第1章 04-专题强化练1 基底法在立体几何中的应用（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，专题强化基底法应用，通过平行六面体、三棱锥等实例，连接向量运算与线面垂直、异面直线夹角等立体几何问题，搭建从向量到空间形式的学习支架。 其亮点在于以专题练为载体，结合数学思维与数学语言，如用向量点积推导垂直关系、通过柯西不等式求最值，解析含幻灯片推导过程和一题多解。助力学生发展空间观念和推理能力，为教师提供系统专题训练资源，提升教学效率。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练1　基底法在立体几何中的应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.[多选题][2026浙江绍兴上虞中学月考]如图,在棱长均为2的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD 是正方形,且∠A1AB=∠A1AD=60°,则 ( )   A.BD1=2 　     B.AC与BD1夹角的余弦值为  C.A1C⊥B1D1　     D.AA1⊥BD     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得 =- + + ,所以 = = + + -2 · -2 · +2  · = + + -2| || |·cos 60°+2| || |cos 60°=4×3=12,所以BD1=| |=2 ,故A正 确; 易得 = + ,| |=2 ,所以 · =( + )·(- + + )= + · + · - · +  + · =- +| || |cos 60°+ +| || |cos 60°=-4+2×2× +4+2×2× =4,所以cos< ,  >= = = ,故B错误;  = - = + - , = = - , 所以 · =( + - )·(- + )=- - · + · + · + - · = +| || |· cos 60°+ -| || |cos 60°=-4+2×2× +4-2×2× =0,所以A1C⊥B1D1,故C正确; 第1讲　描述运动的基本概念  · = ·( - )= · - · =| || |cos 60°-| || |·cos 60°=2×2× -2×2× =0,所以AA1⊥ BD,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026湖南湘潭阶段性考试]如图,两条异面直线a,b所成的角为30°,在直线a,b上分别取点A',E和点A,F, 使AA'⊥a且AA'⊥b.已知A'E=2,AF= ,EF=5,则线段AA'的长为_____________.       2 或2      第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为 = + + , (用基底法解决立体几何问题时,选择以首尾相接的三向量作为基向量的情况较少,平时应注意积累) 所以 = = + + +2 · +2 · +2 · , 因为AA'⊥a,AA'⊥b,A',E在直线a上,A,F在直线b上,所以 · =0, · =0, 又因为两条异面直线a,b所成的角为30°,所以< , >=30°或< , >=150°.(易错点:注意向量夹角 和异面直线所成角的区别) 因此52=22+ +3+2×2× ×cos< , >, 可得| |=2 或| |=2 ,即线段AA'的长为2 或2 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026辽宁沈阳二中月考]已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,M,N,T分别是AB,AD,AA1上的点,且满足  =  , =  , =  ,体对角线AC1交截面MNT于点P.设 =λ ,则实数λ=_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题知向量 , , 共面,所以存在实数k1,k2,使得 =k1 +k2 , 所以 - =k1( - )+k2( - ), 又 =  , =  , =  , =λ =λ +λ +λ , 所以λ +λ +λ -  =k1 λ +λ +λ -   +k2 λ +λ +λ -   =   + k1λ+k2 λ-    +(k1λ+k2λ) , 故  所以k1=- ,k2=- ,λ= .   第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河南多校联考]三棱锥P-ABC中,点G为△ABC的重心,点M为PG的中点,过点M的平面分别交PA, PB,PC于点A',B',C',且 =x , =y , =z ,且x>0,y>0,z>0,则 + + 的最小值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵点G为△ABC的重心,∴ =  +  +  ,∵M为PG的中点, ∴ =  =  +  +  , ∵ =x , =y , =z , ∴ =  +  +  , ∵A',B',C',M四点共面, ∴ + + =1, ∵x>0,y>0,z>0,∴ + +  =   第1讲　描述运动的基本概念 =  3+ + + + + +   ≥  3+2 +2 +2  = ,当且仅当x=y=z=2时取等号,即 + + 的最小值为 .   第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　设a,b,c,d,e,f∈R,则(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)≥(ad+be+cf)2,当且仅当a∶b∶c=d∶e∶f时等号成立. 一题多解　在求得 + + =1后,还可以采用三维的柯西不等式求解: + + =  + +    + +  ≥    + +  2= ,当且仅当x=y=z=2时等号成立,即 + + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026湖北部分学校联考]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠ BAD=60°. (1)求证:四边形BDD1B1为正方形; (2)求异面直线AB1与BD1所成角的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为 = - , = - = - ,所以 = , 又B,D,D1,B1不共线,所以四边形BDD1B1为平行四边形, 又 · =( - )· = · - · =1×1× -1×1× =0, 所以 ⊥ ,即BD⊥BB1,所以平行四边形BDD1B1为正方形. (2)因为 = + , =- + + , 所以 · =( + )·(- + + )=- + · + · + =1, | |=  = = , | |=  第1讲　描述运动的基本概念 =  = , 所以cos< , >= = = , 所以异面直线AB1与BD1所成角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026浙江宁波期中]如图所示,在棱长为2的正四面体ABCD中,E为等边三角形ACD的中心,F,G分别满 足 =  , = . (1)用 , , 表示 ,并求出| |; (2)求直线FG与平面ACD所成角的正弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)连接AE并延长,交CD于M,则M为CD的中点,   则 =  = × ( + )= ( + ), 所以 = + = + ( + )= + ( - + - )= ( + + ), 所以| |= | + + | =   =  第1讲　描述运动的基本概念 × = × = . (2)根据题意,可知BE⊥平面ACD,因此直线FG与平面ACD所成角的正弦值即为直线FG与直线BE所成 角的余弦值(破题关键).(将线面角转化为异面直线所成的角,进一步转化为两个方向向量的夹角或其补 角) 易得 = - =  -  , 则| |=  =  =  第1讲　描述运动的基本概念 = = , 故cos< , >= =  =  = = = , 则直线FG与平面ACD所成角的正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026浙江强基联盟月考]由矩形ABCD和ABEF构成的立体图形如图所示,其中AB=4,AD=AF=3,∠ DAF= .M,N分别在对角线BD,AE上移动,且AN与DM的长度保持相等.记 =a, =b, =c,且 =λ  ,λ∈[0,1]. (1)当λ= 时,用向量a,b,c表示 , ; (2)λ为何值时,| |的值最小? (3)是否存在M,N使得MN⊥平面ABCD?若存在,请求出λ的值;若不存在,请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1) = + = +  = + ( - )= (a+b),  =  = ( + )= (a+c),  = - = (a+c)- (a+b)= (c-b). (2)第一步:用已知基底表示 . 因为 =λ ,AN与DM的长度相等,且AE,DB为全等矩形的对角线,所以 =λ ,λ∈[0,1], 可得 = - =λ -( + )=λ( + )-[ +λ( - )]=λ(a+c)-[b+λ(a-b)]=(λ-1)b+λc. 第二步:利用已知条件求b·c. 由已知得|a|=4,|b|=3,|c|=3,<a,b>= ,<a,c>= ,<b,c>= , 所以a·b=0,a·c=0,b·c=3×3×cos  = . 第1讲　描述运动的基本概念 第三步:结合向量的模和数量积的性质表示| |,再结合二次函数的性质求最值. | |=  =  =3 , 又λ∈[0,1],故当λ= 时,| |的值最小,为 . (3)假设存在M,N使得MN⊥平面ABCD,因为AB,AD⊂平面ABCD, 所以MN⊥AB,MN⊥AD. 由(2)知, =(λ-1)b+λc,可得 · =[(λ-1)b+λc]·a=(λ-1)b·a+λc·a=0,成立; 且 · =[(λ-1)b+λc]·b=(λ-1)·b2+λc·b=0, 第1讲　描述运动的基本概念 整理得9(λ-1)+ λ=0,解得λ= , 故存在M,N使得MN⊥平面ABCD,此时λ= . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025上海闵行开学考试]已知四棱锥T-ABCD的底面是平行四边形,平面α与直线AD,TA,TC分别交于 点P,Q,R,且 =x , =x , =x ,点M在直线TB上,N为CD的中点,且直线MN∥平面α.设 =a,  =b, =c. (1)试用基底{a,b,c}表示向量 ; (2)证明:对所有满足条件的平面α,点M都落在某一条长为 TB的线段上.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)连接AC,BD,交于点O,连接TO,易得 + =2 , + =2 , ∴ + = + , ∴ = + - =a-b+c. (2)证明:由(1)可知 =a-b+c, ∵ =x , =c,∴ =(1-x)c, 又 =x , =x =xa, ∴ = + = +x =(1-x)a+x(a+c-b)=a+xc-xb,  = - =a+xc-xb-xa=(1-x)a+xc-xb,  = - =(1-x)c-xa, 由点M在直线TB上,可设 =λ =λb,λ∈R, 连接TN,易得 =  +  = a- b+c, 第1讲　描述运动的基本概念  = - =λb- a-c+ b=- a+ b-c, ∵NM∥平面PQR, ∴存在实数y,z使得 =y +z , ∴- a+ b-c=y(1-x)a-yxb+yxc-zxa+z(1-x)c=(y-xy-zx)a-yxb+(yx+z-xz)c,∴  消元可得(4λ+1)x2-(4λ+3)x+2λ+1=0, 当λ=- 时,-2x+ =0,解得x= ; 当λ≠- 时, 第1讲　描述运动的基本概念 ∵x∈R, ∴令Δ=[-(4λ+3)]2-4(4λ+1)(2λ+1)≥0,解得- ≤λ≤ , 所以- ≤λ<- 或- <λ≤ . 综上可得,- ≤λ≤ , 故对所有满足条件的平面α,点M都落在某一条长为 TB的线段上. 第1讲　描述运动的基本概念 $