14.3 角的平分线 同步练习-2026-2027学年人教版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦角的平分线尺规作图、性质应用与综合证明，分层设计清晰，从基础概念到复杂推理渐进，适配暑假自主巩固需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|尺规作图、角平分线性质|选择题1-2（作图判断）、填空题3（性质直接应用），强化概念理解| |中档|性质与三角形结合|选择题5-6（距离最值、面积计算）、解答题1-2（简单证明与计算），培养空间观念| |提高|多知识点综合应用|选择题8-10（外角平分线、多结论判断）、解答题3-4（四边形综合证明），发展推理能力|

14.3 角的平分线 一．选择题 1．根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 2．观察图中尺规作图的痕迹，则下列选项中，正确的是（　　） A．BD平分∠ABC B．AD＝CD C．AB＝CB D．BD⊥AC 3．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为10，AB＝5，则线段DP的长不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．5.5 4．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D．2 6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　） A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 9．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 二．填空题 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点M，交BC于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点P，作射线BP交AC于点D．若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为 　 　 ． 2．如图，AB∥CD，作一条直线，分别交AB，CD于点E，F，以点F为圆心，任意长为半径作弧，分别交FE，FD于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线FG，交AB于点H．若∠1＝30°，则∠HEF的大小为　 　 °． 3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是　 　 ． 4．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于 　 　 ． 5．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝ 　 　 ． 三．解答题 1．在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，AB＝10cm，求△ABD的面积． 2．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长． 3．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC； （3）求证：AB+CD＝AC． 4．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：AD是△ABC的高的作图为． 故选：B． 2．【解答】解：由作图可知BD⊥AC． 故选：D． 3．【解答】解：过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H， ∵BM是∠ABC的平分线， ∴DH＝DG， ∵△ABD的面积AB•DG＝10，AB＝5， ∴DG＝4， ∴DH＝4， ∵DP≥DH， ∴线段DP的长不可能是3． 故选：A． 4．【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PN＝PD， ∵PN⊥BF，PD⊥AC， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D． 5．【解答】解：过点P作PB⊥OM于B， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3， ∴PB＝PA＝3， ∴PQ的最小值为3． 故选：C． 6．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD， ∴S△ABDAB•DE10•DE＝15， 解得DE＝3， ∴CD＝3． 故选：A． 7．【解答】解：作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC于点N， ∵DE＝DG， ∴DM＝DG， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF＝DN， 在Rt△DEF和Rt△DMN中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL）， ∵△ADG和△AED的面积分别为50和39， ∴S△MDG＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11， S△DNM＝S△EDFS△MDG11＝5.5． 故选：B． 8．【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图， ∵AB⊥BC，AE平分∠BAD， ∴Rt△AEF≌Rt△AEB ∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB； 而点E是BC的中点， ∴EC＝EF＝BE，所以③错误； ∴Rt△EFD≌Rt△ECD， ∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确； ∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正确； ∴∠AED＝∠AEF+∠FED∠BEC＝90°，所以①正确． 故选：A． 9．【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：B． 10．【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得， ∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线， ∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°， ∴∠BDE＝∠BAC， 在Rt△AED和Rt△ACD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）， ∴AE＝AC， ∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B， 综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 二．填空题 1．【解答】解：由作法得BP平分∠ABC， ∴点D到BA的距离等于点D到BC的距离， ∵∠ACB＝90°，CD＝2， ∴点D到BC的距离为2， ∴点D到BA的距离为2， ∴△ABD的面积7×2＝7． 故答案为：7． 2．【解答】解：由题意可得，FH为∠EFD的角平分线， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠HFD＝∠1＝30°， ∴∠EFD＝2∠HFD＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠EFD+∠HEF＝180°， ∴∠HEF＝180°﹣60°＝120°， 故答案为：120． 3．【解答】解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DF＝DE＝2， ∴S△BCD•BC×DF4×2＝4 故答案为：4． 4．【解答】解：作PE⊥OA于E， ∵CP∥OB， ∴∠OPC＝∠POD， ∵P是∠AOB平分线上一点， ∴∠POA＝∠POD＝15°， ∴∠ACP＝∠OPC+∠POA＝30°， ∴PEPC＝2， ∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PD＝PE＝2， 故答案为：2． 5．【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°， ∴∠CAF＝100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， ∵， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP＝∠PAC＝50°． 故答案为：50°． 三．解答题 1．【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为点E， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB DC⊥BC， ∴DE＝DC． 又∵DC＝3cm， ∴DE＝3cm． ∴S△ADBAB×DE10×3＝15（cm2）． 2．【解答】（1）证明：连接BD，CD， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴BD＝CD， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF； （2）解：在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF， 设BE＝x，则CF＝x， ∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF， ∴5﹣x＝3+x， 解得：x＝1， ∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4． 3．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E， ∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC， ∴OB＝OE， ∵点O为BD的中点， ∴OB＝OD， ∴OE＝OD， ∴OC平分∠ACD； （2）在Rt△ABO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠AOB＝∠AOE， 同理求出∠COD＝∠COE， ∴∠AOC＝∠AOE+∠COE180°＝90°， ∴OA⊥OC； （3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO， ∴AB＝AE， 同理可得CD＝CE， ∵AC＝AE+CE， ∴AB+CD＝AC． 4．【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD， ∴∠ADB＝∠CDB，∠DCE＝∠BCE， ∴∠ODC+∠OCD＝90°， ∴∠DOC＝90°， ∴∠DOC＝∠BOC， 在△DCO和△BCO中， ， ∴△DCO≌△BCO（ASA） ∴CB＝CD， ∴OB＝OD， ∴CE是BD的垂直平分线， ∴EB＝ED，又∠DOC＝90°， ∴EC平分∠BED， ∴点O到EB与ED的距离相等． 学科网（北京）股份有限公司 $