第13讲 函数的应用讲义（一）（知识详解+3典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册暑假预习

第13讲 函数的应用（一）（知识详解+3典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数建模基本步骤 知识点02：二次函数模型的实际应用 知识点03：分段函数模型的实际应用 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：利用二次函数模型解决实际问题 题型02：分段函数模型的应用 题型03：分式型函数模型的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数建模基本步骤 解决函数实际应用题的标准化四步解题法： 第一步：审题设元：分析实际问题，找出变量关系，设出自变量、因变量； 第二步：建立模型：根据变量变化规律，建立对应函数解析式（一次、二次、反比例函数）； 第三步：求解模型：利用函数单调性、最值、解析式求解数学问题； 第四步：回归实际：结合自变量实际取值范围，检验结果、作答。 核心注意：实际应用题必须标注自变量取值范围，否则解题不完整。 【例1】某文具店售卖笔记本，固定成本100元，每卖出1本笔记本，成本增加2元，设卖出笔记本数量为本，总成本为元，建立总成本关于销量的函数模型，并求卖出50本时的总成本。 【知识点02】二次函数模型的实际应用 二次函数通用模型： 适用场景：存在最值的变化问题（利润最值、面积最值、产量最值等），是本讲重难点。 最值核心公式：对称轴 ① ：开口向上，函数有最小值； ② ：开口向下，函数有最大值； 实际解题必须结合自变量取值范围判断最值是否可取。 【例2】某商店销售文创产品，每件进价20元，经调查发现，售价为元时，每日销量为件，其中，求每日利润的最大值及对应售价。 【知识点03】分段函数模型的实际应用 分段函数模型：自变量在不同区间，对应不同函数解析式。 适用场景：分段收费、分段计价、阶梯变化问题（水电费、打车费、阶梯票价等）。 解题核心：先定区间，再代对应解析式，分类讨论，不重不漏。 【例3】某城市居民用水阶梯收费：每月用水量不超过10吨，每吨3元；超过10吨的部分，每吨4元。设月用水量为吨，水费为元，建立函数解析式，并求用水15吨的水费。 【题型01】利用二次函数模型解决实际问题 【典例1-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．5元 【典例1-2】（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【典例1-3】（25-26高一·全国·寒假作业）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大面积为________（围墙厚度不计）． 【变式1-1】（多选）某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低元，则月销售量增加10x件，要使此种商品的月销售额不低于15950元，则x的取值可能为（    ） A．9 B．7 C．13 D．11 【变式1-2】（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【变式1-3】（25-26高一上·山东·阶段检测）中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额 ） 【题型02】分段函数模型的应用 【典例2-1】某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过，按每立方米m元收费；月用水量超过，则超出部分按每立方米2m元收费．已知某户某月交水费16m元，则该户这个月的实际用水量为________． 【典例2-2】（25-26高一上·广西钦州·期末）某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 【典例2-3】（25-26高一上·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【变式2-1】（25-26高一上·重庆·期中）（多选）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·河北承德·期中）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． (1)写出与的函数关系式； (2)该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 【变式2-3】（24-25高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【题型03】分式型函数模型的应用 【典例3-1】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则的值是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【典例3-2】某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（   ）m时，能使总造价最低． A．6 B．4 C． D．3 【典例3-3】（24-25高一上·云南昭通·期中）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是__________千米/时. 【变式3-1】（多选）某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（    ） A．时费用之和有最小值 B．时费用之和有最小值 C．最小值为万元 D．最小值为万元 【变式3-2】（25-26高一上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【变式3-3】（25-26高一下·河南濮阳）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 知识点01本讲核心概述 函数的应用（一）是高中数学建模入门内容，核心是利用一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数四类基础函数，刻画现实生活中的变化规律，解决成本、利润、计费、行程、面积等实际问题。 解题核心思想：实际问题→抽象变量→建立函数模型→数学求解→回归实际验证。 知识点02四大核心函数模型知识梳理 1. 一次函数模型（线性变化模型） 标准解析式： 参数含义： ：单位变化率（增速/降幅）；：初始基础量 单调性： ，单调递增（匀速增长）；，单调递减（匀速减少） 适用场景：匀速变化、固定基础量+线性增量、线性收费、成本变化等。 2. 反比例函数模型（积定模型） 标准解析式： 核心特征：变量乘积为定值 单调性：在上单调递减，一增一减。 适用场景：路程固定、总工程量固定、总价固定、面积固定的变量变化问题。 3. 二次函数模型（最值模型·本讲重难点） 标准解析式： 核心公式： 对称轴： 最值： 开口性质： 开口向上，有最小值无最大值； 开口向下，有最大值无最小值。 适用场景：最大利润、最大面积、最低成本等含最值的实际问题。 4. 分段函数模型（阶梯变化模型） 模型形式：自变量在不同区间对应不同解析式 适用场景：阶梯水费、电费、打车计费、分段票价、分级优惠等分段规则问题。 核心原则：先判区间，再代解析式，区间不重不漏。 知识点03函数建模标准解题步骤（满分答题模板） 第一步：审题设元 找准自变量、因变量，结合实际写出自变量取值范围（必写得分点）。 第二步：建立模型 根据变量变化规律，选择对应函数，列出解析式。 第三步：数学求解 代入求值、利用单调性、对称轴求最值、分段计算。 第四步：实际检验 检验结果是否符合实际意义，舍去不合理的值。 第五步：规范作答 文字总结结论，完成答题。 知识点04模型快速区分口诀（考场秒判） 1. 匀速直线变化 → 一次函数 2. 乘积固定、此增彼减 → 反比例函数 3. 求最大、求最小最值 → 二次函数 4. 阶梯收费、分段规则 →分段函数 知识点05高频易错点课堂总结（必避坑） 易错点1：遗漏自变量范围 实际问题中多为正数、正整数，不写范围会扣分。 易错点2：二次函数最值盲目代公式 对称轴不在自变量区间内时，最值在区间端点取得，不能直接用顶点公式。 易错点3：分段函数区间混淆 临界点归属区分不清，导致代错解析式，计算错误。 易错点4：模型判断错误 分不清线性变化与积定变化，混淆一次、反比例模型。 易错点5：结果不回归实际 求解后不验证实际意义，出现负数、小数人数等不合理答案。 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．奋进新征程，建功新时代．某单位为提升服务质量，花费万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·寒假作业）某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是），若每台产品的售价为25万元，则生产者的最高利润是（   ） A．2950万元 B．3000万元 C．2940万元 D．2980万元 4．（24-25高一上·河南·阶段检测）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的四周墙壁建造单价为400元/，中间一条隔壁建造单价为100元/，池底建造单价为60元/（池壁厚忽略不计且池的深度一定），欲使总造价最低，则泳池的长应设计为（    ）米． A．13 B．14 C．15 D．16 6．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 7．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（    ） A．16 B．18 C．24 D．27 8．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 ... 那么1972年6月出生的男职工退休年龄为（    ） A．61岁 B．61岁7个月 C．61岁9个月 D．61岁11个月 二、多选题 9．（24-25高一上·陕西西安·期中）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的第个月的需求量（万件  ）近似地满足，按此预测，在本年度内，需求量最大的月份是（    ） A．8月 B．9月 C．10月 D．11月 10．设矩形的周长为，将沿向折叠，折过去后交于点.设，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．设，则与的关系是 C．的面积与的关系是 D．当的面积最大时，矩形的面积为 11．（25-26高一上·福建宁德·期中）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A､C两地之间.甲､乙两车分别从A地､B地同时出发前往目的地C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途停车休息一次，随后继续匀速行驶.下图表示甲乙两车从出发到目的地过程中两车之间的距离与时间的函数关系.下列结论正确的是（     ）    A．后两车同时到达C地 B．乙车中途休息40分钟 C．甲车的速度是 D．甲车行驶与乙车相遇 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数．若汽车以110 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为13L，欲使每小时的油耗不超过11L，则速度x的取值范围为________km/h．（结果保留整数） 13．（25-26高一上·天津南开·期中）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细.现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的解析式为__________. 14．（25-26高一上·广西崇左·期末）为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 四、解答题 15．（25-26高一上·云南·阶段检测）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 16．（25-26高一上·河南·阶段检测）宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. (1)求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 17．（25-26高一下·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）某空调生产企业为了激励某地区销售公司多卖某款空调，在1月份推出的激励政策如下：若该款空调当月销售量不超过200台，则当月该款空调的进价为3000元/台；若该款空调当月销售量超过200台但不超过300台，则进价在3000元/台的基础上，每多售出1台，每台该款空调的进价均降低1元；若该款空调当月销售量超过300台，则进价在2900元/台的基础上，每多售出1台，每台该款空调的进价均降低2元．根据市场调查，该销售公司每月销售该空调最多400台且每月都有销量． (1)设当月该款空调的销售量为台，实际进价为元/台，求与的函数关系式； (2)已知该款空调的销售价为3500元/台，若销售公司当月销售该款空调的利润为18万元，试问销售公司当月销售了多少台该款空调？ 19．（25-26高一上·云南丽江·期中）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数的应用（一）（知识详解+3典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数建模基本步骤 知识点02：二次函数模型的实际应用 知识点03：分段函数模型的实际应用 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：利用二次函数模型解决实际问题 题型02：分段函数模型的应用 题型03：分式型函数模型的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数建模基本步骤 解决函数实际应用题的标准化四步解题法： 第一步：审题设元：分析实际问题，找出变量关系，设出自变量、因变量； 第二步：建立模型：根据变量变化规律，建立对应函数解析式（一次、二次、反比例函数）； 第三步：求解模型：利用函数单调性、最值、解析式求解数学问题； 第四步：回归实际：结合自变量实际取值范围，检验结果、作答。 核心注意：实际应用题必须标注自变量取值范围，否则解题不完整。 【例1】某文具店售卖笔记本，固定成本100元，每卖出1本笔记本，成本增加2元，设卖出笔记本数量为本，总成本为元，建立总成本关于销量的函数模型，并求卖出50本时的总成本。 解：1. 审题设元：自变量为销量（本），因变量为总成本（元），实际意义：； 2. 建立函数模型：固定成本+变动成本=总成本 3. 求解模型：将代入解析式 4. 回归实际作答：卖出50本笔记本时，总成本为200元。 结论：函数模型为，对应总成本为200元。 【知识点02】二次函数模型的实际应用 二次函数通用模型： 适用场景：存在最值的变化问题（利润最值、面积最值、产量最值等），是本讲重难点。 最值核心公式：对称轴 ① ：开口向上，函数有最小值； ② ：开口向下，函数有最大值； 实际解题必须结合自变量取值范围判断最值是否可取。 【例2】某商店销售文创产品，每件进价20元，经调查发现，售价为元时，每日销量为件，其中，求每日利润的最大值及对应售价。 解：1. 梳理利润公式： 2. 建立二次函数模型： 自变量范围： 3. 分析函数性质：，抛物线开口向下，存在最大值； 对称轴：，在取值范围内； 4. 计算最大利润： 结论：当售价为60元时，每日利润最大，最大利润为1600元。 【知识点03】分段函数模型的实际应用 分段函数模型：自变量在不同区间，对应不同函数解析式。 适用场景：分段收费、分段计价、阶梯变化问题（水电费、打车费、阶梯票价等）。 解题核心：先定区间，再代对应解析式，分类讨论，不重不漏。 【例3】某城市居民用水阶梯收费：每月用水量不超过10吨，每吨3元；超过10吨的部分，每吨4元。设月用水量为吨，水费为元，建立函数解析式，并求用水15吨的水费。 解：1. 分段讨论建立模型 ① 当时：； ② 当时：； 综上，分段函数模型： 2. 代入求值：，代入第二段解析式 结论：水费函数为分段函数，用水15吨时水费为50元。 【题型01】利用二次函数模型解决实际问题 【典例1-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段检测）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．5元 【答案】C 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】设每株多肉植物的售价为元，则每天销量为株， 每天的销售额为， ，即，解得， 每株这种多肉植物的最低售价为元，故C正确． 故选：C． 【典例1-2】（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【分析】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B 【典例1-3】（25-26高一·全国·寒假作业）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大面积为________（围墙厚度不计）． 【答案】2500 【分析】设矩形垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为，把面积用函数表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值． 【详解】设矩形垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为， 故矩形面积， 所以当时，，即最大面积是． 故答案为：2500． 【变式1-1】（多选）某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低元，则月销售量增加10x件，要使此种商品的月销售额不低于15950元，则x的取值可能为（    ） A．9 B．7 C．13 D．11 【答案】AD 【分析】将销售额表示成一个关于的函数，然后确定满足条件的的可能值即可. 【详解】设此种商品的月销售额为， 由题意知，单价为，销售量为， 所以销售额：， 所以， , , . 故x的取值可能为9或者11，不可能是7或者13. 故选：AD 【变式1-2】（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【答案】(1) (2)，元 【分析】（1）根据利润表达式列出方程，解之即可； （2）解法一：构造利润函数，根据二次函数的性质求解出最大值；解法二：构造利润函数，采用换元法并结合二次函数的性质求解出最大值. 【详解】（1）由得，解得或. 因为，所以. （2）解法一：生产该产品所需时间为h， 所以生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 所以当时，取得最大值，利润最大值为 ， 故该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 解法二：生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 令， 则当时，取得最大值，此时. 因为， 所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 【变式1-3】（25-26高一上·山东·阶段检测）中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额 ） 【答案】(1)，（，且），从第3年开始盈利 (2)方案①比较合理，理由见解析 【分析】（1）首先确定维修费用：代入首年费用求，再构建盈利函数，盈利 = 总收入 - 总支出，最后求开始盈利年份，解，最后答案取整数。 （2）方案①：用基本不等式解得最大值，方案②：用二次函数顶点在求最大值,然后两个比较求出最合理的方案. 【详解】（1）由题意可得，，代入得，解得， 所以 所以，（，且） 令，解得， 因为，所以， 故从第3年开始盈利. （2）       当且仅当，即时等号成立，    故第7年，年平均盈利额达到最大值，      工厂共获利万元； 由， 当时，，                故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 因为两个方案中盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短， 故方案①比较合理. 【题型02】分段函数模型的应用 【典例2-1】某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过，按每立方米m元收费；月用水量超过，则超出部分按每立方米2m元收费．已知某户某月交水费16m元，则该户这个月的实际用水量为________． 【答案】13 【分析】根据已知得出交费y元与实际用水量满足的分段函数，再根据水费代入求解. 【详解】由已知得，该户每月交费y元与实际用水量满足的关系式为 由，得，所以． 解得． 答案：13. 【典例2-2】（25-26高一上·广西钦州·期末）某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 【答案】A 【分析】设顾客购物总金额为元，求出购物优惠金额的函数关系，再由给定条件求得答案. 【详解】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此， 解得，所以王先生购物实际付款（元）. 故选：A 【典例2-3】（25-26高一上·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】B 【分析】利用分段函数模型运算即可得解. 【详解】∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度 经小时到达地， ∴当时，； ∵在地停留小时， ∴当时，； 综上知，函数解析式是. 故选：B 【变式2-1】（25-26高一上·重庆·期中）（多选）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件，分，，三种情况，再结合题设条件，即可求解. 【详解】当万元时，由题知， 当万元时，由题知， 当元时， 由题知， 综上所述，A、B、C正确，D错误， 故选：ABC. 【变式2-2】（25-26高一上·河北承德·期中）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． (1)写出与的函数关系式； (2)该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分，，分别计算即可； （2）由基本不等式和反比例函数单调性分别计算最值即可求解. 【详解】（1）由题意得，当时，； 因为， 所以当时，； 当时，； 综上， （2）由题意， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最小值26； 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，取得最小值，最小值为． 因为，所以当游玩时间为时，取到最小值，为 【变式2-3】（24-25高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润 年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以 ； 当时，流动成本， 所以 . 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 【题型03】分式型函数模型的应用 【典例3-1】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则的值是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】首先由条件抽象出总费用函数，再利用基本不等式求最值. 【详解】由题意可知，一年的总运费和总存储费用之和：（万元），当且仅当，即时等号成立. 故选：C 【典例3-2】某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（   ）m时，能使总造价最低． A．6 B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】设正面边长为xm，地面宽为ym，易得，设总造价为，由求解. 【详解】解：设正面边长为xm，则地面宽为ym，则， 所以， 设总造价为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B 【典例3-3】（24-25高一上·云南昭通·期中）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是__________千米/时. 【答案】60 【分析】设汽车速度为千米/时，依题列出运输成本的表达式，整理后利用基本不等式即可求得全程运输成本最小时汽车的速度. 【详解】设汽车速度为千米/时，则运输成本为：， 由， 当且仅当，即时，运输成本最小. 故答案为：60. 【变式3-1】（多选）某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（    ） A．时费用之和有最小值 B．时费用之和有最小值 C．最小值为万元 D．最小值为万元 【答案】BD 【分析】利用函数的思想列出一年的总费用与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系即可求最值. 【详解】一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买次，运费是9万元/次， 一年的总储存费用为万元， 所以一年的总运费与总储存费用之和为， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，一年的总运费与总储存费用之和最小为万元， 故选：BD 【点睛】本题主要考查了函数最值的应用，以及函数模型的选择，和基本不等式的应用，属于中档题. 【变式3-2】（25-26高一上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 【变式3-3】（25-26高一下·河南濮阳）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】(1)， (2)，59000元 【分析】（1）根据十字形区域总面积即可求出表达式，再根据，求出范围； （2）分别求出各部分面积以及总价，再利用基本不等式即可求出. 【详解】（1）因为十字形区域总面积为，所以，解得. 因为，，所以，解得. 所以，. （2）中心正方形面积为，造价为； 四个矩形的总面积为， 造价为； 四个三角形的总面积为， 造价为； 总造价为 ， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时取等号. 故当的长为时，总造价最低，为59000元. 知识点01本讲核心概述 函数的应用（一）是高中数学建模入门内容，核心是利用一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数四类基础函数，刻画现实生活中的变化规律，解决成本、利润、计费、行程、面积等实际问题。 解题核心思想：实际问题→抽象变量→建立函数模型→数学求解→回归实际验证。 知识点02四大核心函数模型知识梳理 1. 一次函数模型（线性变化模型） 标准解析式： 参数含义： ：单位变化率（增速/降幅）；：初始基础量 单调性： ，单调递增（匀速增长）；，单调递减（匀速减少） 适用场景：匀速变化、固定基础量+线性增量、线性收费、成本变化等。 2. 反比例函数模型（积定模型） 标准解析式： 核心特征：变量乘积为定值 单调性：在上单调递减，一增一减。 适用场景：路程固定、总工程量固定、总价固定、面积固定的变量变化问题。 3. 二次函数模型（最值模型·本讲重难点） 标准解析式： 核心公式： 对称轴： 最值： 开口性质： 开口向上，有最小值无最大值； 开口向下，有最大值无最小值。 适用场景：最大利润、最大面积、最低成本等含最值的实际问题。 4. 分段函数模型（阶梯变化模型） 模型形式：自变量在不同区间对应不同解析式 适用场景：阶梯水费、电费、打车计费、分段票价、分级优惠等分段规则问题。 核心原则：先判区间，再代解析式，区间不重不漏。 知识点03函数建模标准解题步骤（满分答题模板） 第一步：审题设元 找准自变量、因变量，结合实际写出自变量取值范围（必写得分点）。 第二步：建立模型 根据变量变化规律，选择对应函数，列出解析式。 第三步：数学求解 代入求值、利用单调性、对称轴求最值、分段计算。 第四步：实际检验 检验结果是否符合实际意义，舍去不合理的值。 第五步：规范作答 文字总结结论，完成答题。 知识点04模型快速区分口诀（考场秒判） 1. 匀速直线变化 → 一次函数 2. 乘积固定、此增彼减 → 反比例函数 3. 求最大、求最小最值 → 二次函数 4. 阶梯收费、分段规则 →分段函数 知识点05高频易错点课堂总结（必避坑） 易错点1：遗漏自变量范围 实际问题中多为正数、正整数，不写范围会扣分。 易错点2：二次函数最值盲目代公式 对称轴不在自变量区间内时，最值在区间端点取得，不能直接用顶点公式。 易错点3：分段函数区间混淆 临界点归属区分不清，导致代错解析式，计算错误。 易错点4：模型判断错误 分不清线性变化与积定变化，混淆一次、反比例模型。 易错点5：结果不回归实际 求解后不验证实际意义，出现负数、小数人数等不合理答案。 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，则元可得元购物券，再购物元可得元购物券，故可得结论． 【详解】解：由题意，顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元 所以，， 所以， 所以在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计元. 故选：D. 2．奋进新征程，建功新时代．某单位为提升服务质量，花费万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该设备年平均费用为万元，求出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得出结论. 【详解】设该设备年平均费用为万元，则， 当且仅当时，即当时，该设备年平均费用最少. 故选：C. 3．（25-26高一·全国·寒假作业）某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是），若每台产品的售价为25万元，则生产者的最高利润是（   ） A．2950万元 B．3000万元 C．2940万元 D．2980万元 【答案】C 【分析】首先根据题意得到利润，再利用二次函数的单调性求解最大值即可. 【详解】设生产者的利润为万元，则， 因为函数在区间上是增函数， 当时，利润最大，最大值为（万元）． 故选：C 4．（24-25高一上·河南·阶段检测）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意，用表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于的表达式，利用配方法即可得解. 【详解】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为， 设所建造的禽舍总面积为， 则， 所以当所建造的禽舍总面积最大时，的值. 故选：D. 5．如图，某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的四周墙壁建造单价为400元/，中间一条隔壁建造单价为100元/，池底建造单价为60元/（池壁厚忽略不计且池的深度一定），欲使总造价最低，则泳池的长应设计为（    ）米． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】设泳池的深为米，长为米，则宽为米，依据题意列出总造价与的关系，利用均值不等式求最小值即可 【详解】不妨设泳池的深为米，长为米，则宽为米， 总造价 （元）， 当且仅当，即时等号成立． 即长设计为15米，可使总造价最低． 故选：C 6．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【答案】C 【分析】根据计费方法，结合已知数据，即可直接求得结果. 【详解】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 7．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（    ） A．16 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【分析】设卡车本身的质量为（），速度为（），刹车滑行距离为（），依题意可得，卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过，可得，解不等式可得答案. 【详解】设卡车本身的质量为（），速度为（），刹车滑行距离为（），依题意可得，将，代入可得： . 又卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过， 这内卡车行驶的路程为：（）. 由 ， 所以 . 根据速度的意义，所以. 所以卡车行驶的速度应低于 . 故选：B 【点睛】关键点点睛：理解题意，找出题目中的不等关系是解题关键. 8．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 ... 那么1972年6月出生的男职工退休年龄为（    ） A．61岁 B．61岁7个月 C．61岁9个月 D．61岁11个月 【答案】D 【分析】设男职工出生于公元年月，设退休延迟月数为，列出函数解析式，再求结论；或直接计算从1965年1月到1972年6月经过的“4个月”的“月数”，即得退休年龄. 【详解】法一：设男职工出生于公元年月，，，. 设退休延迟月数为， 当时，； 当时，； 当时，. 所以1972年6月出生的男职工退休延迟的时间为：（月）. 所以1972年6月出生的男职工退休年龄：61岁11个月. 法二：从1965年1月到1972年6月，共经过了个“4个月”的时间段， 故延迟退休23个月，即1年11个月，退休年龄为61岁11个月. 故选：D 二、多选题 9．（24-25高一上·陕西西安·期中）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的第个月的需求量（万件  ）近似地满足，按此预测，在本年度内，需求量最大的月份是（    ） A．8月 B．9月 C．10月 D．11月 【答案】CD 【分析】根据二次函数性质即可求. 【详解】因为，且， 所以当或时，需求量取最大. 故选：CD 10．设矩形的周长为，将沿向折叠，折过去后交于点.设，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．设，则与的关系是 C．的面积与的关系是 D．当的面积最大时，矩形的面积为 【答案】BCD 【分析】A.根据矩形的周长为，由求解判断；B. 易得，从而，再由化简求解判断；C.由 化简求解判断；D.由C选项的结论，再利用对勾函数的性质求解判断. 【详解】解：如图所示：    因为矩形的周长为， 所以，解得，故A错误； 由题意得， ， 所以，则， 又 ，则 ， 化简得，故B正确； ，故C正确； 令，由对勾函数的性质得，当时，取得最小值，此时取得最大值，，故D正确； 故选：BCD 11．（25-26高一上·福建宁德·期中）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A､C两地之间.甲､乙两车分别从A地､B地同时出发前往目的地C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途停车休息一次，随后继续匀速行驶.下图表示甲乙两车从出发到目的地过程中两车之间的距离与时间的函数关系.下列结论正确的是（     ）    A．后两车同时到达C地 B．乙车中途休息40分钟 C．甲车的速度是 D．甲车行驶与乙车相遇 【答案】ACD 【分析】根据函数的图象对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】    根据函数图象可得两地之间的距离为，两车行驶了小时，同时到达地，A正确， 段：甲乙同向行驶，甲在后追赶乙； 段：乙休息，其中在段，甲在后追赶乙，在点时甲乙相遇，在段，甲超过乙的休息地继续行驶；乙车中途休息，B错误； 段：乙在后追赶甲，在点时，甲乙同时到达地. 在段，乙休息，，C正确； 在段，，解得， 因为在点时乙开始休息，当甲乙相遇时，甲所需行驶里程为， 则甲乙相遇时所用的时间，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数．若汽车以110 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为13L，欲使每小时的油耗不超过11L，则速度x的取值范围为________km/h．（结果保留整数） 【答案】 【分析】首先求出的值，再解不等式即可求得答案. 【详解】由，解得， 所以， 所以，故． 故答案为：. 13．（25-26高一上·天津南开·期中）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细.现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的解析式为__________. 【答案】 【分析】设，则可表示出矩形的面积，再结合分类讨论即可得. 【详解】设，则， 由题意可得且，故， 当时，由，可取，则得； 当时，不可取，又，则； 综上，可得. 故答案为：. 14．（25-26高一上·广西崇左·期末）为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 【答案】 【分析】算出年度碳排放量，然后结合收费标准计算即可. 【详解】由题知，该数据中心年度碳排放量为， 因为， 所以该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为元. 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一上·云南·阶段检测）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)300台，最大利润为20000元 【分析】（1）根据固定成本、生产一台机器需投入的费用，结合利润的计算方式进行求解即可； （2）利用二次函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题可知， 化简，得 （2）当时，， 所以当时，取最大值10000； 当时，在上单调递减， 所以， 故当时，取最大值20000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为20000元． 16．（25-26高一上·河南·阶段检测）宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. (1)求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 【答案】(1)的最大值为，相应月研发经费万元； (2) 【分析】（1）由基本不等式得到，并求出此时月研发经费万元； （2）由题意得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时月研发经费万元. （2）由题意得，， 整理可得，解得， 故月研发经费的取值范围为. 17．（25-26高一下·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【分析】（1）由“利润＝销售收入－固定成本－可变成本”列出关系式并化简即得的解析式； （2）利用基本不等式可求得年利润最大值. 【详解】（1）由题意知，年利润 （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 此时，取得最大值为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 18．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）某空调生产企业为了激励某地区销售公司多卖某款空调，在1月份推出的激励政策如下：若该款空调当月销售量不超过200台，则当月该款空调的进价为3000元/台；若该款空调当月销售量超过200台但不超过300台，则进价在3000元/台的基础上，每多售出1台，每台该款空调的进价均降低1元；若该款空调当月销售量超过300台，则进价在2900元/台的基础上，每多售出1台，每台该款空调的进价均降低2元．根据市场调查，该销售公司每月销售该空调最多400台且每月都有销量． (1)设当月该款空调的销售量为台，实际进价为元/台，求与的函数关系式； (2)已知该款空调的销售价为3500元/台，若销售公司当月销售该款空调的利润为18万元，试问销售公司当月销售了多少台该款空调？ 【答案】(1)，其中 (2)300台 【分析】（1）根据条件，分，，，列出分段函数，即可求解； （2）根据（1）的结果，列出利润的方程，即可求解. 【详解】（1）由题意得，当时，； 当时，； 当时，． 故，其中． （2）当时，销售该款空调的利润最大为元180000元，不符合题意； 当时，， 解得或不符合题意（舍去）； 当时，[]⋅，不符合题意； 综上，销售公司当月销售了300台该款空调． 19．（25-26高一上·云南丽江·期中）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】(1) (2)9万件 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）根据题意得，当时，， 当时，， 故 （2）当时，， 且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时. 当时，，当且仅当时，等号成立. 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片. 1 学科网（北京）股份有限公司 $