25.3　实际问题与一元二次方程 第1课时　几何图形问题 分层练习 2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C三层梯度设计，从基础概念到综合应用，系统巩固一元二次方程解决几何图形问题，适配新授课差异化教学，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|解题步骤、公式应用（矩形周长、正方形面积）|选择/填空为主，聚焦单一知识点，如方程解的检验取舍| |B层|面积建模、图形转化（道路面积、面积差）|计算题为主，综合运用公式，如矩形绿地小路问题| |C层|综合几何问题、多方案分析|材料分析+开放性问答，深化模型意识，如四周步道设计|

25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 几何图形问题 分层练习 一、A层·基础夯实 1. ★ [选择题]（列一元二次方程解几何面积问题的步骤） 用一元二次方程解决几何图形问题的一般步骤是（ ） A. 设未知数→列方程→解方程→检验→答 B. 画图→猜答案→代入检验 C. 先求面积→再设未知数→写答案 D. 只需列出方程，不必检验 2. ★ [选择题]（矩形面积公式与设元） 用一根长的铁丝围成一个矩形，设矩形一边长为，则另一边长可表示为（ ） A. B. C. D. 3. ☆ [填空题]（正方形面积关系） 一个正方形的边长为，面积为，可列方程为________。 4. [填空题]（长方形周长转化） 长方形的周长为，若长为，则宽为________，面积可表示为________。 5. ★ [选择题]（几何图形问题中的取舍） 某几何问题列得方程的两个解为，但题意要求，则应取（ ） A. x=2 B. x=18 C. 两个都取 D. 两个都舍去 6. [判断题]（方程解与实际意义） 用一元二次方程解决几何问题时，只要解出方程的根，就一定都是实际问题的答案。（ ） 7. [填空题]（道路面积建模基础） 在一块长方形地上修等宽道路，若道路宽为，常把剩余可种植部分转化为长为、宽为的长方形，则剩余面积可表示为________。 二、B层·理解运用 1. ★ [计算题]（矩形面积建模） 用一根长的铁丝围成一个面积为的矩形，求这个矩形的长和宽。 2. ★ [计算题]（面积增加问题） 一个矩形的长比宽多，面积为。求这个矩形的长和宽。 3. ★ [选择题]（道路宽度方程） 一块长、宽的矩形绿地，中间修两条互相垂直且宽度相同的小路，剩余绿地面积为。设小路宽为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. ☆ [计算题]（图形面积差问题） 在一张长、宽的矩形纸片四角剪去边长相同的小正方形，若剩余纸片面积为，求剪去的小正方形边长。 5. [计算题]（边长与面积关系） 一个直角三角形两条直角边相差，面积为。求两条直角边长。 6. [简答题]（设元和检验） 列方程解决几何图形问题时，为什么既要根据面积、周长等数量关系列方程，又要检验方程的解是否符合图形的实际范围？ 三、C层·拓展挑战 1. ★ [计算题]（综合几何面积建模） 如图形问题中，矩形场地长、宽，四周留出宽度相同的小路后，中间矩形区域面积为。设小路宽为，求小路宽。 2. ★ [计算题]（面积与边长综合） 一个长方形的长比宽多，如果长、宽各增加，面积增加，求原长方形的长和宽。 3. ☆ [材料分析]（几何建模中的等量关系选择） 某校准备在长方形空地上设计一个花坛，空地长、宽，四周铺设等宽步道，花坛面积为。设步道宽为。请列方程并求出步道宽。 4. [计算题]（多方案取舍） 一个矩形的周长为，面积为。求矩形的长和宽，并说明两个根在本题中的含义。 5. [开放性问答]（几何方程建模方法归纳） 请结合本课几何图形问题，总结“设未知数—找等量关系—列一元二次方程—解方程—检验取舍”的关键注意点，至少写出三条。 参考答案与解析 A层·基础夯实 1. A 解析：解决几何图形实际问题要先设未知数，再根据面积、周长等关系列方程，解出后还要检验是否符合题意。 2. B 解析：铁丝总长是矩形周长，半周长为，一边为，另一边为。 3. 解析：正方形面积等于边长的平方，所以可列方程。 4. ； 解析：周长为，半周长为，所以宽为，面积为。 5. A 解析：题意要求，只有符合实际范围。 6. × 解析：方程的根可能不符合长度为正、宽度不能超过图形尺寸等实际限制，所以必须检验取舍。 7. 解析：把道路平移转化后，剩余部分可以看成长为、宽为的矩形。 B层·理解运用 1. 长为，宽为 解析：设一边为，另一边为，由面积得，解得或，所以矩形长、宽为。 2. 长为，宽为 解析：设宽为，长为，列方程，即，解得或；长度取正，所以宽为，长为。 3. A 解析：两条小路可平移转化，剩余绿地等效为长、宽的矩形，所以列方程。 4. 边长为 解析：设剪去的小正方形边长为，剪去总面积为，列方程，即，解得或，取。 5. 两条直角边为和 解析：设较短直角边为，较长为，由面积得，即，解得或，取正值。 6. 见解析 解析：列方程体现数学模型，检验取舍体现实际意义。例如道路宽度必须为正且不能超过图形边长的一半，长度、面积也不能为负。 C层·拓展挑战 1. 小路宽为 解析：设小路宽为，中间矩形长为，宽为，列方程，化简得，解得或，根据，取。 2. 原宽为，原长为 解析：设原宽为，原长为。面积增加：，化简得，解得，所以长为。 3. 步道宽为 解析：花坛长为，宽为，列方程，化简得，解得或。根据实际宽度限制，取。 4. 长为，宽为 解析：设长为，宽为，列方程，即，解得或。两个根表示长宽互换，矩形尺寸相同。 5. 见解析 解析：注意：一要根据图形找准面积、周长等量关系；二要合理设未知数，使其他量能用含未知数的式子表示；三要把几何限制转化为取值范围，如长度为正、道路宽不能超过边长；四要解方程后检验并写答。 学科网（北京）股份有限公司 $