1.1 空间向量及其运算课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，系统讲解空间向量的概念、线性运算、数量积及共线共面向量定理，通过思维导图梳理知识脉络，从平面向量类比引入空间向量，结合例题与练习构建基础到拔高的学习支架。 其亮点在于以思维导图整合知识体系，借助正方体、正四面体等模型培养数学眼光（空间观念），例题解析注重逻辑推理（数学思维），向量运算与几何证明结合体现数学语言（模型观念）。包含基础、中档、拔高训练对接高考，助力学生提升解题能力，教师可实现一体化教学提高效率。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 本节学习空间向量的概念，掌握空间向量的加减、数乘、数量积运算，理解共线、共面向量定理，会进行向量运算，体会将立体几何问题转化为向量运算的思想 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括134张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 空间向量的有关概念 1 空间向量的定义及表示 定义 在空间，我们把具有大小（向量的二要素.）和方向（向量的二要 素.）的量叫做空间向量（空间向量不能比较大小.）. 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模（空间向量的模可以比较大 小.）. 表示方法 几何表示 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线 段的长度表示空间向量的模. . . . . . . . . . . . . . . . . 4 表示方法 符号表示 空间向量常用一个小写字母表示,如：向量 （印刷用黑 体，书写用_________，注意加箭头.）, . 如图1.1-1，向量的起点是，终点是，则向量可记作 ,其模记为 或 . ____________________________ 图1.1-1 续表 . . 5 2 几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0（它是向量，既有大小又有方向，不是实数0.），书写用 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 的相反向量：-的相反向量： 相等向量 相同 相等 . . 6 特别提醒 理解空间向量相关概念的注意点 （1）注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定是否相同，它们不一定相等. 与方向相同的单位向量为,方向相反的单位向量为 . （2）若把空间中所有单位向量平移到同一起点，则它们的终点可构成半径为单 位长度的球体的表面. （3）在空间中仍然有：（,不共线） 四边形 为平行四边 形. （4）若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必 相同.#1.1.4 7 学思用·典例详解 图1.1-7 例1-1 [多选题](2026·陕西省宝鸡市凤翔中学月考)如图 1.1-7所示，在长方体中， , , ，则在以八个顶点中的两个分别为始 点和终点的向量中( ) ABC A.单位向量有8个 B.与 相等的向量有3个 C.的相反向量有4个 D.模为 的向量有4个 8 【解析】由题可知单位向量有,,（【易错】与 是模为1的两个不同向 量） ,,,,, ，共8个，故A正确； 与相等的向量有,, ，共3个，故B正确； 向量的相反向量有,,, ，共4个，故C正确； 模为（【解惑】长方体左右两个侧面的对角线）的向量分别为,, , ,,,,,共8个，故D错误.故选 . . . . . 9 【想一想丨教材解读】 空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致. 教材深度学习：（1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是 三维空间的向量. （2）联系：向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量的概 念等在平面和空间中都适用. （3）方法：①类比平面向量学习空间向量；②结合平行六面体（如长方体）的直观 图，利用其性质学习空间向量. 10 知识点2 空间向量的线性运算 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两 个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.由此，我们把平面向量的线性运算 推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算. 11 1 加减运算的运算法则 语言叙述 图形表示 加法运 算 三角形法则 首尾顺次相接，首指向尾为和. ______________________________ . . 12 语言叙述 图形表示 加法运 算 平行四边形 法则 共起点为邻边作平行四边形，共起点对 角线为和. ___________________________________ 减法运 算 三角形法则 共起点，连终点，方向指向被减向量. ________________________________________ 续表 . . . . 13 知识延伸 空间向量加法运算的推广——多边形法则 若首尾顺次相接的若干个空间向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即 ．#1.1.1 14 2 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数 与空间向量的乘积 仍然是一个向量，称为空间 向量的数乘. （数乘运算的结果是一个向量） 几何 意义 方向 与向量 的方向相同. 与向量 的方向相反. ，其方向是任意的. 大小 的长度是的长度的 倍. 知识剖析1.实数与空间向量不能进行加减运算，如 无意义. 2.若,则；若,则或 . . . . . . . . . 15 3 线性运算的运算律 交换律 . 结合律 ，（其中 , ）. 分配律 ，（其中 , ）. （【必记】利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到:有限个向量求和，交换 相加向量的顺序，其和不变） 16 学思用·典例详解 例2-2 [教材改编P5 T2][多选题](2026·四川省成都市双流区立格实验学校期中)在平 行六面体中，下列各式中运算的结果为向量 的是( ) ABC A. B. C. D. 【解析】A中， ； B中， ； C中， ； D中， . 故选 . 17 【想一想丨发散探究】 教材第3页【探究】：三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 提示 结合例，在平行六面体 中， ，所以始点相同且不在 同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为 始点的体对角线所表示的向量. 18 图1.1-8 例2-3 (教材改编P5 T3)如图1.1-8，在平行六面体 中，点，分别为， 的中点， 则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】点，分别为， 的中点， 则 . （【方法】灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路（即沿几何体的边选 择途径）） 19 知识点3 共线向量与共面向量 1 直线的方向向量 图1.1-2 如图1.1-2,是直线上一点，在直线上取非零向量 ，则 对于直线上任意一点，存在实数 ,使得 . 我们把与向量 平行的非零向量（零向量因为方向任意， 所以不能作为直线的方向向量）称为直线 的方向向量.直 线可以由其上一点和它的方向向量（直线 的方向向量， 就是与 平行的任意非零向量）确定. . . . . 20 2 共面向量 向量与 直线平 行 如图1.1-3，如果表示非零向量的有向线段 所在 的直线与直线平行或重合，那么称向量 平行 于直线 . 向量与 平面平 行 如图1.1-3，如果直线平行于平面 或在平面 内，那么称向量平行于平面 . 共面向 量 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 图1.1-3 21 3 共线向量与共面向量 共线（平行）向量 共面向量 定义 位置 关系 表示空间非零向量的有向线段所 在的直线的位置关系：互相平行 或重合. 平行于同一个平面的向量. 特征 方向相同或相反. 特例 零向量与任意向量共线（平行）. 22 共线（平行）向量 共面向量 充要 条件 共线向量定理：对任意两个空间向量 , （关键条件，不能少）, 的 充要条件是存在实数 ,使 . 共面向量定理：向量 与两个不共线 向量,（, 不共线是该充要条件 成立的前提）共面的充要条件是存 在唯一的有序实数对 ,使 . 续表 . . . . . . . . 23 共线（平行）向量 共面向量 推论 ,,三点共线 （或,, 三点共线 （存在实数, 使 得 ））. ,,,四点共面 （或,,,四点共面 （存在实数 ,,使得 ））. 应用 判断线线平行或三点（两向量）共线. 判断线面平行或四点（三向量）共 面. （【教材深挖】对教材第4页第2个【探究】的深挖）#1.1 续表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 学思用·典例详解 例3-4 下列结论正确的是( ) B A.用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面 B.若存在实数,,使得（,不共线）,则与， 共面 C.若是直线的方向向量，则也是直线 的方向向量 D.若向量,共线，且与共线，则与 共线 25 【解析】空间中,用有向线段表示的向量仍然是自由向量,而任意两个向量总是共面向 量,故A错误; 当与不共线时，由空间共面向量定理,可知与， 共面，B正确; 当时， ，零向量不能作为直线的方向向量，故C错误； 向量,共线，且,共线，但与不一定共线，因为 可以为零向量（勿忽略特殊向 量），故D错误. . . 26 例3-5 (2026·河南省郑州外国语学校月考)已知为空间任意一点，,,, 满足任意 三点不共线，但四点共面，且，则 的值为( ) B A. B. C. D.1 【解析】 （共面向量定理） 因为,,, 满足任意三点不共线，但四点共面， 所以存在,，使得 ，（【思路引导】将该表达式转化为与题 目中的式子相同的形式） 因为，， ， 所以 ， 27 即 ， 因为 ， 所以解得 . （推论）,,,任意三点不共线，根据四点共面的充要条件，若， ， ，四点共面，则，则 ，解 得 . 28 知识点4 空间向量的数量积运算 1 空间向量的夹角 定义 如图1.1-4，已知两个非零向量（【注意】只有两个非零向量才有夹角，零向 量与任意向量不定义夹角）,，在空间中任取一点，作, ,则 叫做向量,的夹角,记作, . _______________________ 范围 , ,同向时，夹角为0，反向时，夹角为，当, 时， . 图1.1-4 . . . . 29 特别提醒 夹角的换算 ,,,, ; ,,, ; ,,, .#1.1.3 30 2 空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量,,则,叫做, 的数量积（结果是实数，而 不是向量）， 记作（不能表示为×或）.即, . 零向量与任意向量的数量积为0，即 . 运算律 ， . （交换律）. （分配律）. . . . . 31 特别提醒（1）数量积的符号与夹角的关系如下： 为锐角时，；时， 为锐角或0（易漏掉0）. 为钝角时，；时， 为钝角或 （易漏掉 ）. （2）一般情况下，数量积运算不满足结合律， ，也不满 足消去律， . . . . . 32 3 空间向量数量积的性质 性质 作用 若,为非零向量，则 . 证明空间中的垂直关系. 或 . 求空间中线段的长度. 若,为非零向量，则, . 求有关空间角的问题. （当且仅当, 共线时等号成立）. 求数量积运算的最值. 33 4 投影向量 （1）向量向向量投影 如图1.1-5（1），在空间，向量向向量 投影，由于它们是自由向量，因此可 以先将它们平移到同一个平面 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 共 线的向量，,（,决定了的方向与相同或相反， 是与 方向相同的单位向量）,向量称为向量在向量 上的投影向量. 因此向量，的数量积等于向量在向量上的投影向量与向量 的数量积，即 .（这也可称为空间向量数量积的几何意义） . . 34 图1.1-5 （2）向量向直线投影 如图1.1-5（2），将向量 的起点移到 直线上任意点处，得到向量，过点 向直线引垂线，垂足为，向量 就是 向量在直线上的投影向量.这时，向量 与向量的夹角就是向量所在直线与直线 的夹角. 35 （3）向量向平面投影 如图1.1-5（3），向量向平面 投影，就是分别由向量的起点和终点 作平 面 的垂线，垂足分别为，,得到向量,向量称为向量在平面 上的投 影向量.这时，向量,的夹角就是向量所在直线与平面 所成的角. 图1.1-6 知识剖析 如何理解空间向量的投影？ 对于向量的投影向量,无论它是向量 向另一个向量投影， 还是向量向一条直线投影，或是向量 向一个平面投影，都有向 量与投影向量垂直.此时表示三个向量,, 的有向线段 构成一个直角三角形（如图1.1-6）.这样，通过勾股定理，可以借助几何直观更好地 理解向量投影的本质. 36 学思用·典例详解 图1.1-9 例4-6 如图1.1-9，在正方体中，求向量 分别与 向量,, 的夹角. 【解析】连接，,在正方体中, , , . 所以,, , ,, （求向量夹角时，注意向量的方向） , ,, . . . 37 例4-7 （1）［教材改编P8 T2］(2026·安徽省池州市调研)已知正方体 的棱长为1，若，，，则 ( ) B A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】由题意知，，两两垂直，故 ， 又，所以 . 38 图1.1-10 （2）［教材改编P9习题1.1 T4］(2026·北京市大兴区期中)如 图1.1-10，正四面体的棱长为1， ，则 _ _. 【解析】因为点是棱的中点，所以 . 又因为正四面体 的棱长为1，所以 ， 所以 . 39 图1.1-11 例4-8 如图1.1-11，在棱长为1的正方体 中，向量在向量 上的投影向量 是_ ______，向量在直线 上的投影向量是______， 向量在平面 上的投影向量是 _ ___________________． （答案不唯一） 【解析】（1） 向量与向量 夹角为 ， ，，所以向量在向量 上的投影向量是 , . 40 图1.1-12 设 ，如图1.1-12，由正方体的 性质可得，，向量 在向量 上的投影向量是 . 41 （2）如图1.1-12，连接,过作,垂足为，则在直线 上的投影 向量就是 , 在中，,,, , . 所以向量 在直线上的投影向量是 . （3）如图1.1-12，连接,交于点，所以, , 则 平面 , 所以在平面上的投影向量就是，即 . 42 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 空间向量的运算 1 线性运算 图1.1-13 例9 ［教材改编P5 T4］如图1.1-13，在空间四边形 中， 已知点为的重心，,,分别为,, 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简结果. 方法帮 43 （1） ; 【解析】如图1.1-14，连接,是 的重心， 图1.1-14 . 方法帮 44 又 ,（中位线的性质） 由向量加法的三角形法则可知， . 在图中标出 ,如图1.1-14所示. 方法帮 45 （2） ; 【解析】连接,如图1.1-14,因为,,分别为,, 的中点， 所以 . 在图中标出 ，如图1.1-14所示. （3） . 【解析】.在图中标出 ,如图1.1-14所示. 方法帮 46 空间向量的线性运算技巧 1.巧用平移:进行向量的加、减运算时,务必要注意两向量的系数相等后，才可利用三 角形法则或平行四边形法则求和向量、差向量,必要时可采用空间向量的自由平移获 得更准确的结果. 2.数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,明确表示向量的有向线段，利用三 角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量. 3.明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用运算法则和中点性质，将目标向量 转化为已知向量. 方法帮 47 4.相关结论： （1）（ 为空间中任意一点）. （2）在平行六面体中, . （3）若为的重心，则 . （4）若 为空间中任意一点，则有： ①点是线段的中点 ; ②为的重心 ； ③为的中心 . 方法帮 48 【学会了吗丨变式题】 图1.1-15 1.(2026·浙江省金华市曙光学校月考)如图1.1-15，在平行六 面体中，点是棱 的中点，连接 , 交于点，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】在平行四边形中，因为为 的中点，且 ，所以 ，（利用相似知识求解） 则 ， 因此 ． 方法帮 49 2 数量积运算 例10 ［教材改编P7例2］如图1.1-16所示，在长方体中， , ,，为的中点，为 的中点，试计算： 图1.1-16 （1） ； 【解析】 . 方法帮 50 （2） ； 【解析】 . （3） . 【解析】 . 【解析】设,,，则,, , . 方法帮 51 方法帮 52 例11 已知是棱长为1的正方体 内（含正方体表面）任意一点，则 的最大值为___. 2 【解析】如图1.1-17所示， 可转化为在上的投影向量与的数量积，通过观察可知，当点 在棱 上时（此时在上的投影向量为）， 取得最大值， 图1.1-17 最大值为 . . . . . 方法帮 53 空间向量数量积的求解方法 （1）利用定义，套用公式， 并结合运算律进行计算． （2）利用图形，先将各向量移到同一顶点寻找夹角，再代入数量积公式进行运算， 或利用数量积的几何意义，直接在图中找投影向量再求解． （3）利用向量分解，根据几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后 再进行运算． 方法帮 54 【学会了吗丨变式题】 2.如图1.1-18所示，正方体的棱长为1，,分别是, 的中 点，求 . 图1.1-18 方法帮 55 方法帮 56 【答案】 易知,且,, 两两垂直, 因为 , 所以 . 取的中点为,连接，则在平面上的投影向量为 ,由向 量数量积的几何意义（与的数量积就是在平面上的投影向量 与的数量积）知 . 【解析】易知,,, , 所以, . . . . . 方法帮 57 3.(2026·山东省济宁市期中)在棱长为3的正方体中， 是正方体 外接球的直径，点是正方体 表面上的一点，则 的取值范围是( ) A A.[-， B.[-， C.， D.， 方法帮 58 图D 1.1-1 【解析】如图D 1.1-1,设正方体 的外接 球的球心为，球的半径为，则 （【解惑】 外接球的直径为正方体体对角线），可得 ，故 因为（【解惑】 的最小值为棱长的一 半，最大值为正方体体对角线的一半），所以 的取值范围是[- ， ，又因为 ， . . . . 方法帮 59 题型2 利用向量方法解决立体几何中的证明问题 1 共线问题 例12 如图1.1-19，正方体中，为上一点，且, 与交于点.求证：,, 三点共线. 图1.1-19 方法帮 60 图1.1-20 【解析】 如图1.1-20，连接,, , 又与有公共点 （用向量法证明三点共线时，要说明两向量 有公共点）,故,, 三点共线. ,, , . . 方法帮 61 如图1.1-20,连接, . 设,, , 则 , ， . 又与有公共点,，, 三点共线. 方法帮 62 2 共面问题 例13 [教材改编P5例1]如图1.1-21所示，在长方体中，为 的 中点，，且，求证：，，， 四点共面． 图1.1-21 方法帮 63 【解析】连接,,,设，，，则 ， 为的中点， ， 又， ， , ，， 为共面向量，（共面向量定理的运用） 又三向量有相同的起点 （【易漏点】此处需说明三向量过同一点，切勿遗漏）， ，，， 四点共面． . . 方法帮 64 3 平行关系的证明 立体几何中平行的转化 转化前 转化后 证明方法 线线平行 向量平行 共线向量定理 线面平行 向量共面 共面向量定理 面面平行 线面平行 同证线面平行 方法帮 65 图1.1-22 例14 如图1.1-22，在四面体中，是的中点,是 的 中点，点在线段上，且.证明：平面 . 方法帮 66 图1.1-23 【解析】 过,分别作交于，交 于 ，连接 ，如图1.1-23所示， 则， . 因为，所以，所以四边形 是平行四边形 （此处线段与不重合，故平行且等于），则 . 又 平面, 平面 , 所以平面 . . . 方法帮 67 由题图易得 . 又与 不共线， 所以根据向量共面的充要条件可知,,共面（由三向量共面，可知 平面 或 平面 ）. 由于 平面 （利用向量证明线面平行时，需说明直线不在平面内）,所以 平面 . . . . . 方法帮 68 利用向量方法证明线面平行的步骤 方法帮 69 【学会了吗丨变式题】 4.(2026·湖北省武汉市部分学校月考)如图1.1-24所示，已知斜三棱柱 ， 点,分别在和上，且满足， ． 图1.1-24 方法帮 70 （1）向量是否与向量, 共面？ 【答案】， ， ， 由共面向量定理知向量与向量， 共面． 方法帮 71 （2）直线是否与平面 平行？ 【答案】当时（【警示】切勿忘记时的情况），点,重合，点, 重 合，在平面 内. 当时，不在平面 内， 由（1）知与向量，共面，平面 . 综上，当时， 平面；当时，平面 . . . 方法帮 72 4 垂直关系的证明 例15 [教材改编P10 T8]用向量的方法证明：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直.（三垂线定理的逆定理） 方法帮 73 图1.1-25 【解析】已知：如图1.1-25，，分别是平面 的垂 线、斜线，是在平面 上的射影， ，且 . 求证： . 方法帮 74 证明：设直线的方向向量为 . ， ， 又 且 ，， , ， .即证. 方法帮 75 例16 如图1.1-26所示,在正方体中,为与的交点,为 的中 点,求证: 平面 . 图1.1-26 思路点拨 要证明 平面,只需证明垂直于平面 中的两条相交直线. 易知,而中的，连接后的线段与 垂直的可能性最大,故不妨 尝试证明,由向量的数量积可知只需证明 即可. 方法帮 76 【解析】连接,设,, , 则,,, . , , , ,【另解】也可用三垂线定理求解， 在平面 上的射影为,,即 ， 方法帮 77 ,,即, . 又, 平面, 平面 , 平面 . 名师点评 解决此类问题要做好两点： （1）选择恰当的一组不共面的向量，把已知线段和平面内两线段对应的向量用该组 不共面向量表示; （2）通过向量数量积的运算计算出已知线段对应的向量与另两条线段对应的向量的 数量积分别为零. 方法帮 利用向量方法证明垂直问题的思路 1.由数量积的性质（, 是非零向量）可知，要证两直线垂直，可 寻找两直线的方向向量，将两个方向向量表示为几个已知向量的线性形式,只要证明 这两个方向向量的数量积为0即可． 2.用向量法证明线面（面面）垂直，离不开线面（面面）垂直的判定定理，需将线 面（面面）垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可. 方法帮 79 【学会了吗丨变式题】 5.[教材改编P10 T9]如图1.1-27，在三棱锥中，，， 两两垂直，且 ，为的中点.证明： . 图1.1-27 方法帮 80 【答案】 （向量法） 因为 ， ， （综合法） 因为，为的中点，所以.又， ， 两两垂直，所以 平面，因为 平面,所以 ， ， 平面, 平面,所以 平面.又 平面 ,所以 . （【另解】在平面的射影为，根据三垂线定理，即可得） 所以 ， 所以，即 . 方法帮 81 题型3 利用空间向量求长度或距离 例17 如图1.1-28（1）,在中, ,为的平分线, , ,过点作于点,延长后交于点,把图形沿 折起,使 ，如图 1.1-28（2）所示,求折起后所得线段 的长度. 图1.1-28 方法帮 82 图1.1-29 【解析】如图1.1-29,过点作交的延长线于点 ,则 （翻折后角度不变） , , . , , 且, ,, （【解惑】 ,且 与 方向相反）. . . . . . . 方法帮 83 ,.同理 . 名师点评 图形翻折前后要注意变化的元素和不变化的元素分别是什么，特别要注意 不变的元素，从而解决相关问题. ， ,即折起后所得线段 的长度为 . 方法帮 84 利用向量求长度或距离的基本方法 （1）将线段对应的向量用其他向量表示，通过向量运算来求对应向量的模. （2）因为,所以 ，这是利用向量解决长度或距离问题的基本 公式.另外，该公式还可以推广为 ， . 方法帮 85 【学会了吗丨变式题】 图1.1-30 6.(2026·广东省汕头市金山中学月考)如图1.1-30，平行六面体 中，以 为端点的三条棱的长都为1，且两两 夹角均为 ,则 的长为____. 【解析】由于 , 则 ，即的长为 . . 方法帮 86 题型4 利用空间向量求异面直线所成的角 图1.1-31 例18 ［教材改编P8 T1］(2026·湖北省随州市曾都区第一高级中 学月考)如图1.1-31，在正三棱柱中， ， ．若是棱的中点，则异面直线与 所成角的 余弦值为( ) A A. B. C. D. 方法帮 87 【解析】在正三棱柱中，侧棱垂直于底面， 为正三角形， ， ， 所以 ， . 因为 , , 所以 ， 因为， ， 方法帮 88 所以, , 所以异面直线与所成角的余弦值为 . （注意异面直线所成角的范围与向量夹角的范围并不相同） 方法帮 利用向量方法求异面直线所成角的余弦值的步骤 方法帮 90 【学会了吗丨变式题】 7.(2026·河北省石家庄市第十七中学月考)如图1.1-32，在正四面体中，, 分别 为,的中点，则与 的夹角的余弦值为_ _. 图1.1-32 方法帮 91 【解析】设,,,且 , 易知 ,则 . ,, , , . 与的夹角的余弦值为 . 方法帮 92 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 本节内容是空间向量与立体几何的基础，高考中很少单独考查，高考比较侧重考查 空间向量运算在证明垂直、求夹角及求长度中的应用，各种题型都有，难度中等. 核心素养：数学运算（求数量积、求角等），直观想象（由图想图、无图画图等）， 逻辑推理（线线位置关系的判断等）. 93 考向1 利用向量法求异面直线所成的角 图1.1-33 例19 (2024·上海改编)如图1.1-33，已知四棱柱 ,底面为平行四边形， , ,且，则异面直线与 夹角的余弦值为_ __. 【解析】令，，，则,，所以, . 94 例20 (浙江高考题)如图1.1-34,已知平面四边形,,, , .沿直线将翻折成,直线与 所成角的余弦的最大 值是_ __. 图1.1-34 95 给什么 得什么 由题意为直角三角形，且，，得 . 由为等腰三角形，且腰长为3，其底边长为 ，得其底边上的高为 . 求什么 想什么 要求在翻折成时，异面直线与 所成角的余弦的最大 值，需要将用和 中的某些向量表示出来，进而用数量积 来求余弦值，再求其最大值. 差什么 找什么 用某些向量表示时，应以便于求与 的数量积为原则，因此可考 虑过和分别作的垂线，垂足分别为和,这样 , ,且与共线，同时 也便于求解. 96 图1.1-35 【解析】如图1.1-35,过点作于点,取的中点,连接 , 则 . 在中, ,,, , , , . . , 97 则 . 设与所成的角为 , 又 , ,, , 则 ， 故当,,即点在平面内时, 取得最大值，为 . 98 考向2 利用向量法证明空间的位置关系 图1.1-36 例21 (新高考新课标Ⅰ卷节选)如图1.1-36，在正四棱柱 中，，.点,，， 分别 在棱,,,上，,, .证 明： . 99 图1.1-37 【解析】 （综合法） 如图1.1-37，作，交 于点，作，交于点，连接 . 因为，所以 ， 因为平面平面,且平面 平面 ，平面 平面 ,所以 .（面面平行的性质定理） 因为,所以四边形 为平行四边形， . . . . . . 100 所以,同理可得 . 所以 , 因为，所以 为平行四边形， 所以,又，所以 . （向量法） 依题意，得 ，且点不在直线 上， 所以 . 101 高考新题型专练 图1.1-38 1.化学综合 结构示意图[多选题](2026·山东省威 海市期末)金刚石是天然存在的最硬的物质，如图 1.1-38（1）所示是组成金刚石的碳原子在空间中 排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子， 都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接. 从立体几何的角度来看，图1.1-38（2）中有 BD A. B. C., D. ，若正四面体 的棱长为2，则正确的是( ) 102 【解析】由题意得是正四面体 外接球的球心， 设是顶点在下底面的射影，连接,,则是正四面体的高，是 的外 接圆半径， 则，， ， 解得，则 . 对于A， ，故A错误； 对于B，取的中点，的中点，连接,，，则, ， 因为 ， 103 所以， ， ，，则 , 又,所以点在 上， 又，，则 ， ， ，故B正确； 对于C，,, ，故C错误； 对于D，因为,,,所以 , ，故D正确. 故选 . 104 2.新考法 结构不良如图1.1-39，在四面体中，是棱上靠近 的三等分点， 是棱的中点，是线段的中点．设，， ． 图1.1-39 （1）用，，表示向量 ； 105 【答案】如图D 1.1-2,连接，因为是线段的中点，所以 ， 因为是棱上靠近的三等分点，是棱 的中点，所以 图D 1.1-2 106 （2）若，且满足___,求出 的大小． 从下列三个条件中任选一个，填上序号,并完成解答： ①，，， ； ②，，，， ； ③，，，， . 107 【答案】选①,因为, ， 所以，所以 . 选②,因为, ， 所以 ， 所以 . 选③,因为, ， 所以，所以 ． 108 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.(2026·湖北省武汉市部分重点中学月考)点在平行四边形所在平面外， 与 交于点，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为四边形为平行四边形，所以为和 的中点，所以 . 练习帮 109 2.(2026·山西省临汾第一中学月考)已知空间单位向量,的夹角为 ，则 ( ) D A. B. C.1 D. 【解析】因为向量,是单位向量，且两向量的夹角为 ， 所以, ， 所以 . 练习帮 110 图1.1-1 3.新情境 观星台 (2026·安徽省合肥市期中)如图1.1-1 （1）是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近 似看作一个正四棱台 （如图1.1-1 （2）），若，点在 上，且 ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 ， 又因为，所以 ， 所以 . 故选C. 练习帮 111 图1.1-2 4.［教材改编P10 T6］[多选题](2026·湖南省多校月考)如 图1.1-2，在四面体中，,,,分别是,, , 的中点，是和 的交点，则下列选项正确的是 ( ) BCD A. B. C.为直线 的方向向量 D. 练习帮 112 【解析】在四面体中，，，，分别是，，， 的中点，则 ，，于是得四边形 是平行四边形，因平行四边形两 条对角线不一定垂直，即,不一定垂直，则 不一定成立，A不正确； 因为四边形是平行四边形，则 ，B正确； 因为,不是零向量（【提示】零向量不能作为直线的方向向量），则 为直线 的方向向量，C正确； 因为四边形 是平行四边形，可得 ,所以D正确.故选 . . . 练习帮 113 5.(2026·广东省广州市期中)在正三棱柱中，, ，则 ___. 2 【解析】在正三棱柱中， ， 为等边三角形，所以 ， ，因此， ． 练习帮 114 图1.1-3 6.如图1.1-3，已知四棱柱的底面 是矩 形，,,, , 为棱 的中点，则_____,在 上的投影向量是_ ____. 【解析】由题图可知 ,所以 ,所以 . , 所以在上的投影向量是 . 练习帮 115 图1.1-4 7.(2026·山东省济宁第一中学月考)如图1.1-4所示，平行六面 体中，,分别在和 上，且 , . （1）求证：,,, 四点共面； 【答案】连接,,则,,,, 四点共面. （2）试用,,表示 . 【答案】 . 练习帮 116 图1.1-5 8.(2026·陕西省咸阳市永寿县中学月考)如图1.1-5，直三棱 柱中,, ,, 分别 为, 的中点. 【答案】设,, , 根据题意，得, . 练习帮 117 （1）求证: ; 【答案】 , 连接,则 . ， ,即 . 练习帮 118 （2）求异面直线与 所成角的余弦值. 【答案】, , 又由（1）知，, , , , . 故异面直线与所成角的余弦值为 . 练习帮 119 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 图1.1-6 9.新情境 线拐子 (2026·甘肃省白银市期中)如图1.1-6，这是缠线用 的线拐子，线段与线段所在直线异面垂直，， 分别为 ，的中点，且， ．使用线拐子时使丝线从 点出发，依次经过，，，又回到点 ．这样一直循环，丝线 缠好后从线拐子上脱下，这称为“束丝”．若 ，则丝线缠一圈的长度为( ) A A. B. C. D. 练习帮 120 【解析】由题意可知,, ， 所以,, ， 因为 ， 所以，所以 ， 同理可得，， ， 所以丝线缠一圈的长度（【破题点】丝线缠一圈为“从点出发，依次经过，， ， 又回到点”，所以长度为 ） 为 . . . 练习帮 121 10.数学文化 柏拉图立体 (2026·四川省内江市期中)正多面体也称柏拉图立体，被誉 为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全 等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正 六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知半径为2的球 内切于正四面体 ,线段是球的一条动直径（，是直径的两端点）,点是正四面体 的表面上的一个动点,则 的最大值是( ) C A.16 B.30 C.32 D.36 练习帮 122 图D 1.1-1 【解析】如图D 1.1-1,设正四面体的棱长为,记点 为底面 三角形的中心，点 为其内切球的球心. 连接，，，点在 上，（正四面体的性质） , 因为, , 所以 ， 即,解得 , . . 练习帮 123 所以 . 连接,,,因为 , ,所以 ,而 ,,则 . 由题意可知，（【释惑】当为内切球的半径时， 最小，当点 与正四面体的任意一个顶点重合时， 最大） ,所以 , 故 的取值范围为 .故选C. . . 练习帮 124 11.[多选题](2026·辽宁省沈阳市翔宇中学月考)如图1.1-7，一个结晶体的形状为平行 六面体，其中，以顶点 为端点的三条棱的长均为6，且它们彼此 的夹角都是 ，下列说法中正确的是( ) AB 图1.1-7 A. B. C.向量与的夹角为 D.与所成角的余弦值为 练习帮 125 【解析】因为以顶点为端点的三条棱的长均为6，且它们彼此的夹角都是 ，所 以 ， ，则 ，故A正确. ，故B正确. 连接,为等边三角形，则 . 练习帮 126 因为，且向量与的夹角是 ，所以与的夹角是 ， 故C错误. 因为， ， 所以， ， ， 所以， ，故D错误. 故选 ． 练习帮 127 12.(2026·北京市人大附中月考)在棱长为2的正四面体中，点 满足 ，点满足，当, 最 短时， _ ___． 【解析】因为，且 ，所以 ,,,四点共面，即 平面 .（【扫清障碍】共面向量定理的应用） 因为，且，所以,,三点共线，即 直线 .（【扫清障碍】共线向量定理的应用） 当,最短时， 平面， ， 练习帮 128 所以为的中心，为的中点，此时 . 因为 平面， 平面，所以 ， 所以 ． 又 ， 所以 ． 练习帮 129 图1.1-8 13.(2026·河北省迁安市第四高级中学月考)如图1.1-8,正三棱柱 中,底面边长为 . （1）设侧棱长为1,求证: ; 【答案】, . 平面,, . 为正三角形, ,, . , , ，即 . 练习帮 130 （2）设与的夹角为 ,求侧棱的长. 【答案】结合（1）知，, ，又 ， ,,解得 ,即侧棱长为2. 练习帮 131 图1.1-9 14.[探索题]如图1.1-9，在三棱柱 中， ， ， 设,, . （1）试用向量,,表示，并求 . 【答案】连接 , . 由题意可知，, ,且三个向量两两夹角均 为 ，所以,, . 故,所以 . 练习帮 132 （2）在平行四边形内是否存在一点,使得 平面 ?若存在，试 确定点 的位置;若不存在，请说明理由. 【答案】假设存在点使得 平面,连接, ,不妨设 ,则 ,而 , 所以 . 要使 平面,只需，,即 , , 所以 练习帮 133 解得即 , 所以存在点,即当时， 平面 . 练习帮 $