25.2.1 第1课时直接开平方法备课包 2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2　降次——解一元二次方程 25.2.1　配方法 第1课时　直接开平方法 ▶ 【1分钟知识回顾】 1．如果x2＝a，那么x叫作a的平方根；求一个数a的平方根的运算叫作开平方． a(a≥0)的平方根为±，a(a≥0)的算术平方根为． 2．0.25的平方根是±0.5；8的平方根是±2；若x2＝5，则x＝±． ★ 【教学目标】 课题 25.2.1　第1课时 直接开平方法 授课人 素养目标 1.理解一元二次方程降次的转化思想． 2．会利用直接开平方法对形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程进行求解． 3．通过探究用直接开平方法解一元二次方程，培养学生勇于探索的良好学习习惯，会用数学的思维思考现实世界. 教学重点 熟练而准确地运用直接开平方法解一元二次方程. 教学难点 通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程. 授课类型 新授课 课时 ✓ 【课堂流程】 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.什么叫作平方根？ 2．平方根有哪些性质？ 3．9的平方根是±3，的平方根是±，的平方根是±． 4．尝试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流． (1)x2＝25.　　　　　　　　　(2)x2－0.16＝0. 通过回顾平方根的概念、性质及开平方的意义，唤醒学生已有的知识经验， 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 课件展示： 问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体盒子的全部外表面，你能通过列方程算出正方体盒子的棱长吗？ 教师适当引导学生寻找题中等量关系并求解： 等量关系：10个正方体盒子的表面积＝1 500 dm2.设其中一个正方体盒子的棱长为x dm，则这个正方体盒子的表面积为6x2dm2，可列方程10×6x2＝1__500，化简，得x2＝25，开平方，得x＝±5，原方程有两个解，但棱长为正数，所以x＝5．故正方体盒子的棱长为5dm. 结论：这种利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 从矩形铁皮等实际生活问题入手设计情境，使抽象的方程知识贴近学生经验，有助于激发学生的学习兴趣， 活动二：实践探究、交流新知 　　1.自主探究(课件展示问题) 问题1：(1)请你用直接开平方法解下列方程： ①x2＝12；②x2－＝0；③2x2－8＝0；④9x2－5＝3. (2)一元二次方程2x2＋1＝0与1－2x2＝0的解相同吗？为什么？ (3)由(1)(2)，你能总结出ax2＋c＝0型一元二次方程的求解方法吗？ 学生自主探究，然后讨论、交流，汇总思想，解答问题，最后师生共同归纳： 一般地，对于方程x2＝p： (1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根x1＝__－__，x2＝____； (2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝__0__； (3)当p＜0时，方程__无实数根__. 2．合作交流(课件展示问题) 问题2：(1)类比方程x2＝25的求解方法，你能解方程(x＋3)2＝5吗？方程(x＋1)2＝2呢？试一试． (2)对于(x＋n)2＝p型的方程，你能说说它的基本解法吗？ 学生通过独立思考，小组合作交流，师生共同归纳：运用直接开平方法可以解形如x2＝p或(x＋n)2＝p的一元二次方程，其实质是利用开平方运算把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”. 1.通过问题1的求解，让学生进一步体验直接开平方法的应用，培养思维的灵活性与善于思考、勇于质疑的学习品质。2.通过问题2对复杂问题的探究，帮助学生体会换元思想及类比的学习方法，加深对直接开平方法原理与步骤的理解，提升灵活运用的能力。 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　(教材第6页例1)解下列方程： (1)4x2－3＝0.　　　　　　　　　(2)(x＋2)2－9＝0. 解：(1)移项，并将二次项系数化为1，得x2＝. 由此可得x＝±，即x1＝，x2＝－. (2)移项，得(x＋2)2＝9. 由此可得x＋2＝±3， x＋2＝3，或x＋2＝－3，即x1＝1，x2＝－5. 多媒体展示，学生自主进行解答，然后交流解法及依据． 例2　若x＝1是方程x2－a＝0的一个根，则a的值为1，方程的另一个根为－1． 例3　若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则＝． 【变式训练】 1.已知方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是x3＝－4，x4＝－1． 2.计算： (1)4x2－13＝12. 解：4x2＝13＋12， 4x2＝25， x2＝， x1＝，x2＝－. （2）4(2x－1)2－36＝0. 解：(2x－1)2＝9， ∴2x－1＝±3. ∴x1＝2，x2＝－1. 1.通过典型例题的讲解与规范板书，帮助学生巩固对直接开平方法的理解，强化“先变形、再开方”的解题步骤，培养严谨的数学思维。2.通过变式训练，及时掌握所学知识，举一反三 活动四：随堂检测 【随堂检测】 1.下列方程中，适合用直接开方法解的个数有(D) ①x2＝1；②(x－2)2＝5；③(x＋3)2＝3；④x2＝x＋3；⑤3x2－3＝x2＋1；⑥y2－2y－3＝0. A．1 B．2 C．3 D．4 2．若方程(x－2)2＝k可以用直接开平方法解，则k的取值范围是(B) A．k≤0 B．k≥0 C．k＜0 D．k≠0 3．一元二次方程(x－1)2＝25可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x－1＝5，则另一个一元一次方程是(C) A．x＋1＝－5 B．x＋1＝5 C．x－1＝－5 D．x－1＝5 4．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－6x＋9＝16； 解：原方程可化为(x－3)2＝16， 两边开平方，得x－3＝±4， ∴x－3＝4或x－3＝－4， 解得x1＝7，x2＝－1. (2)9x2＋24x＋16＝4(x－1)2. 解：原方程可化为(3x＋4)2＝4(x－1)2， 两边开平方，得3x＋4＝±2(x－1)， ∴3x＋4＝2(x－1)或3x＋4＝－2(x－1)， 解得x1＝－6，x2＝－. 5．在实数范围内定义一种新的运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2. (1)计算：3*(－5)＝__－16__； (2)求关于x的方程(x＋2)*5＝0的解． 解：∵(x＋2)*5＝0， ∴(x＋2)2－52＝0， 解得x1＝3，x2＝－7. 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 通过课堂检测及时巩固直接开平方法这一新知，当堂了解学生的掌握情况，发现解题中的典型错误并及时纠正 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业： 教材第6页练习，教材第17页习题25.2第1题. 引导学生自主归纳本节课学习的重点内容， 教学反思 本节课以“油漆刷正方体盒子”这一贴近生活的情境导入新课，有效激发了学生的探究兴趣，让学生直观感受到数学与生活实际的紧密联系。教学中我通过类比平方根的意义，引导学生自主发现直接开平方法的核心思路，掌握将一元二次方程转化为x2＝a（a≥0）形式后直接开平方求解的步骤，体会化归思想在方程求解中的运用。从课堂表现看，学生能较好地理解直接开平方法的原理，掌握基本解题步骤，能够正确求解形如x2＝a、a(x＋m)2＝n的方程，课堂参与度较高，整体达成了预设教学目标。但部分学生在解题时对“开平方取正负两个根”的意识不强，易漏解；遇到系数不为1或式子稍复杂的方程时，变形能力不足，转化过程易出错。后续教学我将设计拓展练习，引导学生灵活运用该方法解决更复杂的方程；强化“开平方得两个根”的易错点提醒，规范解题格式；结合图象直观理解方程解的几何意义，帮助学生深化对直接开平方法的理解与应用，提升运算的准确性与灵活性． 回顾反思本节教学，进一步提升效果． 学科网（北京）股份有限公司 $25.2. 1配方法 第1课时直接开平方法 夯实基础 1.一元二次方程 的解是() B D 2.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为() A. B. C. D. 3.解一元二次方程 时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为 ,则另一个方程为() A. B C. D. 4.如果 是方程 的一个根，那么常数的值为() A.2 B C.4 D. 5.若一元二次方程 的两根分别是 与 ，则这两根分别是() A.1,4 B.1, C.2, D.3,0 6.如果关于的方程 可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是() A. B C. D. 第1页（共14页） 7.关于的一元二次方程 的两个根分别是 与 ,则 8.解方程： (1) (2) 能力提升 9.在如图所示的计算程序中，输入的值为一· 输入c 加1 平方 输出36 10.关于一元二次方程 的两个根判断正确的是() 第2页（共14页） A.一根小于1，另一根大于3 B.一根小于，另一根大于2 C.两根都小于0 D.两根都小于2 11.(1)己知 ,则 的值为一； (2)若实数，满足 ,则 12.对于实数，，新定义一种运算“※”，※ ·若※，则的值为 13.解方程： (1)(-2x+1)2=4: (2)3x-2)2-18=0. 思维拓展 14.关于的方程 的解是 、、均为常数， 问题： 第3页（共14页） (1)关于的方程 的根是」 (2)关于的方程 的根为. 15.在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 。 解：原方程可变形，得 直接开平方，得 我们称这种解法为“平均数法”· (1)下面是小明用“平均数法”解方程 时写的解题过程： 解：原方程可变形，得 直接开平方，得， 第4页（共14页） 上述解题过程中的，所表示的数分别是一，一； (2)请用“平均数法”解方程： 第5页（共14页） (迎bT并)迎9患 答案详解 1.解： 故选： 2.解：、 此方程有解， 故不符合题意； 》 故不符合题意： 3 故不符合题意； 第7页（共14页） 故符合题意； 故选： 3.解：由题知， 因为 则 所以 或 即另一个方程是 故选：. 4.解：将 代入方程 ，得 故选：· 5.解：由题意知，方程 的两根互为相反数 解得 故选： 第8页（共14页） 6.解：根据题意得 解得 故选： 9.解：由题知， 因为关于的一元二次方程 的两个根分别是与 所以 解得 即该方程的两个根为· 因为方程可化为 所以 则 故答案为： 13.解：（1) 第9页（共14页） (2) 9 8.由题意可得 ,或 或. 7.解： 所以 方程的一根小于1，另一根大于3. 故选： 11.解：(1) 即 第10页（共14页） 故答案为：； (2) 或 故答案为：· 12.解：分两种情况： 当 时， ※ 第11页（共14页） (舍去)， 当 时， ※ 解得： (舍去)； 综上所述： 的值为， 故答案为： 13.解：(1)-2x十1=±2， 81=,X2=一 (2)(3x-2}=18 ∴.(3x-2)2=12 ∴.3x-2=±2. ∴.8=，X2= 14.解：(1)关于的方程 的解是 、、均为常数， 设 ,则 可化为 第12页（共14页） 解得： 故答案为： (2)设 ,则 可化为 即 由题意可得： ,即 解得： 故答案为： 15.解：(1) 原方程可变形得 直接开平方得 故 故答案为：5,3. (2) 原方程可变形得 第13页（共14页） 直接开平方得 第14页（共14页）