4.3 对数9题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本高中数学讲义聚焦“对数”核心知识点，系统梳理对数的概念（含定义、常用对数与自然对数）、与指数的互化关系（基本性质及恒等式）、运算性质及换底公式，构建从概念理解到运算应用的完整学习支架，覆盖9类典型题型。 该资料通过分层题型设计（从概念辨析到综合应用），结合研发经费增长、生物脉搏率模型等实际问题，培养学生抽象能力（如对数定义的理解）、推理能力（运算性质推导）与应用意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 4.3对数9题型分类 一、对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)． 二、对数与指数的关系 (1)对数的基本性质 ①负数和0没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 三、对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 四、换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)． (1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)． (2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题． (3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件． (4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n. (5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.　 　　　　 （一） 对数的概念 对数有意义的两个条件： ①底数大于零且不等于1； ②对数的真数必须大于零． 题型1：对数的概念 1．（2026高一·全国·课前预习）判断下列给出的函数是否是对数函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)不是 【分析】（1）由对数函数的定义判断可得； （2）由对数函数的定义判断可得； （3）由对数函数的定义判断可得； （4）由对数函数的定义判断可得； （5）由对数函数的定义判断可得； 【详解】（1）原式中的真数是，而不是，故不是对数函数． （2）原式中的底数是，而不是常数，故不是对数函数． （3）原式中的底数是，且不等于1，符合对数函数的定义，是对数函数． （4）原式中的真数是，而不是，故不是对数函数． （5）原式中的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数． 2．（2026高一·全国·课后作业）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）对数log39和log93的意义一样．( ) （2）（－2）3＝－8可化为log（－2）（－8）＝3.( ) （3）对数运算的实质是求幂指数．( ) （4）若ln N＝2，则N＝2e.( ) 【答案】 错误 错误 正确 错误 【分析】根据对数的概念及运算判断即可. 【详解】（1）底数及真数不同，表示不同的对数，故错误； （2）对数的真数大于0，故错误； （3）根据对数的意义知，故正确； （4）可得，故错误. 故答案为：错误；错误；正确；错误 3．（2026高一·全国·课后作业）下列选项中可以求对数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】由0和负数没有对数,即可得答案. 【详解】解：因为0和负数没有对数， 又，所以D正确． 故选：D. （二） 指数式与对数式的互化 指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　　 题型2：指数式与对数式互化 4．（2026高一·上海·期中）把指数式“”写成对数式__________. 【答案】 【分析】由对数的定义即可求解. 【详解】由得：， 故答案为： 5．（2026高一·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案. 【详解】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 6．（2026高一·全国·课后作业）将下列对数式改写成指数式或指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】由指数式和对数式的关系：且，依次分析即可. 【详解】（1），可得. （2），可得. （3），可得. （4），可得. 7．【多选】（2026高一·四川南充·阶段检测）下列指数式与对数式互化正确的有（    ） A．与ln1=0 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【分析】用指数式与对数式互化关系，逐项确定答案. 【详解】A选项，化为，A选项正确； B选项，化为，B选项正确； C选项，化为，C选项错误； D选项，化为，D选项正确； 故选：ABD. （三） 利用指数式与对数式的关系求值 指数式与对数式的关系求值的基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． ③指数式与对数式的关系求值基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．　　 题型3：利用指数式与对数式的关系求值 8．（2026高一·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3)5 (4)441 【分析】（1）（2）根据对数的定义运算求解即可； （3）（4）根据对数恒等式结合指数运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. （4）由题意可得：. 9．（2026高二·江苏常州·期末）已知函数，若，则实数________． 【答案】 10 【分析】根据对数的计算公式即可求解. 【详解】由题意，故. 10．（2026高三·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】根据指对数转化，再应用指数运算律计算求解. 【详解】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 题型4：简单对数方程的求解 11．（2026高一·云南昭通·期中）若，则___________． 【答案】6 【分析】根据指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由，则，即. 故答案为：6. 12．（2026高一·上海闵行·期中）方程的实数解为_________. 【答案】 【分析】由，得，则，再解关于的二次方程即可. 【详解】由，得， 所以，即， 即，所以或（舍去）， 所以. 故答案为：. 13．（2026高一·全国·课后作业）方程的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式以及对数的运算即可求解. 【详解】 ， 解得或， 解得或， 所以方程的解集为. 故选：D 14．（2026高一·全国·周测）求下列各式中的的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用对数的定义以及指对互化即可求出； （2）化简，再利用对数的定义即可. 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因，所以， 所以. 15．（2026高一·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 题型5：由已知对数求解或表示未知对数式 16．（2026高一·重庆沙坪坝·期中）已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算即可求得结果. 【详解】∵，∴，∴ . 故选：B. 17．（2026高一·北京·阶段检测）已知，则用表示__________ 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合对数的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，可得， 则. 故答案为：. 18．（2026高一·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 【答案】 【分析】将指数化为对数，结合对数运算求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 19．已知，，试用表示为_______． 【答案】 【分析】利用对数的换底公式结合对数的运算性质化简即可. 【详解】，， ． 故答案为： 20．（2026高一·四川成都·期中）已知，，则用，表示________. 【答案】 【分析】利用对数的运算性质以及换底公式即可求解. 【详解】. 故答案为： （四） 对数的性质及对数恒等式 1、利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2、性质alogaN＝N与logaab＝b的作用 (1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． (2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数． 题型6：对数的性质及对数恒等式 21．（2026高二·江苏常州·期末）（    ） A．－5 B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据指数、对数运算性质即可求解. 【详解】. 故选：. 22．（2026高一·陕西渭南·期末）___________________. 【答案】3 【分析】根据对数运算性质求，根据指数幂性质求，将所得结果相加可得结论. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 23．（2026高一·广东佛山·期末）__________ 【答案】 【分析】根据对数和根式的运算计算即可. 【详解】. 故答案为：. （五） 对数运算性质的应用 1、对数运算基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 2、对数的运算两种常用的方法 ①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 题型7：对数的运算 24．（2026高一·福建泉州·阶段检测）计算：______. 【答案】/ 【详解】原式. 25．（2026高一·浙江金华·阶段检测）________． 【答案】 【分析】根据指数和对数的运算性质求解. 【详解】原式. 26．（2026高一·河北邯郸·阶段检测）求的值． 【答案】104 【分析】利用分数指数幂运算和对数运算可得答案. 【详解】∵， 原式. 27．（2026高一·广东广州·阶段检测）求值：________. 【答案】5 【分析】根据指数幂的运算法则、对数的运算法则及换底公式进行计算即可. 【详解】原式 . 28．（2026高一·湖北武汉·期末）计算：_____________． 【答案】17 【分析】由指数与对数的运算法则结合条件求解即可. 【详解】原式为， 其中，， ，， 即. 29．（2026高一·新疆和田·阶段检测）计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2)100 【分析】（1）根据对数的运算公式计算化简即可； （2）根据指数幂的运算公式计算化简即可. 【详解】（1）由题意得 . （2）由题意得 ． 30．（2026高一·广东揭阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2） . 31．（2026高一·云南曲靖·期末）（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）根据分数指数幂运算法则求解； （2）根据对数运算法则求解. 【详解】（1） ； （2）． （六） 换底公式的应用 1、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 2、利用换底公式求值的思想与注意点 题型8：换底公式的应用 32．（2026·河南开封·模拟预测）设、为正数，若，且，则________． 【答案】 【分析】根据换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，可得出的值，即可得出的值. 【详解】因为、为正数，若，且，即，即， 即，即， 整理可得，即， 解得或，故有或，故. 33．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 34．若实数满足，则_________． 【答案】243 【分析】根据及将原式进行化简， 求出的值，再进行指对互化即求得的值. 【详解】，即，解得 由题知， 即，解得， 所以． 故答案为：243 35．（2026高一·山东济宁·期中）________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用换底公式及对数运算性质计算即得. 【详解】 . 故答案为： 36．（2026·福建福州·模拟预测）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. 37．已知条件：，利用对数的换底公式证明： 【答案】证明：由换底公式可得： 所以 证毕. 【分析】利用对数的幂运算性质及换底公式证明. 【详解】略. （七） 对数运算的综合与实际应用 1、应用对数的运算性质解对数方程的三种方法 (1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为f(x)＝ab求解． (2)转化法：适用于同底型，即通过对数的运算把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且求解． (3)换元法：适用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解． 2、解决对数应用题的一般步骤 题型9：对数运算的综合与实际应用 38．（2026高一·贵州六盘水·阶段检测）某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（    ）（参考数据：） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】依题意可得第年投入的研发经费为万元，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】依题意可得第年投入的研发经费为万元， 令，即， 所以 ， 所以，又，所以的最小值为，即第年投入的研发经费首次超过20万元. 故选：B 39．（2026高三·北京房山·开学考试）生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（   ） A．120次/分钟 B．110次/分钟 C．100次/分钟 D．90次/分钟 【答案】A 【分析】由题意可知，，求出，再代入，结合对数的运算性质，即可求出的值. 【详解】由题意可知，，解得， 若一只小狗的体重为克，则 ， 即， ， 比较选项，，， 所以最接近的脉搏率， 故选：A. 40．（2026·北京·模拟预测）用于测量视力情况的视力表通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知甲、乙两人视力的五分记录法的数据分别为和，乙视力的小数记录法的数据为，则甲视力的小数记录法的数据为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代值计算即可. 【详解】由题可知：. 故选：C 41．（2026高三·湖北·阶段检测）2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（   ）（参考数值：，结果精确到kg） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，化简求得正确答案. 【详解】根据题意，， 令，则， 所以，则， 即 所以. 故选：B 1．（2026高一·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式和对数式的互化可得结果. 【详解】因为，所以，. 故选：A. 2．（2026高三·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数式与指数的互化可得出的值. 【详解】由可得，故. 故选：C. 3．（2026高一·云南玉溪·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简的表达式，利用指数的运算性质化简可得结果. 【详解】，所以， 故选：D. 4．（2026高一·广东茂名·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换底公式以及对数的运算法则直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 5．（2026高一·江西吉安·期末）设，，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】令，利用指数和对数的关系可得，即，解关于的一元二次方程即可求解. 【详解】令， 则，，，所以， 即，解得或（负值舍去）， 所以， 故选：D. 6．（2026高一·江苏南通·阶段检测）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得. 【详解】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B 7．（2026高一·全国·单元测试）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对数运算性质转化为一元二次方程即可求解. 【详解】， ∴． 设，则，解之得：． ∴或，解之得：或． 经检验，和均符合题意，∴该方程的解集是． 故选：B 8．（2026高一·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用指数对数互换，解出的值，利用对数的运算法则计算即可. 【详解】已知 ，则， 于是 所以， . 故选：C 9．（2026高三·浙江嘉兴·阶段检测）设，下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，取特殊值逐一计算判断即可. 【详解】对于①②③，由，令， ，①错误； ，②错误； ，③错误； 对于④，取，，④错误， 因此①②③④都错误. 10．（2026高一·河南·阶段检测）若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】由指数函数运算性质可得，由对数函数的性质可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 11．（2026高一·山东淄博·阶段检测）心理学家用函数测定在时间（单位：）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为个成语，此时表示在时间内该生能够记忆的成语个数.假设该生在内能够记忆个成语，则的值大约为（    ）（，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，结合可得出的值. 【详解】由题意可知，，可得， 所以，故， 故选：A. 12．【多选】（2026高二·浙江·阶段检测）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对数的运算性质可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式和对数的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 13．【多选】（2026高一·江苏南通·期中）下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．若，则. 【答案】AC 【分析】根据对数的运算法则及换底公式一一计算可得. 【详解】对于A：， ， 所以，故A正确； 对于B：， ， 所以，故B错误； 对于C： ，故C正确； 对于D：因为， 所以，， 所以，故D错误. 故选：AC 14．【多选】（2026高一·全国·单元测试）下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据逐项判断即可求解. 【详解】依题意，由可得： 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：AC. 15．【多选】（2026高二·黑龙江大庆·阶段检测）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 【答案】ACD 【分析】根据对数运算律结合换底公式计算判断A，D，应用指数运算律计算判断B，C. 【详解】因为，，则，A选项正确； ，B选项错误； 设，则，C选项正确； ，D选项正确； 16．（2026·江西上饶·模拟预测）若，则__________. 【答案】 【分析】利用对数与指数的互化以及指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】，，又， . 故答案为：. 17．（2026高一·浙江杭州·期末）_______. 【答案】1 【分析】根据对数运算性质和运算法则以及指数运算法则即可得到答案. 【详解】原式. 故答案为：1. 18．（2026高一·上海嘉定·阶段检测）已知，则_________.（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据指数与对数的关系得到，再由换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以，又， 所以 . 故答案为： 19．（2026高一·全国·课后作业）若正实数a、b、c均不为1，满足，且，则的值为________. 【答案】1 【分析】设，进而利用对数性质和换底公式求解即可． 【详解】由题意，正实数a、b、c均不为1， 设， 则，，， 即，，， 由，得， 即，即. 故答案为：1. 20．（2026高三·广东东莞·阶段检测）已知是定义域为的奇函数且，当时，．那么______ 【答案】 【分析】由得的周期，进而得，即，最后利用奇函数结合对数恒等式即可求解. 【详解】由，所以是以为周期的周期函数， 因为，所以，所以， 又为奇函数， 所以， 故答案为：. 21．（2026高一·全国·课堂例题）解下列关于的方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）转化为，利用一元二次不等式的解法求解； （2）由，利用对数函数的单调性求解； （3）转化为，利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）解：原方程可化为， 即， ∴（舍去）或， ∴． （2）由， 得，即， 解得或． 经检验知，当时，，，不满足真数大于0，舍去； 当时，，，符合题意．故． （3）原方程整理得，即， 所以或，解得或． 经检验知，，都是原方程的根． 22．（2026高一·全国·课后作业）将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数与对数互化的公式即可得到答案. 【详解】（1）由，得； （2）由，得； （3）由，得； （4）由，得. 23．计算下列各题： (1)； (2). (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 4.3对数9题型分类 一、对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)． 二、对数与指数的关系 (1)对数的基本性质 ①负数和0没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 三、对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 四、换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)． (1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)． (2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题． (3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件． (4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n. (5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.　 　　　　 （一） 对数的概念 对数有意义的两个条件： ①底数大于零且不等于1； ②对数的真数必须大于零． 题型1：对数的概念 1．（2026高一·全国·课前预习）判断下列给出的函数是否是对数函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 2．（2026高一·全国·课后作业）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）对数log39和log93的意义一样．( ) （2）（－2）3＝－8可化为log（－2）（－8）＝3.( ) （3）对数运算的实质是求幂指数．( ) （4）若ln N＝2，则N＝2e.( ) 3．（2026高一·全国·课后作业）下列选项中可以求对数的是（    ） A． B． C．0 D． （二） 指数式与对数式的互化 指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　　 题型2：指数式与对数式互化 4．（2026高一·上海·期中）把指数式“”写成对数式__________. 5．（2026高一·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（2026高一·全国·课后作业）将下列对数式改写成指数式或指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．【多选】（2026高一·四川南充·阶段检测）下列指数式与对数式互化正确的有（    ） A．与ln1=0 B．与 C．与 D．与 （三） 利用指数式与对数式的关系求值 指数式与对数式的关系求值的基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． ③指数式与对数式的关系求值基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．　　 题型3：利用指数式与对数式的关系求值 8．（2026高一·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（2026高二·江苏常州·期末）已知函数，若，则实数________． 10．（2026高三·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 题型4：简单对数方程的求解 11．（2026高一·云南昭通·期中）若，则___________． 12．（2026高一·上海闵行·期中）方程的实数解为_________. 13．（2026高一·全国·课后作业）方程的解集是（    ）． A． B． C． D． 14．（2026高一·全国·周测）求下列各式中的的值. (1)； (2). 15．（2026高一·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 题型5：由已知对数求解或表示未知对数式 16．（2026高一·重庆沙坪坝·期中）已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 17．（2026高一·北京·阶段检测）已知，则用表示__________ 18．（2026高一·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 19．已知，，试用表示为_______． 20．（2026高一·四川成都·期中）已知，，则用，表示________. （四） 对数的性质及对数恒等式 1、利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2、性质alogaN＝N与logaab＝b的作用 (1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． (2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数． 题型6：对数的性质及对数恒等式 21．（2026高二·江苏常州·期末）（    ） A．－5 B． C． D．5 22．（2026高一·陕西渭南·期末）___________________. 23．（2026高一·广东佛山·期末）__________ （五） 对数运算性质的应用 1、对数运算基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 2、对数的运算两种常用的方法 ①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 题型7：对数的运算 24．（2026高一·福建泉州·阶段检测）计算：______. 25．（2026高一·浙江金华·阶段检测）________． 26．（2026高一·河北邯郸·阶段检测）求的值． 27．（2026高一·广东广州·阶段检测）求值：________. 28．（2026高一·湖北武汉·期末）计算：_____________． 29．（2026高一·新疆和田·阶段检测）计算： (1) (2)； 30．（2026高一·广东揭阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)； (2). 31．（2026高一·云南曲靖·期末）（1）计算； （2）计算． （六） 换底公式的应用 1、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 2、利用换底公式求值的思想与注意点 题型8：换底公式的应用 32．（2026·河南开封·模拟预测）设、为正数，若，且，则________． 33．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 34．若实数满足，则_________． 35．（2026高一·山东济宁·期中）________． 36．（2026·福建福州·模拟预测）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 37．已知条件：，利用对数的换底公式证明： （七） 对数运算的综合与实际应用 1、应用对数的运算性质解对数方程的三种方法 (1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为f(x)＝ab求解． (2)转化法：适用于同底型，即通过对数的运算把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且求解． (3)换元法：适用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解． 2、解决对数应用题的一般步骤 题型9：对数运算的综合与实际应用 38．（2026高一·贵州六盘水·阶段检测）某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（    ）（参考数据：） A．4 B．5 C．7 D．8 39．（2026高三·北京房山·开学考试）生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（   ） A．120次/分钟 B．110次/分钟 C．100次/分钟 D．90次/分钟 40．（2026·北京·模拟预测）用于测量视力情况的视力表通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知甲、乙两人视力的五分记录法的数据分别为和，乙视力的小数记录法的数据为，则甲视力的小数记录法的数据为（   ） A． B． C． D． 41．（2026高三·湖北·阶段检测）2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（   ）（参考数值：，结果精确到kg） A． B． C． D． 1．（2026高一·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·云南玉溪·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·广东茂名·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026高一·江西吉安·期末）设，，若，则（    ） A． B． C． D．3 6．（2026高一·江苏南通·阶段检测）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·全国·单元测试）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高一·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 9．（2026高三·浙江嘉兴·阶段检测）设，下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2026高一·河南·阶段检测）若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 11．（2026高一·山东淄博·阶段检测）心理学家用函数测定在时间（单位：）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为个成语，此时表示在时间内该生能够记忆的成语个数.假设该生在内能够记忆个成语，则的值大约为（    ）（，） A． B． C． D． 12．【多选】（2026高二·浙江·阶段检测）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 13．【多选】（2026高一·江苏南通·期中）下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．若，则. 14．【多选】（2026高一·全国·单元测试）下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 15．【多选】（2026高二·黑龙江大庆·阶段检测）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 16．（2026·江西上饶·模拟预测）若，则__________. 17．（2026高一·浙江杭州·期末）_______. 18．（2026高一·上海嘉定·阶段检测）已知，则_________.（用含的式子表示） 19．（2026高一·全国·课后作业）若正实数a、b、c均不为1，满足，且，则的值为________. 20．（2026高三·广东东莞·阶段检测）已知是定义域为的奇函数且，当时，．那么______ 21．（2026高一·全国·课堂例题）解下列关于的方程： (1)； (2)； (3)． 22．（2026高一·全国·课后作业）将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 23．计算下列各题： (1)； (2). (3). 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $