25.3 实际间题与一元二次方程 第1课时（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

25.3实际问题与一元二次方程 第1课时数字、面积问题 教材知识梳理 1.数字问题：若存在三边长是三个连续正整数的直角三角形，设三边长分别为x,① ② ,其中x为正整数，由勾股定理，得③ 2.面积问题：设阴影部分的宽为x,则图1中S空的=④ ,图2中S室白= ⑤ ,图3中S室h=⑥ D B a 图1 图2 图3 教材母题变式 教材母题1数字问题 例1（教材P24T1改编）(1)一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积 等于72，则这个两位数是 (2)三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是 教材母题2规则图形问题 例2（教材P20例2改编）有一根长为40cm的铁丝，用它围成一个矩形. (1)当矩形的面积为75cm时，求矩形的长和宽； (2)能围成面积为120cm2的矩形吗？请说明理由. 教材母题3边框与甬道问题 例3（教材P24T6改编）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm,宽30cm,正中央是一个与整 个封面长、宽比例相同的矩形画。如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽， 左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ 15 变式如图，某农家乐老板计划在一块长130米、宽60米的空地开挖两块形状、大小相同的垂钓鱼 塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留 130米 有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ( 60米 A.4.5米 B.5米 C.5.5米 D.6米 教材母题4围墙问题 例4（教材P28T9改编)某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33的铁栅栏，准备用这 些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）. (1)若要建的矩形养鸡场面积为90m2,求养鸡场的长(AB)和宽(BC); (2)该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由. ◆课堂10分钟 1.一个两位数，十位数字比个位数字大2，把由这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位 数平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为 2.如图，在一个长为60m、宽为40m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果 绿化用地的面积为2204m2,那么道路的宽为 m. 住房墙 第2题图 第3题图 3.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材 料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1宽的门，当所围矩形猪舍的长为 m、 宽为 m时，猪舍面积为80m2. 16(2).(x-1)(x+2)=3(x+2), :4=(-20)2-4×120=-80<0,.该方程无实数根， .(x-1)(x+2)-3(x+2)=0 .不能围成面积为120cm2的矩形. ∴.(x+2)[(x-1)-3]=0,即(x+2)(x-4)=0, 例3解：封面的长、宽之比为4：3，则中央的矩形的长、宽之 .x+2=0或x-4=0,∴.方程的解为x1=-2,x2=4 比也应为4：3，设中央的矩形的长和宽分别是4xcm和 课堂10分钟 1.(1)x(x+b)=0x=0x+b=00-b 3m要使因周的边村所占面积是封面面积的行·喝中失 (2)(x+a)(x-a)=0x+a=0x-a=0-aa 矩形的面积是封面面积的手于是可列方程4：·3x= 4 (3)(x±a)2=0-aa 5 2.x1=2,2=√53.x1= 262 40×30,整理，得x2=80,解得x=4√5或x=-45(不符合题 4(1)x,=0,=-3.(2)x=1,=-5 意，合去)，则上，下边衬的宽分别为0165=(20-8w5)m. 2 (3)x1=1,x2=-3. 左，右边衬的宽分别为30-】25-(15-651m 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 2 教材知识梳理 变式B ①-b②c ③≥ 例4解：(1)设BC=xm,则AB=(33-3x)m, 依题意，得x(33-3x)=90,解得x1=6,x2=5. 教材母题变式 当x=6时，33-3x=15,符合题意； 1 例1(1)x1+x2=-3,x1x2=1.（2)x1+x2=- 35=-1. 当x=5时，33-3x=18,18>15,不符合题意，舍去。 例2解：设方程的另一根为x1, 答：养鸡场的长(AB)为15m,宽(BC)为6m. x1+3=1,.x1=-2. (2)不能，理由如下：设BC=ym,则AB=(33-3y)m, x1×3=-2×3=c,.c=-6. 依题意，得y(33-3y)=100,整理，得3y2-33y+100=0. 变式12变式21 .·△=(-33)2-4×3×100=-111<0， ∴.该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个100m2的 例3（1)x+,-=2.(2)+好-2 11 (3)—+=5. 1 矩形养鸡场. 例4-3 课堂10分钟 课堂10分钟 1.312.23.108 1.D2.C3.C4.4-7 第2课时传播、平均变化率问题 5.解：(1)由题意，得x2-4x-2×5+5=0, 教材知识梳理 整理，得x2-4x-5=0,解得x1=5,x2=-1. ①a(1+x)2②a(1+x)2=b③a(1-x)2=b (2)x2-4x-2m+5=0有两个不相等的实数根x1,x2, 教材母题变式 .∴.x1x2=-2m+5. 例1每轮传染中平均一个人传染了6个人. x,x,>0,-2m+5>0,解得m<2 5 变式这种植物每个支干长出6个小分支. 例2每月生产成本的下降率为15%. :4=(-4)2-4(-2m+5)>0,解得m>2 变式解：(1)设该公司投递快递总件数的月平均增长率 m的取值范围为}<m<号 5 为x, 依题意，得20(1+x)2=33.8, 25.3实际问题与一元二次方程 解得，=0.3=30%，x2=-2.3(不符合题意，舍去). 第1课时数字、面积问题 答：该公司投递快递总件数的月平均增长率为30% 教材知识梳理 (2)33.8×(1+30%)=43.94(万件). ①x+1②x+2③x2+(x+1)2=(x+2)2④(a-2x)(b-2x) 43.94<45,.5月份投递快递总件数不能达到45万件。 ⑤(a-x)(b-x) ⑥(a-x)(b-x) 课堂10分钟 教材母题变式 例1(1)98(2)8.9,10 1.B2.D3.D4.10% 例2解：(1)设矩形的长为xcm,则宽为(20-x)cm, 5.每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得不到有 依题意，得x(20-x)=75,解得x,=5,x2=15, 效控制，三轮传播后将有250人被感染. ∴.矩形的长为15cm,宽为5cm. 第3课时循环、比赛问题 (2)不能围成面积为120cm2的矩形，理由如下： 教材知识梳理 设矩形的长为ycm,则宽为(20-y)cm. ①n(n-1) 依题意，得y(20-y)=120,整理，得y2-20y+120=0. 2 ②n(n-1) 参考答案 教材母题变式 教材母题变式 例1(1)应该邀请6支球队参加比赛. 例1解：列表： (2)有11支球队参加比赛. -2 -1 0 例2A例35 0 1 例4解：设这个多边形是n边形，则(m-3》=20. 2 描点、连线： .n2-3n-40=0,解得n1=8,n2=-5(舍去)， 这个多边形是八边形. 不存在有15条对角线的多边形. 令n(n-3) =15,.n2-3n-30=0, 2 .b2-4ac=9+120=129. .·129不能开方为整数 6543210由23456x .不存在有15条对角线的多边形 课堂10分钟 1.C2.B3.B 第二十六章 二次函数 26.1二次函数的概念 (1)开口向上(2)对称轴是y轴(3)当x<0时，y随x的 增大而减小：当x>0时，y随x的增大而增大（答案不唯一） 教材知识梳理 例2解：画图如解图所示 ①y=ax2+bx+c②常数项③2④二次项 y 教材母题变式 y=2x2 例1解：(1)y=2x2-3是二次函数， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-3. 6 (2)y=3x-1不是二次函数. (3)y=(2x-1)(1-x)=-2x2+3x-1是二次函数， 1 二次项系数是-2，一次项系数是3，常数项是-1. 1 (4y=+1不是二次函数 543-2 N2345 变式D 例2m=2n(n-1)是 2 Y= 例3y=50(1+x)2 例4解：(1)S=22+4×6x=2x2+24x,V=6x2. (2)S和V都是关于x的二次函数 -8y=-2x1 课堂10分钟 这些抛物线的特点：当a>0时，开口向上，有最小值，在对 是121是302是3-20是2 称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增 大而增大； -1-1否否 当a<0时，开口向下，有最大值，在对称轴左侧，y随x的增 2.解：(1)由题意，得m-2≠0，解得m≠2， 大而增大：在对称轴右侧，y随x的增大而减小 故当m≠2时，该函数是二次函数. (2)由题意，得m-2=0且m≠0，解得m=2, 变式①③② 故当m=2时，该函数是一次函数. 课堂10分钟 (3)该函数的常数项是-3，不可能为0。 1.D2.m<03.y=x2(答案不唯一) .该函数不可能是正比例函数 4.(1)②③⑤(2)①(3)①④5.4 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+h的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 教材知识梳理 教材知识梳理 ①抛物线②抛物线③向上④向下⑤越小⑥y轴 ①向上②向下③y轴④(0，k)⑤减小⑥增大 ⑦低⑧高⑨减小⑩增大①增大2减小 ⑦增大⑧减小⑨k0k 参考答案