得或，如下图示：      由图知：时有一个零点，时有两个零点，故共有3个零点. 故选：C 10．（2026高一·福建福州·阶段检测）对于实数和，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据代数式和之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数的解析式，画出函数的图像，利用数形结合求出的取值范围. 【详解】由可得，由 可得， 所以根据题意得， 即， 做出函数的图像如图，    当时，开口向下，对称轴为， 所以当时，函数的最大值为， 函数的图像和直线有三个不同的交点． 可得的取值范围是. 故选：D 11．（2026高一·辽宁沈阳·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先由为奇函数，推出关于对称，则，进而求出的解析式，则的解析式可求，解出根即可. 【详解】因为为奇函数，所以关于对称， 则关于对称，即， 当时，， 当时，， 则， 所以， 则， 因为，则或， 解得或，所以. 故选：A 12．【多选】（2026高一·浙江温州·期末）设是单调递增函数，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先由题中参考数据可得根在区间内，由此可得答案． 【详解】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项， 符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项． 故选：ABD． 13．【多选】（2026高一·江苏扬州·阶段检测）已知函数有两个零点，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为的定义域为，所以函数是连续不间断函数， 又，， ，， ， 且，， 所以由零点存在性定理可知函数在和上有零点. 故选：AD. 14．【多选】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 【答案】CD 【分析】分及并画出相应图象进行讨论即可得. 【详解】当时，，图象如图（1）， 此时即， 若，则， 若，则， 又有2个零点，也有2个零点， 故有4个零点，故C正确； 当时，，图象如图（2）， 此时即，只有一种情况， 此时仅有1个零点， 所以当时，有1个零点，故D正确； 由图象可得A、B错误. 15．【多选】（2026高一·全国·课后作业）用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由二分法求解步骤即可判断. 【详解】第二次所取的区间可能为，第三次所取的区间可能为，． 故选：AD 16．【多选】（2026高一·浙江宁波·阶段检测）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（   ） A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 【答案】BC 【分析】先确定函数的单调性，再根据零点存在定理及精确度确定零点所在区间，即可得解. 【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知， 方程的唯一近似解在，，，内， 又精确度0.1， 所以方程的近似解（精确度0.1）可取为，. 故选：BC 17．（第19讲用二分法求方程的近似解（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知函数的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________，________. 【答案】 【分析】通过观察图象即可判断出函数零点的个数以及能够用二分法求解的零点个数. 【详解】由图可知，函数图象与轴有个交点，所以零点的个数为； 左右函数值异号的零点有个，所以用二分法求解的个数为． 18．（2026高一·云南昆明·期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为___________. 【答案】 【分析】设，计算，，，，得到答案. 【详解】设，则，， ，；，， 故近似解所在的区间为. 故答案为： 19．（2026高一·全国·专题练习）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为______. （参考数据：，，，.） 【答案】1.8/ 【分析】根据零点存在性定理结合二分法分析求解. 【详解】由题意可知：， ， 又因为函数在上连续， 所以函数在区间上有零点，约为. 故答案为：1.8. 20．（2026高一·吉林延边·期末）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用函数的零点判定定理推出结果即可． 【详解】由题得的定义域为， 因为，当时，， 当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点； 因为， 又当时，， 当且仅当时等号成立， 若要用二分法求的零点，需满足，所以， 故答案为：． 21．（2026·上海嘉定·模拟预测）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【详解】由，得或， 由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根， 则，解得且， 所以实数a的取值范围是. 22．（2026高一·上海嘉定·期末）若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 【答案】 【分析】根据题意得出是区间的中点，即可得出答案. 【详解】由题意，第二次操作的区间为，其中点为， 第三次操作得到的区间为，是区间的左子区间， 故其右端点应等于原区间的中点，则有，解得. 故答案为： 23．（2026高二·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数的运算及对数函数的单调性求解即可. （2）将有两个不相等的实根转化为有两个不相等的实根，结合对数函数的性质得到，令，则化为与有两个不同的交点，结合二次函数性质求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以，即，解得， 故的取值范围为. （2）因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， 也即有两个不相等的实根，所以，即， 设，即与有两个不同的交点， 的简图如下： 当时，单调递减，当时，单调递增，则， 又当时，， 所以结合图像可知， 故的取值范围为. 24．（2026高二·陕西商洛·阶段检测）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）将对数型方程转化为只有一个正根，就结合判别式的符号分类讨论后可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，因为， 所以，即， 解得，所以所求解集为； （2）因为， 由，得只有一个正根， 若，满足题意； 当时， 若，解是， 此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号， 所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意； 综上，或， 所以实数的取值范围是：. 25．（2026·山西临汾·模拟预测）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 26．（2026高二·宁夏银川·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过偶函数的性质代入化简，求出实数的值，再检验实数是否使为偶函数； （2）对函数表达式进行化简为 ，再使用换元法设，把问题转化为二次函数零点问题求解. 【详解】（1）由于是偶函数， 所以即， 即 化简，得 所以， 要使等式恒成立，则， 经检验，当时，函数 是偶函数. （2）由于 所以， ， 设，则 因为函数在上只有一个零点，那么 由可得 即 上只有一个零点 所以，关于的方程在上只有一个实根，那么 ， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时， 根据函数图象可知，要使关于的方程在上只有一个实根， 则或，即或 故实数的取值范围为. 27．（2026高一·安徽芜湖·期中）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委､生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，将禁用不可降解的塑料袋､塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.（参考数据：） (1)塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？ (2)为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年） 【答案】(1)207年； (2)21年. 【分析】（1），则可求出的值，从而可得答案， （2）由题意得，可求出，然后解不等式可得结果. 【详解】（1）由题可知， 所以， 所以， 所以残留量为初始量的，大约需要207年； （2）根据题意当时，， ，解得， 所以， 若残留量不足初始量的，则， ，两边取常用对数， ，所以至少需要21年. 28．（2026高一·浙江丽水·期末）某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 【答案】(1) ，在区间上单调递减， 与表中数据矛盾，该模型不合适, ，则函数在处无意义, 与表中数据矛盾，该模型不合适, 故选择是最合适的模型. (2)；千件 【分析】（1）可利用特殊点与单调性，排除不合适的函数模型； （2）可将表中数据代入（1）中所选函数模型，求出函数，则每件的广告费用为,继而求其最值即可. 【详解】（1）略 （2）将表中的数据代入可得， 解得 所以； 设每千件的广告费用为， 则 ， 所以当时，最小值为， 故销售量增加达到千件时，才能使每千件的广告投入费用最少. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 4.5函数的应用（二）12题型分类 1、函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标. 2、方程的解与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. 3、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． (1)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝来理解，易知f(－1)f(1)＝－1×1<0，但显然y＝在(－1,1)内没有零点． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解c. (3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． (4)函数零点存在定理是不可逆的，由f(a)f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)f(b)>0. (5)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解． 4、二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5、用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 注：（1）用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法． （2）用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量． （3）二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值． （4）由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，常取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间为[1.25,1.34]，若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34. （5）在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)f(b)<0. （6）由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解． 6、函数模型的应用 几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 7．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． 8．有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据求出的值回答其实际意义． 9．数据拟合 (1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． (2)数据拟合的步骤 ①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； ②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式； ③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； ④做必要的检验． （一） 求函数的零点 求函数零点的方法 函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常用以下两种方法： (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　　　 题型1：求函数的零点 1．（2026高三·全国·一轮复习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2026高一·辽宁铁岭·期末）已知函数，则函数的零点为__________. 4．（2026高一·江苏盐城·期末）已知为函数的一个零点，则_________． （二） 判断函数零点的个数 判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法 (1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数． (2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断． (3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．　 题型2：判断函数零点的个数 5．（2026高二·内蒙古呼和浩特·期末）设是定义在上的函数且满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A． B． C． D． 6．（2026高一·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（2026高三·全国·一轮复习）函数的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 8．（2026高一·四川成都·期末）函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 9．（2026高一·全国·专题练习）方程的解的个数为__. （三） 判断零点所在的区间 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过观察函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 注：函数零点存在定理是不可逆的，f(a)f(b)<0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0. 题型3：判断零点所在的区间 10．（2026高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 12．（2026高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2026高三·全国·专题练习）若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 14．（2026高一·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 15．（2026高二·天津宝坻·期末）已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． （四） 函数零点性质的应用 1、已知函数有零点(方程有根)，求参数值常用的方法和思路 (1)直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数取值范围; (2)分离参数法:将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后观察求解. 2、一元二次方程根的分布问题关注三个方面：①判别式；②对称轴的范围；③区间端点的函数值的正负.　 题型4：已知零点个数求参数的取值范围 16．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（2026高三·贵州黔西南·阶段检测）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2026高一·甘肃兰州·阶段检测）已知函数若方程有三个不等实根，则实数a的取值范围是______. 19．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（2026高一·甘肃酒泉·期末）已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是_________． 题型5：已知零点所在区间求参数的取值范围 21．（2026高一·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 22．（2026高一·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 23．（2026高一·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（2026高三·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．（2026高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 26．（2026高一·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型6：比较零点的大小 27．（2026高一·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 28．（2026高一·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 29．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 30．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 题型7：求零点之和 31．（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2026高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________． 33．（2026高一·贵州安顺·期末）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 34．【多选】（2026高二·广西崇左·期末）已知函数若（），则（   ） A． B．的值可能为25 C． D．的值可能为32 35．（2026高一·贵州安顺·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______，函数的所有零点之和为_______. （五） 二分法的概念 1、二分法的概念 判断一个函数能用二分法求其零点近似值的依据：其图象在零点附近是连续不断的且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 2、二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．　 题型8：二分法的概念的应用 36．（2026高三·全国·专题练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 37．（2026高一·福建福州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 38．（2026高一·全国·课后作业）观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（    ） A．B． C．D． 39．（2026高一·浙江·期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（    ） A． B． C． D． 40．（2026高一·湖南长沙·期末）用二分法求方程 在 上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（    ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 41．（2026高一·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求误差不超过0.01时，计算中点函数值的次数最少为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 （六） 用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 1、利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 2、用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．　 题型9：用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 42．（2026高一·福建泉州·期末）某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据： x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5 0.0567 0.1460 0.3284 则下列说法正确的是（    ） A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值 C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值 43．（2026高一·江西吉安·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值在用二分法逐次计算时，可参考数据如下表:那么方程的一个近似解精确到为________． （七） 指数型模型的应用 指数函数模型的应用 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 注；函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数． 题型10：指数型模型的应用 44．（2026高一·江苏南通·期中）某灭活疫苗的有效保存时间单位：小时与储藏的温度单位：满足的函数关系为为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在时的有效保存时间是1080h，在时的有效保存时间是120h，则该疫苗在时的有效保存时间为（    ） A．15h B．30h C．40h D．60h 45．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量（）满足函数模型（），其中为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（    ）（参考数据：，） A．14次 B．15次 C．16次 D．17次 （八） 对数函数模型的应用 (1)形如y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)，其特点为当a>1，m>0时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越慢． (2)对于对数型函数模型问题，关键在于熟练掌握对数函数的性质，在认真审题的基础上，分析清楚底数a与1的大小关系，要关注自变量的取值范围． 借助于数学模型解决数学问题的同时，实际问题也得以顺利解决，这就是函数模型的作用． 注：对数函数应用题的基本类型和求解策略： (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解； (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．　　　 题型11：对数函数模型的应用 46．（2026高一·陕西榆林·阶段检测）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（参考数据）（   ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1.2 47．（2026高一·河南郑州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 （九） 建立拟合函数模型解决实际问题 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤如下： (1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点数大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 题型12：建立拟合函数模型解决实际问题 48．（2026高一·河北保定·期末）数据显示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 月收入（万元） 1.4 2.56 5.31 11 21.3 根据上述数据，在建立该公司2023年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择. (1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； (2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：，） 由图可知点，，，，基本上是落在函数的图像的附近， 因此用函数这一模型较好 49．（2026高一·江苏·阶段检测）年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： 万个 若该变异毒株的数量单位：万个与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择． 参考数据：，，， (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于亿个． 1．（2026高一·辽宁·期中）已知函数则的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 2．（2026高一·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·福建福州·阶段检测）设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·山东菏泽·阶段检测）方程的实数解个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2026高一·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 6．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·全国·课后作业）下列图象表示的函数中没有零点的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高一·辽宁·阶段检测）下列区间中，包含函数零点的区间是（   ） A． B． C． D． 9．（2026高一·云南红河·阶段检测）已知，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2026高一·福建福州·阶段检测）对于实数和，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．（2026高一·辽宁沈阳·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 12．【多选】（2026高一·浙江温州·期末）设是单调递增函数，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 13．【多选】（2026高一·江苏扬州·阶段检测）已知函数有两个零点，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 14．【多选】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 15．【多选】（2026高一·全国·课后作业）用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 16．【多选】（2026高一·浙江宁波·阶段检测）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（   ） A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 17．（第19讲用二分法求方程的近似解（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知函数的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________，________. 18．（2026高一·云南昆明·期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为___________. 19．（2026高一·全国·专题练习）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为______. （参考数据：，，，.） 20．（2026高一·吉林延边·期末）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 21．（2026·上海嘉定·模拟预测）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 22．（2026高一·上海嘉定·期末）若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 23．（2026高二·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，求的取值范围． 24．（2026高二·陕西商洛·阶段检测）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 25．（2026·山西临汾·模拟预测）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．（2026高二·宁夏银川·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 27．（2026高一·安徽芜湖·期中）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委､生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，将禁用不可降解的塑料袋､塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.（参考数据：） (1)塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？ (2)为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年） 28．（2026高一·浙江丽水·期末）某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $