25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦传播问题与平均变化率，通过夯实基础、能力提升、思维拓展三层设计，构建从单一公式应用到综合实际问题解决的知识巩固路径，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|单一增长率/下降率、传播问题|直接应用公式，如研发投入增长（第1题）、流感传播（第4题）| |能力提升|多阶段增长、数据表格分析|综合应用，如1-3月总营业额（第10题）、增长率变化判断（第11题）| |思维拓展|实际商业情境复杂问题|跨情境整合，如文创产品定价策略（第15题）|

第2课时　传播问题与平均变化率问题 ▶ 【1分钟知识回顾】 用长为60 m的篱笆围一个矩形的菜园，宽AD＝x m．用含x的代数式填空： (1)如图1，AB＝__(30－x)__m，S矩形ABCD＝__(－x2＋30x)__m2； (2)如图2，菜园中间用一根篱笆隔开，则AB＝__(30－__x)__m，S矩形ABCD＝__(－x2＋30x)__m2； (3)如图3，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则AB＝__(60－3x)__m，S矩形ABCD＝__(－3x2＋60x)__m2. ★ 【教学目标】 课题 25.3　第2课时　传播问题与平均变化率问题 授课人 素养目标 1.通过学生自主探究，会根据传播问题、平均变化率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤． 2．通过实际问题的解答，让学生认识到必须要对方程的解进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准． 3．通过列一元二次方程解决实际问题，培养学生的“模型思想”和对数学的“应用意识”. 教学重点 通过分析问题中的数量关系，建立方程模型解决问题. 教学难点 正确理解传播与平均变化率问题. 授课类型 新授课 课时 ✓ 【课堂流程】 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 在列方程解应用题时，一般步骤有哪些？ ①审题； ②设未知数； ③根据等量关系列方程； ④解方程； ⑤检验并写出答案． 教师板书：实际问题与一元二次方程——传播问题与平均变化率问题. 通过复习列方程解应用题的一般步骤（审题、设未知数、列方程、解方程、检验作答）， 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题1：若A同学患了流感，每轮传染中能传染6个人，且受感染的其他同学每轮也以相同的速度传染其他人，则第一轮传染过后共有多少人患了流感？第二轮传染过后共有多少人患了流感呢？ 问题2：小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是60分，第二次月考成绩增长了10%，第三次月考成绩又增长了10%，你能列式表示出小明第三次数学成绩是多少吗？ 师生共同讨论，运用表格或图形的方式表示，从表格或图形中得到问题的答案. 通过设置具有挑战性的问题情境，让学生在思考中感受到思维挑战，激发求知欲望，带着疑问主动进入新课的探究， 活动二：实践探究、交流新知 【探究1】 问题：(1)若一人患了流感，每轮传染中平均一个人能够传染6个人，经过几轮传染后，班级内的56名同学都患上流感？ (2)若一人患了流感，每轮传染中平均一个人能传染x个人，则第一轮传染过后共有多少人患了流感？第二轮传染过后共有多少人患了流感？按照这样的传染速度，n轮传染过后共有多少人患了流感？ 师生活动：学生独立思考以上问题，教师给予充分的时间，在得到各自的答案后，小组内交流答案，教师给予点拨和辅导，最后总结出规律． 【探究2】 问题：(1)若小明第一次月考数学成绩是60分，以后每个月数学成绩的增长率都为x，他的第三次月考数学成绩是多少？若小明的第三次月考数学成绩是72分，你能列方程求出x吗？ (2)若小明最初数学成绩为a分，以后每个月数学成绩的增长率都为x，经过n个月，他的数学成绩b是多少？ 师生活动：学生先独立思考，教师提问，对学生疑惑的地方进行指导． 师生共同归纳：平均增长率(或下降率)问题：若基数为a，增长(或下降)率为x，n为增长(或下降)次数，b为变化后的结果，其基本关系式是a(1±x)n＝b. 教师总结：解一元二次方程很多时候有两个解，可能其中一个解不符合问题的实际意义需要舍去. 1.通过由特殊到一般的探究设计，让学生从具体数据中归纳传播问题的规律，提高数学思维能力，为后续建立方程模型做好准备。2.教师适时做好归纳总结，引导学生提炼“审题—找等量关系—列方程—检验”的解题方法 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　(教材第22页练习第1题)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支．如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91， 即x2＋x－90＝0. 解得x1＝9，x2＝－10(舍去)． 答：每个支干长出9个小分支． 例2　某商店在国庆前购进某种文创品，预计每件盈利20元，其中2025年10月1日至10月4日的日销售量如图所示． (1)求2025年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率； (2)用你学过的知识预估2025年10月5日的日销售盈利情况． 解：(1)设2025年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率为x.由题意，得 16(1＋x)2＝25， 解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不符合题意，舍去)． 答：2025年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率为25%. (2)20×25×(1＋25%)＝625(元)． 答：预估2025年10月5日的日销售盈利625元. 【变式训练】 1．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件64元降到每件36元，则平均每次降价的百分率为(B) A．15%　　　　　B．25%　　　　　C．35%　　　　　D．45% 2．某种电脑病毒的传播速度非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑．根据题意，得 1＋x＋x(1＋x)＝81， 解得x1＝8，x2＝－10(不符合题意，舍去)． 3轮感染后，被感染的电脑为81＋81×8＝729(台)． ∵729>700， ∴3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台. 通过用一元二次方程解决传播、平均变化率等代数问题，引导学生分辨不同类型问题的数量关系，掌握各自模型的建立方法，培养具体问题具体分析的习惯 活动四：随堂检测 【随堂检测】 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，则每轮传染中，平均一个人传染的人数为(C) A．11人 B．10人 C．9人 D．8人 2．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1 000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为(A) A．1 000(1＋x)2＝1 000＋440 B．1 000(1＋x)2＝440 C．440(1＋x)2＝1 000 D．1 000(1＋2x)＝1 000＋440 3．某人用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向9个人发送短信． 4．某楼盘商品房的售价是5 000元/平方米，由于政策的调整，房地产开发商经过两次下调价格后，以4 050元/平方米的均价开盘销售．若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率． 解：设平均每次下调的百分率为x.根据题意，得 5 000(1－x)2＝4 050， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)． 答：平均每次下调的百分率为10%. 通过课堂检测及时巩固传播问题与平均变化率问题的求解方法， 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课你有哪些收获？ (2)还有哪些不明白的问题？与同学们一同分享． 教师强调平均增长率(或下降率)问题公式：a(1±x)n＝b. 2．布置作业： 教材第24页习题25.3第4题. 通过课堂小结引导学生回顾用一元二次方程解决实际问题的步骤与方法， 教学反思 本节课以生活情境引入传播问题与平均变化率问题，引导学生建立一元二次方程模型解决问题，教学中我注重让学生经历“实际问题—数学建模—求解—检验”的完整思路，通过分析传播过程中人数增长、商品价格涨跌等数量关系，帮助学生理解传播问题的规律与平均变化率公式的运用，有效激发了学生的学习兴趣，课堂建模探究氛围较好，多数学生能正确列出方程并求解。 但课堂仍有可优化之处：部分学生对数量关系的抽象理解仍需加强，面对情境稍复杂的问题，不能准确识别“单次传播”“两轮传播”或“增长与降低”的数量关系，列式出现偏差；对解的检验意识不强，忽略解是否符合实际意义。 后续教学我将补充少量典型变式，帮助学生巩固对传播、变化率数量关系的理解；强化“先分析数量关系、再列方程、最后检验”的建模流程；优化教学节奏，给学生留足独立思考与交流的时间，进一步提升学生用一元二次方程解决实际问题的能力，深化数学建模思想的应用． 回顾反思本节教学，进一步提升效果． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　传播问题与平均变化率问题 —— 夯实基础 —— 1．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了名学习小组长，每名学习小组长又教会了名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位4月份用纸量为1000张，6月份用纸量下降至640张．则该单位用纸量的月平均下降率是（　　） A． B． C． D． 4．有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了个人，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．某化学实验中，一种反应物的质量随反应时间不断减少，已知初始质量为，经过2分钟反应时间后，总质量变为，设该反应物这2分钟内每分钟减少的百分率均为，则可列方程为　　 ． 6．习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为　　． 7．某新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条．求该门店这两周该数据线销量的周平均增长率． 8．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ —— 能力提升 —— 9．甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．1 10．某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为288万元，设平均每月营业额增长率为，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 11．近年来某国国内生产总值增长率的变化情况如表所示，从表上看，下列结论中不正确的是（　　） 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 增长率 A．2025年国内生产总值的年增长率开始回升 B．这7年中，国内生产总值持续增长 C．从2020年到2024年，国内生产总值的年增长率逐年降低 D．这7年中，每年的国内生产总值都在不断减少 12．某科研小组在湿地生态研究中发现，某种珍稀候鸟的种群数量在繁殖期增长迅速．监测数据显示，该候鸟种群在繁殖期的4月份与6月份统计的个体数量分别约为100只和169只．假设该种群在此期间的增长符合“增长率恒定模型”（即月平均增长率相同），则该种群的月平均增长率是　　 ． 13．2026年央视总台春晚由人形机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，在除夕夜掀起了一阵“科技传统”的视觉风暴．据了解，某科技公司2023年人形机器人项目营业收入2400万元，经过连续两年的增长，2025年全年该项目营业收入达到4704万元，请根据以上信息求出该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率，并预测2026年该公司的此项目营业收入（单位：万元，结果保留整数）． 14．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？ —— 思维拓展 —— 15．实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． 探索规律：（1）求该文创产品平均每次降价的百分率； 解决问题：（2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 答案详解 1．解：由题意得：， 故选：． 2．解：小星教会了名学习小组长，每名学习小组长又教会了名组员， 根据题意可知做实验的学生人数为名， 而全班有43名学生，则， 故选：． 3．解：设该单位用纸量的月平均下降率是， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 该单位用纸量的月平均下降率是． 故选：． 4．解：根据题意两轮后总患者为：人， 故方程为：． 故选：． 5．解：根据题意可得：． 故答案为：． 6．解：设周平均增长率为， 则根据题意列一元二次方程得，， 整理得，（不符合题意，舍去负值）， ． 故答案为：40． 7．解：设该门店这两周该数据线销量的周平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（舍去）． 答：数据线销量的周平均增长率为． 8．解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得，（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 9．解：设提速前甲品牌智能机器人平均每分钟采摘个苹果，则提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘个苹果，乙品牌智能机器人平均每分钟采摘个苹果， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 的值为0.5． 故选：． 10．解：设平均每月营业额的增长率为， 则2月的营业额为：，3月的营业额为：， 则由题意列方程为：． 故选：． 11．解：每年的增长率都是正数，说明生产总值每年都增长， 选项、、不符合题意，选项符合题意， 故选：． 12．解：设该种群的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即该种群的月平均增长率是， 故答案为：． 13．解：设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为． 根据题意得． 解得，（舍去）． 该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为， （万元）． 答：该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为，预测2026年该公司的人形机器人项目营业收入约为6586万元． 14．解：（1）设平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均增长率为； （2）四月份投入图书购置经费为（万元）， 设购买电脑台，根据题意得：， 解得：． 答：最多可购买电脑8台． 15．解：（1）设平均每次降价的百分率为， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为． （2）设每件应降价元， 依题意，得， 解得，． 由题意可得：要尽快减少库存， ， 答：每件应降价36元． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $