25.3 第1课时 几何图形问题同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“实际问题与一元二次方程（几何图形问题）”，分层设计清晰，从基础几何建模到综合情境应用，梯度合理，强化模型意识与运算能力，适配课时教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|单一图形面积计算（矩形、正方形、圆形）|选择填空为主，直接应用面积公式建模，巩固方程概念| |能力提升|复杂情境问题（多区域分隔、动态点运动）|含动态几何问题，强化推理能力，衔接综合运算| |思维拓展|多条件限制综合应用（墙长、门宽等约束）|多问解答题，培养创新意识，提升问题解决能力|

25.3　实际问题与一元二次方程 第1课时　几何图形问题 —— 夯实基础 —— 1．如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙（墙足够长），剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为，要使围成的花坛的面积为，设花坛较短边的长度为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当△的面积等于时，运动时间为． A．2 B．4 C．10 D．2或10 4．如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道门，门宽为1米，若两个鸡场的总面积为96平方米，设，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．如图，一个养殖户用32米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为60平方米，那么每个鸡舍的长为　　 ． 6．一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米，则原正方形的边长是　　 米． 7．如图，把长的线段分成两段，并且在每一段上作一个正方形，已知两个正方形的面积相差，则大正方形的面积是　　． 8．为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． （1）的长度可表示为　　 米，并直接写出的取值范围； （2）若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ —— 能力提升 —— 9．如图，某停车场的长为，宽为．停车场内过道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度．设过道的宽为，根据题意所列方程为（　　） A． B． C． D． 10．“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长，宽的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是．设边框的宽度为，则列出的方程为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在一块长为，宽为的长方形草坪上，修筑了宽为的小路（阴影部分）．已知草坪面积为，则（　　） A．122 B．102 C．123 D．104 12．制作山西特色手擀面时，将面团擀成一块矩形面片，其面积为480平方厘米，然后将其均匀切成6根宽为的面条，且每根面条的长比宽多，则可列一元二次方程为 　　 ． 13．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为　　． 14．如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，求石板小径的宽度为多少米． 15．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． （1）当△的面积为时，求的值； （2）连接，当时，求的值． —— 思维拓展 —— 16．某农场要建一个矩形饲养场，两面靠墙位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在、、上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场的一边长为7米，则　　 米； （2）若矩形饲养场的面积为189平方米，求边的长； （3）矩形饲养场的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 答案详解 1．解：设花坛较短边的长度为，则花坛较长边的长度为， 根据题意得：． 故选：． 2．解：根据题意可得：． 故选：． 3．解：四边形是矩形， ， ， 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当△的面积等于时，运动时间为． 故选：． 4．解：设米，则米， 根据题意得：． 故选：． 5．解：设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，则每个鸡舍的长为米； 当时，，则每个鸡舍的长为5米； 综上可得：每个鸡舍的长为米或5米， 故答案为：米或5米． 6．解：设原正方形的边长是米， 根据题意得：， 整理得，， 解得， 则原正方形的边长是7米， 故答案为：7． 7．解：设较大正方形的边长为， 根据题意列方程得， 解得， 即大正方形的边长为． ， 即大正方形的面积是， 故答案为：289． 8．解：（1）由题意可知，的长度为：（米， 墙的最大可利用长度为24米， ， 解得：， 故答案为：，的取值范围是； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：的长度为16米． 9．解：由题意得：， 故选：． 10．解：当边框的宽度为时，矩形挂图的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：． 11．解：根据平移把小路移到右边和上面， 草坪可以看成长是，宽是， ， 解得． 故选：． 12．解：根据题意可列方程：． 故答案为：． 13．解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为，根据题意可得： ． 整理得：． ， 解得，． 当时，，不合题意，舍去． 所以，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 故答案为：1． 14．解：由题意，设石板小径的宽度为米， 由题意得，， 或（舍去）， 答：石板小径的宽度为1米． 15．解：（1）（秒，（秒． 当运动时间为秒时，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，．答：的值为1或4； （2）连接，如图所示， 当运动时间为秒时，，，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：当时，的值为1． 16．解：（1）根据题意得：米． 故答案为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：边的长为9米； （3）矩形饲养场的面积不能达到240平方米，理由如下： 假设矩形饲养场的面积能达到240平方米， 根据题意得：， 整理得：， △， 原方程没有实数根， 假设不成立，即矩形饲养场的面积不能达到240平方米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3　实际问题与一元二次方程 第1课时　几何图形问题 ▶ 【1分钟知识回顾】 1．回顾三角形、平行四边形、矩形、菱形、梯形、圆等常见几何图形的面积公式． 2．一个长方形的面积为8 m2，长是宽的2倍．设长方形的宽为x m，根据题意列方程为__ __． 3．某直角三角形两直角边的和为14 m，面积为36 m2.设一直角边的长为x m，根据题意列方程为____________． 4．某菱形两对角线的和为28 m，面积为96 m2.设一条对角线的长为x m，根据题意列方程为____________. ★ 【教学目标】 课题 25.3　第1课时　几何图形问题 授课人 素养目标 1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题． 2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易． 3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准． 4．体验几何问题中图形的变换过程，形成动手操作习惯，培养用数学的眼光观察现实世界. 教学重点 通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力. 教学难点 在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程. 授课类型 新授课 课时 ✓ 【课堂流程】 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.矩形的周长等于________，面积等于________； 长方体的体积公式为________________． 2．如图所示： (1)一块矩形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________． (2)一块矩形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________. 通过回顾矩形的周长、面积及长方体体积等常用公式，唤醒学生已有的知识储备， 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)? 问题： (1)本题中有哪些数量关系？ (2)如何理解“正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形”？ (3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ (4)解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点. 以封面设计等生活实际问题引入新课，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发探究欲望，促使学生主动参与建模活动，体会数学来源于生活又应用于生活， 活动二：实践探究、交流新知 　　教师提出问题(1)，学生分析，请一名同学回答，教师在题目中指出数量关系； 教师提出问题(2)，学生思考，请一名同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长、宽比是9∶7. 教师提出问题(3)，请学生自己设未知数和列方程，然后进行设未知数和列方程的展示，并请学生讲解自己的思维过程，最后请全体学生评价哪种方法列出的方程更简洁，再由学生自主选择其中的一个方程求解作答．选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意的问题． 在活动中，教师应注意： (1)学生对几何图形的分析能力． (2)学生在未知数的选择上，能否根据情况灵活处理． (3)在讨论中能否互相合作． (4)解一元二次方程的能力． (5)学生回答问题时的语言表达是否准确. 1.重视审题训练，引导学生圈画关键信息，培养读题、审题能力。2.帮助学生把实际问题符号化，用字母表示未知量，为列方程创造条件。3.通过对比设直接未知数与间接未知数的解题过程，优化解题策略。安排展示交流环节，增强学生自信心与竞争意识， 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形．若存在，求出直角三角形的三边长；若不存在，请说明理由． 解：存在．根据题意，可设这个直角三角形的最短边长为x，则另两边长分别为x＋1，x＋2. 由勾股定理可知，x2＋(x＋1)2＝(x＋2)2， 整理，得x2－2x－3＝0， 解得x1＝3，x2＝－1(不符合题意，舍去)． ∴x＋1＝4，x＋2＝5. ∴这个直角三角形的三边长分别为3，4，5. 例2　用一根长40 cm的绳子能否围成一个面积为101 cm2的矩形？若能，请求出该矩形的长和宽；若不能，请说明理由． 解：不能，理由如下：设围成矩形的长为x cm，则宽为(20－x)cm.由题意，得 x(20－x)＝101， 整理，得x2－20x＋101＝0， ∵Δ＝202－4×101＝－4<0， ∴此方程无实数根． ∴不能围成面积为101 cm2的矩形. 【变式训练】 1．一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm，面积为24 cm2，求两条直角边的长． 解：设其中一条直角边长为x cm，则另一直角边长为(14－x)cm.根据题意，得 ×x(14－x)＝24，解得x1＝6，x2＝8. 当x1＝6时，14－x＝8；当x2＝8时，14－x＝6. 答：两条直角边的长分别为6 cm，8 cm. 2.一个菱形两条对角线长度之和是10 cm，面积是12 cm2，求菱形的周长． 解：设菱形的一条对角线为x cm，则另一条对角线为(10－x)cm.根据题意，得 x(10－x)＝12，解得x1＝4，x2＝6. ∴两条对角线长度的一半分别为×4＝2(cm)，×6＝3(cm)． ∴菱形的边长为＝(cm)． ∴菱形的周长为4 cm. 3.如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门． (1)设花圃的宽AB为x米，请用含x的代数式表示BC的长为(24－3x)米． (2)若此时花圃的面积刚好为45 m2，求此时花圃的宽． 解：依题意，得x(24－3x)＝45. 整理，得x2－8x＋15＝0. 解得x1＝5，x2＝3. 当x＝5时，24－3x＝9＜14，符合题意； 当x＝3时，24－3x＝15＞14，不合题意，舍去． 答：花圃的宽为5米. 通过篱笆围地等实际问题，让学生完整经历列方程、解方程、检验的建模过程，深刻体会数学知识解决实际问题的价值 活动四：随堂检测 【随堂检测】 1.如图，在一块长8 m、宽6 m的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地宽度相等．设花圃四周绿地的宽为x m，若要使绿地的面积与花圃的面积相等，则x满足的方程是(C) A．(8－x)(6－x)＝×6×8 B．(8－x)(6－x)＝6×8 C．(8－2x)(6－2x)＝×6×8 D．(8－2x)(6－2x)＝6×8 2．用长100 cm的金属丝围成一个矩形框子，框子的面积不可能是(D) A．375 cm2 B．500 cm2 C．625 cm2 D．700 cm2 3.如图，某社区计划将一块长20 m、宽10 m的矩形空地改造成居民共享菜园，为方便居民照料和采摘，需要在菜园内部修建宽度相同的步道(图中阴影部分)．已知步道将菜园分成9个面积均为16 m2的矩形种植区，求步道的宽度． 解：设步道的宽度为x m. 依题意，得9×16＝(20－4x)(10－4x)， 解得x1＝0.5，x2＝7(不合题意，舍去)． 答：步道的宽度为0.5 m. 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝30 cm，AC＝40 cm，点P从点C开始沿CA边以4 cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q从点C开始沿CB边以3 cm/s的速度向点B移动，求几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的. 解：设x s后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，则CP＝4x cm，CQ＝3x cm. 由题意，得×3x×4x＝×30×40×. 解得x1＝5，x2＝－5(不符合题意，舍去)． 答：5 s后，△PCQ的面积等于△ABC面积的. 通过课堂练习进一步巩固本节所学新知 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课你有哪些收获？ (2)还有哪些不明白的问题？与同学们一同分享． 教师总结：面积应用题的解答主要是利用面积公式列方程． 2．布置作业： 教材第21页练习，教材第24页习题25.3第2，5，6，7，8题. 通过课堂小结引导学生回顾用一元二次方程解决实际问题的步骤与方法，自主归纳本节课的学习重点， 教学反思 本节课以几何问题为载体，引导学生经历“审题—建模—解方程—验根”的完整流程，掌握用一元二次方程解决几何图形中面积、线段长度等实际问题的思路与方法，教学中注重引导学生通过画图分析题意，抓住图形中的等量关系（如面积公式、勾股定理等）建立方程模型，体会方程是解决实际问题的有效工具，较好地达成了基础教学目标。从课堂练习看，多数学生能够模仿例题完成基本几何应用题的建模与求解，解题步骤基本规范。但少数学生在复杂图形中提炼等量关系时仍存在困难，面对组合图形或隐含条件较多的问题，找不到建立方程的数量关系；解方程后容易忽略几何图形的实际限制，保留不符合题意的根；部分学生计算准确性有待提升，化简、开方环节失误较多。今后教学我将加强图形分析训练，引导学生通过标注已知量、分解图形理清等量关系；强化验根意识的培养，让学生理解“根必须符合实际意义”的要求；增加针对性练习，规范建模与求解步骤，全面提升学生建模、解方程与检验的综合能力与严谨性． 回顾反思本节教学，进一步提升效果． 我国古代的一个一元二次方程 提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究．我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，有着优良的传统，并取得了重要成果．我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与现代的解法相似． 下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)．只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步”．答：“阔二十四步，长三十六步”．这里，我们不谈杨辉的解法，只用已经学过的知识解决上面的问题． 设阔(宽)为x步，则长为(x＋12)步． 根据题意，列出方程x(x＋12)＝864. 展开，整理，得x2＋12x－864＝0. 解这个方程，得 x＝＝＝. x1＝24，x2＝－36(舍去)． 24＋12＝36. 答：矩形的阔(宽)为24步，长为36步． 学科网（北京）股份有限公司 $