2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性（精讲）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性、对称性与周期性核心考点，知识复习系统梳理定义、图象特点、常用结论及典型函数类型，构建知识网络，典型例题按判断、求解析式、应用等题型分层设计，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以数学思维培养为核心，如判断奇偶性强调定义域优先原则，求解析式运用转化思想，结合高考真题训练提升解题能力，设置从基础到综合的分层练习，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性（精讲） 第一部分：知识复习 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [常用结论] 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (3)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)； (4)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|(a≠b)． 3．常见奇、偶函数的类型 (1)f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数； (2)f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)为奇函数； (3)f(x)＝＝(a＞0且a≠1)为奇函数； (4)f(x)＝loga(a＞0且a≠1，b≠0)为奇函数； (5)f(x)＝loga(±x)(a＞0且a≠1)为奇函数； (6)f(x)＝|ax＋b|＋|ax－b|为偶函数； (7)f(x)＝|ax＋b|－|ax－b|为奇函数． 4．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点(a,0). 5．函数的轴对称和中心对称 (1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(2a－x)＝f(x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称． (3)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＋f(b＋x)＝c，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为. 6．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． (4)函数y＝f(a－x)与y＝f(x－b)的图象关于直线x＝对称． 第二部分：典型例题 典例一：判断函数奇偶性 1．（上海市宝山区2026-2026学年高三上学期6月期末教学质量监测数学试题）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，该函数为常数函数，是偶函数，但所有非零实数均为其周期，不存在最小正周期，故A错误； 对于B，因为，又， 所以是偶函数，且最小正周期为，故B正确； 对于C，由，令， 因为，所以是奇函数，不合题意，故C错误； 对于D，因为是奇函数，不合题意，故D错误. 2．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知函数，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数， 又， 因为在上是增函数且，所以在上是增函数， 所以在上是减函数，所以在上是减函数， 3．（2026·河南开封·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，，定义域为，不满足奇函数定义域关于原点对称的要求，即：函数不是奇函数，所以A选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称，且，所以是奇函数， 当，设，则， 因为，所以，，所以，即：，所以在上为减函数，所以B选项正确； C选项，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，而不是奇函数，所以C选项错误； D选项，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，而不是奇函数，所以D选项错误. 4．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 典例二：根据函数奇偶性求解析式 5．（25-26高三上·安徽安庆·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性计算即可. 【详解】. 6．（2026·甘肃酒泉·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【详解】若，则，则， 因为是定义在上的奇函数，所以， 对其求导得，则，又因， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 7．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 8．（25-26高三上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 9．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，. (1)写出函数的解析式； (2)若关于x的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，从而求得，再利用是定义在R上的奇函数求解； （2）根据（1），画出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】（1）设，则， 所以， 又是定义在R上的奇函数， 所以， 又， 所以； （2）由（1）知：，其图象如图所示： 关于x的方程有2个不相等的实数根， 由图象知： ，且， 所以实数的取值范围是. 10．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数是偶函数求解解析式； （2）应用函数图象结合函数单调性列出不等式计算求解. 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数， 当时，； 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）由函数，所以函数的单调递增区间为和 又在区间上单调递增， 故，所以. 典例三：函数奇偶性的应用 11．（2026·湖南·三模）设是奇函数，且，则______． 【答案】 【详解】因为是奇函数，且， 所以，即. 12．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【答案】0 【分析】先利用偶函数的对称性得到，再结合奇函数性质及即可推出结果. 【详解】因为为偶函数，所以， 则， 又因为是上的奇函数，所以. 13．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知定义域为R的偶函数，当时，，则 ________. 【答案】 【分析】先利用函数的奇偶性求出时的表达式，结合指数与对数运算法则代入后即可求解. 【详解】设，则，， 因为为偶函数，则， 即， 因为，则. 14．（25-26高三上·江苏镇江·期末）已知函数在上最大值为，最小值为，则_________． 【答案】8 【详解】， 设，因为， 所以为奇函数，则， 所以. 15．（25-26高三上·福建三明·期中）已知函数且，则的值为______． 【答案】 【分析】构造函数，根据的奇偶性计算出的值. 【详解】令，定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数， 所以，所以， 代入，可得， 故答案为：. 16．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，则______. 【答案】 【分析】由题意可得，进而可得，计算可求. 【详解】由题意可得，所以， 所以，所以， 又，所以，所以. 故答案为：. 典例四：由函数奇偶性求参数 17．（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【答案】 【分析】由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可． 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 18．（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，即，得. 当时，， ，. 所以函数为奇函数. 所以. 19．（25-26高三上·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得. 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 20．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）已知是偶函数，则实数（     ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意，利用，列出方程，求得的值，结合函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，可得，即， 可得，解得，即， 经验证：，所以函数为偶函数，符合题意. 21．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则______________． 【答案】9 【分析】由幂函数和偶函数的性质求得，结合对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 又为偶函数，所以，所以． 22．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义对定义域内所有x恒成立，求出参数a的值，再代入计算即可. 【详解】由得， 所以函数的定义域关于原点对称， 又函数为偶函数，则对任意，恒成立， 即， 整理得，该式对所有恒成立，故， ， 所以. 典例五：利用奇偶性与单调性解不等式 23．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是奇函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【分析】先根据奇函数的性质求出的值，再判断函数的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求解不等式. 【详解】的定义域为，因为为奇函数，所以，故，即. 代入可得,其定义域为，关于原点对称， 且，为奇函数. 所以符合题意， 又均在上单调递增， 故在上单调递增，由 ， 得 又为奇函数，即， 所以， 所以，解得或， 故或，故原不等式的解集为 24．（2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先判断函数为上的偶函数且在上单调递增，将函数不等式转化为绝对值不等式求解即可 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以是上的偶函数， 因为，当时， ， 由于时 ， 所以，即在上单调递增； 结合偶函数性质，在上单调递减，且满足 因为 ， 所以 等价于 ， 因为在上单调递增， 所以等价于， 当时，不等式化为，即 ， 其判别式 ，不等式恒成立，故； 当时，不等式化为，即 ， 因式分解得 ，解得或 . 综上，实数的取值范围是 25．（25-26高二下·吉林·期末）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探讨函数的奇偶性和单调性，再借助性质求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则，得，解得或， 所以的取值范围为. 26．（25-26高三上·四川成都·期末）函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性的定义和对数的运算性质，结合恒成立思想，可得的值，由不等式有解，结合函数的奇偶性和单调性和双钩函数的性质得值域，求出的范围. 【详解】若函数是定义在实数集上的奇函数， 可得， 即， 即， 由，可得； 所以， 任取，设则 ， ， ， 则 所以则函数为上的增函数， 又因为函数为上的奇函数，所以函数为上的增函数， 所以不等式有解， 转化为， 即有解， 所以有解，即， 令，因，则，即， 则 ，当且仅当时取等号， 由双钩函数的单调性知：，函数单调递减， ，函数单调递增， 当时，，当时， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 27．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 28．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 典例六：由函数周期性求解析式 29．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用函数对称以及奇函数的性质证明. (2)通过函数的周期性以及奇函数性质求解. 【详解】（1）证：因为关于直线对称，所以，进而. 因为是定义在上的奇函数，，所以. 因此. 即是周期为4的周期函数. （2）由函数是定义在上的奇函数，有． 当时，，，符合式子， 故时，． 时，，． 从而，时，函数. 30．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 31．（25-26高三上·江苏苏州·期中）设是定义在上的函数，对任意，均有，当时，，则当，时，______． 【答案】 【分析】由题可得的周期为4，求出时的的解析式，利用函数周期性求得答案. 【详解】由，得， 所以，即函数是周期为4的周期函数. 当时，， ，又， 所以， 当，时，则， ， 又， . 故答案为：. 32．（2026高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，． (1)求当时，函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）当时，，根据已知关系式得，再代入已知解析式即可得； （2）根据已知关系式得函数的周期为4，由时，利用周期性得，再由即可得. 【详解】（1）由于，则，即， 当时，，则； （2）由，得，则，即函数周期， 当时，， 则， 因为，所以； 典例七：由函数周期性求函数值 33．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知解析式可求解. 【详解】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 34．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知是定义在上且周期为4的函数，当时，，则（    ） A．12 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】利用周期性，将所求的x的值转化成在已知解析式范围内的取值进行计算． 【详解】由周期为4，可得； ； 因为时，，则， 所以． 35．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则_____． 【答案】 【详解】函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于直线对称 故是定义在上的偶函数， 已知对任意，， 令,可得，解得， 故，即是一个周期为8的周期函数； ，， ． 36．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知是偶函数，且，当时，，则等于____. 【答案】 【分析】先求出函数的周期，再根据偶函数及已知条件求解即可. 【详解】因为， 所以函数的周期为， 又因为当时，，且是偶函数， 所以. 37．（25-26高三上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定信息，确定函数的周期，再求出在上的解析式及单调性，再逐项分析判断. 【详解】函数是定义域为R的奇函数，由，得， 即， 则，函数周期为4. 当时，，则， 因此当时，，函数在上单调递增. 对于AB，，而， 则，因此，AB错误； 对于C，， 而，因此，C错误； 对于D，， 而，因此，D正确. 38．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则________． 【答案】3 【分析】通过对称的转化以及特殊值代入求出函数周期求解. 【详解】因关于直线对称，可得关于直线对称，即是偶函数，. 将代入中，，得到，因此， 那么，即的周期为8. . 典例八：由函数对称性求解析式 39．（2026·陕西西安·一模）已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用轴对称列式求出解析式. （2）由（1）的结论，按分段，结合对数函数性质及不等式性质推理得证. 【详解】（1）函数，因函数的图象与的图象关于直线对称， 则， 故函数的解析式为. （2）由（1）知，，恒有， 若，则，，而，因此； 若，则，，，因此， 综上，可得. 40．（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 【答案】 【分析】在函数上取点，设为关于点的对称点，利用对称关系列出变换方程组，求得，代入，整理即得的解析式. 【详解】设为上任一点，为关于点的对称点， 则解得 因为点在的图象上，所以. 把代入上式，可得，整理得， 即. 41．（2026高三·全国·专题练习）已知满足，当时有，则当时，______． 【答案】 【分析】推导出的图象的对称轴为直线，当时，，可得出，即可得出函数在时的解析式. 【详解】在等式中，用替代可得， 所以的图象的对称轴为直线， 当时，，则. 即当时，. 故答案为：. 42．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数与的图象关于点对称，则______． 【答案】 【分析】设是上一点，关于点的对称点为，得到，将其代入函数的解析式，即可求得的解析式. 【详解】设是图象上任意一点，且点关于点的对称点为， 可得，解得， 将其代入函数，可得，所以， 即. 故答案为：. 典例九：由函数对称性求函数值或参数 43．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 44．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数，则______. 【答案】 【详解】因为函数， 则， 所以关于成中心对称， 所以 ， 令， 则， 两式相加可得：，所以. 45．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】先求出函数定义域，再根据对称性得出，再代入解析式得出，最后代回验证即可. 【详解】令，由，得或，故函数的定义域为． 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则， 此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故． 46．（25-26高二下·浙江·期中）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别化简计算，再由对称性，列出关于的方程组，求解即得. 【详解】对于函数, 由 , 而 , 由该图象关于直线对称,可得, 则对应项系数相等,即, 解得,则. 47．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（   ） A．20 B．50 C．70 D．90 【答案】D 【分析】先利用二项式定理化简，再根据函数奇偶性的定义求解即得. 【详解】依题意，可知函数为奇函数，满足. 因， ， 则， 由 ，因不恒为0，故得，即. 48．（2026高三·全国·竞赛）设实数满足：函数图象的对称中心为，则________. 【答案】1 【分析】根据题意可知在函数的图象上，又根据对称性可知也在函数图象上，代入函数解析式可解得的值，从而得解. 【详解】由题可知点在函数的图象上， 设关于对称中心对称的点为， 则，得， 所以点也在函数图象上， 则， 解得. 故答案为：1 典例十：对称性、奇偶性、周期性的综合应用 49．（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 50．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________． 【答案】 【分析】根据函数的递推性质及奇偶性求出参数，再由函数解析式及递推关系得出即可得解. 【详解】因为当时，满足， 所以，即， 又函数为上的奇函数，所以， 即，解得，又，解得， 所以时，，所以， 由，， 所以，同理， 所以. 51．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 52．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性推出是以为周期的周期函数，根据周期性计算可得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，又为偶函数， 所以，，且， 则，即， 所以，即是以为周期的周期函数， 由，，， 所以，，， 所以． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性（精讲） 第一部分：知识复习 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [常用结论] 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (3)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)； (4)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|(a≠b)． 3．常见奇、偶函数的类型 (1)f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数； (2)f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)为奇函数； (3)f(x)＝＝(a＞0且a≠1)为奇函数； (4)f(x)＝loga(a＞0且a≠1，b≠0)为奇函数； (5)f(x)＝loga(±x)(a＞0且a≠1)为奇函数； (6)f(x)＝|ax＋b|＋|ax－b|为偶函数； (7)f(x)＝|ax＋b|－|ax－b|为奇函数． 4．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点(a,0). 5．函数的轴对称和中心对称 (1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(2a－x)＝f(x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称． (3)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＋f(b＋x)＝c，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为. 6．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． (4)函数y＝f(a－x)与y＝f(x－b)的图象关于直线x＝对称． 第二部分：典型例题 典例一：判断函数奇偶性 1．（上海市宝山区2026-2026学年高三上学期6月期末教学质量监测数学试题）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知函数，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 3．（2026·河南开封·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 典例二：根据函数奇偶性求解析式 5．（25-26高三上·安徽安庆·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. 6．（2026·甘肃酒泉·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________. 7．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，. (1)写出函数的解析式； (2)若关于x的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论） 10．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 典例三：函数奇偶性的应用 11．（2026·湖南·三模）设是奇函数，且，则______． 12．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 13．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知定义域为R的偶函数，当时，，则 ________. 14．（25-26高三上·江苏镇江·期末）已知函数在上最大值为，最小值为，则_________． 15．（25-26高三上·福建三明·期中）已知函数且，则的值为______． 16．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，则______. 典例四：由函数奇偶性求参数 17．（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 18．（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 20．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）已知是偶函数，则实数（     ） A． B． C． D．2 21．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则______________． 22．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 典例五：利用奇偶性与单调性解不等式 23．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是奇函数，则不等式的解集是______. 24．（2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 25．（25-26高二下·吉林·期末）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·四川成都·期末）函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为__________． 27．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 典例六：由函数周期性求解析式 29．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 30．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 31．（25-26高三上·江苏苏州·期中）设是定义在上的函数，对任意，均有，当时，，则当，时，______． 32．（2026高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，． (1)求当时，函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式． 典例七：由函数周期性求函数值 33．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 34．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知是定义在上且周期为4的函数，当时，，则（    ） A．12 B． C．3 D． 35．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则_____． 36．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知是偶函数，且，当时，，则等于____. 37．（25-26高三上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则________． 典例八：由函数对称性求解析式 39．（2026·陕西西安·一模）已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)证明：. 40．（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 41．（2026高三·全国·专题练习）已知满足，当时有，则当时，______． 42．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数与的图象关于点对称，则______． 典例九：由函数对称性求函数值或参数 43．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 44．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数，则______. 45．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 46．（25-26高二下·浙江·期中）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．5 D．6 47．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（   ） A．20 B．50 C．70 D．90 48．（2026高三·全国·竞赛）设实数满足：函数图象的对称中心为，则________. 典例十：对称性、奇偶性、周期性的综合应用 49．（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 50．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________． 51．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 52．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B． C． D． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $