25.3 第3课时 循环问题 备课包 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第3课时　循环问题 —— 夯实基础 —— 1．为响应全民健身热潮，促进城际间的体育文化交流，某热门联赛计划组织多支足球队进行单循环赛制的友谊赛．参赛的每两支足球队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛．设有支足球队参赛，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．一次聚会，每两个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了56件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有个队参加比赛，则满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 4．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），每个组共安排28场比赛．设每个组邀请个球队参加比赛，则可列方程得为 　　． 5．已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是，可列方程　　 ． 6．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 7．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 解决方案： 设应邀请个队参赛、 （Ⅰ）每个队要与其他 　　个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 　　场； （Ⅱ）根据题意，列出相应方程为 　　； （Ⅲ）解这个方程，得 　　； （Ⅳ）检验：　　； （Ⅴ）答：比赛组织者应邀请 　　个队参赛． —— 能力提升 —— 8．云南铁路从高原到大海，从中国铁路运输的末梢，逐渐变成面向南亚东南亚的铁路运输枢纽中心．某高铁交通路线从昆明南站出发，最终到达广州南站，若从昆明南站到广州南站共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有个站点，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．某学校红旗队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，则增加的行数为行． A．1 B．2 C．3 D．4 10．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为，则列得方程为 　　． 11．如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，则这个最小数为　　 ． 12．一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所形成的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数． 13．一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理． —— 思维拓展 —— 14．某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接，比原计划的电路总数少15条．则原规划建设的充电桩个数为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 答案详解 1．解：由题意可得， ， 故选：． 2．解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故选：． 3．解：设有个队参赛，则 ． 故选：． 4．解：根据题意得：． 故答案为：． 8．解：设其中较小的奇数为，则较大的奇数为， 依题意得：， 故答案为：． 6．解：设应邀请支球队参加比赛， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：邀请6支球队参加比赛． 7．解：设应邀请个队参赛、 （Ⅰ）每个队要与其他个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场； （Ⅱ）根据题意，列出相应方程为； （Ⅲ）解这个方程，得（不符合题意，舍去），； （Ⅳ）检验：将代入原方程，方程左边右边； （Ⅴ）答：比赛组织者应邀请8个队参赛． 故答案为：；；；（不符合题意，舍去），；将代入原方程，左边右边；8． 8．解：根据题意得：； 故选：． 9．解：设队伍增加的行数为，则增加的列数也为， 根据题意得：． 解得（舍去），． 增加了3行． 故选：． 10．解：个位数字为，则十位数字为， ， 故答案为：． 11．解：设最小数为，则最大数为， 根据题意列一元二次方程得，， 整理得，， 解得（不符合题意，舍去），， 所以这个最小数为9． 故答案为：9． 12．解：设原两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意可知，， 即， 解得，， ，或， 或， 答：这个两位数是42或24． 13．解：设这个多边形是边形，则 ， ， ， 解得，（舍去）， 故多边形的边数为8； ， ， ， 方程的根，无法求出整数， 故这样的多边形不存在． 14．解：设原规划建设的充电桩个数为， 原计划为单循环连接，原总线路数为， 又其余个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路， 实际总线路满足方程：， 解得（负值舍去）， 所以原规划建设的充电桩个数为11， 故选：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 第3课时　循环问题 ▶ 【1分钟知识回顾】 1． (1)2人互赠礼物，每人要送__1__份礼物，共赠出__2____份礼物； (2)3人互赠礼物，每人要送__2__份礼物，共赠出__6____份礼物； (3)x人互赠礼物，每人要送__(x－1)__份礼物，共赠出__x(x－1)__份礼物. 2. (1)2人握手，每人和他人握手__1__次，共握手__1__次； (2)3人两两握手，每人和他人握手__2__次，共握手__3__次； (3)x人两两握手，每人和他人握手__(x－1)__次，共握手_____x(x-1)____次. ★ 【教学目标】 课题 25.3　第3课时　循环问题 授课人 素养目标 1.能从握手、比赛、多边形对角线等实际问题中抽象出一元二次方程模型，理解“单循环”与“双循环”的数量关系差异． 2．通过分析问题中的数量关系，列方程并求解，能根据实际意义检验根的合理性，提升逻辑推理能力． 3．通过对比单循环与双循环比赛场数，体会不同计数规则对结果的影响，发展数据分析观念. 教学重点 建立“单循环”与“双循环”类问题的一元二次方程模型，能根据实际意义取舍根. 教学难点 理解“单循环”与“双循环”的计数区别，准确抽象出等量关系；判断方程的根是否为正整数，解释实际问题的可行性. 授课类型 新授课 课时 ✓ 【课堂流程】 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.传播问题：若1人传染x人，则经过n轮传染后总人数为(1＋x)n，核心是“每一轮都在前一轮基础上倍增”． 2．平均变化率问题：若初始量为a，平均变化率为x，则变化两次后的量为a(1±x)2，核心是“连续两次相同比例的变化”． 3．共性提炼：这两类问题都是从实际情境中抽象出一元二次方程，关键是找到等量关系，并检验解的合理性. 通过回顾传播问题与平均变化率问题的建模方法，帮助学生建立解决实际问题的思维框架， 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题：回到本章第一节中的排球邀请赛问题，通过“设应邀请x支球队参赛”，并根据“每两支球队之间比赛1场”，列得方程x2－x－56＝0. 解方程，得x1＝8，x2＝－7(不合题意，舍去)． 因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛． 那如果比赛变成主客场双循环，总场数能是300场吗？ 师生活动：学生独立思考，教师点拨，引导学生列出符合条件的方程. 从学生熟悉的排球邀请赛等教材例题和生活场景切入，通过单循环与双循环的对比引发认知冲突，让学生感受两类问题计数方式的差异 活动二：实践探究、交流新知 【探究1】 1．若有n支球队进行单循环比赛(每两队赛1场)，每支球队要赛(n－1)场，n支球队共赛n(n－1)场，但每场比赛被重复计算2次，所以总场数为. 2．(教材第23页练习第1题)n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？ 师生活动：教师指导学生进行审题，并进行解答． 解：设共有n个人参加聚会．由题意，得 ＝10. 解得n1＝5，n2＝－4(不合题意，舍去)． 因此，共有5个人参加聚会． 教师总结：握手问题与单循环比赛问题的本质是一致的，即n个人每两人握1次手，则总握手次数为. 【探究2】 我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． (1)六边形的对角线有9条，七边形的对角线有14条； (2)多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 师生活动：教师指导学生进行审题，并进行解答． 如图，六边形的每个顶点可以与另外3个顶点连接形成对角线，每个顶点可以形成3条对角线， 故六边形的对角线数量为3×6÷2＝9(条)； 同理，得七边形的每个顶点可以与另外4个顶点连接形成对角线，每个顶点可以形成4条对角线， 故七边形的对角线数量为4×7÷2＝14(条)． 解：(2)∵n边形的每个顶点可以与(n－3)个顶点连接形成对角线， ∴每个顶点可以形成(n－3)条对角线． ∴n边形的对角线数量为条． 设多边形的边数为n.根据题意，得 ＝27， 整理，得n2－3n－54＝0， 解得n1＝9，n2＝－6(不符合题意，舍去)． 答：多边形的对角线可以有27条，此时多边形的边数为9. 通过小组讨论与对比分析，让学生自主提炼“单循环”问题的通用模型，理解场次数与球队数的关系；通过解方程与检验，强化对“根要符合实际意义”的重视，培养严谨的数学思维和有条理的分析能力。 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了2 450张卡片，求班级学生人数． 解：设该班级学生人数为x人．依题意，得 x(x－1)＝2 450， 解得x1＝50，x2＝－49(不合题意，舍去)． 答：班级学生人数为50人. 例2　在李老师所教的班级中，每两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么你知道李老师所教的班里共有多少名学生吗？ 解：设李老师所教的班里共有x名学生．依题意，得 x(x－1)＝780， 解得x＝40或x＝－39(舍去)． 答：李老师所教的班里共有40名学生． 【例3】已知一个两位数是它个位数字的平方，个位数字是十位数字的2倍，求这个两位数． 解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为2x.根据题意，得 10x＋2x＝(2x)2， 解得x1＝3，x2＝0(不合题意，舍去)． ∴2x＝6. 答：这个两位数是36. 【变式训练】 　1.一个小组有若干人，新年里，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张．设小组有x人，则列方程正确的是(A) A．x(x－1)＝90 B．x(x－1)＝180 C．x(x＋1)＝90 D．x(x＋1)＝180 2．某校举办中国象棋比赛，比赛形式为单循环(即每两人之间只比赛一次)，每局比赛胜者得2分，负者得0分；若下成平局，则各得1分．试问：所有参赛选手的得分总和能否为240分？如果能，参赛人数有多少人？如果不能，请说明理由． 解：能． 设参赛人数有x人．依题意，得 ×2＝240 解得x1＝16，x2＝－15(不符合题意，舍去)． 答：所有参赛选手的得分总和能为240分，参赛人数有16人.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数． 解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为9－x.根据题意，得 x2＋(9－x)2＝45，解得x1＝3，x2＝6. 当x＝3时，这个两位数为63； 当x＝6时，这个两位数为36. 答：这个两位数为36或63. 通过典型例题的讲解，让不同水平的学生都能巩固并应用循环问题的方程模型，在各自基础上获得发展；结合“互赠卡片”“联赛赛制”等真实情境，让学生感受数学与生活的紧密联系，，提升数学应用意识与建模能力。 活动四：随堂检测 【随堂检测】 1.“村BA”是指乡村篮球赛，近年来，“村BA”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．某地经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制(即每两支球队之间进行两场比赛)．已知整个小组赛阶段共比赛30场，设参加比赛的球队有x支，则可得方程(B) A．x(x＋1)＝30 B．x(x－1)＝30 C.x(x＋1)＝30 D.x(x－1)＝30 2．旱地冰壶是冬季奥运会项目冰壶的普及版，在各中小学推广以来，深受同学们的喜爱．某县在举行中小学旱地冰壶比赛时，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两支队伍只比赛一场)，单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有多少支参赛队伍？ 解：设本次比赛共有x支参赛队伍．根据题意，得 x(x－1)＝45， 整理，得x2－x－90＝0， 解得x1＝10，x2＝－9(不符合题意，舍去)． 答：本次比赛共有10支参赛队伍. 通过课堂检测及时检验学生对循环问题核心模型的掌握情况，发现问题、查漏补缺；采用选择题与解答题相结合的形式，全面评估学生的运算能力、审题能力与逻辑推理能力 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课你有哪些收获？ (2)还有哪些不明白的问题？与同学们一同分享． 2．布置作业： 教材第23页练习第2题，教材第24页习题25.3第3题. 通过课堂小结引导学生回顾用一元二次方程解决实际问题的步骤与方法 教学反思 本节课从旧知（传播问题、变化率问题）自然迁移到新知，通过单循环与双循环赛制的对比，引导学生清晰理解两类比赛的计数差异，掌握单循环“每两队赛一场”与双循环“每两队赛两场”的数量关系，并能据此列出方程解决实际问题。教学中我注重通过分层训练与课堂检测覆盖不同水平的学生，落实“实际问题→方程模型→检验根”的完整解题流程，从课堂反馈看，多数学生能正确区分单循环与双循环，列出相应方程并求解，教学目标基本达成。 但部分学生对多边形对角线问题的等量关系推导理解模糊，不能把“n边形对角线条数”与排列组合思想联系起来，面对此类变式问题时无从下手。 后续教学我将强化赛制类问题与对角线问题的类比辨析，讲清“从n个点中选2个点”的计数原理；设计阶梯式变式练习，从单循环、双循环逐步过渡到对角线、握手等同类问题，帮助学生把握问题本质，提升建立方程模型解决实际问题的能力，渗透有序思维与分类讨论思想． 回顾反思本节教学，进一步提升效果． 学科网（北京）股份有限公司 $