2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件第一章 1.1 1.1.2　空间向量的数量积运算

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖夹角定义、数量积的概念性质运算律、投影向量及四大应用（求数量积、夹角、距离、证垂直）。课堂从平面向量数量积过渡，新知按“夹角—数量积定义—性质运算律—投影向量”递进，搭建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于以数学眼光抽象空间关系，通过空间四边形、三棱柱等实例将向量问题具象化，培养几何直观；以数学思维设计探究活动，如例2用数量积求异面直线夹角，引导推理计算，发展运算与推理能力；以数学语言系统总结方法，如“求数量积两步法”，帮助规范表达。学生能提升立体几何解题能力，教师可获结构化教学资源，提高教学效率。

1.1.2　空间向量的数量积运算 [目标导航] 课标要求 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法 2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律 3.掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的一些简单问题 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.空间向量的夹角 ∠AOB 互相垂直 2.空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a,b,则|a||b|·cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作 运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b= 交换律 a·b= 分配律 (a+b)·c= a·b λ(a·b) b·a a·c+b·c 两个向量数量积的性质: (1)若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0. (2)若a与b同向,则a·b=|a||b|; 若反向,则a·b=-|a||b|; (4)|a·b|≤|a||b|. 3.投影向量 小试身手 1.已知空间四边形的每条边和对角线长都是a,点E,F,G分别为AB,AD,DC的中点,则a2等于(　 　) B 1 135° 课堂探究·素养培育 [例1] 如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: 求向量的数量积 (1)空间向量运算的两种方法 ①利用定义:利用a·b=|a||b|cos <a,b>并结合运算律进行计算. ②利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. (2)在几何体中求空间向量数量积的步骤 ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入a·b=|a||b|cos <a,b>求解. 利用数量积求夹角 [例2] 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等,E,F分别为AB,OC的中点,求异面直线OE与BF所成角的余弦值. 即时训练2-1:三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1= ∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　.  由数量积求角的方法策略 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移与另一个向量的起点重合,转化为求平面中的角的大小,通过解三角形得出夹角的大小,此法就是求两个向量夹角的平移法. (3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所成的角或补角(注意异面直线所成角的范围). 利用向量数量积求距离 [例3] 已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且与α所成的角是30°,如果AB=a,AC=BD=b,求C,D间的距离. 解:如图,由AC⊥α,知AC⊥AB. 即时训练3-1:如图,在空间四边形OABC中,OA,OB,OC两两成60°角,且OA=OB=OC=2,E为OA的中点,F为BC的中点,试求E,F间的距离. (1)线段长度的计算通常有两种方法:一是构造三角形,解三角形;二是向量法,计算相应向量的模,此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化). 判断或证明垂直问题 利用向量数量积判断或证明线面垂直的思路 (1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量,只要证明这两个向量的数量积为0即可. (2)用向量法证明线面垂直,离不开线面垂直的判定定理,需将线面垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直即可. 当堂即练·素养达成 ABC 当堂即练 D B 60°　 1 1.空间向量数量积性质的应用 (1)a⊥b⇔a·b=0,此结论可用于证明空间中的垂直关系. (2)|a|2=a2,此结论可用于求空间中线段的长度. 课堂小结 2.利用向量数量积求夹角问题的两种方法 (1)结合图形,平移向量,利用空间向量夹角的定义来求,但要注意向量夹角的范围. 3.求两点间的距离或线段长的方法 (1)将此线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. (3)可用|a·e|=|a||cos θ|(e为单位向量,θ为a,e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影. 感谢观看 定义:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则 叫做向量a,b的夹角. 记法:<a,b>. 范围:[0,π]. 如果<a,b>=,那么向量a,b ,记作a⊥b. 特别地,a·a=|a|2或|a|=. (3)若θ为a,b的夹角,则cos θ=. (1)如图1,在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos<a,b>,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影(如图2). (2)如图,向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A′,B′,得到向量,向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. A.2· B.2· C.2· D.2· 2.若向量a与b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为,则a·b=　　　　.  3.已知|a|=,|b|=,a·b=-,则a与b的夹角为　　　　.  4.已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos <a,b>=　　　　.  (1)·; 解:(1)·=· =||||cos <,> =×1×1×cos 60°=. (2)·; 解: (2)·=||||cos <,>=×1×1×cos 0°=. (3)·; 解: (3)·=· =||||cos <,> =×1×1×cos 120°=-. (4)·. 解: (4)·=(+)·(+) =[·(-)+·(-)+·+·]=[-·-·+(-)·+·]=×(--+-+)=-. 即时训练11:如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=1,AD=2,O为AC与BD的交点,E为A1D1的中点,求下列向量的数量积: (1)·; 解:设=a,=b,=c,则|a|=|c|=1,|b|=2, (1)因为=-=b-a, 所以·=(b-a)·c=b·c-a·c. 又a,b,c两两互相垂直, 所以b·c=0,a·c=0,故·=0. (2)·; 解: (2)因为=+=+=c+b, 又=+=a+b, 所以·=(c+b)·(a+b)=|b|2=2. (3)·. 解: (3)因为=- =(+)-(+) =(a+b)-(c+b)=a-c, 又=a+b,所以·=(a-c)·(a+b)=a2=. 解:如图,设=a,=b,=c, 且 |a|=|b|=|c|=1, 易知∠AOB=∠BOC=∠AOC=, 则a·b=b·c=c·a=. 因为=(+)=(a+b), =-=-=c-b, ||=||=, 所以·=(a+b)·(c-b)=a·c+b·c-a·b-b2=-. 所以cos <,>==-. 所以异面直线OE与BF所成角的余弦值是. 解析:如图所示,设该三棱柱的底面边长为1,依题意有=+, =++=+-, 则||2=(+)2 =+2·+ =2+2cos 60°=3, ||2=(+-)2 =+++2·-2·-2·=2, 而·=(+)·(+-) =·+·-·+·+·-·=+-1++1-=1, 所以cos <,>===. 所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. (2)由两个向量的数量积的定义得cos <a,b>=,求<a,b>的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出<a,b>的余弦值,进而求出<a,b>的大小.在求a·b时注意结合空间图形,把a,b用基向量表示出来,进而化简得出a·b的值. 过点D作DD′⊥α于点D′,连接BD′,则∠DBD′=30°,<,>=120°, 所以||2=·=(++)2 =||2+||2+||2+2·+2·+2· =b2+a2+b2+2b2cos 120°=a2+b2, 故CD=. 解:=+ =+(+) =+[(-)+(-)] =-++, 所以=+++2×(-)×·+2×(-)×·+2×× ·=2.所以||=,即E,F间的距离为. (2)应牢记并能熟练地应用公式 |a+b+c|==. [例4] 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=CC1,=a,=b,=c, <a,b>=<a,c>=,<b,c>=,N是AB的中点. (1)用a,b,c表示向量 . (1)解:易知=+=+=+(+)=-c+(-a+b)=-a+b-c. (2)在线段C1B1上存在一点M,且C1M=C1B1,求证:AM⊥A1N. (2)证明:易知=+=++, 又C1M=C1B1, 所以=++=-a+b+c. 不妨取CA=CB=CC1=1, 可得·=(-a+b+c)·(-a+b-c) =a2-a·b-a·c-a·b+b2+b·c+a·c-b·c-c2 =a2+b2-c2-a·b+a·c-b·c=-+×-×-0=0, 即可得⊥, 所以AM⊥A1N. 即时训练41:如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1, BC=,M为BC的中点.求证:PB⊥AM. 证明:设=a,=b, 则=a+b,=a-b, 因为·=(a+b)·(a-b)=a2-b2=0, 所以AM⊥DB.由三垂线定理得PB⊥AM. 1.(多选题)下列各命题中,一定是正确命题的有(　 　) A.=|a| B.m(λa)·b=(mλ)a·b C.a·(b+c)=(b+c)·a D.a2b=b2a 解析:因为a·a=|a|2, 所以=|a|,故A正确; m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B正确; a·(b+c)=a·b+a·c,(b+c)·a=b·a+c· a=a·b+a·c=a·(b+c),故C正确; a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,故D不一定正确.故选ABC. 2.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(　 　) A.60° B.30° C.135° D.45° 解析:因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0, 所以a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos <a,b>=1-1××cos <a,b>=0, 所以cos <a,b>=. 因为0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°. 3.已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以A为顶点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角线AC1的长为(　 　) A.6 B. C.3 D. 解析:如图,由题意可知, 因为=++, 所以=(++)2=+++2·+2·+2· =1+1+1+2(cos 60°+cos 60°+cos 60°)=6, 所以||=,即AC1的长为. 4.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,则与所成角的大小为　　　,·=　　　　.  解析:法一　连接A1D, 则∠PA1D就是与所成的角,连接PD, 在△PA1D中,易得PA1=DA1=PD=, 即△PA1D为等边三角形,从而∠PA1D=60°, 即与所成角的大小为60°. 因此·=××cos 60°=1. 法二　·=(+)·(+)==1.由题意可得PA1=B1C=, 则××cos <,>=1, 从而<,>=60°. (3)cos <a,b>=,此结论可用于求有关空间角的问题. (4)|b|cos <a,b>=,此结论可用于求空间中的距离问题. (2)先求a·b,再利用公式cos <a,b>=求cos <a,b>,最后确定<a,b>. (2)因为a·a=|a|2,所以|a|=,这是利用向量解决距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为 |a±b|==. $