第16讲 对数函数（知识详解+12典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦高中数学对数函数核心内容，系统梳理对数函数的概念及应用、反函数、图象和性质、函数模型增长差异比较等知识点，构建从概念理解到性质分析再到实际应用的学习支架。 资料亮点在于12个典例题型配变式训练，如通过比较对数式大小培养数学思维，结合函数模型实例发展数学眼光，课中辅助教师系统教学，课后分层作业帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第16讲 对数函数（知识详解+12典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：对数函数的概念及应用 知识点02：反函数 知识点03：对数函数的图象和性质 知识点04：几个函数模型增长差异的比较 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：对数函数的概念判断与求值 题型02：求对数函数、对数型复合函数的定义域 题型03：求对数型复合函数的值域 题型04：根据对数函数的值域求参数值或范围 题型05：对数型函数图象过定点问题 题型06：研究对数函数的单调性与对数型复合函数的单调性 题型07：根据对数函数的最值求参数或范围 题型08：求反函数 题型09：比较对数式的大小 题型10：由对数(型)的单调性求参数 题型11：由对数函数的单调性解不等式 题型12：不同函数增长的差异 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】对数函数的概念及应用 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 注意点： (1)对数函数的系数为1. (2)真数只能是一个x. (3)底数与指数函数的范围相同． (4)对于函数y＝2log2x等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数y=x有相同的定义域和对应关系，故函数相等． 【例1】判断下列函数是否为对数函数，并说明理由：(1)；(2)；(3) 【知识点02】反函数 反函数：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 【例2】：已知点在指数函数的图象上，求其对应的对数函数解析式，并写出该对数函数图象上的一个定点。 【知识点03】对数函数的图象和性质 对数函数的图象和性质 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 当x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) 当x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧． (2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 【例3】比较下列两组数的大小：(1)与；(2)与 【知识点04】几个函数模型增长差异的比较 三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 注意点： (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型． (3)一次函数增长速度不变，平稳变化． (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上． 【例4】当足够大时，比较函数、、的增长速度大小，并说明理由。 【题型01】对数函数的概念判断与求值 【典例1-1】（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·新疆和田·期末）下列数字中，能做为对数式中真数的是（    ） A．0 B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（，且）； (5)． 【题型02】求对数函数、对数型复合函数的定义域 【典例2-1】（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为______. 【变式2-2】（多选）（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数定义域为R，则的值可能为（   ） A．5 B．0 C．8 D．6 【变式2-3】求下列函数的定义域： （1）；    （2）； （3）；        （4）. 【题型03】求对数型复合函数的值域 【典例3-1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·河北石家庄·期末）函数的值域是_____. 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·贵州遵义·期末）下列函数中，值域是的有（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·湖北荆州·阶段检测）求下列函数的值域： (1)； (2) 【题型04】根据对数函数的值域求参数值或范围 【典例4-1】（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是_____. 【变式4-1】（25-26高一上·贵州六盘水·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数 (1)若的定义域为，求实数的取值范围. (2)若函数的值域为，求实数的取值范围. 【题型05】对数型函数图象过定点问题 【典例5-1】（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【变式5-1】（25-26高一上·广西柳州·期末）函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·河南·期末）若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式5-3】已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，求的值. 【题型06】研究对数函数的单调性与对数型复合函数的单调性 【典例6-1】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的图象如图所示，则a的值可以是（   ） A． B．2 C．e D． 【变式6-1】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）（2026高一·全国·专题练习）下列函数在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】判断下列函数的单调性： （1）；        （2）； （3）；    （4）. 【题型07】根据对数函数的最值求参数或范围 【典例7-1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数的最大值为3，则______． 【变式7-1】（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【变式7-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数，其中，记函数的定义域为． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为，求的值； 【题型08】求反函数 【典例8-1】函数的反函数是___________ 【变式8-1】的反函数是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·广西·阶段检测）已知函数与互为反函数，则（   ） A．-1 B．-2 C．3 D．1 【变式8-3】求下列函数的反函数： (1)； (2)； (3)，. 【题型09】比较对数式的大小 【典例9-1】（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知，，，则的大小关系是 ____．（用“”连接） 【变式9-2】比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 【变式9-3】（2025高一上·全国·专题练习）比较下列各组中两个值的大小． (1)； (2)（，且）； (3)； (4)． 【题型10】由对数(型)的单调性求参数 【典例10-1】（25-26高一上·江西·阶段检测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（多选）已知函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D．2 【变式10-2】（2025高一上·山东枣庄·专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是________. 【变式10-3】若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m，函数在上是严格增函数，求的值． 【题型11】由对数函数的单调性解不等式 【典例11-1】．（25-26高一下·广东广州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知函数（且），若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为______. 【变式11-3】（25-26高一上·江西宜春·期末）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数、的值； (2)求不等式的解集； 【题型12】不同函数增长的差异 【典例12-1】（24-25高一上·全国·课后作业）有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 【变式12-2】（24-25高一上·全国·课后作业）某工厂8年来某产品总产量与时间（年）的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产． 以上说法中正确的是________．（填序号） 【变式12-3】（24-25高一上·全国·课后作业）四个因变量随自变量变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 2 26 101 226 401 626 901 2 32 1024 32768 2 10 20 30 40 50 60 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 9.907 则关于呈指数型函数变化的变量是___________． 知识点01 对数函数的概念及应用 1. 定义 一般地，形如 的函数，叫做对数函数。其中是自变量。 定义域：，值域：。 2. 标准判定条件 必须同时满足：底数为正常数且不等于1、真数为纯、函数系数为1。 形如 为对数型复合函数，不是标准对数函数。 3. 函数模型应用 对数函数属于增速递减增长模型，增长速度随自变量增大逐渐变缓，常用于描述增长趋于饱和的实际问题。 知识点02 反函数 1. 核心关系 指数函数 与对数函数 互为反函数。 2. 反函数三大性质 1. 图象关于直线 对称； 2. 定义域、值域互换： ：定义域，值域； ：定义域，值域。 3. 点对称：若 在指数函数上，则 在对应对数函数上。 知识点03 对数函数的图象和性质 函数： 1. 通用共性 1. 图象恒在轴右侧，定义域； 2. 恒过定点 ，即 ； 3. 在定义域上单调不间断。 2. 单调性分类 1. ：函数在 上单调递增； 2. ：函数在 上单调递减。 3. 函数值正负规律 ：， ：， 知识点04 常见函数模型增长差异的比较 1. 三类增长模型（） 1. 指数函数 ：爆炸式增长，增速越来越快； 2. 一次函数 ：匀速线性增长，增速恒定； 3. 对数函数 ：慢速增长，增速持续放缓。 2. 终极增长结论 当 （自变量足够大）时，增长速度： 指数增长最快，线性增长居中，对数增长最慢。 注：该规律仅对足够大的成立，小范围自变量无固定大小关系。 知识点05本节高频易错总结 1. 对数函数真数必须大于0，解题优先判断定义域； 2. 只有标准式为对数函数，变形函数不满足定义； 3. 互为反函数图象对称、定义域值域互换，但函数解析式不同； 4. 对数比较大小：先看底数判单调性，再看真数比大小； 5. 三大函数增长快慢结论仅适用于自变量足够大的情况。 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，在上增长速度最慢的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西吉安·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 5．（25-26高一上·河南·阶段检测）函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·陕西汉中·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·甘肃天水·期末）关于的不等式的解集可能为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 11．（2025高一上·江苏镇江·专题练习）给出以下四个结论，其中正确的是(    ) A．函数的图象过定点 B．若，则的取值范围是 C．当时，幂函数的图象是一条直线 D．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 三、填空题 12．（25-26高一下·云南昭通·期末）已知函数，则的定义域是_________. 13．（25-26高一上·江西赣州·期末）当且时，函数的图象经过定点__________. 14．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则三者大小关系为__________（按从小到大顺序）. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·周测）（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)求函数的定义域、值域； (2)如果，求m的取值范围. 17．（24-25高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)当时，，求函数的反函数． 18．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围． 19．（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若的值域为，求a的取值范围； (3)是否存在实数使得函数在区间上单调递减？若存在，写出一个符合题意的值；若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 对数函数（知识详解+12典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：对数函数的概念及应用 知识点02：反函数 知识点03：对数函数的图象和性质 知识点04：几个函数模型增长差异的比较 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：对数函数的概念判断与求值 题型02：求对数函数、对数型复合函数的定义域 题型03：求对数型复合函数的值域 题型04：根据对数函数的值域求参数值或范围 题型05：对数型函数图象过定点问题 题型06：研究对数函数的单调性与对数型复合函数的单调性 题型07：根据对数函数的最值求参数或范围 题型08：求反函数 题型09：比较对数式的大小 题型10：由对数(型)的单调性求参数 题型11：由对数函数的单调性解不等式 题型12：不同函数增长的差异 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】对数函数的概念及应用 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 注意点： (1)对数函数的系数为1. (2)真数只能是一个x. (3)底数与指数函数的范围相同． (4)对于函数y＝2log2x等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数y=x有相同的定义域和对应关系，故函数相等． 【例1】判断下列函数是否为对数函数，并说明理由：(1)；(2)；(3) 解:(1) 是对数函数。 符合标准形式，底数，真数为，系数为1，满足对数函数定义。 (2) 不是对数函数。 对数函数标准式系数必须为1，该函数系数为2，属于对数型复合函数，并非标准对数函数。 (3) 不是对数函数。 对数函数要求底数为常数、真数为自变量，该函数底数为自变量、真数为常数，不符合定义。 答案：(1) 是对数函数；(2)(3) 不是对数函数 【知识点02】反函数 反函数：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 【例2】：已知点在指数函数的图象上，求其对应的对数函数解析式，并写出该对数函数图象上的一个定点。 解:步骤1：求指数函数底数 将代入，得，由，得。 因此指数函数为。 步骤2：求反函数（对数函数）解析式 的反函数为。 步骤3：求对称定点 根据反函数对称性，点关于的对称点在对数函数图象上。 答案：对数函数解析式为，定点为 【知识点03】对数函数的图象和性质 对数函数的图象和性质 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 当x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) 当x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧． (2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 【例3】比较下列两组数的大小：(1)与；(2)与 解:(1) 比较与 构造函数，底数，函数在上单调递增。 因为，根据增函数性质，自变量越大函数值越大，故。 (2) 比较与 构造函数，底数，函数在上单调递减。 因为，根据减函数性质，自变量越大函数值越小，故。 答案：(1) ；(2) 【知识点04】几个函数模型增长差异的比较 三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 注意点： (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型． (3)一次函数增长速度不变，平稳变化． (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上． 【例4】当足够大时，比较函数、、的增长速度大小，并说明理由。 解:步骤1：判定函数模型类型 （）：指数增长模型； （）：一次匀速增长模型； （）：对数增长模型。 步骤2：根据增长规律判断 根据三大函数增长特性：自变量无限增大时，指数函数呈爆炸式增长，增速最快；一次函数匀速增长，增速居中；对数函数增长持续放缓，增速最慢。 答案：增长速度由快到慢依次为： 【题型01】对数函数的概念判断与求值 【典例1-1】（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由题设 . 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数函数概念可判断. 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·新疆和田·期末）下列数字中，能做为对数式中真数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据对数函数的定义，结合选项，即可求解. 【详解】由对数函数 且，可得函数的定义域为， 结合选项，可得可以作为对数函数的真数. 故选：BCD. 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（，且）； (5)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)不是 (5)是 【分析】（1）由对数函数的定义判断可得； （2）由对数函数的定义判断可得； （3）由对数函数的定义判断可得； （4）由对数函数的定义判断可得； （5）由对数函数的定义判断可得； 【详解】（1）原式中真数为，不是对数函数． （2）原式中对数式后加2，不是对数函数． （3）原式中真数为，且系数不为1，故不是对数函数． （4）原式中底数不是常数，而真数是常数，所以不是对数函数． （5）原式中底数是6，真数为，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 【题型02】求对数函数、对数型复合函数的定义域 【典例2-1】（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的真数大于零可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得，故函数的定义域为. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据具体函数定义域的求法直接可得解. 【详解】由已知， 则， 解得或， 即函数的定义域为， 故答案为：. 【变式2-2】（多选）（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数定义域为R，则的值可能为（   ） A．5 B．0 C．8 D．6 【答案】ACD 【详解】因为函数定义域为R， 所以对恒成立， 若，则对不恒成立，故不符合题意； 若，则，解得， 所以的取值范围为. 【变式2-3】求下列函数的定义域： （1）；    （2）； （3）；        （4）. 【答案】（1）； （2）；（3）；（4）. 【分析】根据解析式列出使函数有意义的不等式，即可解出定义域. 【详解】（1）要使函数有意义， 只需，解得：， 所以的定义域为. （2）要使函数有意义， 只需，解得：， 所以的定义域为. （3）要使函数有意义， 只需，解得：， 所以的定义域为. （4）要使函数有意义， 只需，解得：， 所以的定义域为. 【题型03】求对数型复合函数的值域 【典例3-1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和对数函数单调性即可求得函数的值域. 【详解】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为 故选：B 【变式3-1】（25-26高一上·河北石家庄·期末）函数的值域是_____. 【答案】 【分析】先分析真数的取值范围，再确定对数函数的值域即可； 【详解】因为函数，则， 所以， 即函数的值域是. 故答案为：. 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·贵州遵义·期末）下列函数中，值域是的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】AB根据一次和二次函数的性质得出；C根据以及对数函数的性质判断；D根据以及对数函数的性质判断. 【详解】的值域为，故A正确； 的值域为，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为恒成立，所以的定义域为， 因为在上单调递增， 且时，，时，， 所以， 所以， 故的值域为，故D正确. 故选：AD 【变式3-3】（24-25高一上·湖北荆州·阶段检测）求下列函数的值域： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质可得，即可根据对数函数的单调性求解， （2）根据对数的运算性质可得，即可利用换元法，结合二次函数的性质求解. 【详解】（1）由于的定义域满足，故， 进而可得，， 故 （2）， 由于，令，则， 故， 故当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 故值域为. 【题型04】根据对数函数的值域求参数值或范围 【典例4-1】（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】函数的值域为，需要满足二次函数的值域包含所有正实数，由判别式求解即可. 【详解】，，解得. 故答案为：. 【变式4-1】（25-26高一上·贵州六盘水·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得函数的值域包含，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，函数的值域包含， 当时，函数为，值域为，包含，符合题意； 当时，由，解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 故选：C 【变式4-2】（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意，转化为是函数 的子集，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】因为对任意实数，总存在实数，使得， 所以函数的值域为， 设，则满足是函数值域的子集， 当时，，此时的值域为，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得：实数的取值范围是. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数 (1)若的定义域为，求实数的取值范围. (2)若函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意转化为不等式恒成立问题，根据判别式计算求解即可； （2）根据对数型函数的值域特点，根据一元二次方程根的判别式求解即可. 【详解】（1）要使的定义域为，则对任意实数x都有恒成立． 由二次函数图象可知 解得. 故所求a的取值范围为. （2）要使的值域为，则有的值域必须包含． 由二次函数图象可知，其二次函数图象必须与x轴有公共点， ∴ 即或. 故所求a的取值范围为. 【题型05】对数型函数图象过定点问题 【典例5-1】（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 【变式5-1】（25-26高一上·广西柳州·期末）函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对数型函数过定点，只要令真数部分值为1，解出的值，再将的值代入解析式求得的值. 【详解】令，解得，再将代入解析式得. 所以过定点，即. 故选：D 【变式5-2】（25-26高一上·河南·期末）若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据求出的值. 【详解】由题意得，，则，解得． 故选：C 【变式5-3】已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，求的值. 【答案】 【分析】令可求得函数的图象所经过的定点的坐标，再将点的坐标代入函数的解析式，可求得实数的值. 【详解】函数的图象恒过定点， 令，可得，则，， 点也在函数的图象上，则，可得：. 【点睛】本题考查对数型函数图象过定点的问题，同时也考查了指数运算，考查计算能力，属于基础题. 【题型06】研究对数函数的单调性与对数型复合函数的单调性 【典例6-1】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的图象如图所示，则a的值可以是（   ） A． B．2 C．e D． 【答案】A 【分析】由图象结合对数函数的性质可得答案. 【详解】因为函数的图象是单调递减的，所以， 由选项可知A正确. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再利用复合函数单调性，结合二次函数、对数函数单调性求出递增区间. 【详解】函数中，，解得或， 函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递增区间为. 故选：D 【变式6-2】（多选）（2026高一·全国·专题练习）下列函数在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的解析式，直接判断函数的单调性，判断ABC，D选项，可以分区间取特殊值，判断D. 【详解】A.根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，故A不是； B.在上单调递增，故B是； C.在上单调递增，故C是； D，由，得函数在上不单调，D不是． 故选：BC 【变式6-3】判断下列函数的单调性： （1）；        （2）； （3）；    （4）. 【答案】（1）在上单调递增；（2）在上单调递减；（3）在上单调递增；（4）在上单调递减； 【分析】（1）根据对数函数的性质判断可得； （2）根据对数函数的性质判断可得； （3）根据复合函数的单调性法则判断可得； （4）根据复合函数的单调性法则判断可得； 【详解】解：（1）在上单调递增； （2）在上单调递减； （3）因为，令，解得，所以函数的定义域为，又因为与上单调递增，所以函数在上单调递增； （4）因为，令，解得，所以函数的定义域为； 又因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以函数在上单调递减； 【题型07】根据对数函数的最值求参数或范围 【典例7-1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数的最大值为3，则______． 【答案】2 【分析】利用基本不等式及对数函数的单调性即可求解. 【详解】 ，令， ， 当且仅当，即时等号成立， 又单调递增，，即，解得． 故答案为：2. 【变式7-1】（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】D 【分析】根据函数的单调性分类讨论确定最大值和最小值，然后解方程得值. 【详解】化简得，，当时，，因此， 由二次函数性质可知在区间上单调递减. 当时，函数在定义域内单调递增，所以函数在区间上单调递减， 所以，由题意可得，解得，符合； 当时，函数在定义域内单调递减，所以函数在区间上单调递增， 所以， 由题意可得，解得，符合. 综上，或. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令 ，,要使函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值,结合二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】令 ，则, 令, 所以函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值, 由二次函数的图像与性质可得：， 解得：, 所以实数的取值范围是 故选：A 【变式7-3】（24-25高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数，其中，记函数的定义域为． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为，求的值； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据对数的真数大于零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域； （2）利用复合函数法分析函数的单调性，结合函数的最大值为可求得实数的值. 【详解】（1）对于函数，其中，有，解得， 所以，函数的定义域. （2）因为， 由于内函数在上单调递增，在上单调递减， 外函数为增函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，可得， 因为，解得. 【题型08】求反函数 【典例8-1】函数的反函数是___________ 【答案】 【分析】先解出，然后再将互换即可得其反函数. 【详解】由，得， 所以的反函数为， 故答案为： 【变式8-1】的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据指数函数与对数函数的关系，可得函数的反函数为. 故选：B. 【变式8-2】（25-26高一上·广西·阶段检测）已知函数与互为反函数，则（   ） A．-1 B．-2 C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据反函数得，代入自变量求函数值即可. 【详解】因为函数与互为反函数，所以，则. 故选：A 【变式8-3】求下列函数的反函数： (1)； (2)； (3)，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定函数的值域即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数； （2）确定函数的值域即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数； （3）确定函数的值域即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数. 【详解】（1）的值域为， 所以，所以，所以. （2）, 由可得：，即， ∴． （3）当可得：， 由，可得：， ∴. 【题型09】比较对数式的大小 【典例9-1】（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助对数性质计算即可得. 【详解】，，故. 【变式9-1】已知，，，则的大小关系是 ____．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据对数函数单调性，结合临界值可比较出大小关系. 【详解】，，； ，，. 故答案为：. 【变式9-2】比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据的单调性比较出大小； （2）利用对数函数单调性和中间值比较出； （3）利用指数函数和对数函数单调性和中间值比较出大小 【详解】（1）因为函数在上是增函数，又，所以． （2）由于，所以． （3）因为，， 所以． 【变式9-3】（2025高一上·全国·专题练习）比较下列各组中两个值的大小． (1)； (2)（，且）； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)答案见解析. (3) (4) 【分析】根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】（1）因为函数是增函数，且，所以． （2）当时，函数是增函数， 又，所以； 当时，函数是减函数， 又，所以． 综上所述，当时，； 当时，． （3）因为，所以， 即． （4）因为函数是增函数，且， 所以． 同理，，所以． 【题型10】由对数(型)的单调性求参数 【典例10-1】（25-26高一上·江西·阶段检测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列不等式组求解即可. 【详解】令，由且可得且， 所以单调递减， 因为在区间上单调递增， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：B 【变式10-1】（多选）已知函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【分析】根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域求得的范围，从而确定正确答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以依题意可得函数在上单调递减， 则，解得， 所以BC选项正确，AD选项错误. 故选：BC 【变式10-2】（2025高一上·山东枣庄·专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据对数型函数的单调性，结合复合函数单调性的性质分类讨论求解即可. 【详解】当时，，， 所以此时在上单调递减，不符合题意； 当时，二次函数的对称轴为， 要想在上单调递增， 只需， 故答案为： 【变式10-3】若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m，函数在上是严格增函数，求的值． 【答案】3 【分析】根据对数函数的单调性，对进行分类讨论，再验证的单调性，求符合条件的的值即可. 【详解】当时，函数是正实数集上的严格增函数， 而函数（且）在上的最大值为2，最小值为m， 因此有，解得，所以， 此时在上是严格增函数，符合题意， 故； 当时，函数是正实数集上的减函数， 而函数在上的最大值为2，最小值为m， 因此有，解得，所以， 此时在上是严格减函数，不符合题意． 综上所述，． 【题型11】由对数函数的单调性解不等式 【典例11-1】．（25-26高一下·广东广州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式等价于，函数在上单调递减， 得，所以不等式的解集为. 【变式11-1】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知函数（且），若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式. 【详解】因为，所以函数在上单调递减. 由 . 即所求不等式的解集为. 故选：A 【变式11-2】（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】把不等式转化为，结合对数函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】不等式，可化为， 因为在上是增函数， 所以不等式，即为，解得 所以不等式的解集为 【变式11-3】（25-26高一上·江西宜春·期末）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数、的值； (2)求不等式的解集； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值； （2）所求不等式等价于，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）函数的图象过原点，①， 又②，联立①②解得. （2）由（1）可知，， 所以不等式为，即， ，解得，故原不等式的解集为. 【题型12】不同函数增长的差异 【典例12-1】（24-25高一上·全国·课后作业）有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的数据变化情况，逐项判断得解. 【详解】观察表中数据，知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而选项A，B中的函数增长速度越来越慢，AB不正确； 对于C，当x=6时，y≈21.33；对于D，当x=6时，y=18，误差偏大，C最佳. 故选：C 【变式12-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 【答案】A 【分析】根据指对幂函数的图象分析三个函数的增长情况，即可得答案. 【详解】在同一坐标系中画出的图象，如图所示， 结合图象，当时，函数均为增函数，A正确； 当时，的增长速度不是一直快于，B错误； 当时，的增长速度不是一直快于，C错误； 当时，的增长速度不是一直快于，D错误． 故选：A 【变式12-2】（24-25高一上·全国·课后作业）某工厂8年来某产品总产量与时间（年）的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产． 以上说法中正确的是________．（填序号） 【答案】①③ 【分析】分别根据图象的递增速度的变化，判断总产量的增长速度，利用总产量的数值变化判断生产状况. 【详解】由题图可知前3年的总产量增长速度越来越快； 而图象在区间上平行于轴，说明总产量没有变化， 所以第3年后该产品停止生产； 因此只有①③正确. 故答案为：①③. 【变式12-3】（24-25高一上·全国·课后作业）四个因变量随自变量变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 2 26 101 226 401 626 901 2 32 1024 32768 2 10 20 30 40 50 60 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 9.907 则关于呈指数型函数变化的变量是___________． 【答案】 【分析】由指数函数的性质即可得出答案. 【详解】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化. 从表格中可以看出，四个变量均是从2开始变化，且都是越来越大， 但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快， 可知变量关于呈指数型函数变化. 故答案为：. 知识点01 对数函数的概念及应用 1. 定义 一般地，形如 的函数，叫做对数函数。其中是自变量。 定义域：，值域：。 2. 标准判定条件 必须同时满足：底数为正常数且不等于1、真数为纯、函数系数为1。 形如 为对数型复合函数，不是标准对数函数。 3. 函数模型应用 对数函数属于增速递减增长模型，增长速度随自变量增大逐渐变缓，常用于描述增长趋于饱和的实际问题。 知识点02 反函数 1. 核心关系 指数函数 与对数函数 互为反函数。 2. 反函数三大性质 1. 图象关于直线 对称； 2. 定义域、值域互换： ：定义域，值域； ：定义域，值域。 3. 点对称：若 在指数函数上，则 在对应对数函数上。 知识点03 对数函数的图象和性质 函数： 1. 通用共性 1. 图象恒在轴右侧，定义域； 2. 恒过定点 ，即 ； 3. 在定义域上单调不间断。 2. 单调性分类 1. ：函数在 上单调递增； 2. ：函数在 上单调递减。 3. 函数值正负规律 ：， ：， 知识点04 常见函数模型增长差异的比较 1. 三类增长模型（） 1. 指数函数 ：爆炸式增长，增速越来越快； 2. 一次函数 ：匀速线性增长，增速恒定； 3. 对数函数 ：慢速增长，增速持续放缓。 2. 终极增长结论 当 （自变量足够大）时，增长速度： 指数增长最快，线性增长居中，对数增长最慢。 注：该规律仅对足够大的成立，小范围自变量无固定大小关系。 知识点05本节高频易错总结 1. 对数函数真数必须大于0，解题优先判断定义域； 2. 只有标准式为对数函数，变形函数不满足定义； 3. 互为反函数图象对称、定义域值域互换，但函数解析式不同； 4. 对数比较大小：先看底数判单调性，再看真数比大小； 5. 三大函数增长快慢结论仅适用于自变量足够大的情况。 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性可得，由，可求得. 【详解】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以． 故选：C. 2．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，在上增长速度最慢的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【详解】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. 3．（25-26高一上·江西吉安·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递增，所以，即， 又函数在上单调递减，所以，所以． 4．（25-26高一上·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数， 则，所以. 5．（25-26高一上·河南·阶段检测）函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数恒过定点这一性质，令函数的真数为1，求出此时的值，并求出取此值时的函数值，即可得函数的图象经过的定点坐标. 【详解】因为对数函数恒过定点， 所以对于函数，令，解得， 当时，， 所以函数的图象经过的定点坐标为. 故选：C 6．（25-26高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的定义域可知不等式在上恒成立，令判别式小于解出的范围即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立， 所以，解得， 故选：A 7．（24-25高一下·陕西汉中·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性结合给定区间上的函数解析式，确定函数的单调性，借助于特殊值替代，利用单调性即可求解抽象不等式. 【详解】因为当时，，则，且函数在上单调递增， 则由可得，利用函数的单调性可得； 又是定义在R上的奇函数，故； 当时，，则，因，则， 函数在上单调递增且， 则由可得，利用单调性可得. 综上可得，不等式的解集是. 故选：A. 8．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据真数对应的函数有正的最小值可求实数的取值范围. 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 故，故有最小值， 当时，令，则， 故或， 故函数的定义域为， 在定义域的条件下，此时无最小值，故舍去； 综上，， 故选：D 二、多选题 9．（24-25高一上·甘肃天水·期末）关于的不等式的解集可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】讨论，、，进而讨论参数，研究不等式的解集. 【详解】当时，，不等式不成立， 所以不是不等式的解； 当时，，此时，即， 当时，显然不成立； 当时，则，此时无解； 当时，则，又，则解集为； 当时，，此时，即， 当时，恒成立，则解集为； 当时，可得，又，则解集为； 当时，可得，此时无解. 综上，解集可能为、、. 故选：ABD 10．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 11．（2025高一上·江苏镇江·专题练习）给出以下四个结论，其中正确的是(    ) A．函数的图象过定点 B．若，则的取值范围是 C．当时，幂函数的图象是一条直线 D．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】根据对数函数和幂函数的图像，以及复合函数“同增异减”的原理，分别对选项进行验证即可. 【详解】对A：当时，，则函数的图象过定点，故A错误. 对B：原不等式等价于，则有或(无解)，解得，故B正确. 对C：当时，幂函数，此时函数的图象是两条射线，故C错误. 对D：由复合函数内、外层“同增异减”可知，实数应满足，解得，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高一下·云南昭通·期末）已知函数，则的定义域是_________. 【答案】 【详解】由题意可知，即， 则的定义域是. 13．（25-26高一上·江西赣州·期末）当且时，函数的图象经过定点__________. 【答案】 【分析】令对数的真数等于，求出的值，再代入函数解析式，可得出定点坐标. 【详解】当且时，对于函数， 令可得，所以， 故函数的图象经过的定点坐标为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则三者大小关系为__________（按从小到大顺序）. 【答案】. 【分析】根据指数函数和对数函数的性质确定出的范围，即可求解. 【详解】因为，， ，且，故， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·周测）（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 【答案】（1）且；（2）或或 【分析】（1）根据对数函数的定义列出关于的不等式组，即可求解； （2）根据对数函数的定义及定义域列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】（1）因为是对数函数，所以，解得且， 即实数的取值范围是且. （2）要使对数式有意义，则，解得或或， 故实数的取值范围是或或. 16．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)求函数的定义域、值域； (2)如果，求m的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为R. (2). 【分析】（1）由真数大于求定义域，结合复合函数求值域； （2）根据单调性以及定义域列不等式求解. 【详解】（1）由，得， 所以的定义域为， 因为，所以的值域为R. （2）因为的定义域为，且是增函数. 所以，解得， 所以的取值范围是. 17．（24-25高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)当时，，求函数的反函数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法求函数解析式； （2）由，可得，可得反函数. 【详解】（1）根据题意，， 设，则，则， 所以； （2）当时，单调递增，则， 且由， 因为，所以解得， 所以. 18．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得答案； （2）即函数值域包含所有的正数，据此可得答案. 【详解】（1）因的定义域为，则， 则或； （2）因的值域为，则的值域包含所有正数. 则. 19．（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若的值域为，求a的取值范围； (3)是否存在实数使得函数在区间上单调递减？若存在，写出一个符合题意的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)单调增区间是，单调减区间时； (2) (3)不存在，理由见解析； 【分析】（1）由得到或，再结合二次函数及对数函数的单调性即可求解； （2）由，两类情况讨论即可； （3）由在上单调递减， 在恒成立，分别求解的范围，即可判断. 【详解】（1）当时，， 由，可得：或， 易知，在单调递增，在单调递减， 又单调递增， 所以的单调增区间是，单调减区间时； （2）当时，，显然满足值域为， 当时，要使得的值域为，需满足：， 解得：， 综上可知：若的值域为，a的取值范围是； （3）不存在，理由如下： 若函数在区间上单调递减， 需满足：在上单调递减，且在恒成立， 若在上单调递减， 满足， 当时，需满足，即， 当时，需满足，恒成立， 综上可得：在上单调递减a的取值范围是， 若在恒成立， 即， 令，易知在对称轴处取到最大值， 所以， 显然在上单调递减与在恒成立，不能同时成立， 所以不存在实数使得函数在区间上单调递减. 1 学科网（北京）股份有限公司 $